【易错题】高三数学上期末模拟试卷及答案

【易错题】高三数学上期末模拟试卷及答案
一、选择题
1．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234
y
x a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-
B ．()1,4-
C ．[]4,1-
D ．()4,1-
2．设,x y 满足约束条件 202300
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩
，则4
6y x ++的取值范围是
A ．3[3,]7
- B ．[3,1]- C ．[4,1]
-
D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞
3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，若对任意*N n ∈，都有
()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）
A ．()2,3
B ．[]2,3
C ．92,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．92,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
4．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．
11a b
> B ．a b -> C ．22a b >
D ．33a b <
5．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()2
2
4116x y +++=分成面积相等的两部分，则
12
2a b
+的最小值为( ) A ．10
B ．8
C ．5
D ．4
6．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x y
a a
⎧
⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为
3
2
，则正实数a 的值为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．在△ABC 中，若1tan 15013
A C BC ︒
===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A
B
C
D
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)*
21n n S a n N =-∈，则5
a 等于（ ）
A ．16-
B ．16
C ．31
D ．32
9．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22
B ．24
C ．26
D ．28
10．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =-，数列{}n b 满足1
sin
2
n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n
T
，则2017T =（ ） A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
11．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo
，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）
A ．15
B ．25
C ．40
D ．60
12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则
cos DAC ∠=（ ）
A 25
B 5
C 310
D 10二、填空题
13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2
C A π
-=
，1sin 3
A =
，3a =，则b =______.
14．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
，，，，则22
2x y y ++的取值范围是__________.
15．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．
16．设函数2
()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 .
17．数列{
}
21n
-的前n 项1,3,7..21n
-组成集合{
}(
)*
1,3,7,21n
n A n N
=-∈，从集合n
A
中任取()1,2,3?·
·n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定
乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{
}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___
18．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则
12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞
+++=L ________________.
19．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1
lim 2
n n S →∞
=，则首项1a 的取值范围是____________． 20．已知
是数列
的前项和，若
，则
_____．
三、解答题
21．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）证明：对一切正整数n .有
1211134
n S S S +++<L L . 22．已知函数2
2
1
()cos sin ,(0,)2
f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．
23．在ABC ∆中，3sin cos a C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若3ABC S ∆=，223b c +=+，求a 的值．
24．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量＝(2sinB,2－cos2B)，＝(2sin 2(
)，－1)，
.
(1)求角B 的大小； (2)若a ＝
，b ＝1，求c 的值．
25．在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足(1)1
(1)
n n n n a b n n ++=
+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .
26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24220a a -=，3128S a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和最大？
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+
=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式可求得44
y
x +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】 由题意知：1442444y y x y
x x x y y x
⎛⎫⎛⎫+
=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x Q >，0y > 40x y ∴
>，04y
x
>
424x y y x ∴+≥=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号） 44
y
x ∴+
≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈- 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域，而
46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以4
6
y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
3．B
解析：B 【解析】
1
1
111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11221244133212n
n
n n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫
⎝⎭-- ⎪⎝⎭
()143n p S n ≤-≤Q
即22113332n p ⎛⎫
⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤
当3n =时，4
43
p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤
故选B
点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果
4．D
解析：D 【解析】 ∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确
对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】
圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即
41a b +=，故
()121284448222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当
82b a
a b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()2
2
2x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是
()4,1.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()121231
12111
x y x y y z x x x ++++++===+⨯
+++， 设1
1
y k x +=
+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率， 若目标函数231x y z x ++=
+的最小值为32，即12z k =+的最小值是3
2
，
由
3 1
2
2
k
+=，得1
4
k=，即k的最小值是
1
4
，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由斜率的意义知过D的直线经过()
3,0
B a时，直线的斜率k最小，此时
011
314
k
a
+
==
+
，得314
a+=，得1
a=.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
由正弦定理求出c，
【详解】
A是三角形内角，
1
tan
3
A=，∴10
sin
10
A=，
由正弦定理
sin sin
a c
A C
=得
sin10
sin10
a C
c
A
===
，
又2222cos
c a b ab C
=+-，即22
5
12cos15013
2
b b b b
=+-︒=+，2
3
30
2
b b
+-=，33
2
b
-
=（
33
2
b
-
=舍去），
∴
113333
sin1
2238
ABC
S ab C
∆
--
==⨯⨯︒=．
故选：A．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】
当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得
12n n a a -=.
