60高考文科数学复习测试题860

高考文科数学复习(附参考答案)
A级
(时间：40分钟满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．渡轮以15 k m/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为
4 k m/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 k m/h)()．
A．14.5 k m/h B. 15.6 k m/h
C．13.5 k m/h D．11.3 k m/h
解析画示意图直接求．
答案 C
2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是()．
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γD．α，β，b
解析选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.
答案 A
3．某人向正东方向走x k m后，向右转150°，然后朝新方向走3 k m，结果他离出发点恰好是 3 k m，那么x的值为()．
A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．3
解析如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或2 3.
答案 C
4．(2011·青岛模拟)如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30° ，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )．
A ．2.7 m
B ．17.3 m
C ．37.3 m
D ．373 m
解析 在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝CM －10AE . ∴AE ＝CM －10tan 30° m.
在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10
AE ， ∴AE ＝CM ＋10
tan 45° m ， ∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，
∴CM ＝10(3＋1)
3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．
答案 C
5．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α＜β)，则点A 离地面的高AB 等于( )．
A.a sin αsin βsin (β－α)
B.
a sin αsin β
cos (β－α)
C.a cos αcos βsin (β－α)
D.
a cos αcos β
cos (β－α)
解析 在△ADC 中，∠DAC ＝β－α，由正弦定理， AC sin α＝a sin (β－α)，得AC ＝a sin α
sin (β－α). 在Rt △ABC 中， AB ＝AC ·sin β＝a sin αsin β
sin (β－α)
.
答案 A
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30 (m)，
ON ＝AO tan 30°＝3
3×30＝10 3 (m)， 由余弦定理得， MN ＝
900＋300－2×30×103×3
2
＝300＝10 3 (m)． 答案 10 3
7．(2011·大连部分中学联考)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．
解析 在△BCD 中，CD ＝10 米，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠
DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°
sin 30°＝102(米)．在Rt △ABC 中，tan 60°
＝AB
BC ，AB ＝BC tan 60°＝106(米)． 答案 10 6
8．(2011·安徽三校联考)2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．
解析 由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝20 3 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米． 答案 30
三、解答题(共23分)
9．(11分)隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离． 解 如图所示，在△ACD 中，∵∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°， ∴∠CAD ＝30°，AC ＝CD ＝3(千米)， 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°.
由正弦定理得，BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋2
2(千米)． 在△ABC 中，由余弦定理，可得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ，
即AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫6＋222
－23·6＋22cos 75°＝5.
∴AB＝ 5 (千米)．
所以，两目标A、B间的距离为5千米．
10．(12分)(2011·广州二测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.
解得BC＝28(海里)．
所以渔船甲的速度为BC
2＝14海里/时．
(2)在△ABC中，因为AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，
由正弦定理，得AB
sin α＝
BC sin 120°.
即sin α＝AB sin 120°
BC＝
12×
3
2
28＝
33
14.
B级
(时间：30分钟满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )．
A.2063米 B ．106米 C.106
3米 D ．202米
解析 如图所示，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20
sin 60°，
∴AO ＝206
3(米)． 答案 A
2．(2011·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 k m ，速度为1 000 k m/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 k m)( )．
A ．11.4
B ．6.6
C ．6.5
D ．5.6 解析 AB ＝1 000×1 000×160＝50 000
3 (m)， ∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 000
32 (m)．
∴航线离山顶h ＝
50 000
32
×sin 75°≈11.4 (k m)． ∴山高为18－11.4＝6.6 (k m)． 答案 B
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行10 m 到达C 处发现另一生
命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.
解析 由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°，∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴x sin 45°＝10sin 60°. ∴x ＝1063 m. 答案
1063 m
4．(2011·合肥一检)如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m 海里后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n 海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．
解析 由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m
sin (α－β)
，解得
BM ＝
m cos αsin (α－β)，要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos β
sin (α－β)
＞n ，
所以当α与β的关系满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险． 答案 m cos αcos β＞n sin(α－β) 三、解答题(共22分)
5．(10分)(2010·陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？
解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB ，
∴DB ＝
AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB
＝
5(3＋3)·sin 45°
sin 105° ＝5(3＋3)·sin 45°
sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60° ＝53(3＋1)3＋12
＝103(海里)．
又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得
CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900， ∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝30
30＝1(小时)． 所以，救援船到达D 点需要1小时．
6．(★)(12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 思路分析 第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式；第(2)问建立速度与时间
的函数关系式．
解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t －132＋300.
故当t ＝1
3时，S min ＝103(海里)， 此时v ＝103
13
＝303(海里/时)
．
即，小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2
＝900－600t ＋400t 2，∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3
t ≤0，解
得t ≥23.
又t ＝2
3时，v ＝30海里/时．
故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于2
3.
此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 【点评】 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式，利用函数的有关知识解决问题，充分体现了函数与方程思想的重要性.。