河北省武邑中学高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案 新人教A版必修4
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《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》说课稿孔祥伟尊敬的各位评委大家好：我说课的题目是《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》，下面我从教材分析、学情分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的教学进行说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第二课时---平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
本节课是是在学生已经掌握了平面向量数量积的含义及运算律的基础上进行教学的，因此难度不大。
根据新课标的要求和学生的实际我确定本节课的重难点如下：2．教学重点、难点（1）教学重点1.掌握平面向量数量积的坐标表示方法；2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距离公式；3.能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.（２）教学难点用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.二、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
三、教学目标分析根据本节课的特点,结合新课程标准对本节课的教学要求和学生的认知规律,我从以下三个方面确定了以下教学目标:(1)知识与技能目标:⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；(2) 过程与方法目标：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
高中数学_2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角教学设计学情分析教材分析课后反思
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(导学案) 学习目标：1.知识与技能：掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算；掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。
2.过程与方法：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程,体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培养学生的探究能力、创新精神。
3.情感态度价值观：引导学生探索归纳,感受、理解知识的产生和发展过程,激发学习数学的兴趣,注重培养学生的动手能力和探索能力。
【自主学习】探究:已知两个非零向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅,试着推导一下.总结：由此可得：（1）向量求模(长度)工具:（2）向量证明垂直工具:思考：如何使用两个工具解决几何问题？【合作学习】探究活动一：用向量证明垂直例5已知(1,2)A ,(2,3)B ,(2,5)C -,试判断ABC ∆的形状,并给出证明.归纳整理:实践应用: 先作图,观察以(1,4)A --,(5,2)B ,(3,4)C 为顶点的三角形的形状,然后给出证明.问题:如果继续求三角形的其他角,你如何解决?探究活动二：用向量求角向量求角工具:例6设(5,7),(6,4)a b ==--,求a b ⋅及,a b 间的夹角θ(精确到1)归纳整理:实践应用:试着把例5中的角C 求出来.探究活动三：用向量的数量积证明一个著名的不等式 证明:对任意的,,,a b c d R ∈,恒有不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++归纳整理:你还能不能想出更有创意的方法?试一试.本节课的收获:【创意展区】创意要求: 平面向量的数量积a b ⋅是一个非常重要的概念,带来了一系列解决平面几何问题的工具和方法,利用它可以容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线互相垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等,还可以推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质等,你证出了哪一个?把它记下来和同学交流.【随堂检测】1.已知向量(1,1)a =-,b = (2,x )．若1a b ⋅=,则x =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1 2.设向量11(1,0),(,)22a b ==,则下列结论中正确的是 ( )． A ．||||a b = B ．2a b ⋅= C ．a b ∥ D ．a b -与b 垂直 3. 已知向量(1,2)a =,向量b =(,2)x -,且a ⊥()a b -,则实数x 等于 ( )．A ．9B ．4C ．0D ．－44. 若向量(1,2),(1,1)a b ==-,则2a b +与a b -的夹角等于 ( )．A ．4π-B ．6πC ．4πD ．34π 5. 已知平面向量(2,4),(1,2)a b ==-,若2c a b =+,则||c ＝________．6. 已知向量(1,0)a =,(1,1)b =,则向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为________．7.已知(2,3),(2,4),(1,2)a b c ==-=--,求,()()a b a b a b ⋅+⋅-,()a b c ⋅+,2()a b +.8. 已知||||2a b ==|,(2)()2a b a b +⋅-=-,求a 与b 的夹角.2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后反思一直都在考虑到底要选哪一节课来开公开课，到最后时刻才决定选择2.4.2平面向量数量积这一节。
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案 新人教A版必修4
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a|cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a||b|；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a|2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅ ； 5︒|a ⋅b| ≤ |a||b|3．练习：（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60°B.30°C.135°D.４５°（2）已知|a|=2，|b|=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m=a-4b 的模为（ ） A.2 B.23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥⇔02121=+y y x x两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o)分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a·b＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题 2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x= .四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x += 2、平面内两点间的距离公式221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定： 设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥⇔02121=+y y x x 五、课后作业：《习案》作业二十四。
