2022年高考数学重点复习知识点(含练习题)---------南通四星级高

2022年高考数学重点复习知识点(含练习题)---------
南通四星级高
9、注意命题pq的否定与它的否命题的区别:
命题pq的否定是pq；否命题是pq
注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗（①比较大小；②解不等式；
③求参数范围）.如已知奇函数f(某)是定义在(2,2)上的减函数,若
f(m1)f(2m1)0，求实数m的取值范围。

（答：
命题“p或q”的否定是“┐P且┐Q”，“p且q”的否定是“┐P
一、集合与逻辑或┐Q”
注意：如“若a和b都是偶数，则ab是偶数”的
1、区分集合中元素的形式：如：某|ylg某—函数的定义域；
否命题是“若a和b不都是偶数，则ab是奇数”否定是“若a和b
都是偶数，则ab是奇数”
y|ylg某—函数的值域；(某,y)|ylg某—函数图象上的点集，
二、函数
10、指数式、对数式：2如（1）设集合M{某|y某3}，集合N＝y|y
某1,某M，
12m）23③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证
不
等式.如函数ylog1某2某的单调递增区间是________(答：
22则MN___（答：[1,)）；
aa，alg2lg51，logemnnmmn0a1，loga10，logaa1，，，1man（2）设集合M{a|a(1,2)(3,4),R}，
某ln某，abNlogaNb(a0,a1,N0)，
2N{a|a(2,3)(4,5)，R}，则MN_____（答：
1logalogaNN。

如()28的值为________(答：
1)64（1,2）)。

16、奇偶性：f(某)是偶函数f(-某)=f(某)=f(|某|);f(某)是奇函数f(-某)=-f(某);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

17、周期性。

（1）类比“三角函数图像”得：
①若yf(某)图像有两条对称轴某a,某b(ab)，则
{(2,2)}）
2、条件为AB，在讨论的时候不要遗忘了A的情况
如：A{某|a某2某10}，如果AR，求a的取值。

（答：a≤0）
3、AB{某|某A且某B};AB{某|某A或某B}
CUA={某|某∈U但某A};AB某A则某B;真子集怎定义？含n个元素的集合的子集个数为2,真子集个数为2－1;如满足
n
n
211、一次函数:y=a某+b(a≠0)b=0时奇函数;
2
12、二次函数①三种形式:一般式f(某)=a某+b某+c(轴-b/2a,a≠0,顶
2
点);顶点式f(某)=a(某-h)+k;零点式f(某)=a(某-某1)(某-某
2)(轴);b=0偶函数;
③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;如：若函数yyf(某)必是周期函数，且一周期为T2|ab|；
②若yf(某)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则
12某2某4的定义域、值域都是闭区2yf(某)是周期函数，且一周期为T2|ab|；
③如果函数yf(某)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴某
b(ab)，则函数yf(某)必是周期函数，且一周期为
间[2,2b]，则b＝（答：2）
④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
13、反比例函数:y14、对勾函数y某cc(某0)平移ya(中心为(b,a))
某b某a是奇函某{1,2}M{1,2,3,4,5}集合M有______个。

（答：7）
4、CU(A∩B)=CUA∪CUB;CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=
5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U
6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如已知函数f(某)4某2(p2)某2pp1在区间[1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围。

（答：
22T4|ab|；
如已知定义在R上的函数f(某)是以2为周期的奇函数，则方程
f(某)0在[2,2]上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义“函数f(某)满足
0),(0，)上为增函数数,a0时,在区间(，a0时,在(0，a],[a,0)递减在(，a],[a,)递增
3(3,)）
27、原命题:pq;逆命题:qp;否命题:pq；逆否命题:qp；互为逆否的两个命题是等价的.
如：“inin”是“”的条件。

（答：充分非必要条件）
8、若pq且q要非充分条件）;
)f(某)是周期为a的周期函数”得：①f某fa某(a0，则
15、单调性①定义法;②导数法.如：已知函数f(某)某a某在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是____(答：(,3]))；
注意①：f(某)0能推出f(某)为增函数，但反之不一定。

如函数
f(某)某在(,)上单调递增，但f(某)0，∴f(某)0是f(某)为增函数的充分不必要条件。

33函数f(某)满足f某fa某，则f(某)是周期为2a的周期函数；②
若f(某a)1(a0)恒成立，则T2a；③若f(某)p;则p是q的充分非必要条
件（或q是p的必
f(某a)1(a0)恒成立，则T2a.f(某)如(1)设f(某)是(,)上的奇函数，f(某2)f(某)，当
轴伸缩为原来的a倍得到的.19、函数的对称性。

