一元二次方程压轴题含答案

一元二次方程
1．北京模拟已知关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． 1用含p 的代数式表示q ；
2求证：抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点； 3设抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 的顶点为M ,与y 轴的交点为E ,抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1的顶点为N ,与y 轴的交点为F ,若四边形FEMN 的面积等于2,求p 的值．
2．设关于x 的方程x 2－5x －m 2＋1＝0的两个实数根分别为α、β,试确定实数m 的取值范围,使|α|＋|β|≤6成立．
3．湖南怀化已知x 1,x 2是一元二次方程a －6x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根． 1是否存在实数a ,使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立若存在,求出a 的值；若不存在,请你说明理由； 2求使x 1＋1x 2＋1为负整数的实数a 的整数值．
4．江苏模拟已知关于x 的方程x 2－a ＋b ＋1x ＋a ＝0b ≥0有两个实数根x 1、x 2,且x 1≤x 2． 1求证：x 1≤1≤x 2
2若点A 1,2,B 错误!,1,C 1,1,点Px 1,x 2在△ABC 的三条边上运动,问是否存在这样的点P ,使a ＋b ＝错误!若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．
5．福建模拟已知方程组错误!有两个实数解错误!和错误!,且x 1x 2≠0,x 1≠x 2． 1求b 的取值范围；
2否存在实数b ,使得错误!＋错误!＝1若存在,求出b 的值；若不存在,请说明理由．
6．成都某校自主招生已知a ,b ,c 为实数,且满足a ＋b ＋c ＝0,abc ＝8,求c 的取值范围．
7．四川某校自主招生已知实数x 、y 满足错误! ,求x y 的取值范围．
8．福建某校自主招生已知方程ax ＋12＝a 21－x 2a ＞1的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2,求证： －1＜x 1＜0＜x 2＜1．
答案
1．北京模拟已知关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． 1用含p 的代数式表示q ；
2求证：抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点； 3设抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 的顶点为M ,与y 轴的交点为E ,抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1的顶点为N ,与y 轴的交点为F ,若四边形FEMN 的面积等于2,求p 的值． 解：1∵关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2 ∴22＋2p ＋q ＋1＝0,整理得：q ＝－2p －5
2∵△＝p 2－4q ＝p 2－4－2p －5＝p 2＋8p ＋20＝p ＋42＋4 无论p 取任何实数,都有p ＋42≥0
∴无论p 取任何实数,都有p ＋42＋4＞0,∴△＞0 ∴抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点
3∵抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1的对称轴相同,都为直线x ＝－错误!,且开口大小相同,抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1可由抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 沿y 轴方向向上平移一个单位得到
∴EF ∥MN ,EF ＝MN ＝1
∴四边形FEMN 是平行四边形
由题意得S 四边形FEMN ＝EF ·|－错误!|＝2,即|－错误!|＝2 ∴p ＝±4 2．安徽某校自主招生设关于x 的方程x 2－5x －m 2＋1＝0的两个实数根分别为α、β,
试确定实
数m的取值范围,使|α|＋|β|≤6成立．
解：∵△＝52－4－m2＋1＝4m2＋21
∴不论m取何值,方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根
∵x2－5x－m2＋1＝0,∴α＋β＝5,αβ＝1－m2
∵|α|＋|β|≤6,∴α2＋β2＋2|αβ|≤36,即α＋β2－2αβ＋2|αβ|≤36
∴25－21－m2＋2|1－m2|≤36
当1－m2≥0,即－1≤m≤1时,25≤36成立
∴－1≤m≤1 ①
当1－m2＜0,即m＜－1或m＞1时,得25－41－m2≤36
解得－错误!≤m≤错误!
∴－错误!≤m＜－1或1＜m≤错误!②
综合①、②得：－错误!≤m≤错误!
3．湖南怀化已知x1,x2是一元二次方程a－6x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
1是否存在实数a,使－x1＋x1x2＝4＋x2成立若存在,求出a的值；若不存在,请你说明理由；2求使x1＋1x2＋1为负整数的实数a的整数值．
解：1∵x1,x2是一元二次方程a－6x2＋2ax＋a＝0的两个实数根
∴错误!即错误!
假设存在实数a使－x1＋x1x2＝4＋x2成立,则4＋x1＋x2－x1x2＝0
∴4＋错误!－错误!＝0,得a＝24
∵a＝24满足a≥0且a≠6
∴存在实数a＝24,使－x1＋x1x2＝4＋x2成立
2∵x1＋1x2＋1＝x1＋x2＋x1x2＋1＝错误!＋错误!＋1＝－错误!