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第二章 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
2掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【学习重点】平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用。
【基础知识】探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅ （坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y =()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（1）设a=(x,y),则2a =________________或a ________________。
（2）若()11,A x y ，()22,B x y =___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥b a _________________利用数量积求两向量夹角的步骤：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．(2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模．(3)由公式cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cos θ的值．(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ．注释：(1)利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何的问题转化为向量问题，进而通过向量的运算来研究几何元素间的关系．(2)已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、两向量的长度和它们的夹角．此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．【例题讲解】例1：已知a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝例2：若a＝(－3,4)，b＝(2，－1)，且(a－x b)⊥(a－b)，求x的值．例3：设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于例4：已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且k a－b与a＋b的夹角为120°，则k＝________．【达标检测】1．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－32．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)3．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )A ． 3B ．135C ．655D ．654．若a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为________．【问题与收获】答案：例1：由已知2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，从而a ·(2a －b )＝(2,1)·(5，2－k )＝10＋2－k＝0，∴k ＝12．例2： 解：∵a －x b ＝(－3－2x,4＋x )，a －b ＝(－5,5)，(a －x b )⊥(a －b )，∴(－3－2x )×(－5)＋(4＋x )×5＝0，∴3x ＋7＝0，∴x ＝－73． 例3：(1)∵a ⊥b ，∴x －2＝0，∴x ＝2．∴a ＝(2,1)，∴a ＋b ＝(3，－1)．∴|a ＋b |＝10．例4：∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2，|a ＋b |＝12＋(－1)2＝2．又(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，而k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |， 即－12＝－22·k 2＋(k ＋2)2， 化简整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3．1．B 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即3x ＋1×(－3)＝0．解得x ＝1．故选B ．2．A 解析：设b ＝λ(1，－2)(λ＜0)，由|b |＝35可解出λ＝－3．故选A ．3．C 解析：a ·b |b |＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝655，故选C ． 4．44 解析：2a 2－3a ·b ＝2×(16＋9)－3×(－4＋6)＝50－6＝44．5．120° 解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，而(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52．又∵a ·c ＝x ＋2y ，设a 与c 的夹角为θ，cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525＝－12，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．。
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【教学设计】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004一、教学任务分析前面已经学习了学习了平面向量数量积概念、运算以及平面向量的坐标表示,本节课是对平面向量数量积从坐标表示方面的进一步研究, 是对前面所学知识的延续.教科书以推导平面向量数量积的坐标表示入手，进而研究平面向量的模、两非零向量垂直的坐标表示和夹角的坐标表示.二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的坐标表示，模的坐标表示,垂直的坐标表示和夹角的坐标表示.难点：平面向量数量积的坐标表示的推导过程，平面向量数量积的坐标表示的应用.二、教学基本流程本节课是平面向量数量积的第二节课，与第一节课紧密联系，且主要以公式为主，因此我设计了以下顺序来安排本节课的教学：（一）复习回顾：主要复习上节课所学，并且本节课用到的知识；（二）引入新课：复习回顾向量加法、减法、数乘的坐标运算，从而引出数量积的坐标表示；（三）探究新知：探究平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示；（四）运用新知：运用所学知识解决相关问题；（五）课堂小结：回顾这节课主要学习了哪些知识，用到了哪些思想方法；（六）布置作业：课下巩固完善.三、学生课前准备因为本节课与上一节课紧密联系在一起，所以要求学生课前一定要复习好上一节课的内容：平面向量数量积的定义、运算律及性质.另外，本节课又是对坐标运算的继续加深，而且在推导平面向量数量积的坐标表示时用到了平面向量的坐标表示和运算，因此要求学生复习好平面向量的坐标表示和运算的内容.四、教学过程设计(一)复习回顾（课件上展示问题）1．平面向量数量积（内积）的定义；2.平面向量的数量积满足的运算律；3.