辽宁省辽阳市名校2025届九年级数学第一学期开学统考模拟试题【含答案】

辽宁省辽阳市名校2025届九年级数学第一学期开学统考模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）有意义，则x 应满足（）A ．x ≥3B ．x ≥﹣3C ．x ＞3D ．x ＞﹣32、（4分）已知23x y =，那么下列式子中一定成立的是()A ．5x y +=B ．23x y =C ．32x y =D ．23x y =3、（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上一动点，ME BC ⊥于,E MF CD ⊥于F ，则EF 的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．14、（4分）如图，在同一平面直角坐标系中，函数k y x =与函数1y kx =-的图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．5、（4分）下列说法中，错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．菱形的对角线互相垂直D ．对角线互相垂直的四边形是菱形6、（4分）要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是().A ．x≠±1B ．x≠－1C ．x≠0D ．x≠17、（4分）如图，ABC ∆中，15AB AC ==，AD 平分BAC ∠，点
E 为AC 的中点，连接DE ，若CDE ∆的周长为24，则BC 的长为（）A ．18B ．14C ．12D ．68、（4分）下列汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）分解因式：34x x -=______．
10、（4分）已知方程22131x x
x x +-+＝2，如果设21x x +＝y ，那么原方程可以变形为关于y
的整式方程是_____．11、（4分）中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币.如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为_______.12、（4分）如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点E.F ，连接CE ，则△DCE 的面积为___.13、（4分）已知关于x 的一次函数同时满足下列两个条件：①函数y 随x 的增大而减小；②当0x =时，对应的函数值3y =，你认为符合要求的一次函数的解析式可以是______(写出一个即可)．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）计算：(1)1-.(22+-.
(3)2x 1
x 42x 4
---.
(4)解方程：x 3
4
1x 3x 3+=+-+.
15、（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：
按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x 千克．(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y (元)与x (千克)之间的函数关系式；(2)小明选择哪家快递公司更省钱？16、（8分）如图，在矩形ABCD 中，AC ＝60cm ，∠BAC ＝60°，点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /秒的速度向点B 匀速运动，同时点F 从点C 出发沿CA 方向以4cm /秒的速度向点A 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点E ，F 运动的时间是t 秒(0<t ≤15)．过点F 作OF ⊥BC 于点O ，连接OE ，EF .（1）求证：AE ＝OF ；（2）四边形AEOF 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，请说明理由；（3）当t 为何值时，△OEF 为直角三角形？请说明理由．17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣3，5），B （﹣2，1），C （﹣1，3）．
①若△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，已知点C 1的坐标为（4，0），写出顶点A 1，B 1的坐标；
②若△ABC 和△A 2B 2C 2关于原点O 成中心对称图形，写出△A 2B 2C 2的各顶点的坐标；③将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 3B 3C 3，写出△A 3B 3C 3的各顶点的坐
标．18、（10分）如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于点B ．(1)求一次函数的解析式；(2)判断点C(4，－2)是否在该一次函数的图象上，说明理由；(3)若该一次函数的图象与x 轴交于D 点，求△BOD 的面积．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1，l 2分别是函数y ＝k 1x+b 1和y ＝k 2x+b 2的图象，则可以估计关于x 的不等式k 1x+b 1＞k 2x+b 2的解集为_____．20、（4分）如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 的中点，则AM 的最小值为________．
21、（4分）如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．
22、（4分）如图，边长为5的菱形ABCD 中，对角线AC 长为6，菱形的面积为______．23、（4分）数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）先化简，再求值：22211m m m -+-÷（m ﹣1﹣11m m -+），其中m 25、（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在线段AD 上任到一点P （点A 除外），过点P 作EF ∥AB ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，作PQ ∥AC ，交AB 于点Q ，连接QE 与AD 相交于点G ．（1）求证：四边形AQPE 是菱形．（2）四边形EQBF 是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．（3）直接写出P 点在EF 的何处位置时，菱形AQPE 的面积为四边形EQBF 面积的一半．
26、（12分）“端午节小长假”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲公司每小时的租费是元；
（2）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
（3）请你帮助小明计算并分析选择哪个出游方案合算．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B 【解析】根据二次根式有意义的条件得到：x+2≥1．【详解】解：由题意知，x+2≥1．解得x≥﹣2．故选：B ．a≥1）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2、D 【解析】根据比例的性质对各个选项进行判断即可.【详解】A.∵23x y =，∴3x =2y ，∴5x y +=不成立，故A 不正确；B.∵23x y =，∴3x =2y ，∴23x y =不成立，故B 不正确；C.∵23x y =，∴23x y =y ，∴32x y =不成立，故C 不正确；D.∵23x y =，∴23x y =，∴23x y =成立，故D 正确；故选D.
