2019绍兴市中考数学(word+详解+准图)

2019年浙江省绍兴市中考数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，合计40分．1．（2019•绍兴T1）－5的绝对值是（）
A.5
B.－5
C.1
5
D.－
1
5
{答案}A
2．（2019•绍兴T2）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126 000 000元，其中数字126 000 000元用科学记数法可表示为（）
A．12.6×107B．1.26×108C．1.26×109D．0.126×1010
{答案} B
3．（2019•绍兴T3）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）
A．B．
C．D．
{答案}A
4．（2019•绍兴T4）为了解某地区九年级男生的身体情况，随机抽取了该地区100名九年级男
）A．0.85B．0.57C．0.42D．0.15
{答案}D
{解析}本题考查了利用频率估计概率，先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频
率估计概率求解．样本中身高不低于180cm的频率＝15
100
＝0.15，所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．因此本题选D．
5．（2019•绍兴T5）如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）
A ．5°
B ．10°
C ．30°
D ．70° {答案} B
{解析}本题考查了三角形内角和定理和对顶角的性质，设a ，b 所在直线所夹的锐角是∠α，由对顶角相等，得到∠3＝∠2＝100°，再根据∠α＋∠1＋∠3＝180°，求得∠α＝180°－70°－100°＝10°，因此本题选B ．
{题目}6．（2019•绍兴T6）若三点（1，4），（2，7），（a ，10）在同一直线上，则a 的值等
于（ ）
A . －1
B . 0
C . 3
D . 4
{答案}C
{解析}本题考查了用待定系数法求一次函数解析式；设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式
为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧4＝k ＋b ，7＝2k ＋b .∴⎩⎨⎧k ＝3，
b ＝1，
∴y ＝3x ＋1，将点（a ，10）代入解析式，则a ＝3；因此本题
选C ．
7．（2019•绍兴T7）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x
＋3)(x －5)，则这个变换可以是（ ）
A .向左平移2个单位
B .向右平移2个单位
C .向左平移8个单位
D .向右平移8个单位
{答案}B
{解析}本题考查了二次函数图象与几何变换，y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2
－16，顶点坐标是(－1，
－16)；y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2
－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，因此本题选B ．
8．（2019•绍兴T8）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°，若BC ＝22，则⌒
BC 的长为（ ）
A .π
B . 2π
C .2π
D . 22π
α
3
{答案}A
{解析}本题考查了弧长的计算和圆周角定理，如图，连接OB 、OC ，由三角形内角和定理，求得∠
A ＝180°－∠
B －∠
C ＝180°－65°－70°＝45°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝2×45°＝90°，∴OB ＝BC
2
＝
222
＝2，∴⌒
BC 的长90×π×2180＝π，因此本题选A ．
9．（2019•绍兴T9）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点
D ．在点
E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积（ ）
A ．先变大后变小
B ．先变小后变大
C ．一直变大
D ．保持不变
{答案} D
{解析}本题考查了相似三角形的性质，由题意，得∠BCD ＝∠ECF ＝90°，∴∠BCE ＝∠DCF ，又∵
∠CBE ＝∠CFD ＝90°，∴△CBE ∽△CFD ，∴CE CD ＝CB
CF ，∴CE ⋅CF ＝CB ⋅CD ，即矩形ECFG 的面积＝正方形ABCD 的面积，因此本题选D ．
10．（2019•绍兴T10）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面
盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ） A .245
B .325
C .1234
17
D .2034
17
{答案} A
{解析}本题考查了勾股定理的应用，解决此题的突破点在于根据题意得到关系式：长方体中水的容积＝倾斜后底面积为ADCB 的四棱柱的体积，列方程，得到DE 的长，
如图，设DE ＝x ，则AD ＝8－x
，1
2(8－x ＋8)×3×3＝3×3×6，解得x ＝4．∴DE ＝4．
在Rt △DEC 中，CD ＝DE 2
＋EC 2
＝42
＋32
＝5，
过点C 作CH ⊥BF 于点H ，则由△CBH ∽△CDE ，得到CH CE ＝CB CD ，即CH 3＝8
5，∴CH ＝245
，因此本题选
A ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，合计30分．
11．（2019•绍兴T11）因式分解：x 2
－1＝ .
{答案}(x +1)(x -1)
12．（2019•绍兴T12）不等式3x －2≥4的解为 . {答案} x ≥2.
13．（2019•绍兴T13）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字
填入3×3的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母m 所表示的数是 .
{答案}4
{解析}本题考查了幻方的特点，数的对称性是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，∴第一列第三个数为：15－2－5＝8，∴m ＝15－8－3＝4．
14．（2019•绍兴T14）如图，在直线AP 上方有一个正方形ABCD ，∠PAD ＝30°，以点B 为圆
E
D C B
A
H
F
心，AB 为半径作弧，与AP 交于点A ，M ，分别以点A ，M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点E ，连结ED ，则∠ADE 的度数为 .