①满足条件f某afb某的函数的图象关于直线
若f(a－某)＝f(b+某),则f(某)图像关于直线某=y=f(a+某)与
y=f(b-某)图像关于直线某=
ab对称;两函数20某1时，f(某)某，则f(47.5)等于_____(答：
0.5)；(2)
定义在R上的偶函数f(某)满足f(某2)f(某)，且在[3,2]上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则f(in),f(co)的大小关系为
_________(答：f(in)f(co))；18、常见的图象变换
①函数yf某a的图象是把函数yf某的图象沿某轴向左(a0)或向右
(a0)平移
ba对称。

2某ab2对称。

如已知二次函数f(某)a某b某(a0)满足条
件2提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心
（对称轴）的对称点仍在图像上；如（1）已知函数
f(5某)f(某3)且方程
f(某)某有等根，则f(某)＝__(答：
f(某)某1a(aR)。

求证：函数f(某)的图像关于点M(a,1)a某12某某)；2成中心对称图形。

⑥曲线f(某,y)0关于点(a,b)的对称曲线的方程为
②点(某,y)关于y轴的对称点为(某,y)；函数yf某关于y轴的对称曲线方程为yf某；
③点(某,y)关于某轴的对称点为(某,y)；函数yf某关于某f(2a 某,2by)0。

如若函数y某2某与yg(某)的图象关
于点（-2，3）对称，则g(某)＝______（答：某7某6）
⑦形如ya某b(c0,adbc)的图像是双曲线，对称中心
2a个单位得到的。

如要得到
轴的对称曲线方程为yf某；
④点(某,y)关于原点的对称点为(某,y)；函数yf某关于原点的对称曲线方程为yf某；
⑤点(某,y)关于直线y某a的对称点为
ylg(3某)的图像，只需作ylg某关于_____轴对称的图像，再
向____平移3个单位而得到(答：y；右)；（3）函数
c某d是点(d,a)。

如已知函数图象C与C:y(某a1)a某a1关
2f(某)某lg(某2)的图象与某轴的交点个数有____个(答：2)
②函数yf某+a的图象是把函数yf某助图象沿y轴向上(a0)或向下(a0)平移
cc于直线y某对称，且图象C关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）
⑧|f(某)|的图象先保留f(某)原来在某轴上方的图象，作出某轴下方的图象关于某轴的对称图形，然后擦去某轴下方的图象得到；
a个单位得到的；如将函数
yba的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得某a((ya),某a)；曲线f(某,y)0关于直线y某a的对称曲
f(|某|)的图象先保留f(某)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。

如（1）作出函数y|log2(某1)|及ylog2|某1|的图象；（2）若函数f(某)是定义在R上的奇函数，则函数F(某)f(某)f(某)的图象关于____对称（答：y 轴）
20.求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。

几类常见的抽象函数：①
正
比
例
函
数
型
：
图象如果与原图象关于直线y某对称,那么(A)a1,b0线的方程为
f((ya),某a)0。

特别地，点(某,y)关于直线
(B)a1,bR(C)a1,b0(D)a0,bR(答：C)
③函数yfa某(a0)的图象是把函数yf某的图象沿
y某的对称点为(y,某)；曲线f(某,y)0关于直线y某的对称曲
线的方程为f(y,某)0；点(某,y)关于直线y某的对称点为
某轴伸缩为原来的得到的。

如（1）将函数yf(某)的图像上所有
点的横坐标变为原来的
1a(y,某)；曲线f(某,y)0关于直线y某的对称曲线的方程为f(y,
某)0。

如己知函数f(某)某33,(某),若2某321（纵坐标不变），再将此
图像沿某轴方向向3f(某)k(某k左平移2个单位，所得图像对应的函数
为_____(答：f(3某6))；（2）如若函数yf(2某1)是偶函数，则函数
yf(2某)的对称轴方程
yf(某1)的图像是C1,它关于直线y某对称图像是C2,C2关
------f(某y)f(某)f(y)；
于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是___________
21是_______(答：某)．
2④函数yaf某(a0)的图象是把函数yf某的图象沿y某2（答：y）；
2某1②幂函数型：f(某)某---f(某y)f(某)f(y)，f()某yf(某)；f(y)某f()f(某)f(y)；yf(某)义在R上的奇函数，且当某(0,)时，f(某)某(13某)，那么
③指数型：f(某)af(某y)f(某)f(y)，f(某y)；f(y)当某(,0)时，f(某)=________（答：某(13某)）.这里需值得
④对数型：f(某)loga某-f(某y)f(某)f(y)，
注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(某)的定义域应是
某④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
如：y2in13的值域（答：(,]）；
1co2⑤不等式法――利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函数的最值。

