常州市中天实验中学八年级数学上册第五单元《分式》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．化简221x x x ++÷(1－11x +)的结果是（ ） A ．11x + B ．11x - C ．x+1 D ．x-1
2．如图，在数轴上表示2224411424x x x x x x
-++÷-+的值的点是（ ）
A ．点P
B ．点Q
C ．点M
D ．点N 3．计算：2x y x y x y xy
-⋅-=（ ） A ．x B ．y x C ．y D ．1x 4．若a ＝1，则2933
a a a -++的值为（ ） A ．2
B ．2-
C ．12
D ．12- 5．若方程21224k x x -
=--有增根，则k =（ ） A ．4- B ．14- C ．4 D ．14
6．为推进垃圾分类，推动绿色发展，宜宾天原化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用460万元购买甲型机器人比用580万元购买乙型机器人的台数少一台，两种型号机器人的单价和为140万元．若设乙型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A ．4605801x 140x -=-
B ．4605801140x x =--
C ．4605801x 140x =+-
D ．4605801140x x
-=- 7．若整数a 使得关于x 的不等式组3(1)32(1)x a x x >⎧⎨-+>+⎩
的解集为2x >，且关于x 的分式方程
21111ax x x
+=---的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 8．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为1a ，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为2a ，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为
()3,,1a n ⋅⋅⋅+条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为n a ，若
121111011111
n a a a ++⋅⋅⋅+=---，则n =（ ） A ．10
B ．11
C ．20
D ．21 9．将
0.50.0110.20.03x x +-=的分母化为整数，得（ ） A ．
0.50.01123x x +-= B ．5051003x x +-= C ．0.50.01100203x x +-= D ．50513
x x +-= 10．下列各式中错误的是（ ）
A ．
2c d c d c d c d d a a a a -+-----== B ．5212525a a a +=++ C ．1x y x y y x -=--- D ．2211(1)(1)1
x x x x -=--- 11．已知227x ,y ==-，则
221639y x y x y ---的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．3
12．已知有理数a ，b 满足：1ab =，1111M a b =+++，11a b N a b
=+++，则M ，N 的关系为（ ） A ．M N >
B ．M N <
C ．M N =
D ．M ，N 的大小不能确定
二、填空题 13．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}min ,a b 表示a ，b 中的较小的值，如{}min 2,42=．
（1）{}min 2,3--=__________________．
（2）方程{}3min 2,322x x x --=
---的解为_________________． （3）方程131min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭
的解为_________________． 14．已知13x x
-=，则21x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 15．已知2510m m -+=，则22
125m m m -+=____． 16．223(3)a b -＝______，22()a b ---＝______．
17．关于x 的方程53244x mx x x
++=--无解，则m =________． 18．若关于x 的方程2144416
m x x x +=-+-无解，则m 的值为__________．
19．计算：051)-+=__．
20．计算：22824x x
-=+-__________． 三、解答题
21．（1）解方程．22510111
x x x -+=+--． （2）先化简分式（2241442
a a a a ---+-）÷212a a a +-，然后在0，1，2中选一个你认为合适的a 值，代入求值．
22．计算：
（1）|﹣3|12
（﹣2）2； （2）xy 2•（﹣2x 3x 2）3÷4x 5．
23．计算： （1）()()2
2x y x x y -++； （2）22362369m m m m m -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭
． 24．（1）计算：22
y x x y x y
-++ （2）解方程：4322x x x
=+-- 25．今年双11期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元．
（1）第一批紫水豆干每千克进价多少元？
（2）该老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了%a ，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价
325
a 元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求a 的值．（利润=售价-进价） 26．先化简，再求值： 22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭
，其中5x =．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
【详解】
解：原式=22211(1)1(1)1(1)1
x x x x x x x x x +-+÷=⋅=++++ ， 故选A.