本题考查的是比例的性质,掌握内项之积等于外项之积及更比性质是解题的关键.更比性质：在一个比例里，更换第一个比的后项与第二个比的前项的位置后，仍成比例，或者更换第一个比的前项与第二个比的后项的位置后，仍成比例，这叫做比例中的更比定理.对于实数a ，b ，c ，d ，且有b ≠0，d ≠0，如果a
c
b d =，则有a b
c d =.
3、B
【解析】由正方形的性质得BC=CD=4，∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°，再证出四边形四边形MECF 是矩形，得出CE=MF=DF ，即当点M 为BD 的中点时EF 的值最小.【详解】在边长为4cm 的正方形ABCD 中，BC=CD=4∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°ME BC ⊥于,E MF CD ⊥于F ∴∠MEC=∠MFC=∠MFD=90°∴四边形MECF 是矩形，△MDF 为等腰三角形∴CE=MF=DF 设DF=x,则CE=x CF=CD-DF=4-x 在RT △CEF 中，由勾股定理得EF ==()2220x -≥，当且仅当x-2=0时，即x=2时，()222x -有最小值0≥当且仅当x-2=0时，即x=2有最小值故选B 。

本题考查正方形的性质，找好点M 的位置是解题关键.4、A
【解析】
分情况讨论：0k ＞和0k ＜时，根据图像的性质，即可判定.
【详解】
当0k ＞时，函数k
y x =的图像位于第一、三象限，函数1y kx =-的图像第一、三、四象限；
当0k ＜时，函数k y x =的图像位于第二、四象限，函数1y kx =-的图像第二、三、四象限；故答案为A.此题主要考查一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.5、D 【解析】试题分析：A.平行四边形的对角线互相平分，说法正确；B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；C ．菱形的对角线互相垂直，说法正确；D ．对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误.故选D.考点:1.平行四边形的判定；2.菱形的判定.6、D 【解析】根据分式的基本概念即可解答.【详解】由分式的基本概念可知，若分式有意义，则分母不为零，即1-x 0≠，解得：x ≠1.故选D.本题主要考查分式的基本概念，熟悉掌握是关键.7、A 【解析】根据题意可知，本题考查了等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线的性质，根据等腰三角形三线合一找准底边中线与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行分析推
断.
【详解】
解：AB AC =，AD 平分BAC
∠∴AD 垂直平分BC （等腰三角形三线合一）∴90ADC ∠=，BD CD
=又在直角三角形ACD 中，点E 是AC 边中点
∴AE CE =，12
DE AC =
即AE CE DE
==CDE ∆的周长=24
即CDE ∆的周长=DE EC DC AC DC ++=+1524
DC =+=∴DC =9∴BC =2DC =18
故应选A
本题解题关键：理解题干的条件，运用有关性质定理，特别注意的是利用等量代换的思维表示CDE ∆的周长.8、C 【解析】
试题分析：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C ．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D ．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选C ．
考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、x （x +2）（x ﹣2）．【解析】
试题分析：34x x -=2(4)x x -=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．10、3y 2+6y ﹣1＝1．【解析】根据
2
1
x
x +=y ，把原方程变形，再化为整式方程即可．【详解】设
21
x
x +＝y ，
原方程变形为：1
3y﹣y＝2，
化为整式方程为：3y2+6y﹣1＝1，
故答案为3y2+6y﹣1＝1．
本题考查了用换元法解分式方程，掌握整体思想是解题的关键．
11、45°
【解析】
根据正多边形的外角度数等于外角和除以边数可得.
【详解】
∵硬币边缘镌刻的正多边形是正八边形，
∴它的外角的度数等于360÷8=45°.