设向量a 与b 都是非零向量，则________⊥⇔a b ；=a a 或=a . 学生活动：以上问题由学生回答，老师适当给以点评.(二)引入新课已知两个非零向量()()1122,,,x y x y =a =b ,则=+a b ；=-a b ；λ=a .提问学生回答，并给出问题：向量a 与b 的数量积⋅a b 能否也用坐标表示？这就是我们这节课要研究的问题：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【设计意图】通过回顾平面向量数量积的定义和对有关性质运算题目的掌握，为探究数量积的坐标表示做好准备．另外，通过对向量的加、减、数乘的坐标运算的回顾，很自然的联想到数量积的坐标表示，从而创设情境激发学生的学习兴趣．(三)探究新知探究1：平面向量数量积的坐标表示教师：已知两个非零向量()()1122,,,x y x y =a =b .试根据向量加法、减法的坐标运算的推导过程，写出向量a 与b 的数量积⋅a b 的坐标表示的推导过程.学生：学生回顾向量加法、减法的坐标运算的推导过程，自己独立推导平面向量数量积的坐标表示.学生推导完成后，用实物投影展示学生推导过程，并让学生讲解.解:因为()()1122x y x y ⋅++a b =i j i j 2212122112x x x y x y y y =+⋅+⋅+i i j i j j又1⋅=i i ，1⋅=j j ，0⋅=⋅=i j j i ，所以⋅a b 2121y y x x +=．教师：你能用文字表述上面的结论吗？学生：学生尝试表述，并同位间交流，最后得出结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即⋅a b 2121y y x x +=．【设计意图】问题引领，培养学生的探索研究能力,让学生体会成功的乐趣.探究2：向量的模的坐标表达式教师：若(),x y a =，如何计算2a 和a 呢？学生:222||x y =+a ， ||=a 教师：如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，那么向量a 的坐标如何表示？a 等于什么？学生: 2121(,)x x y y =--a ， =a .【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上，探索发现向量的模小试牛刀：已知()3,4=-a ，(5,2)=b ，求,,⋅a b a b .学生:学生计算,并提问学生回答: 5,7.==⋅=-a b a b【设计意图】熟练应用向量数量积的坐标公式．探究3：向量垂直的坐标表示教师:设a 与b 都是非零向量,()()1122,,,x y x y =a =b ,如何用向量a,b 的坐标来表示⊥a b ？提问一名同学到黑板上书写,其他同学在导学案上书写：1212=00x x y y ⊥⇔⋅⇔+=a b a b .【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上两向量垂直.此时,展示例1.让学生把答案写在导学案上.给学生4分钟的时间完成，并用投影展示学生的答案，在展示时可以多选取学生完成几种不同的方法.多媒体上展示变式1，让学生完成并口述答案.多媒体上展示变式2，提问一名同学到黑板上板书过程.【设计意图】此时展现例题，注重讲练结合，而且能够及时加深学生对两向量垂直的记忆和理解.两个变式题目的设计也注重梯度性，有利于各层次学生的学习.探究4：向量夹角的坐标表示教师:设a 与b 都是非零向量， ()()1122,,,x y x y =a =b ，θ是a 与b 的夹角，你能用a ，b 的坐标来表示cos θ？提问一名同学到黑板上书写,其他同学在导学案上书写：cos θ=接下来讲解例2.先给学生2分钟的思考时间,然后提问一名同学回答,教师板书，给学生起到示范作用.并引导学生总结求两向量夹角余弦值的方法.（四）应用新知例1.已知点(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断ABC ∆的形状，并给出证明.引导学生用不同的方法做这道题目,并展示学生的答案.变式：（1）已知ABC ∆为直角三角形，090A ∠=,(1,3),(2,)AB AC k ==，求k 的值.（2）若上式中090C ∠=，那么k 的值是多少? 答案：（1）23k =-；（2）k =1或2. 例2．已知向量()5,7=-a ，()6,4=--b ,求a b 及a 、b 的夹角θ的余弦值. 解：5(6)(7)(4)3028 2.⋅⨯-+-⨯-=-+=-a b ===，a ==b∴cos 0.03.96274θ===-≈-a b a b 教师:结合本题,总结一下求两向量夹角余弦值的步骤?学生：求两向量夹角的余弦值，先求|⋅、|、,a b a b 再代入公式计算.(五)课堂小结提问一名同学回答,通过本节课的学习,在知识方面和思想方法你有哪些收获?知识方面:1.平面向量数量积的坐标表示；2.向量模的坐标表示；3.向量垂直的坐标表示；4.向量夹角的坐标表示.思想方法：数形结合，类比.【设计意图】培养学生归纳整合知识能力，培养学生思维的灵活性与严谨性．(六)布置作业1.阅读课本P106-P107；2.必做:课本P108 A 组第9、10、11题；选做：课本P108 B 组第2题.【设计意图】学生养成先复习后做作业的学习习惯,另外分层布置作业,满足不同学生的需要．(七)板书设计x x+12【学情分析】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004在学习本节之前学生已经学习了平面向量数量积概念、运算以及平面向量的坐标表示，且大部分同学有了一定的推理计算能力和处理向量问题的方法，完全有能力推导出平面向量数量积的坐标表示，对于少数不能推导出平面向量数量积坐标表示的可以让他们看课本上的推导过程.有了数量积的坐标表示，在结合上一节中平面向量数量积的性质，那么平面向量的模、两非零向量的垂直关系以及两非零向量的夹角也就很容易用坐标来表示了，学生接受起来也会比较容易.为了更好的学习本节课，在课前需要学生提前预习并且复习好上一节的内容和平面向量的坐标表示，尤其是向量加法、减法运算的推导过程，以便能够顺利的推导出平面向量的数量积的坐标表示.【效果分析】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004本节课是从坐标表示对平面向量数量积的进一步学习，本节课公式比较多，通过本节课的教学，基本上达到了预期的效果，可以通过以下几个方面来说明：1.课堂教学效率比较高，学生思维活跃，整堂课气氛比较热烈。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计
“引导－探究式”教学法”。
课堂基调：
自主探索，民主开放。 合作交流，师生对话。
借助：
“多媒体”教学
课堂流程
提供材料 设计问题
复习思考 提出问题
类比化归 解决问题
反思建构 操作练习
教学过程
选择恰当的实例。
新
课
从复习向量加减法的坐标运算开始。
导
开门见山，直奔主题。
入 提供材料，让学生发现问题。
夹角等知识进行简单的计算和证明 。
能力目标：
领悟数形结合的思想方法，培养学生自主学习， 提出问题、分析问题、解决问题的能力。
情感目标：
体验探索的乐趣，认识世间万物之间的联系与转化。 让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
重、难点分析
重点：
数量积坐标表示的推导过程。
难点：
公式的建立与应用。
教法分析
可设计：
向量的两个要素：模、夹角随之确定。
求
a
?
b
?∠AOB＝？等。
设计意图： 渗透数形结合意识，突出向量的两个要素。
结论
1.
数量积的定义：
a
b
a
b
cos
2． 数量积的性质：
（1）
a
b
ab
0
（2）当
a与b同向时，a
b
a
b.
可解。
ab
关键:是如何用坐标表示
a
b
?
设计意图：
突出重点，为后面建立模、夹角公式做铺垫，使 学生产生学习数量积坐标表示的积极心理倾向。
高中数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案设计新人教A版必修4