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键． 2．C
解析：C
【分析】
先进行分式化简，再确定在数轴上表示的数即可．
【详解】 解：2224411424x x x x x x
-++÷-+ 2(2)14(2)(2)(2)
x x x x x x -=+⨯+-+， 2422x x x -=
+++， 242
x x -+=+， 22
x x +=
+， =1， 在数轴是对应的点是M ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了分式化简和数轴上表示的数，熟练运用分式计算法则进行化简是解题关键． 3．A
解析：A
【分析】
根据分式乘法计算法则解答．
【详解】 解：2x y x y x y xy
-⋅-=x ， 故选：A ．
【点睛】
此题考查分式的乘法计算法则，熟记计算法则是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据同分母分式减法法则计算，再将a=1代入即可求值．
【详解】
2933a a a -++=293
a a -+=a-3， 当a=1时，原式=1-3=-2，
故选：B ．
【点睛】
此题考查分式的化简求值，掌握因式分解及同分母分式的减法计算法则是解题的关键． 5．B
解析：B
【分析】
先根据题意对原分式方程去分母，化为整式方程，然后根据增根的情况代入整式方程求解即可．
【详解】
去分母得：()
()22421x k x --+=， 整理得：22290x kx k ---=，
∵原分式方程有增根，
∴240x -=，解得增根即为：2x =±，
当2x =时，代入整式方程得：82290k k ---=，解得： 14k =-
， 当2x =-时，代入整式方程无意义， ∴14
k =-
故选：B
【点睛】
本题考查分式方程的增根，熟记增根是使最简公分母为零的数同时是对应整式方程的解，两者缺一不可． 6．B
【分析】
设乙型机器人每台x 万元，由两种型号机器人的单价和为140万元得甲型机器人每台()140x -万元，根据用460万元购买甲型机器人比用580万元购买乙型机器人的台数少一台列得方程.
【详解】
解：设乙型机器人每台x 万元，则甲型机器人每台()140x -万元，根据题意，可得4605801140x x
=--． 故选：B.
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系，由此列得方程解决实际问题是解题的关键.
7．D
解析：D
【分析】
先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集为2x >，得出a 的范围，根据分式方程的解为整数即得到a 的值，结合a 的范围即可求得符合条件的所有整数a 的和．
【详解】
解：关于x 的不等式组3(1)32(1)x a x x >⎧⎨-+>+⎩①②
解不等式①得，x a >；
解不等式②得，2x >；
∵不等式组的解集为2x >，
∴a≤2， 解方程
21111ax x x
+=---得：21x a =- ∵分式方程的解为整数，
∴11a -=±或2±
∴a=0、2、-1、3
又x≠1， ∴211a
≠-，∴a≠-1， ∴a≤2且a≠-1，
则a=0、2，
∴符合条件的所有整数a 的和=0+2=2，
【点睛】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，根据分式方程的解为整数结合不等式组有解，找出a 的值是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可解题．
【详解】
根据题意得，
2条直线最多将平面分成4个区域1=4a ，
3条直线最多将平面分成7个区域2=7a ，
4条直线最多将平面分成11个区域3=11a ，
5条直线最多将平面分成16个区域4=16
a
则11=3=1+2a -， 21=6=1+2+3a -，
31=10=1+2+3+4a -，
41=15=1+2+3+4+5
a - 1=1+2+3+4+51n a n ∴-++
12111111n a a a ∴
++⋅⋅⋅+--- 111=1+21+2+31+2+3++(n+1)++⋅⋅⋅+ 111=(1+2)2(1+3)3(1+n+1)(n+1)222
++⋅⋅⋅+⨯⨯
11122334(1)(2)n n ⎡⎤=+++⎢⎥⨯⨯++⎣⎦ 11111122334
12n n ⎡⎤=-+-++
-⎢⎥++⎣⎦ 11222n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦ 2
n n =+ 121111011111
n a a a ++⋅⋅⋅+=---
10211
n n ∴=+ 2101211n ∴-
=+ 21211
n ∴=+ 222n ∴+=
20n ∴=
经检验n=20是原方程的根
故选：C ．
【点睛】
本题考查相交线，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据分式的基本性质求解．
【详解】 解：将
0.50.0110.20.03x x +-=的分母化为整数，可得50513
x x +-=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 10．C
解析：C
【分析】
按同分母分式加减法则计算即可.