故答案为45°.
本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．
12、6
【解析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算，再利用三角形面积公式解答即可．【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，AD=BC=8，
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD−AE=8−x，
在Rt△CDE中,CE2=CD2+ED2，
即x2=42+(8−x)2，
解得：x=5，
即CE的长为5，
DE=8−5=3，
所以△DCE的面积=1
2×3×4=6，
故答案为：6.
此题考查线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解题关键在于得出AE=CE.13、23y x =-+(答案不唯一)【解析】
先设一次函数y kx b =+,由①一次函数y 随x 的增大而减小可得: 0k <,由②当0x =时,对应的函数值3y =可得: 3b =,故符合条件的一次函数y kx b =+中0k <, 3b =即可.【详解】
设一次函数y kx b =+,
因为一次函数y 随x 的增大而减小,所以 0k <,
因为当0x =时,对应的函数值3y =所以 3b =,
所以符合条件的一次函数y kx b =+中0k <, 3b =即可.故答案为: 23y x =-+.
本题主要考查一次函数图象和性质,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象和性质.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、(1)-1；(2)+1；(3)()
12x 2+；(4)x ＝－15
【解析】
（1）根据二次根式的运算法则合并计算即可；（2）根据二次根式的运算法则合并计算即可；（3）先把分母因式分解，再通分，按照同分母分式的加减法法则计算即可；（4）分式两边同时乘以（x+3）（x-3），再去括号、移项、整理并检验即可得答案.【详解】
(1)1-；
＝－1＝-1
(22++--1+4－2+1(3)
2x 1
x 42x 4
-
--＝
()()
()
x
1x 2x 22x 2-
+--＝
()()
x 2
2x 2x 2-+-＝
()
12x 2+(4)解方程
x 34
1x 3x 3
+=+-+去分母得：(x+3)2=4(x-3)+(x+3)(x-3)去括号得：x 2+6x+9=4x-12+x 2-9移项得：2x=-30解得x ＝－15
检验：x ＝－15是原方程的根
本题考查二次根式的计算、分式的减法及解分式方程，熟练掌握运算法则是解题关键.15、答案见解析【解析】
试题分析：（2）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y 甲关于x 的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y 乙关于x 的函数关系式；（2）分0＜x≤2和x ＞2两种情况讨论，分别令y 甲＜y 乙、y 甲=y 乙和y 甲＞y 乙，解关于x 的方程或不等式即可得出结论．试题解析：（2）由题意知：
当0＜x≤2时，y 甲=22x ；当2＜x 时，y 甲=22+25（x ﹣2）=25x+2．y 乙=26x+3；
∴22 (01){157 (1)
x x y x x 甲<<=+>，=163y x +乙；
（2）①当0＜x≤2时，令y 甲＜y 乙，即22x ＜26x+3，解得：0＜x ＜
12
；令y 甲=y 乙，即22x=26x+3，解得：x=
12；令y 甲＞y 乙，即22x ＞26x+3，解得：1
2
＜x≤2．
②x ＞2时，令y 甲＜y 乙，即25x+2＜26x+3，解得：x ＞3；令y 甲=y 乙，即25x+2=26x+3，解得：x=3；令y 甲＞y 乙，即25x+2＞26x+3，解得：0＜x ＜3．
综上可知：当
12＜x ＜3时，选乙快递公司省钱；当x=3或x=1
2
时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x ＜1
2
或x ＞3时，选甲快递公司省钱．
考点：一次函数的应用；分段函数；方案型．16、（1）证明见解析；（2）能，10；（3）t =15
2
或t =12，理由见解析．【解析】
（1）利用矩形的性质和直角三角形中30所对应的直角边是斜边的一半进行作答；（2）证明平行四边形是菱形，分情况进行讨论，得到等式；
（3）分别讨论若四边形AEOF 是平行四边形时，则①∠OFE =90˚或②∠OEF =90˚，分情况讨论列等式．【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴∠B =90˚