第二章平面向量平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示.2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.3.能用所学知识解决有关综合问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:(1)设单位向量i,j别离与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向相同,O为坐标原点,若向量=3i+2j,则向量的坐标是,若向量a=(1,-2),则向量a可用i,j表示为;(2)已知|i|=|j|=1,i⊥j,且a=3i+2j,b=i-j,则a·b=.二、信息交流,揭露规律问题2:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用a与b的坐标来表示a·b呢?问题3:如何用坐标表示向量的模、垂直的条件和夹角的余弦?2.平面内两点间的距离公式(1)设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.(2)若是表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标别离为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|= (平面内两点间的距离公式).3.向量垂直的判定设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔.4.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cosθ==.三、运用规律,解决问题【例1】已知a=(-1,),b=(,-1),求a·b,|a|,|b|,a与b的夹角θ.【例2】已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.【例3】在Rt△OAB中,=(2,3),=(1,k),求实数k的值.四、变式演练,深化提高练习:已知a=(3,-1),b=(1,2),求知足x·a=9与x·b=-4的向量x.五、反思小结,观点提炼本节课咱们学习了哪些知识?用到了什么思想方式?你还有其他什么收获?布置作业P108习题2.4A组第9,10,11题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)(3,2) a=i-2j(2)1二、信息交流,揭露规律问题2:设向量i,j别离为平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量,则有a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)(x2i+y2j),x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y1j2=x1x2+y1y2,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.从而可得·b=x1x2+y1y2.问题3:2.(1)|a|=(2)(3)x1x2+y1y2=04. .三、运用规律,解决问题【例1】解:a·b=(-1)××(-1)=-2,|a|==2,|b|==2,cosθ==-,因为0≤θ≤π,所以θ=.【例2】解:△ABC是直角三角形.证明如下:因为=(1,1),=(-3,3),=1×(-3)+1×3=0,所以,所以△ABC是直角三角形.【例3】解:(1)若∠AOB=90°,则,所以2+3k=0可得k=-;(2)若∠OAB=90°,则,而=(-2,-3),=(-1,k-3),所以2-3(k-3)=0,从而k=;(3)若∠OBA=90°,则,而=(-1,-k),=(1,3-k),因为-1-k(3-k)=0,所以k= .四、变式演练,深化提高练习:解:设x=(t,s),由所以x=(2,-3).五、反思小结,观点提炼1.掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;2.掌握平面向量的模的坐标公式和平面内两点间的距离公式;3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系.。
平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 教学设计
2、使用睿训课堂的及时检测功能，方便快捷检测学习效果，学生通过及时学习效果对比，清晰地掌握自己掌握知识的水平。
3、在课堂总结部分借助思维导图软件，辅助整理学习知识内容，实现思维可视化，提高学习效率。
第一环节：公式的生成
借助上课学习的向量的数量积的几何表示和向量坐标的定义，推导出两向量积的坐标表示。
第二环节：学生先学成果展示
第三环节：思维导图整理学习内容
学生在这之前的物理课已经认识了矢量和功，数学课系统地学习了向量定义、向量的线性运算，具备了一定能力去进行深入的研究。由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积、模和夹角理解上的偏差。从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高，本节课还要初步体会研究向量运算的一般方法；因而本节课教学的难点是：平面向量的数量积的坐标表示深化到学生内心，模和夹角的计算仍需强化。
组织测试
点评
点拨
自主做题
检测自身学习效果
睿训课堂考试功能
幻灯片展示
学生整理归纳自己的导图
思维导图
七、教学特色（如为个性化教学所做的调整，为自主学习所做的支持、对学生能力的培养的设计，教与学方式的创新等）200字左右
本节课采用的是“先学后教当堂反馈”教学模式，即在课前将本节课需要用的自学材料推送给学生，先由学生按推送的材料并结合教材进行先学，再由学生根据自学的情况完成推送材料上的习题。上课时，借助于学生的iPad设备将学生先学的成果展示出来，对学生处理的不到位的内容，教师再进行重点点拨，最后再对本学所学的内容进行反馈。
平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角
【数学】2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2》教案(新人教A版必修4)
知识改变命运，学习成就未来欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：zxjkw@第 1 页共 4 页课题向量数量积的坐标运算和度量公式教学目标1、知识与技能掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，度量公式的推导应用（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直．（3）掌握平面内两点间的距离公式2、过程与方法通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．3、情感、态度、价值观通过本节内容的启发探研式学习，培养学生的动手能力和探索精神．教学重点1、向量数量积的坐标运算和度量公式2、向量垂直的坐标表示的充要条件．教学难点平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标运算与度量公式解决有关问题。
教学方法设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究,使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。
教学环节教学内容师生互动设计意图复习提问提问1：如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？由学生口答，教师板书向量数量积的定义及向量的运算律公式为数量积的坐标运算及度量公式的推导证明打好理论基础练习2：已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.练习3：设i ，j 为正交单位向量，则①i ·i =_______ ②j ·j =________ ③ i ·j =________学生板书，教师分析，引导学生复习前课重点……两个向量的数量积的运算性质。
2..4..2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教、教案)
2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