【详解】 A.
2c d c d c d c d d a a a a -+-----==，正确； B.52521252525
a a a a a ++==+++，正确； C.x y x y x y x y y x x y x y x y
+-=+=-----，错误； D.222111(1)(1)(1)1
x x x x x x --==----，正确. 故选：C
【点睛】
此题考查同分母分式的加减法的法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.
11．B
解析：B
【分析】
先通分，再把分子相加减，把x 、y 的值代入进行计算即可．
【详解】
原式=()()
16333y x y x y x y --+- =()()3633x y y
x y x y +-+-
=()()333x y x y x y -+- =13x y
+， 当227x ,y ==-，原式=
112221
=-， 故选B ．
【点睛】 本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
12．C
解析：C
【分析】
先通分，再利用作差法可比较出M 、N 的大小即可.
【详解】
解：∵1111M a b
=+++ ()()1111b a a b +++=++
()()211b a
a b ++=++，
()()
()()()()
1121111a b b a a ab b N a b a b +++++==++++， ∴()()()()221111b a a ab b M N a b a b ++++-=-++++
()()2211a b a ab b
a b ++---=++
()()2211ab
a b -=++，
∵1ab =，
∴220ab -=，
∴0M N -=，即M N .
故选：C.
【点睛】
本题考查的是分式的加减法及分式比较大小的法则，分式比较大小可以利用作差法、作商法等. 二、填空题
13．-3【分析】（1）模仿题干可直接给出答案；（2）先将原式转化为分式方程求解即可；（3）根据题中的新定义化简求出分式方程的解检验即可【详解】解：（1）根据题意；（2）原方程为：去分母得解得：经检验是该
解析：-3 34
x =
0x = 【分析】
（1）模仿题干可直接给出答案；
（2）先将原式转化为分式方程，求解即可；
（3）根据题中的新定义化简，求出分式方程的解，检验即可．
【详解】
解：（1）根据题意，{}min 2,33--=-； （2）原方程为：
3322x x x
-=---， 去分母得33(2)x x +=--， 解得：34x =，经检验34
x =是该方程的根， 故{}3min 2,322x x x --=
---的解为：34x =； （3）当1322x x <--时，x ＞2，方程变形得：11222
x x x -=---， 去分母得：1=x-1-2x+4，
解得：x=2，不符合题意； 当1322x x >--时，即x ＜2，方程变形得：31222
x x x -=---， 解得：x=0，
经检验x=0是分式方程的解，
综上，所求方程的解为x=0．
故答案为：-3，34
x =
，0x =． 【点睛】 本题考查新定义的实数运算，解分式方程．能将题目新定义的运算化为一般运算是解题关键．
14．13【分析】把已知等式两边分别平方适当变形后再将所求代数式展开整体代入求解【详解】解：∵∴即∴故答案为：13【点睛】此题主要考查了分式的求值以及完全平方公式正确运用公式是解题关键
解析：13
【分析】
把已知等式两边分别平方适当变形后，再将所求代数式展开整体代入求解．
【详解】
解：∵13x x
-=， ∴2211()29x x x x -=+
-=，即22111x x +=， ∴22211211213x x x x ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝
⎭， 故答案为：13．
【点睛】
此题主要考查了分式的求值以及完全平方公式，正确运用公式是解题关键．
15．22【分析】根据m2﹣5m+1=0可得m+=55m=m2+1然后将原分式适当变形后整体代入计算即可【详解】解：∵m2﹣5m+1=0∴m ﹣
5+=05m=m2+1∴m+=5∴2m2﹣5m+=2m2﹣m2
解析：22
【分析】
根据m 2﹣5m+1=0可得m +
1m =5，5m=m 2+1，然后将原分式适当变形后整体代入计算即可．
【详解】
解：∵m 2﹣5m+1=0，
∴m ﹣5+
1m =0，5m=m 2+1， ∴m +1m
=5， ∴2m 2﹣5m+
21m
=2m 2﹣m 2﹣1+
21m =m 2+2
1m ﹣1 =（m +
1m
）2﹣3 =52﹣3
=25﹣3
=22．
故答案为：22．
【点睛】 本题考查分式的求值．掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解
22211()2m m m m
+=++． 16．【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可【详解】；【点睛】本 解析：6627a b 4
2a b
【分析】
（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；
（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可.
