江西省赣州市第七中学2018-2019学年高三数学文下学期期末试卷含解析

江西省赣州市第七中学2018-2019学年高三数学文下学
期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法正确的是（）
A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件
B．命题“?x0∈R，”的否定是“?x∈R，x2+1＞0”
C．关于x的方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的两实根异号的充要条件是a＜1
D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为真命题
参考答案：
D
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】举例说明A错误；写出命题的否定说明B错误，求出方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的两实根异号的a的范围判断C；写出命题的逆命题，再由正弦定理及三角形中的边角关系判断D．
【解答】解：由a＞b，不能推出a2＞b2，如2＞﹣3，但22＜（﹣3）2，故A错误；
命题“?x0∈R，”的否定是“?x∈R，x2+1≥0”，故B错误；
关于x的方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的两实根异号，则，即a＜2，∴关于x的方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的两实根异号的充要条件是a＜2，故C错误；
在△ABC中，若sinA＞sinB，则a＞b，∴A＞B，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA ＞sinB”的逆命题为真命题，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定方法，考查命题的否定与逆命题，是中档题．
2. 函数的图像可由的图像向右平移
A．个单位 B．个单位 C．个单位 D．个单位
参考答案：
D
略
3. 已知函数在定义域内有零点，则实数的取值范围
是
（）
A. B. C.
D.
参考答案：
【知识点】函数的零点．B9
【答案解析】B 解析：函数f（x）=+lnx﹣1（a＞0）的定义域为（0，+∞），
∵函数f（x）=+lnx﹣1（a＞0）在定义域内有零点，
∴方程+lnx﹣1=0有解，即a=x﹣xlnx的值域，a′=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，
则a≤1﹣1ln1=1，故0＜a≤1，故选B．
【思路点拨】将函数的零点化为方程的解，进而转化为函数的值域，问题得解.
4. 函数（a>0且）的反函数是
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
5. 定义行列式运算：.若将函数的图象向左平移
个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
6. 已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数
的零点，则等于( )
A．B．C． D．
参考答案：
C
略
7. 椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为
，则的值为( )
A．B．C．D．
参考答案：
A
考点：椭圆的简单性质．
专题：综合题．
分析：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜
率k===．
解答：解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，
A（x1，y1），B（x2，y2），
，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，
AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．
故选A．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
8. 已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（）
A．3 B．4 C．7 D．8
参考答案：
D
【考点】集合的表示法．
【专题】集合思想；综合法；集合．
【分析】先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．
【解答】解：由题意可知，
集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，
则B的子集个数为：23=8个，
故选：D．
【点评】本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个．
9. 已知函数，设其大小关系为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
略
10. 已知，若的最小值是，则（）A．1 B．2 C．3
D．4
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为________
参考答案：
12. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________________ .
参考答案：
13. 已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，则棱锥的体积为____________.
参考答案：
14. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则公比q=_______.
参考答案：
显然公比，设首项为，则由，得，即，即，即
，所以，解得
15. 的定义域是．
参考答案：
略
16. 已知a∈[0，6]，使得函数f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R的概率为．
参考答案：
【考点】几何概型．
【分析】根据对数函数以及二次函数的性质求出使得函数f（x）的定义域是R的a的范围，根据区间长度的比值求出满足条件的概率的值即可．
【解答】解：若f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R，
则函数g（x）=ax2﹣ax+1＞0恒成立，
a=0时，显然成立，
a≠0时，只需，
解得：0＜a＜4，
综上，a∈[0，4），
故满足条件的概率p==，
故答案为：．
【点评】本题考查了对数函数以及二次函数的性质，考查几何概型问题，是一道中档题．
17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且b＝
a cos C＋c sin A，则。

参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （14分）在世博会后，昆明世博园作为一个旅游景点吸引四方宾客。

按规定旅游收入
除上缴的税收外，其余自负盈亏。

目前世博园工作人员维持在400人，每天运
营成本20万（不含工作人员工资），旅游人数与人均消费额（元）的关系如下：
（1）若游客在1000人到4000人之间，按人均消费额计算，求当天的旅游收入范围；
（2）要使工作人员平均每人每天的工资不低于50元且维持每天正常运营（不负债），
每天的游客应不少于多少人？
参考答案：
解析：（1）设当天的旅游收入为L，由得
……………………………（2分）
由，知…………………………………………（4分）
，得。

即当天的旅游收入是20万到60万。

……………………………………………（7分）
（2）则每天的旅游收入上缴税收后不低于220000元
由（）得；
由（）得；
∴………………………………………………………………………（11分）
代入可得∴
即每天游客应不少于1540人。

……………………………………………………（14分）
19. （本小题共13分）
如图，在三棱锥中，底面
，
点，分别在棱上，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.
参考答案：
本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的大小.
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角.
【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，
设，由已知可得
.
（Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴与平面所成的角的大小.
20. 设函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，若，使得不等式成立，求实数m的取值范围.
参考答案：
（I）当时，原不等式等价于，
即，所以解集为.
（II）当时，.
令
由图象，易知时，取得最小值.
由题意，知，所以实数的取值范围为
21. （本小题满分12分）已知是数列的前项和，，且
（I）求证数列是等差数列；
（II）设数列满足，，求证：数列是等比数列．
参考答案：
（I）证明：由知，
当时，，解得或（舍去）……………１分
当时，……………①
……………②……………２分
①－②得，，即……………４分又∵，∴，……………５分
∴是以１为公差，首项等于１的等差数列；………………6分
（II）证明：由（I）知，则，……………7分
设，则
……………10分
又∵……………11分
∴数列是以４为首项，２为公比的等比数列，即数列是等比数列．……………12分
22. 已知函数，当时，求函数在
上的最大值和最小值.
参考答案：
解：···················2分
，∴.
， (6)
分
；·················8分
.···················10分
∴函数的递增区间是；
函数的递减区间是.
，··················12分
∴函数在上的最大值为6，最小值
.···············13分。