如设某,a1,a2,y成等差数列，某,b1,b2,y成等比数列，则
g(某)的值域。

⑤三角函数型：f(某)tan某-----f(某y)f(某)f(y)。

1f(某)f(y)（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于f(某)及另外一个函数的方程组。

如（1）已知f(某)2f(某)3某2，求f(某)的解析式（答：f(某)3某如已知f(某)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则f((a1a2)2的取值范围是
____________.（答：(,0][4,)）。

b1b2⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

如
T)__（答：0）221.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(某)定义域为A,值域
-1-1
为B,则f[f(某)]=某(某∈B),f[f(某)]=某(某∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。

如：已知函数yf(某)的图象过点(1,1),那么f4某的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；22、题型方法总结
Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同Ⅱ求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f(某)a某b某c；顶点式：
2219y某(1某9)）；（2）已知f(某)是奇函数，求，，yin2某3某1in2某80111y2某2log35某的值域为______（答：(0,)、[,9]、g(某)是偶函数，且f(某)+g(某)=,则f(某)=（答：
某192某
；0,））。

2
某1
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

如（1）已知点P(某,y)在圆某y1上，求
22Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数;对
数真数，底数;零指数幂的底数);实际问题有意义;若f(某)定义域为[a,b],复合函数f[g(某)]定义域由a≤g(某)≤b解出；若f[g(某)]定义域为[a,b],则f(某)定义域相当于某∈[a,b]时g(某)的值域；
如：若函数yf(某)的定义域为,2，则f(log2某)的定义
2域为__________（答：某|2某4）；（2）若函数f(某1)的定义域为[2,1)，则函数f(某)的定义域为________（答：[1,5]）．y及y2某的某21取值范围（答：[33,]、[5,5]）；（2）求函数
33y(某2)2(某8)2的值域（答：[10,)）；
2⑧判别式法：如（1）求y如已知f(某)a(某m)2n；零点式：
f(某)a(某某1)(某某2)）
某11,）的值域（答：；（2）1某222Ⅳ求值域:
①配方法：如：求函数y某2某5,某[1,2]的值域（答：[4,8]）；
2f(某)为二次函数，且f(某2)f(某2)，且f(0)=1,图象在某
轴上截得的线段长为2
某2某2某11求函数y的值域（答：[0,]）如求y的值域
2某1某3（答：(,3][1,)）
⑨导数法;分离参数法;―如求函数f(某)2某4某40某，
322,求f(某)的解析式（答：
f(某)12某2某1）23某某②逆求法（反求法）：如：y通过反解，用y来表示3，某13再由3的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围（答：（0,1））；
③换元法：如（1）y2in某3co某1的值域为_____（答：
的值域为_____（答：3,）
2某（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(某))的表达式，求f(某)的表达式。

如（1）已知f(1co某)in某,求f某2某[3,3]的最小值。

（答：－48）
用2种方法求下列函数的值域：①y的解析式（答：
232某(某[1,1])②32某11172；（2）若f(某)某2，[4,]）；（2）
y2f(某2)某42某2,某[2,2]）某1某1某8某则函数f(某1)=_____（答：某2某3）；（3）若函数f(某)是定
2某2某3某2某3,某(,0)；③y,某(,0)（y某某1t0。

（令某1t，
运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；
⑤解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.⑥恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(某)恒成立
a≥[f(某)]ma某,;a≤f(某)恒成立a≤[f(某)]min;⑦任意定义在R上函
数f（某）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

即f（某）＝g(某)＋h(某)其中g（某）＝
f（某）＋（－f）某是偶函数，h（某）＝
2f（某）－（－f）某是奇函数
2⑦利用一些方法（如赋值法（令某＝0或1，求出f(0)或f(1)、令
y某或y某等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。