VU2OVWNFIq 二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。
VU2OVWNFIq2．<1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论<2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。
3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
VU2OVWNFIq五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
数学必修4教学案：242平面向量数量积的坐标表示模夹角(教学案)
平面向量数目积的坐标表示、模、夹角一、教材剖析本课的地位及作用：平面向量数目积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数目积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题供给了崭新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点密切联系起来，是全章要点之一。
二．教课目的1．学会用平面向量数目积的坐标表达式，会进行数目积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能依据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。
2．（ 1）通出问题，把问题的求解与研究贯串整堂课，学生在自主研究中发现了却论（2）经过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。
3．经历依据平面向量数目积的意义研究其坐标表示的过程，体验在此基础上研究发现向量的模、夹角等重要的胸怀公式的成功乐趣，培育学生的研究能力、创新精神、三、教课要点难点要点：平面向量数目积的坐标表示.难点：向量数目积的坐标表示的应用.四、学情剖析此以前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数目积观点及运算，但数目积是用长度和夹角这两个观点来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数目积，使之应用更方便，就是摆在学生眼前的一个亟待解决的问题。
所以，本节内容的学习是学生认知发展和知识建立的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采纳以学生自主达成为主，教师查漏补缺的教课方法。
所以联合中学生的认知构造特色和学生实际。
我将本节教课目的确立为：1、理解掌握平面向量数目积的坐标表达式，会进行数目积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能依据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历依据平面向量数目积的意义研究其坐标表示的过程，体验在此基础上研究发现向量的模、夹角等重要的胸怀公式的成功乐趣，培育学生的研究能力、创新精神。
五、教课方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．教案导学：见后边的教案。
3．新讲课教课基本环节：预习检查、总结迷惑→情境导入、展现目标→合作研究、精讲点拨→反省总结、当堂检测→发导教案、部署预习。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计与反思
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计与反思1.教学内容与内容解析本节课主要学习平面向量的数量积及其坐标表示，模，夹角。
向量的线性运算有非常明确的几何意义，因此可以利用向量运算来讨论几何元素的位置关系。
既然向量可以进行加减运算，那么一个自然的想法就是两个向量能否进行乘法运算，如果能，如何进行就是要带领学生学习的内容。
2.教学目标与目标分析：1、 掌握平面向量数量积的坐标表示方法2、 掌握向量垂直的坐标表示的条件，及平面内两点间的距离公式.3、 能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.4、 培养学生数形结合、转化与化归的数学思想有了平面向量坐标表示及坐标的运算经验，引入数量积后，自然要考虑它的坐标运算问题，利用坐标运算，就可以把向量的模，夹角都联系起来。
作为以后处理几何问题的重要手段。
3.教学重难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用4.教学问题诊断分析本节课总了以前的知识点，并且要对公式进行正用和逆用，要求学生对知识点掌握全面，牢靠。
所以在教学中需要照顾基础较差的同学，防止掉队。
5.教学支持条件分析学生基本掌握了之前的学习内容，对物理学背景也有一定的了解。
学校配置的多媒体可以正常使用。
6、教学过程：一、复习旧知：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．已知|a |= 6 ,|b |= 4 ,若a 与b 的夹角为30°,则a ·b = ，a 2 = 3．已知向量a 、b 的夹角为3π，|a | = 2 , |b | = 1,则 |a +b |= , |a －b |= 4．已知|a | = 12, |b | = 9,a ·b =254-，则a 与b 的夹角θ=二、新课讲解探究（一）：平面向量数量积的坐标表示思考1：设i 、j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若两个非零向量a ＝(11,y x ),b ＝(22,y x )，则向量a 与b 用i 、j 分别如何表示？思考2：对于上述向量i 、j ，则i 2 = ，j 2 = ，i · j =根据数量积的运算性质，a · b =请用文字描述平面向量数量积的坐标表示探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示思考1：设向量a ＝(y x ,)，利用数量积的坐标表示，︱a ︱=思考2：如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(11,y x ), (22,y x )，那么向量a 的坐标如何表示？︱a ︱=思考3：设向量a ＝(11,y x ), b ＝(22,y x )，若a ⊥b ，则11,y x ，22,y x 之间的关系如何？反之成立吗？思考4：设a 、b 是两个非零向量，其夹角为θ，若a ＝(11,y x ), b ＝(22,y x )，那么cos θ如何用坐标表示？三、典型例题例1、已知()2,1A ，()3,2B ，()5,2-C ，试判断ABC ∆的形状，并给出证明。
2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】掌握平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及平面上两点间的距离公式和向量垂直的坐标表示，并能应用．【知识梳理】1．a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a 、b 的夹角)．2．a ·b 的几何意义为：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 上的投影的乘积或等于b 的长度|b |与a 在b 上的投影的乘积．3．若i ，j 是平面直角坐标系xOy 中分别与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，且a ＝xi ＋yj ，则a 的坐标为________答：(x ，y )．4．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝__________.x 1x 2＋y 1y 2；它们对应坐标乘积的和即两个向量的数量积等于_____________________5．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________________.x 1x 2＋y 1y 2＝0【自测自评】1．