∴要使x1＋1x2＋1为负整数,则只需a为7,8,9,12
4．江苏模拟已知关于x的方程x2－a＋b＋1x＋a＝0b≥0有两个实数根x1、x2,且x1≤x2．
1求证：x1≤1≤x2
2若点A1,2,B错误!,1,C1,1,点Px1,x2在△ABC的三条边上运动,问是否存在这样的点P,使a＋b ＝错误!若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．
解：1由根与系数的关系得：x1＋x2＝a＋b＋1,x1x2＝a
∴a＝x1x2,b＝x1＋x2－x1x2－1
∵b≥0,∴x1＋x2－x1x2－1≥0
∴1－x1－x2＋x1x2≤0
∴1－x11－x2≤0
又∵x1≤x2,∴1－x1≥0,1－x2≤0
即x1≤1,x2≥1
∴x1≤1≤x2
2∵x1＋x2＝a＋b＋1,a＋b＝错误!,∴x1＋x2＝错误!
①当点Px1,x2在BC边上运动时
则错误!≤x1≤1,x2＝1
∴x1＝错误!－x2＝错误!－1＝错误!＞1
故在BC边上不存在满足条件的点P
②当点Px1,x2在AC边上运动时
则x1＝1,1≤x2≤2
取x2＝错误!,则x1＋x2＝错误!,即a＋b＝错误!故在AC边上存在满足条件的点P1,错误!O x y
1
1
2
C
A
B
③当点Px1,x2在AB边上运动时
则错误!≤x1≤1,1≤x2≤2,易知x2＝2x1
∵x1＋x2＝错误!,∴x1＝错误!,x2＝错误!
又∵错误!＜错误!＜1,1＜错误!＜2
故在AB边上存在满足条件的点错误!,错误!
综上所述,当点Px1,x2在△ABC的三条边上运动时,在BC边上没有满足条件的点,而在AC、AB边上存在满足条件的点,它们分别是1,错误!和错误!,错误!
5．福建模拟已知方程组错误!有两个实数解错误!和错误!,且x1x2≠0,x1≠x2．
1求b的取值范围；
2否存在实数b,使得错误!＋错误!＝1若存在,求出b的值；若不存在,请说明理由．
解：1由已知得4x＝2x＋b2,整理得4x2＋4b－4x＋b2＝0
∵x1≠x2,∴△＞0,即4b－42－16b2＞0,解得b＜错误!
又∵x1x2≠0,∴错误!≠0,∴b≠0
综上所述,b＜错误!且b≠0
2∵x1＋x2＝1－b,x1x2＝错误!,∴错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝1得
∴b2＋4b－4＝0,解得b＝－2±2错误!
∵－2＋2错误!＝2错误!－1＞错误!,∴b＝－2＋2错误!不合题意,舍去
∴b＝－2－2错误!
6．成都某校自主招生已知a,b,c为实数,且满足a＋b＋c＝0,abc＝8,求c的取值范围．
解：∵a＋b＋c＝0,abc＝8,∴a,b,c都不为零,且a＋b＝－c,ab＝错误!
∴a,b是方程x2＋cx＋错误!＝0的两个实数根
∴△＝c2－4×错误!≥0
当c＜0时,c2－4×错误!≥0恒成立
当c＞0时,得c3≥32,∴c≥34
2
2
故c的取值范围是c＜0或c≥34
7．四川某校自主招生已知实数x、y满足错误!,求x y的取值范围．
解：∵x－y2≥0,∴x2＋y2≥2x y
∴2x2＋y2≥x＋y2
∴24a2－2a＋2≥3a－12
即a2－2a－3≤0,解得－1≤a≤3
∵x y＝错误!x＋y2－x2＋y2
＝错误!3a－12－4a2－2a＋2
＝错误!5a2－4a－1
＝错误!a－错误!2－错误!
∴当a＝错误!时,x y有最小值－错误!；当a＝3时有最大值16
∴－错误!≤x y≤16
8．福建某校自主招生已知方程ax＋12＝a21－x2a＞1的两个实数根x1、x2满足x1＜x2,求证：－1＜x1＜0＜x2＜1．
证明：将原方程整理,得2a2x2＋2ax＋1－a2＝0
令y＝2a2x2＋2ax＋1－a2,由于a＞1,所以这是一条开口向上的抛物线Array当x＝0时,y＝1－a2＜0,∴原方程有一个正根和一个负根
又∵x1＜x2,∴x1＜0＜x2
又当x＝1时,y＝2a2＋2a＋1－a2＝a＋12＞0 当x＝－1时,y＝2a2－2a＋1－a2＝a－12＞0 ∴－1＜x1＜0＜x2＜1。