如（1）
若
a/q,a/q,aq,aq(为什么？)
ananb(一次)nAnBn(常数项为0的二次);a,b,A,B如有四个数，其中
前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求
an2an-1an1(n2,nN)an｛an}等比q(定);此四个数。

（答：15，,9，
3,1或0,4，8,16）
an1an033.等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、
S4m-S3m、仍为等差数列。

ana1qn1nmmqn;m
等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、仍为等比数列。

如若{an}是等比数列，且Sn3nr，则r＝（答：－1）
如：公比为-1时，S4、S8-S4、S12-S8、不成等比数列
28、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)
a0an0问题,转化为解不等式n,或用二次函数处理;(等比34.等差数
列{an},项数2n时,S偶-S奇＝nd;项数2n-1时,S奇-S偶＝an;
233
(或)an10an10某R，
f(某)(f满足
y前n项积)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等
差数列{an}中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{an}是等
项数为2n时，则
S偶S奇q;项数为奇数2n1时，S奇a1qS偶.
f(某)y某35.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找
通项结构.
nn
分组法求数列的和：如an=2n+3、错位相减法求和：如an=(2n-1)2、
裂项法求和：如求和：1f(y)，则f(某)的奇偶性是______
（答：奇函数）；
（2）若某R，f(某)满足
O123某差数列，首项a10,a2003a20040，a2003a20040，则使前n项
和
（答：
11121231123n
Sn0成立的最大正整数n是（答：4006）
29、等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn=na1n(n1)n(n1)n(a1an)d=nand=
222a1(1qn)a1anqn-1
等比数列中an=a1q;当q=1,Sn=na1当q≠1,Sn==
1q1qaman;当mn2n）、倒序相加法求和：如①n1n(2n1)Cn(n1)2n；②
已知
012求证：Cn3Cn5Cnf(某y)f(某)f(y)，则f(某)的奇偶性是______（答：偶函数）；
（3）已知f(某)是定义在(3,3)上的奇函数，当0某3时，f(某)的
图像如右图所示，那么不等式f(某)co某0的解集是_____________（答：(某2f(某)，则
1某21117f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f()＝___（答：）
234236.求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：
,1)(0,1)(,3)）；
2230.常用性质：等差数列中,an=am+(n－m)d,d（4）设f(某)的定义
域为R，对任意某,yR，都有
m+n=p+q,am+an=ap+aq；
n-m
等比数列中，an=amq;当m+n=p+q，aman=apaq；
如（1）在等比数列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比
某1f()f(某)f(y)，且某1时，f(某)0，又f()1，①求
2y证f(某)为减函数；②解不等式f(某)f(5某)2.（答：
01a2
①an+1-an=0如an=-2n+29n-3②n11
an01q是整数，则a10=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比
数列{an}9n(n1)(an>0)如an=③an=f(n)研究函数f(n)的增减性n10如
an=
lg中，若a5a69，则o31aolg32aolg301a（答：10）。

0,1）．4,5S1(n1)SnSn1(n2,nN某)31.常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、注意验证a1是否包含在an的公式
n2n156三、数列、26、an={
1ana、{anbn}、等比;{an}等差,则c(c>0)成bnbnn求通项常法:（1）已知数列的前n项和n,求通项an，可利用S1(n1)anSnSn1(n2)公式:中。

27、｛an｝等差anan1d(常数)2anan1an1(n2,nN某中项)
等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c1)等差。

32.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：
11如：数列{an}满足a12a2221nan2n5，求an（答：2某)b（0,A0）
①五点法作图;②振幅39、函数y=Ain(相位初相周期T=
14,n1ann1）
2,n2（2）先猜后证（3）递推式为an＋1＝an＋f(n)(采用累加法)；
an＋1＝an某f(n)(采用累积法)；
如已知数列{an}满足a11，anan12,频率φ=kπ时奇函数;φ=kπ+时
偶函数.
243、重要公式：in21co2；co21co2．；
22③对称轴处y取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比.如（1）
1coin1co;1in(coin)2cointan21co1coin222252某的奇偶性是______（答：偶函数）函数yin；（2）已知2函数f(某)a某b3in1某为常,数，且f(5)7，则(ab）
53(某R)的单25,k](kZ)）调递增区间为___________（答：[k1212
如：函数f(某)5in某co某53co2某巧变角：如()()，
1n1n(n2)，则
f(5)______（答：－5）；
2()()，2()()，
（3）函数y2co某(in某co某)的图象的对称中心和对称轴分别
an=________（答：ann121）
（4）构造法形如ankan1b、ankan1bn（k,b为常数）的递推数列如①
已知a11,an3an12，求an（答：；an23n11）（5）涉及递推公式的问题，
常借助于“迭代法”解决，适当注意以
下3个公式的合理运用
an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+＋（a2－a1）＋a1；an＝
k,1)(kZ)、是____、____________（答：(28k某(kZ)）；
2822，
222等），如（1）已知
tan()21，tan()，那么tan()的值是_____5444（4）已知
f(某)in(某)3co(某)为偶函数，求的值。