(2010年高考重庆卷)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为() A ．－32 B.32C ．2D ．62．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为( )A ．5B ．－5C.32 D ．－323．(2011年济宁市质量检测)已知a ＝(2,2)，b ＝(1－3，1＋3)，则有( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a 与b 夹角为60°D ．a 与b 夹角为30°4．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是__________．【典型例题】题型一、向量数量积的坐标运算找清向量的坐标表示，根据公式法则运算6．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝______.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝____________________.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝_____________.例1：已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a .变式1、若本例条件不变，求(1)(a ·b )c ；(2)(b ＋c )·a .题型二、向量垂直的坐标形式的应用a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例2、*题型三、向量的夹角或模的问题例3、已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围．变式3、若本例中，a 与b 的夹角α为锐角或直角，试分别求λ的取值范围．平面内三个点A ，B ，C 在一条直线上，且OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．设两个不全为0的向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22，|a |＝x 21＋y 21.方法技巧3．已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．如例2失误防范1．区分开a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0与a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，两者极易混淆．2．若a ·b <0，其夹角为钝角或平角．若a ·b >0，其夹角为锐角或零角．【课堂检测】1．已知a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则a ·b ＝( )A ．23B ．7C ．－23D ．－72．(2010年高考安徽卷)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直3．a 、b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.865 B ．－865C.1665 D ．－16654．(2011年济南调研)已知向量m 与向量n 互相垂直且|m |＝|n |，若m ＝(2,1)，则n 等于( )A ．(1，－2)B ．(－2,1)C ．(－2,1)或(2，－1)D ．(1，－2)或(－1,2)5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为__________．6．已知a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，则a 与b 的夹角是__________．7．已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．(1)试计算a ·b 与|a ＋b |的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．1．向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．2．由于两个非零向量a 、b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a ·b |a ||b |来判断，可将θ分为五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ＜0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ＞0且cos θ≠1，θ为锐角．如例3*8．已知a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .。
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角作业教案 新人教A版必修4
课题 2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标知识与技能理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，过程与方法能根据向量的坐标计算向量的模，情感态度价值观并推导平面内两点间的距离公式重点能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直难点能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．教学设计教学内容教学环节与活动设计1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.即两个向量的数量积等于．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.3．平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝__________.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝_________________________.4．向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝_______＝________________.探究点一平面向量数量积的坐标表示问题已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b?探究点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式问题1若a＝(x，y)，试用x，y表示|a|.教学内容教学环节与活动设计探究点三 平面向量夹角的坐标表示设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos θ＝a ·b|a ||b |＝ .特别地，若a ⊥b ，则有 ； 反之，若 ，则a ⊥b .例如，(1)若a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角为_____．(2)已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是_____三角形． 【典型例题】例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.(1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b ·c )及(a ·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a ·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵b ·c ＝1×2－2×1＝0， a ·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b ·c )＝0a ＝0，(a ·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a ·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a ·b <0且a 与b 不反向．