高考数学压轴专题新备战高考《不等式》易错题汇编含解析

《不等式》考试知识点
一、选择题
1．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】
22x y +≥Q 且224x y
+≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤，
反过来，当1
2,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线2
4y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2
||||1
PM PF -的最
小值为（ ）
A B ．1)
C ．
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设
(),P x y ，0x >，则
2||4
||1PM x PF x
=+-，利用均值不等式得到答案. 【详解】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，
设(),P x y ，0x >，则
()()2
2
2
22224||||4
4||1x y x x PM P P M x F x Q P x x
-+-+====+≥-， 当4
x x =
，即2x =时等号成立. 故选：D .
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3．若33
log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ）
A ．6
B ．83
C ．
163
D ．
173
【答案】C 【解析】 【分析】
由33
log (2)1log
a b ab +=+21
3b a
+=，且0,0a b >>，又由
12142(42)3a b a b b a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
因为33
log (2)1log
a b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，
所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21
3b a
+=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333
a b a b a b b a b a +=
++=++≥+=，
当且仅当82
a b
b a
=，即2
b a
=时取等号，所以42
a b
+的最小值为
16
3
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题. 4．已知,x y满足约束条件
230
2340
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪≥
⎩
，若目标函数2
z mx ny
=+-的最大值为1（其中0,0
m n
>>），则
11
2m n
+的最小值为（）
A．3 B．1 C．2 D．
3
2
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域，根据目标函数z的最大值求得,m n的关系式23
m n
+=，再利用基本不等式求得
11
2m n
+的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示，由于0,0
m n
>>，所以基准直线0
mx ny
+=的斜率为负数，故目标函数在点()
1,2
A处取得最大值，即221
m n
+-=，所以23
m n
+=.
()
111111515193
22
2323232322
n m n m
m n
m n m n m n m n
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯=
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，当且仅当,1
n m
m n
m n
===时等号成立，所以
11
2m n
+的最小值为
3
2
.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
5．已知实数x ，y 满足不等式||22x y
+≥，则2
2x y +最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．22
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据2
2x y +表示圆心在原点的圆求解其最小
圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得
当0y ≥时，22x y +≥； （2）当0y <时，22x y -≥，
如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由2
2x
y +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，
又由22
22211d -==+，所以24d =，
即2
2x
y +最小值为4.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.
6．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
7．已知x ，y 满足约束条件1,22,326,x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
，若22x y z +≥恒成立，则实数z 的最大值为
（ ） A
．
2
B ．25
C ．
12
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据2
2x
y +的几何意义，结合平面区域求得原点到直线
10x y +-=的距离的平方最小，即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域，如图所示，
要使得22
x y z +≥恒成立，只需(
)
22
min
z x y
≥+，
因为2
2x
y +表示原点到可行域内点的距离的平方，
结合平面区域，可得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小， 其中最小值距离为22
122
1
1d -==
+，则2
12d =，即12z ≤
所以数z 的最大值1
2
． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合2
2x y +的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能
力．
8．已知集合{}
2
230A x x x =-->，(){}
lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ）
A ．{}13x x -≤<
B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð. 【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.
{}
13A x x x
∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范
围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以
z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
10．已知实数,x y 满足线性约束条件1020
x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩
，则1
y x +的取值范围为（ ）
A ．(-2,-1］
B ．(-1,4］
C ．[-2,4)
D ．[0,4]
【答案】B 【解析】 【分析】 作出可行域，
1
y x
+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最
小值． 【详解】
作出可行域，如图阴影部分（含边界），1
y x
+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)
410
QA k --=
=-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴
14PQ k -<≤．
故选：B ．
【点睛】
本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1
y x
+表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．
11．若0a >，0b >，23a b +=，则36
a b
+的最小值为（ ） A ．5 B ．6
C ．8
D ．9
【答案】D 【解析】 【分析】
把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()1
23a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值． 【详解】
∵3613a b +=（36
a b +）（a +2b ） ＝
13(366b a
a b
+
++12)
≥
13=9 等号成立的条件为66b a
a b
=，即a=b=1时取等 所以
36
a b +的最小值为9． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题
12．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
【答案】D 【解析】 【分析】
由余弦定理可知2
2
2
2cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的表达
式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，
222sin a b c C ++=
两式相加，得到()
22
cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=- ⎪⎝
⎭
所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛
⎫-=
= ⎪⎝⎭
≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛
⎫
-
∈- ⎪⎝
⎭
所以cos 13C π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
， 因为()0,C π∈，所以2,333
C π
ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
所以03
C π
-
=，即3
C π
=
，又a b =，
所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项.
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.
13．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos b C c B =，则
111
tan tan tan A B C
++的最小值为（ ） A
B
C
D
．【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】
∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴
()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22
tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1
B C B B
B C B B +=-
=-=---， ∴21112tan 111
tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B
-++=++
27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,
∴
27tan 36tan B B +≥=
，当且
仅当tan B =
时取等号，
∴min
111tan tan tan A B C ⎛⎫++=
⎪
⎝⎭ A. 【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
14．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A ．
169
π
B ．
89
π C ．
1627
π
D ．
827
π 【答案】A
【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．
【详解】
解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=
-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2
V r r r r π=-<<，
则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …．
当且仅当33342r r =-，即43
r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为
169
π， 故选：A ．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．
15．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y +的最小值是( )
A ．3
B ．32
C ．0
D ．3- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．
解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆，
由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距
把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1
y x y =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，
故选：D ．
【点睛】
本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．
16．已知正数x ，y 满足
144x y +=，则x y +的最小值是（ ） A ．9
B ．6
C ．94
D ．52 【答案】C
【解析】
【分析】
先把x y +转化成
114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭
，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】 Q 正数x ，y 满足
144x y +=， 11414149()14524444y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎝…，
当且仅当4144y x x y x y
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.
17．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） A
B ．5
C ．3
D ．52
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．
【详解】 解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩
……
„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，
则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，
解得，22
52d ⎛⎫==； 所以min 52
z =
故选：D ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．
18．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“2
20x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.
19．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()
22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（ ） A ．92
B ．9
C ．6
D ．3 【答案】D
【解析】
【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()2
2112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：22
24100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴
+=. ()1122253
31212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭
()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m m n +=⎧⎪⎨=⎪⎩
即1m n ==时，等号成立. 12m n
∴+的最小值为3. 故选：D .
【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
20．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[5,)+∞
B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞ 【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5， 因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a 的取值范围是5a ≤，
故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.。