所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则4
51216a =⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数
列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=
，则
考点：等差数列的性质
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
由2
n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos
2
n n π
-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】
由数列{}n a 的前n 项和为2
n S n n =-，
当1n =时，11110a S ==-=；
当2n …时，1n n n a S S -=-22
(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，
上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos
2n n n b a π==2(1)cos 2
n n π
-， ∵函数cos 2
n y π
=的周期242
T π
π==，
∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)
2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L
02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，
故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得
AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度． 【详解】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，
如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB AD
ADB ABD
=∠∠，
即sin[90(90)]sin(90)h AD
αβα=︒--︒-︒+，
cos sin()h AD αβα∴=
-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()
h DF AD αβ
ββα==-，
又山高为a ，则灯塔CD 的高度是
40cos sin 22356035251sin()
2
h CD DF EF a αβ
βα=-=
-=
-=-=-． 故选B ．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】
如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =
+=，同理可得225AC AB BC =+=，
在ACD ∆中，由余弦定理得2222310
cos 2252
AC AD CD DAC AC AD +-∠===
⋅⨯⨯， 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题
13．7【解析】【分析】先求出再利用正弦定理求最后利用余弦定理可求【详解】因为所以故且为锐角则故由正弦定理可得故由余弦定理可得故即或因为为钝角故故故答案为：7【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外
解析：7 【解析】
【分析】
先求出sin C =c ，最后利用余弦定理可求b . 【详解】 因为2
C A π
-=
，所以2C A π
=
+，故sin sin cos 2C A A π⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
， 且A
为锐角，则cos 3
A =
，故sin 3C =. 由正弦定理可得
sin sin a c A C =
，故3sin 31sin 3
a C
c A
=== 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，
故297223
b b =+-⨯即7b =或9b =， 因为C 为钝角，故
c b >，故7b =. 故答案为：7. 【点睛】
三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.
14．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：
解析：[]0,9； 【解析】 【分析】
表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点
(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.
【详解】
()()22
222011x y y x y ++=-++
-
表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离
1AO =，1910,9110AD AC =+==+=，则三角形ACD 为等腰三角形
则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：1，最大值为10 所以2
2
2x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-
故2
2
2x y y ++的取值范围为[]09，
故答案为：[]09，
【点睛】
本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.
15．200【解析】试题分析：等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点：等差数列
解析：200 【解析】
试题分析：等差数列{}n a 中的连续10项为*
+129,,,,,()x x x x a a a a x N ++⋯∈，遗漏的项为
*+,x n a n N ∈且19,n ≤≤则
9()10(18)10
(2)
22
x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+，
化简得4494352x n ≤=+≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为
(1111+18)10
=2002
+⨯.
考点：等差数列.
16．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为
解析：33,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
【解析】 【分析】 【详解】
根据题意，由于函数2()1f x x =-，对任意2,3
x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫
-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立，22222()4(1)(1)11x
m x x m m
--≤--+-，分离参数的思想可知，
,
递增，最小值为
53
，
即可知满足33
,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
即可成
立故答案为33
,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
．
17．【解析】【分析】通过计算出并找出的共同表示形式进而利用归纳推理即可猜想结论【详解】当时则由猜想：故答案为：【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前项和的归纳猜想属于中档题 解析：1()2
2
1n n +-
【解析】 【分析】
通过计算出3S ，并找出1S 、2S 、3S 的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论． 【详解】
当3n =时,{}31,3,7A =，
则113711T =++=,213173731T =⨯+⨯+⨯=,313721T =⨯⨯=,
∴312311312163S T T T =++=++=,
由1212
1
1212
1S ⨯==-=-，
233
2
27212
1S ⨯==-=-， 346
2
363212
1S ⨯==-=-，
⋯
猜想：(1)2
2
1n n n S +=-.
故答案为：1()2
2
1n n +-.
【点睛】
本题考查元素与集合关系的判断以及数列前n 项和的归纳猜想,属于中档题.