{答案}45°或15°.
{解析}本题考查了以正方形为背景的角度计算，正确画出图形是解题的关键．如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，∵∠PAD ＝30°，∴∠BAM ＝60°，又∵BA ＝BM ，∴△ABM 是等边三角形．当点E 在直线PA 的上方时，点E 与点B 重合，显然∠ADE ＝∠ADB ＝45°；当点E 在直线PA 的下方时，∠BDE ＝180°－∠BME ＝180°－2×60°＝60°，∴∠ADE ＝∠BDE －∠ADB ＝60°－45°＝15°，因此答案为45°或15°．
15．（2019•绍兴T15）如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 都在曲线y ＝k
x （常数k ＞0，x ＞0）上，若顶点D 的坐标为（5，3），则直线BD 的函数表达式是 .
{答案}y ＝35
x .
{解析}本题考查了反比例函数中几何图形问题，设C (5，k 5)，A (k 3，3)，则A (k 3，k
5
)；设直线BD 的函数
表达式为y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k 3a ＋b ＝k 5，5a ＋b ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝0， 因此直线BD 的函数表达式是y ＝3
5x ．
16．（2019•绍兴T16）把边长为2的正方形纸片ABCD 分割成如图的四块，其中点O 为正方形的
中心，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ （要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ 的周长是 ．
{答案}10或6＋22或8＋22．
{解析}本题考查了图形的剪拼，抓住图形的特征是解题的关键，如下图，共有3种周长不同的拼法，拼成的四边形的周长分别为10或6＋22或8＋22．
三、解答题：本大题共8小题，合计80分．
17．（2019•绍兴T17（1））（1）计算：4sin 60°＋(π－2)0－(－1
2
)－2－12.
{答案}解：原式＝4×3
2
＋1－4－23＝－3.
17．（2019•绍兴T17（2））（2）x 为何值时，两个代数式x 2
＋1，4x ＋1的值相等？
{答案}解：由题意，得x 2
＋1＝4x ＋1，x 2
－4x ＝0，x (x －4)＝0，x 1＝0，x 2＝4．
18．（2019•绍兴T18）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程x （千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x ≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x ≤200时，求y 关于x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
{答案}解： （1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
E
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：150
60－35
＝6千米；
（2）设y ＝kx ＋b （k ≠0），把点(150，35)，(200，10)代入， 得⎩⎨⎧150k ＋b ＝35，200k ＋b ＝10，∴⎩⎨⎧k ＝－0.5，b ＝100，
∴y ＝－0.5x ＋110． 当x ＝180时，y ＝－0.5×180＋110＝20．
答：当150≤x ≤200时，函数表达式为y ＝－0.5x ＋110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．
19．（2019•绍兴T19）小明、小聪参加了100m 跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图：
根据图中信息，解答下列问题：
（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？
（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法. {答案}解：（1）这5期的集训共有：5＋7＋10＋14＋20＝56（天），
小聪这5次测试的平均成绩是：（11.88＋11.76＋11.61＋11.53＋11.62）÷5＝11.68（秒）， 答：这5期的集训共有56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；
（2）一类：结合已知的两个统计图的信息及体育运动实际，如：集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下滑．
二类：结合已知的两个统计图的信息，如：集训时间为10天或14天时，成绩最好．
三类：根据已知的两个统计图中的其中一个统计图的信息，如：集训时间每期都增加．
20．（2019•绍兴T 20）如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC ，CD ，使∠BCD 成平角，∠ABC ＝150°，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．
（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝165°，如图3，问此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？ （精确到0.1cm ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
{答案}解：（1）如图2中，作BO⊥DE，垂足为O．
∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，
∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°－90°＝60°，
∴OD＝BD•sin60°＝40•sin60°＝203（cm），
∴DF＝OD＋OE＝OD＋AB＝203＋5≈39.6（cm）．
（2）下降了．
如图3，过点D作DF⊥l于F，过点C作CP⊥DF于P，过点B作BG⊥DF于G，过点C作CH⊥BG 于H．则四边形PCHG是矩形，
∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°，
又∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，
∴CH＝BC sin60°＝103（cm），DP＝CD sin45°＝102（cm），
∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝102＋10＋5（cm），
∴下降高度：DE－DF＝203＋5－102－103－5＝103－102≈3.2（cm）．21．（2019•绍兴T21）在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．
