潘集区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

潘集区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1
． 已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则++…+
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ）
A ．瑞雪兆丰年
B ．名师出高徒
C ．吸烟有害健康
D ．喜鹊叫喜
4． 如果命题p ∨q 是真命题，命题￢p 是假命题，那么（ ） A ．命题p 一定是假命题 B ．命题q 一定是假命题
C ．命题q 一定是真命题
D ．命题q 是真命题或假命题
5． 已知集合{}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
6． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()2121
0f x f x x x -<-，则
（ ）
A ．()()()213f f f -<<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()312f f f <<
D ．()()()321f f f <-<
7． 若直线L ：047)1()12(=--+++m y m x m 圆C ：25)2()1(2
2
=-+-y x 交于B A ,两点，则弦长||AB 的最小值为（ ）
A ．58
B ．54
C ．52
D ．5
8． 如图，空间四边形OABC 中，，
，
，点M 在OA 上，且
，点N 为BC 中点，
则
等于（ ）
A．B． C．D．
9．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（）
A．720 B．270 C．390 D．300
10．已知f（x）=，则“f[f（a）]=1“是“a=1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
11．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）
A．20 B．25 C．22.5 D．22.75
12．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）
A ．
B ．（4+π）
C ．
D ．
二、填空题
13．直线l ：（t 为参数）与圆C ：
（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围
是 ．
14．若关于x ，y 的不等式组
（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则
k= ．
15．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若37116a a a ++=，则13S 等于_________.
16．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A ）∪B= ．
17．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X 的值为2，则输出的结果是 ．
18．已知sin α+cos α=，且＜α＜，则sin α﹣cos α的值为 ．
三、解答题
19．在平面直角坐标系中，已知M （﹣a ，0），N （a ，0），其中a ∈R ，若直线l 上有且只有一点P ，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l 为“黄金直线”，点P 为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是
①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；
③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；
④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．
20．定义在R 上的增函数y=f （x ）对任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ），则 （1）求f （0）； （2）证明：f （x ）为奇函数；
（3）若f （k •3x ）+f （3x ﹣9x
﹣2）＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
21．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线2
4y x 相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．
22．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利？
（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．
23．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各
10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．
已知男、女生成绩的平均值相同．
（1）求的值；
（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．
24．（本小题满分10分） 已知函数()2f x x a x =++-．
（1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数的取值范围．
潘集区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵，
∴3x+2=0，
解得x=﹣． 故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2． 【答案】D 【解析】解：∵S n =n 2+2n （n ∈N *），∴当n=1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（n 2+2n ）﹣[（n ﹣1）2
+2
（n ﹣1）]=2n+1．
∴=
=
，
∴++…+=
+
+…+
=
=﹣
． 故选：D ．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3． 【答案】D
【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，
可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，
名师出高徒也具有相关关系， 吸烟有害健康也具有相关关系，
故选D ．
【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．
4． 【答案】D
【解析】解：∵命题“p 或q ”真命题，则命题p 与命题q 中至少有一个命题为真命题，
又∵命题“非p ”也是假命题，
∴命题p 为真命题． 故命题q 为可真可假． 故选D
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．
5． 【答案】D
【解析】
{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A
B ∴=，故选D.
6． 【答案】D 7． 【答案】B 【解析】
试题分析：直线:L ()()0472=-++-+y x y x m ，直线过定点⎩⎨⎧=-+=-+0
40
72y x y x ，解得定点()1,3，当点（3,1）
是弦中点时，此时弦长AB 最小，圆心与定点的距离()()512312
2=-+-=
d ，弦长
545252=-=AB ,故选B.