由a ·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，教学设计教学内容教学环节与活动设计所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．例3已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．解设D点坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)，∵D在直线BC上，即BD→与BC→共线，∴存在实数λ，使BD→＝λBC→，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x－3＝－6λy－2＝－3λ.∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.又∵AD⊥BC，∴AD→·BC→＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1y＝1，∴|AD→|＝－2＋22＝5，教学小结向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．课后反思。
河北省武邑中学高中数学 §2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案 新人教A版必修4
河北省武邑中学高中数学§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案新人教A版必修4学过程及方法一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.2．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ； 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|. 特别的a⋅a = |a|2或aaa⋅=||4︒ cosθ =||||baba⋅；5︒|a⋅b| ≤ |a||b|3．平面向量数量积的运算律交换律：a⋅b = b⋅a数乘结合律：(λa)⋅b=λ(a⋅b) = a⋅(λb)分配律：(a+ b)⋅c= a⋅c + b⋅c1河北武中·宏达教育集团教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11yxa=，),(22yxb=，试用a和b的坐标表示ba⋅.设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么jyi xa11+=，jyixb22+=所以))((2211jyixjyi xba++=⋅2211221221jyyji yxjiyxixx+⋅+⋅+=又1=⋅ii，1=⋅jj，0=⋅=⋅ijji，所以ba⋅2121yyxx+=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即ba⋅2121yyxx+=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(yxa=，则222||yxa+=或22||yxa+=.（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221221)()(||yyxxa-+-=(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设),(11yxa=，),(22yxb=，则ba⊥⇔02121=+yyxx4.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co sθ=||||baba⋅⋅222221212121yxyxyyxx+++=三.讲解范例：例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.例2 设a = (5，-7)，b = (-6，-4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)2。
高中数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案(新人教A版必修4)
向量数量积的坐标表示、模、夹角
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）掌握向量内积的坐标运算及其应用。
（2）掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。
（3）掌握向量的长度、距离和夹角公式。
2．过程与方法：
通过解题实践，体会公式和向量垂直的条件的应用。
3．情感、态度与价值观：
通过用向量的坐标反映向量的数量积，让学生体会到代数与几何的完美结合，说明事物是可以相互联系与相互转化的，激发学生的学习兴趣。
（二）教学重点、难点
教学重点：向量数量积的坐标表示以及由此推得的垂直条件，长度、距离和夹角公式的
坐标表示。
教学难点：向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标表示的灵活运用。
（三）教学方法：
本节的内容是在前面学习了向量的数量积的定义、性质、运算律的基础上，给出了向量内积的坐标运算公式，两向量垂直的坐标公式，向量的长度、运算、夹角的坐标公式，从而使向量数量积的运算代数化，在教学中，要引导学生分析解题思路，总结解题规律，提高学生分析问题解决问题的能力。
若A(x1, y1)
=
AB x
(
这就是两点的距离公式。
（3）向量夹角余弦的坐标表达式：cos<a, b>
．已知点A（1，2），
⊥。
AB AC
小结：利用数量积的坐标运算证明垂直
已知点A（1，2），B
的正弦值。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示模夹角教案1数学教案
2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角教学目标： (i)知识目标:（1）掌握平面向量数量积的坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用.(ii)能力目标:(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.教学重点: 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程： 一、知识梳理1.平面向量数量积的坐标表示①已知两个向量),(11y x a = ，),(22y x b = ,则b a ⋅2121y y x x +=.②设),(y x a = ，则22||y x a +=.③平面内两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=.④向量垂直的判定 两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x .⑤两向量夹角的余弦 co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=（πθ≤≤0）. 二、典型例题1. 例5解：做图观察，发现三角形有一个内角为直角，构造向量证明向量的数量积为0 例6解：直接应用公式计算，根据夹角余弦值和夹角的范围推出夹角的度数2.平面向量数量积的综合应用例题 已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<.(1) 若,a b θ⊥求 ; (2)求a b +的最大值 . 解:(1)若a b ⊥,则sin cos 0θθ+=,tan 1,()224πππθθθ⇒=--<<∴=-.(2)a b +==4πθ∴=当时,a b +的最大值为1==.例题 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==,且,a b 满足3ka b a kb +=-,k R +∈(1)求证()()a b a b +⊥- ; (2)求函数()f k 的最小值及取得最小值时向量a 与向量b 的夹角θ.解:(1)(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==2222()()||||110a b a b a b a b ∴+-=-=-=-=, 故 ()()a b a b +⊥-(2) 2111()444442k k f k k k k +==+≥=,此时当1,()k f k =最小值为12. 1cos 2a b a bθ∴==,量a 与向量b 的夹角θ 3π= 小结1. 掌握平面向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运算率.2. 灵活应用公式a ⋅b = |a ||b|cos θ , b a ⋅2121y y x x += , 22||y x a +=.3. 平面向量数量积的综合应用 作业习题卷。