在Rt △ABC 中，∠ACB =90˚-∠BAC =30˚∵AE =2t
CF =4t
又∵Rt △COF 中，∠ACB =30˚∴OF =
1
2
CF =2t ∴AE =OF
（2）∵OF ∥AB ，AE =OF ∴四边形AEOF 是平行四边形
当AE =AF 时，平行四边形AEOF 是菱形
即：2t =60－4t
解得：t =10
∴当t =10时，平行四边形AEOF 是菱形（3）①当∠OFE =90˚时，则有：EF ∥BC
∴∠AFE =∠ACB =30˚，∠AEF =∠B =90˚在Rt △AEF 中，∠AFE =30˚∴AF =2AE 即：60－4t =2⨯2t 解得：t =
152
②当∠OEF =90˚时，四边形AEOF 是平行四边形则有：OE ∥AC ∴∠AFE =∠OEF =90˚
在Rt △AEF 中，∠BAC =60˚，∠AEF =30˚∴AE =2AF
即：2t =2⨯（60－4t ）解得：t =12∴当t =
15
2
或t =12时，△OEF 为直角三角形．本题主要考查矩形的性质、平行四边形的证明应用、菱形的证明、直角三角形中30角的综合运用，根据题目中不同的信息列出不同的等式进行解答．
17、(1)1A （2，2），1B （3，﹣2）；(2)2A （3，﹣5），2B （2，﹣1），2C （1，﹣3）；(3)3A （5，3），3B （1，2），3C （3，1）.【解析】
试题分析：（1）利用点C 和点1C 的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点1A ，1B 的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）利用网格和旋转的性质画出333A B C ，然后写出333A B C 的各顶点的坐标．
试题解析：（1）如图，111A B C 即为所求，
因为点C （﹣1，3）平移后的对应点1C 的坐标为（4，0），
所以△ABC 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到111A B C ，所以点1A 的坐标为（2，2），1B 点的坐标为（3，﹣2）；（2）因为△ABC 和222A B C 关于原点O 成中心对称图形，所以2A （3，﹣5），2B （2，﹣1），2C （1，﹣3）；
（3）如图，333A B C 即为所求，3A （5，3），3B （1，2），3C （3，1）.
考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化——平移．18、（1）y ＝－x ＋3；（2）不在，理由见解析；（3）3【解析】
（1）首先求得B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）把C 的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；（3）首先求得D 的坐标，然后利用三角形的面积公式求解.解：(1)在y ＝2x 中，令x ＝1，得y ＝2，则点B 的坐标是(1，2)，设一次函数的解析式是y ＝kx ＋b (k ≠0)，
则b 3k b 2=⎧⎨+=⎩，解得b 3k 1
=⎧⎨
=-⎩故一次函数的解析式是y ＝－x ＋3.(2)点C (4，－2)不在该一次函数的图象上．
理由：对于y＝－x＋3，当x＝4时，y＝－1≠－2，
所以点C(4，－2)不在该函数的图象上．
(3)在y＝－x＋3中，令y＝0，得x＝3，则点D的坐标是(3，0)，
则S△BOD＝12×OD×2＝12×3×2＝3.
点睛：本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，解题的重点在于要先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x＜﹣1
【解析】
观察函数图象得到当x＜-1时，直线y=k1x+b1在直线y=k1x+b1的上方，于是可得到不等式k1x+b1＞k1x+b1的解集．
【详解】
当x＜-1时，k1x+b1＞k1x+b1，
所以不等式k1x+b1＞k1x+b1的解集为x＜-1．
故答案为x＜-1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
20、1.2
【解析】
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°.
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP.
∵M是EF的中点，
∴AM=1
2EF=
1
2AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴AM的最小值是1.2.