考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离. 1111]
8． 【答案】B
【解析】解： ==
=
；
又，
，
，
∴．
故选B ．
【点评】本题考查了向量加法的几何意义，是基础题．
9． 【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．
各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，
首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有：++=390．
故选：C．
10．【答案】B
【解析】解：当a=1，则f（a）=f（1）=0，则f（0）=0+1=1，则必要性成立，
若x≤0，若f（x）=1，则2x+1=1，则x=0，
若x＞0，若f（x）=1，则x2﹣1=1，则x=，
即若f[f（a）]=1，则f（a）=0或，
若a＞0，则由f（a）=0或1得a2﹣1=0或a2﹣1=，
即a2
=1或a2=+1，解得a=1或a=，
若a≤0，则由f（a）=0或1得2a+1=0或2a+1=，
即a=﹣，此时充分性不成立，
即“f[f（a）]=1“是“a=1”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据分段函数的表达式解方程即可．
11．【答案】C
【解析】解：根据频率分布直方图，得；
∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，
0.3+0.08×5=0.7＞0.5；
∴中位数应在20～25内，
设中位数为x，则
0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，
解得x=22.5；
∴这批产品的中位数是22.5．
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．
12．【答案】D
【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，
是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，
圆柱的底面直径和母线长都是2，
四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，
四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，
∴几何体的体积是=，
故选D．
【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．
二、填空题
13．【答案】[4，16]．
【解析】解：直线l：（t为参数），
化为普通方程是=，
即y=tanα•x+1；
圆C的参数方程（θ为参数），
化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；
画出图形，如图所示；
∵直线过定点（0，1），
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，
最小值是2=2×=2×=4
∴弦长的取值范围是[4，16]．
故答案为：[4，16]．
【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．
14．【答案】﹣1或0．
【解析】解：满足约束条件
的可行域如下图阴影部分所示：
kx ﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx ﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）
由关于x ，y 的不等式组
（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，
可得直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直，此时k=0或直线kx ﹣y+1=0与y=x 垂直，此时k=﹣1 综上k=﹣1或0 故答案为：﹣1或0
【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直或与y=x 垂直，是解答的关键．
15．【答案】26 【解析】
试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得371177362a a a a a ++==⇒=，由等差数列的求和
11313713()
13262
a a S a +=
==．
考点：等差数列的性质和等差数列的和．
16．【答案】 {2，3，4} ．
【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}， ∴C U A={3，4}， 又B={2，3}，
∴（C U A ）∪B={2，3，4}， 故答案为：{2，3，4}
17．【答案】﹣3．
【解析】解：分析如图执行框图，
可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．
当x=2时，f（x）=1﹣2×2=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．
18．【答案】．
【解析】解：∵sinα+cosα=，＜α＜，
∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=，
∴2sinαcosα=﹣1=，
且sinα＞cosα，
∴sinα﹣cosα=
==．
故答案为：．
三、解答题
19．【答案】
①②③
【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；
②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；
③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；
④当a=0时，点M 与N 重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P 在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）在f （x+y ）=f （x ）+f （y ）中， 令x=y=0可得，f （0）=f （0）+f （0）， 则f （0）=0，
（2）令y=﹣x ，得f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ）， 又f （0）=0，则有0=f （x ）+f （﹣x ）， 即可证得f （x ）为奇函数；
（3）因为f （x ）在R 上是增函数，又由（2）知f （x ）是奇函数， f （k •3x ）＜﹣f （3x ﹣9x ﹣2）=f （﹣3x +9x +2），
即有k •3x ＜﹣3x +9x
+2，得
，
又有
，即
有最小值2
﹣1，
所以要使f （k •3x
）+f （3x
﹣9x
﹣2）＜0恒成立，只要使
即可，
故k 的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1x =. 【解析】
（2 ，进而得
1a =时为定值.
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由22,
4,
my x y x =-⎧⎨=⎩
得2
480y my --=，∴128y y =-，
因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点11
2(
,)22
x y E +，AC =
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ===，E 点到直线x a =的距离
12||2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 22．【答案】
【解析】解：（1）y=﹣2x 2+40x ﹣98，x ∈N *
．
（2）由﹣2x 2
+40x ﹣98＞0解得，
，且x ∈N *
，
所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．
（3）由
，当且仅当x=7时“=”号成立，
所以按第一方案处理总利润为﹣2×72
+40×7﹣98+30=114（万元）．
由y=﹣2x 2+40x ﹣98=﹣2（x ﹣10）2
+102≤102，
所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）． ∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．
23．【答案】（１） 7a =；（２） 3
10
P =． 【解析】
试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．
其
中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况． 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率310
P =．1 考点：平均数；古典概型．
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有
时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好． 24．【答案】（1）(][),06,-∞+∞；（2）[]1,0-.
【解析】
试题分析：（1）当4a =-时，()6f x ≥，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为(][),06,-∞+∞；（2）()3f x x ≤-等价于23x a x x ++-≤-，即11x a x --≤≤-在[]0,1上
恒成立，即10a -≤≤.
试题解析：
（1）当4a =-时，()6f x ≥，即2
426x x x ≤⎧
⎨-+-≥⎩或24
426
x x x <<⎧
⎨-+-≥⎩或4
426
x x x ≥⎧
⎨
-+-≥⎩，
解得0x ≤或6x ≥，不等式的解集为(][),06,-∞+∞；
考
点：不等式选讲．。