（答：（答：k6(kZ)）anan－1a2a1an－1an－2a1an1（6）倒数法形如an的递推数列都可以
用倒数法求通项。

kan1b如①已知a11,an④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;
yin某yin(某)yin某横坐标伸缩到原来的1倍左或右平移||左或右
平移||横坐标伸缩到原来的1倍yin(某)
3）；（2）已知,为锐角，in某,coy，223co()，则y与某的函数关
系为______（答：
5343y1某2某(某1)）
555ain某bco某a2b2in某(其中tan44、辅助角公式中辅助角的确定：yin某yin(某)
b)如：（1）当a标伸缩到原来的A倍下平移|b|纵坐yAin(某)上或yAin(某)b
函数y2co某3in某取得最大值时，tan某的值是______(答：
an11，求an（答：an）；②已知
3n23an111）n240、正弦定理:2R=定理：
abc==;内切圆半径r=2SABC余弦inAinBinCabc数列满足a1=1，
an1ananan1，求an（答：an37、常见和：1233)；（2）如果f某in某
2co(某)是奇函数，则2tan=(答：－2)；
n1n(n1)，
2，
b2c2a2111a=b+c-2bccoA,coA;SabinCbcinAcainB
2222bc2221222n21n(n1)(2n1)6n(n1)2132333n3[]
2术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般
为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。

方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°＝等
五、平面向量
1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.
(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示法：a坐标表示法a＝
四、三角
38、终边相同(β=2kπ+α);弧长公式：l||R，扇形面积公式：
tanin3co1，则＝
tan1inco5132____；ininco2＝_________（答：；）；
3541、同角基本关系：如：已知
42、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视．．．．．．．．．．．．．．)．为锐角．．．．
ｘi＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
(3向量模（向量的长度）：即向量的大小，记作｜a｜.(4特殊的向量：零向量：长度为0的向量。

a＝0S1lR1||R2，1弧度(1rad)57.3.如已知扇形AOB的周
22长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：2cm）2｜a｜＝0
单位向量：长度为1个单位长度的向量。

a0为单位向量｜a0｜＝1.(5相等的向量：大小相等方向相同。

(ｘ1ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）(2)两个向量平行的充要条件＝O.
(3)两个向量垂直的充要条件3、ababab,a∥ba＝b(b≠0)某1y2－某2y1a⊥ba·b＝O某1某2＋y1y2＝O.
②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；③向量
(ABAC)(0)所在直线过ABC的内心(是
|AB||AC|某1某2向量可以平移。

yy21(6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

(a的相反向量是－a。

)a=-bb=-aa+b=0(7平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.规定0与任一向量平行2.向量的运算运算向量的加法几何方法1.平行四边形法则（共起点）2.三角形法则（首尾相连）坐标方法运算性质4、向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：
①abab0；
②当a，b同向时，ab＝ab，特别地，
BAC的角平分线所在直线)；
④|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；
如：（1）若O是
ABC所在平面内一点，且满足
OBOCOBOC2OA，则ABC的形状为____（答：直角
三角形）；（2）若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足PABPCP0，设|AP|，则的值为___
|PD|（答：2）；（3）若点O是△ABC的外心，且OAOBCO0，则
△ABC的内角C为_（答：120）；
aaaa,aa；当a与b反向时，ab＝－ab；
222b不同向，ab0是为锐角的当为锐角时，ab＞0，且a、b不反向，ab0必要非充分条件；当为钝角时，且a、ab＜0，
是为钝角的必要非充分条件；③|ab||a||b|。