21、②③
【解析】
根据菱形的性质可知AC⊥BD，所以在Rt△AFP中，AF一定大于AP，从而判断①；设
∠BAE=x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补求出
∠ABE，根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出∠BFE和∠BE的度数，从而判断②③．
【详解】
解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①错误；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，
设∠BAE=x°，
则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，
∵AB=AE，∠BAE=x°，
∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，
由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，
解得：x=36，
即∠BAE=36°，
∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠CBD=1
2∠ABE=36°，
∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，
∴BE=BF=AF．故③正确
∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD
∴AD=FD
又∵AD=AB=AE
∴AE=FD ，故②正确∴正确的有②③故答案为：②③
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE 的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．22、1【解析】
根据菱形的对角线互相垂直且互相平分可得出对角线BD 的长度，进而根据对角线乘积的一半可得出菱形的面积．【详解】
解：在菱形ABCD 中，
由题意得：，∴BD=8，
故可得菱形ABCD 的面积为1
2
×8×6=1．故答案为1．
本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质．23、2【解析】
根据题目中的数据可以求得这组数据的平均数，然后根据方差的计算方法可以求得这组数据的方差．【详解】由题意可得，
这组数据的平均数是：x=
()21012
5
-+-+++=0，
∴这组数据的方差是：()
()()()()
2
2
2
2
2
2
201000102025
s --+--+-+-+-==，
故答案为：2.
此题考查方差，解题关键在于掌握运算法则
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、原式＝1m ，
3．【解析】试题分析：先将所给分式按照运算顺序化简为1m
，然后把
m =代入计算即可．试题解析：原式＝22(1)1(1)(1)11m m m m m m -+⋅-+--+＝1(1)m m m --＝1m ；∴当m =3=考点：分式的化简求值．25、（1）见解析；（2）结论：四边形EQBF 是平行四边形．见解析；（3）当P 为EF 中点时，S 菱形AEPQ ＝12S 四边形EFBQ.【解析】（1）先证出四边形AEPQ 为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD 平分∠BAC 和PE ∥AQ 可证∠EAP ＝∠EPA ，得出AE ＝EP ，即可得出结论；（2）只要证明EQ ∥BC ，EF ∥AB 即可；（3）S 菱形AEPQ ＝EP •h ，S 平行四边形EFBQ ＝EF •h ，若菱形AEPQ 的面积为四边形EFBQ 面积的一半，则EP ＝12EF ，因此P 为EF 中点时，S 菱形AEPQ ＝12S 四边形EFBQ ．【详解】（1）证明：∵EF ∥AB ，PQ ∥AC ，∴四边形AEPQ 为平行四边形，∴∠BAD ＝∠EPA ，∵AB ＝AC ，AD 平分∠CAB ，
∴∠CAD ＝∠BAD ，
∴∠CAD ＝∠EPA ，
∴EA ＝EP ，
∴四边形AEPQ 为菱形．
（2）解：结论：四边形EQBF 是平行四边形．
∵四边形AQPE 是菱形，∴AD ⊥EQ ，即∠AGQ ＝90°，∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC 即∠ADB ＝90°，∴EQ ∥BC ∵EF ∥QB ，∴四边形EQBF 是平行四边形．（3）解：当P 为EF 中点时，S 菱形AEPQ ＝12S 四边形EFBQ ∵四边形AEPQ 为菱形，∴AD ⊥EQ ，∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，∴EQ ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形EFBQ 为平行四边形．作EN ⊥AB 于N ，如图所示：∵P 为EF 中点则S 菱形AEPQ ＝EP •EN ＝12EF •EN ＝12S 四边形EFBQ ．此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；
熟练掌握等腰三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
26、（1）15；（2）y 2＝30x （x ≥0）；(3)当租车时间为16
3小时，选择甲乙公司一样合算；当
租车时间小于163小时，选择乙公司合算；当租车时间大于163小时，选择甲公司合算．
【解析】
（1）根据函数图象中的信息解答即可；
（2）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（3）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＜30x，分求得x的取值范围即可得出方案．
【详解】
解：（1）由图象可得：甲公司每小时的租费是15元；
故答案为：15；
（2）设y1＝k1x+80，
把点（1，95）代入，可得
95＝k1+80，
解得k1＝15，
∴y1＝15x+80（x≥0）；
设y2＝k2x，
把（1，30）代入，可得
30＝k2，即k2＝30，
∴y2＝30x（x≥0）；
（3）当y1＝y2时，15x+80＝30x，
解得x＝16 3；
当y1＞y2时，15x+80＞30x，
解得x＜16 3；
当y1＜y2时，15x+80＜30x，
解得x＞16 3；
∴当租车时间为16
3小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于
16
3小时，选择乙公司合
算；当租车时间大于16
3小时，选择甲公司合算．
本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数y=kx，只要一对x，y的值；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．。