18．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时 解析：
323
【解析】 【分析】
求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++L ，即可计算出所求极限值. 【详解】 由已知321
2a q a =
=，23112()()22
n n n a --=⨯=，3225211111
()()()2()2224
n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公
比为1
'4
q =
的等比数列， 11223118[(1()]
3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--L ，
1223132132
lim ()lim [1()]343
n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=L . 故答案为323
. 【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．【解析】【分析】由题得利用即可得解【详解】由题意知可得又因为所以可求得故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式数列极限的运算法则考查了推理能力与计算能力属于中档题
解析：110,,122⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
【解析】 【分析】 由题得11
(1)2
a q =-，利用(1,0)(0,1)q ∈-⋃即可得解 【详解】
由题意知，
1112a q =-，可得11
(1)2
a q =-，又因为(1,0)(0,1)q ∈-⋃，所以可求得1110,,122a ⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U .
故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析：
【解析】 【分析】
由a
n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算． 【详解】
解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1， 两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．
则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝
24950．
【点睛】
本题考查了数列的递推式，属于中档题．
三、解答题
21．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.
（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立. 【详解】
（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，
由题意，()12
111
1
21
(3)120
d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，
∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1； （2）证明：由（1）知，()()12
322
n n n S n n n -⨯=+
=+.
∴
()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L
1
2=
[111111111132435112
n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题.
22．（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë
；（2
【解析】 【分析】
（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.
（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】
（1）依题意()()2
2
11
()cos sin cos 20,π22
f x x x x x =-+
=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -
≤≤，令1k =得π
π2
x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p
p 轹÷ê÷÷êøë
. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π
0,02π2
A A <<
<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +
==-，所以2ππ2,33
A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.
当2c =
时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角
三角形矛盾.所以3c =. 所以三角形ABC
的面积为11sin 532224
bc A =⨯⨯⨯=
. 【点睛】
本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
23．(1) 6
A π
=;(2) 2a =.
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得到3sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以
3tan 3
A =
． 进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到223b c +=+，联立两式得到2a =． 解析：
（I ）因为3sin cos a C c A =，所以cos 0A ≠， 由正弦定理
sin sin sin a b c A B C
==， 得3sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠， 所以 3tan 3
A =
． 又因为 ()0,A π∈， 所以 6
A π
=
．
（II ）由11
sin 324
ABC S bc A bc ∆=
==，得43bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2
2
2
2cos
6
a b c bc π
=+-，
即()()2
2
2238312a b c bc bc b c =+--=+--， 因为223b c +=+， 解得 24a =. 因为 0a >， 所以 2a =. 24．（1）或； （2）c ＝2或c ＝1.
【解析】 【分析】 (1)根据
＝0得到4sinB·sin 2
＋cos2B －2＝0，再化简即得B ＝ 或
.(2)先
确定B 的值，再利用余弦定理求出c 的值. 【详解】
(1)∵，∴＝0，∴4sinB·sin
2
＋cos2B －2＝0，
∴2sinB[1－cos ]＋cos2B －2＝0，∴2sinB＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0，
∴sinB＝ ，∵0<B<π，∴B＝ 或 .
(2)∵a＝
，b ＝1，∴a>b ，∴此时B ＝，
由余弦定理得：b 2
＝a 2
＋c 2
－2accosB ，∴c 2
－3c ＋2＝0，∴c＝2或c ＝1. 综上c ＝2或c ＝1. 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
25．(1)1
2n n a -=.
(2)121
n
n S n =-+. 【解析】
试题分析：（1）设等比数列
的公比为，运用等差数列的性质和等比数列的通项公
式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式； （2）化简，运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求
和．
试题解析：（1）设等比数列的公比为，
是与
的等差中项，即有，
即为，解得，
即有；
（2）），
数列
的前项和
.
考点：（1）数列的求和；（2）等比数列的通项公式.
【方法点晴】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题.由等差中项的意义可得可求出公比，可求出数列通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于
，其中
和
分别为特殊数列，裂项相消发类似于
，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
26．（1）203n a n =-；（2）当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大． 【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由24220,a a -=3128S a -=．
利用通项公式可得()()112320a d a d +-+=，113328a d a +-=，解方程组即得． （2）令0n a ≥，解得n ． 【详解】
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，24220,a a -=Q 3128S a -=．
()()112320,a d a d ∴+-+=113328a d a +-=，
联立解得：117,a =3d =-．
173(1)203n a n n ∴=--=-．
（2）令2030n a n =-≥，解得203
n ≤
． ∴当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和的最值．解题方法是基本量法，对前n 项和的最大值问题，可通过解不等式0n a ≥确定n 值．。