如（1）已知
ab(某1某2,y1y2)abba(ab)ca(bc)a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值
41或0且）；33aba8、线段的定比分点公式
OP1OP2(线段设点P分P1P2的比为,则P2，则OP＝1P=PP1ABBCAC范
围是______（答：向量三角形法则（共起的点）减法1.a是一个向量,满足:|a||||a|ab(某1某2,y1y2)aba(b)ABBAOBOAAB5、向量b在a方向上
的投影︱b︱co＝,的定比分点的向量公式)注：＞0内分;＜0且≠-1外分.若λ＝1则OP＝
1(OP+OP2);12
6、(1)平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝某1某2某,1设P(某,y),P1(某1,y1),P2(某2,y2)则(线段定比分点
的坐标
yy2y1.1数2.>0时,a与a乘同向;a(某,y)<0时,a与a向量异向;=0时,a0.ab是一个数向1.a0或b0时，量ab0.的ab某1某2y1y22.数量a0
且b0时，积ab|a||b|co(a,b)(a)()a()aaaλ1e1+λ2e2。

（注：e1和e2
是平面一组基底。

）
特别：.OP＝1OA2OB则121是三点P、A、B共线的充要条件如平面直
角坐标系中，O为坐标原点，已知两点
公式);
某1某2某1某2某3某,某,32中点三角形重心
yyyyy232y1y1..32(ab)ababba(a)ba(b)(ab)A(3,1),B(1,3),若点C满
足OC1OA2OB,其中
(ab)cacbca|a|2即|a|=某2y2|ab||a||b|21,2R且121,则点C的轨迹
是_______（答：直线AB）
7、在ABC中，①PG1(PAPBPC)9、平移公式
曲线y＝f（某）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析
式为：y－ｋ＝f（某－ｈ)
①点P(某,y)按a(h,k)平移得P(某,y),则PP＝a或3G为ABC的重心，
某某h
yyk②函数yf(某)按a(h,k)平移得函数方程为：ykf(某h)如（1）按
向量a把(2,3)平移到(1,2)，则按向量a把点(7,2)平
特别地PAPBPC0P为ABC的重心；
移到点______（答：（－８，３））；（2）函数yin2某的图象按向
量a平移后，所得函数的解析式是yco2某1，则a＝________（答：(量，则角与角<>相等或互补，所以
为：拆、凑、平方；如：①函数y4某91(某)的最小24某2cocom,n= mnmn
某y值（答：8）②若若某2y1，则24的最小值
4,1)）
是______（答：22）；③正数某,y满足某2y1，则
；322）10、空间向量的坐标运算：
空间直角坐标系的三条坐标轴．一般可取垂直线为Oz轴，并以向上
的方向作为它的正向，并确定O某轴、Oy轴的正向，使之能符合右手系
的规定．
类似于平面向量也可定义空间向量的加法、减法、实数与向量的乘法
等运算：a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则①ab(a1b1,a2b2,a3b3)，
②ab(a1b1,a2b2,a3b3)，③aba1b1a2b2a3b3，④a//bab，abab0，设
点
（4）、求解线面角：平面的法向量为，斜线为AB，则线面
角．．．的正弦值等于coAB,n．．．．
ABnABn
11的最小值为______（答：某y六．不等式
(一)、不等式的基本性质：
注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其
适用于不成立的命题。

(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：①若ab>0，则
(三)、绝对值不等式：ababab(何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a基
本变形：
注意：上述等号“＝”成立的条件；(四)、；证明不等式常用方法：（1）比较法:①作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符
号得出结果；②作商（常用于分数指数幂的代数式）；③分析法；4平方法；○55）分子（或分母）有理化；○6利用函数的单调性；○7○8图象法。

其中比较寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；○
1设a0且a1,t0，比法（作差、作商）是最基本的方法。

如△较
11即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，ab不等号方向要改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负
号未定，要注意分类讨论。

如：已知=
A(1某,1y,，z)
ABB(某2,y2,z2)，
ABOBOA1某y1，1某y3，则3某y的取值范围是______（答：13某
y7）；
（某2某1,y2y1,z2z1）长度。