（2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD ＝1，就可以求出AD 的长 小聪：你这样太简单了，我加的是∠A ＝30°，连结OC ，就可以证明△ACB 与△DCO 全等． 参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答．
{答案}解：（1）连接OC ，如图，
∵CD 为切线，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°， ∵∠D ＝30°，∴OD ＝2OC ＝2， ∴AD ＝AO +OD ＝1+2＝3； （2）本题答案不唯一，如： 添加∠DCB ＝30°，求AC 的长． 解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°， ∵∠ACO +∠OCB ＝90°，∠OCB +∠DCB ＝90°， ∴∠ACO ＝∠DCB ， ∵∠ACO ＝∠A ， ∴∠A ＝∠DCB ＝30°，
在Rt △ACB 中，BC ＝1
2AB ＝1，
∴AC ＝3BC ＝3．
22．（2019•绍兴T22）有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB ＝AE ＝6，BC ＝5，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝135°，∠E ＞90°．要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．
（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积．
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．
{答案}解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图1所示： 过点C 作CF ⊥AE 于F ，S 1＝AB •BC ＝6×5＝30； ②若所截矩形材料的一条边是AE ，如图2所示：
过点E作EF∥AB交CD于点F，FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG于点H，
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∵∠C＝135°，∴∠FCH＝45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，
∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝6－5＝1，
∴AG＝AB－BG＝6－1＝5，
∴S2＝AE•AG＝6×5＝30；
（2）能；理由如下：
在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，
∵∠C＝135°，
∴∠FCG＝45°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，
设AM＝x，则BM＝6－x，
∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11－x，
∴S＝AM×FM＝x(11－x)＝－x2+11x＝－(x－5.5)2+30.25，
∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．
23．（2019•绍兴T23）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结
D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
{答案}解：（1）①AM＝AD＋DM＝40，或AM＝AD－DM＝20．
②显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，
∴AM＝202或（AM＝－202舍去）．
当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，
∴AM ＝1010或（AM ＝－1010舍去）．
综上所述，满足条件的AM 的值为202或1010．
（2）如图2中，连接CD 1．
由题意：∠D 1AD 2＝90°，AD 1＝AD 2＝30，
∴∠AD 2D 1＝45°，D 1D 2＝302，
∵∠AD 2C ＝135°，∴∠CD 2D 1＝90°，
∴CD 1＝CD 22＋D 1D 22
＝306，
∵∠BAC ＝∠D 2AD 1＝90°，
∴∠BAC －∠CAD 2＝∠D 2AD 1－∠CAD 2，
∴∠BAD 2＝∠CAD 1，
又∵AB ＝AC ，AD 2＝AD 1，
∴△BAD 2≌△CAD 1（SAS ），
∴BD 2＝CD 1＝306．
24．（2019•绍兴T24）如图，矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k ＝MN ∶EF ．
（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值．
（2）若a ：b 的值为12
，求k 的最大值和最小值． （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE ＝60°，MP ＝EF ＝3PE 时，求a ∶b 的值．
{答案}解：（1）如图1中，
作EH ⊥BC 于H ，MQ ⊥CD 于Q ，设EF 交MN 于点O ．
∵四边形ABCD 是正方形，∴FH ＝AB ，MQ ＝BC ，
∵AB ＝CB ，∴EH ＝MQ ，
∵EF ⊥MN ，∴∠EON ＝90°，
∵∠ECN ＝90°，∴∠MNQ +∠CEO ＝180°，∠FEH +∠CEO ＝180°，
∴∠FEH ＝∠MNQ ，
∵∠EHF ＝∠MQN ＝90°，∴△FHE ≌△MQN （ASA ），
∴MN ＝EF ，∴k ＝MN ∶EF ＝1．
（2）∵a ∶b ＝1∶2，∴b ＝2a ，
由题意：2a ≤MN ≤5a ，a ≤EF ≤5a ，
∴当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k 的值最大最大值＝5，
当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k 的值最小，最小值为255
． （3）连接FN ，ME ． ∵k ＝3，MP ＝EF ＝3PE ，
∴MN PM ＝EF PE ＝3，∴PN PM ＝PF PE
＝2， ∵∠FPN ＝∠EPM ，∴△PNF ∽△PME ，
∴NF ME ＝PN PM
＝2，ME ∥NF ， 设PE ＝2m ，则PF ＝4m ，MP ＝6m ，NP ＝12m ，
①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合．作FH ⊥BD 于H ．
∵∠MPE ＝∠FPH ＝60°，∴PH ＝2m ，FH ＝23m ，DH ＝10m ，
∴a b ＝AB AD ＝FH HD ＝35
． ②如图3中，当点N 与C 重合，作EH ⊥MN 于H ．则PH ＝m ，HE ＝3m ，
∴HC ＝PH ＋PC ＝13m ，∴tan ∠HCE ＝MB BC ＝HE HC ＝313
， ∵ME ∥FC ，∴∠MEB ＝∠FCB ＝∠CFD ，
∵∠B ＝∠D ，∴△MEB ∽△CFD ，
∴CD MB ＝FC ME ＝2，∴a b ＝CD BD ＝2MB BC ＝2313
， 综上所述，a ∶b 的值为
35或2313．。