高中数学优质教案2：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.教学重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.教学过程导入新课在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？推进新课新知探究提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？推导过程如下:∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2.又∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x ,y ),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得cos θ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•应用示例例1.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.解:在平面直角坐标系中标出A (1,2),B (2,3),C (-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵=(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB ·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴⊥.∴△ABC 是直角三角形.例2.已知三点A (2,-2),B (5,1),C (1,4),求∠BAC 的余弦值;解:=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴·=3×(-1)+3×6=15.又∵||=2233+=32,||=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC =.74745372315||||=•=•AC AB 例3.已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ;(2)若a ∥b ,求a .解:(1)设a =(x ,y ),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x ,y ),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x ∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 课堂检测1.在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k ),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值. 解:若∠A =90°,则⊥,所以·=0.于是2×1+3k =0.故k =32-.同理可求,若∠B =90°时,k 的值为311; 若∠C =90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±. 2.设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°) 解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cos θ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器得θ≈92°.3.求证:一次函数y =2x -3的图象(直线l 1)与一次函数y =21-x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y =2x -3中,令x =1得y =-1;令x =2得y =1,即在l 1上取两点A (1,-1),B (2,1). 同理,在直线l 2上取两点C (-2,1),D (-4,2),于是:AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),CD =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得AB ·CD =1×(-2)+1×2=0, ∴⊥,即l 1⊥l 2.。
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课题
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课标要求
掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
教
学
目
标
知识目标
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
技能目标
能用所学知识解决有关综合问题.
2．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab= 0
3当a与b同向时，ab= |a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa= |a|2或
4cos= ；5|ab|≤|a||b|
3．平面向量数量积的运算律
交换律：ab=ba
例2设a= (5，7)，b= (6，4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)
2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
课本练习107页
四小结（略）
五课后作业（略）
教
学
小
结
课后
反思
3
数乘结合律：( a)b= (ab) =a( b)
分配律：(a+b)c=ac +bc
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量 ， ，试用 和 的坐标表示 .
设 是 轴上的单位向量， 是 轴上的单位向量，那么 ， 所以
情感态度价值观
培养细心严谨的学习态度
重点
平面向量数量积的坐标表示
难点
平面向量数量积的坐标表示的综合运用
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab= |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
又 ， ， ，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2.平面内两点间的距离公式
（1）设 ，则 或 .
（2）如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、 ，那么 (平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定
设 ， ，则
4.两向量：
例1已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.