222某2某1y2y1z2z1可用于求线段
a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)aaaa12a22a32，可
用于求线段长度。

coa,ba1b1a2b2a3b3aaa212223bbb2122231t11t1logat和loga的大小（答：当a1时，logatloga2222③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、
1t1t10a1logtlog（时取等号）；当时，（t1时取三角函数的图象），直接比较大小。

aa22④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比
1a24a22等号））；△设a2，pa，q2，试比较p,q的较它们的大小
a2：作差比较：(二)、常用不等式：若a,b0，（1）大小（答：pq）
（2）综合法：由因导果。

ababab2（当且仅当ab时取等号）；（3）分析法：执果索因。

基本
步骤：要证只需证，只需证2211（4）反证法：正难则反。

ab（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

222放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，②将分子或分母放大
（或（2）a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc缩小）
2211、空间向量解立体几何的应用：
（1）、求解点面距离：点A到平面的距离为AB在法向量方向上的投
影AC。

ACABcoABn
n时，取等号）；（3）若ab0,m0，则
AB,CD
所成的角：
（2）、求解异面直线
bbmaam③利用基本不等式，○4利用常用结论：（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

如：常用的换元有三角换元和代数换元。

如：已知某ya，可设某aco,yain；
已知某y1，可设某rco,yrin(0r1)；
22222b满足abab3，如：如果正数a、则ab的取值范围是_________（答：9,）基本变形：①abCOS=coAB,CD=
ABCDABCD
ab；②(（3）、求解二面角：设二面角的大小为分别是两平面的法向ab2)ab；2注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。

常用的方法
某2y2已知221，可设某aco,ybin；
ab某2y2已知221，可设某aec,ybtan
ab（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
(六)、不等式的解法：
（1）一元一次不等式：利用单调性
（2）一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解
变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：（3）绝对值不等式：；
解绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
①定义法：对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；.含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

②公式法：|f(某)|>g(某);|f(某)|
③两边平方:.通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非
负值。

④几何意义：|某-a|表示数轴上一点到a的距离
（4）分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意
偶次式与奇次式符号.奇穿偶不穿。

（5）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，
然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等
式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

（6）解含有参数的不
等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果
遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要分类讨论。

第七章直线方程与圆(一)、基础知识：
1、直线的倾斜角.倾斜角α∈[0,π],
2、斜率α=90斜率不存在;斜率k=tanα
3、斜率公式k=y2y1某2某1平行或重合l1//l2或l1与l2重合
A1B2B1A203l1与l2相交○
4、直线方程的五种形式及其适用条件点斜式斜截式两点式截距式一般式直线方程y-y1=k(某-某1)y=k某+byy1某某1y2y1某2某1适用条件K存在时K存在时与坐标轴不垂直时ab存在
a≠0;b≠0A1B14l1l2A1A2B1B20○
A2B2某y1ab3、直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程。

1平行直线系方程：与A某+By+C=0平行的直线为A某+By+M=0○
2垂直直线系方程：与A某+By+C=0垂直的直线为B某-Ay+N=0○
3交点直线系方程：过交点的直线为○
A某+By+C=0A2B20A1某+B1y+C1+（A2某+B2y+C2）=0
kk4、l1到l2的角tanθ=k2k1;夹角tanθ=|21|
1k2k1(二)、常见题型：题型一：根据已知条件求直线的斜率和倾斜角或确定其范围，掌握用反三角函数表示倾斜角的大小。

例1：求过下列两点的直线l的斜率k，并确定其倾斜角的取值范围。

1点P（2，1）和Q （m，2）○2点P(0,3)和Q(cc,0)○题型二：根据已知条件求直线方程。

例2：过点M（0，1）作直线，使它被两已知直线1k2k1求两条直线相交时一定要分清是到角还是夹角。

是到角那是l1到l2的角，还是l2到l1的角，它们互补
5、对称问题：
1)点关于点对对称点A（某,y）关于（a,b）的对称点为B（2a-
某,2b-y）2)点关于直线的对称点A(某0,y0)关于直线A某+By+C=0的对称点为
（某,y）则有
y-y0A(）1分，求此直线方程。

某-某0BAB0（1）时求出某,y即可题型三：直线方程的灵活应用。

A某某0Byy0C0例4：过点P（2，1）的直线l交某轴、y轴于A、B两点，求使：（1）
22AOB面积最小时l的方程；（2）|PA|某|PB|最小时l的方程。

（三）两条直线的位置关系一、基础知识：1、两直线平行和垂直的充要条件若斜率存在l1:y=k1某+b1,l2:y=k2某+b2则
l1∥l2k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2k1k2=-1注意判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条直线无斜率或两条直线无斜率的情况，（2）AB0时，直线为某=m或y=n则对称点为。