【详解】
()6322
66627327a a b a b b --==； 4
22
422()a a b a b b
----==. 【点睛】 本题考查了负整数指数幂，利用了积的乘方等于乘方的积，单项式的乘法，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．
17．3或【分析】分式方程无解即化成整式方程时无解或者求得的x 能令最简公分母为0据此进行解答【详解】解：方程两边都乘以（x-4）得整理得：当时即m=3方程无解；当时∵分式方程无解∴x-4=0∴x=4∴解得
解析：3或
174
． 【分析】
分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x 能令最简公分母为0，据此进行解答．
【详解】
解：方程两边都乘以（x-4）得，
5(3)2(4)x mx x -+=-，
整理，得：(3)5m x -=-
当30m -=时，即m=3，方程无解；
当30m -≠时，53x m =
-， ∵分式方程无解，
∴x-4=0，
∴x=4， ∴543
m =-， 解得，174m =
． 故答案为：3或
174
． 【点睛】 本题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
18．-1或-【分析】直接解分式方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案【详解】解：去分母得：（x+4）+m(x-4)=4可得：（m+1）x=4m 当m+1=0时分式方程无解此时m=-1当m
解析：-1或-
12
【分析】
直接解分式方程，再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【详解】 解：
2144416
m x x x +=-+-， 去分母得：（x+4）+m(x-4)=4，
可得：（m+1）x=4m ，
当m+1=0时，分式方程无解，
此时m=-1， 当m+1≠0时，则x=
41m m +=±4， 当41
m m +=4时，此时方程无解；
当
4
1
m
m+
=-4时，解得：m=-
1
2
，
经检验，m=-1
2
是方程
4
1
m
m+
=-4的解，
综上所述：m=-1或-1
2
．
故答案为：-1或-1
2
．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
19．【分析】分别计算绝对值和0次幂再计算和即可【详解】解：原式＝5+1＝6故答案为：6【点睛】此题主要考查了实数运算解题的关键是熟练掌握绝对值及零次幂的性质
解析：【分析】
分别计算绝对值和0次幂，再计算和即可．
【详解】
解：原式＝5+1
＝6．
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握绝对值及零次幂的性质．
20．【分析】根据异分母分式的加减法则解答即可【详解】解：原式=故答案为：【点睛】本题考查了分式的加减属于基础题目熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键
解析：
2
2 x-
【分析】
根据异分母分式的加减法则解答即可．【详解】
解：原式=
()
()()()()()()
()
()()
22
24
222222 2282
222
x
x
x
x x x x x x
x x x
+
+
+-+
-
+=
--
==
+
+--
．
故答案为：
2
2
x-
．
【点睛】
本题考查了分式的加减，属于基础题目，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．三、解答题
21．（1）无解；（2）a，1．
【分析】
（1）根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可；
（2）先根据分式的化简步骤将分式化为最简分式，再代入恰当的数值即可．
【详解】
解：（1）方程的两边都乘以（x +1）（x ﹣1）
得，2(1)5(1)10x x --+=-
∴2x-2-5x-5=-10
解得1x =
检验，当x ＝1时，（x +1）（x ﹣1）＝0
∴x ＝1是原方程的增根．
∴原分式方程无解．
（2）原式＝2(2)(2)1(2)(2)21a a a a a a a ⎡⎤-+--⋅⎢⎥--+⎣⎦
=1(2)21
a a a a a +-⋅-+ ＝a ，
当a ＝0，2分式无意义，
故当a ＝1时，原式＝1．
【点睛】
本题主要考察了解分式方程及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤及分式化简的一般步骤，注意分式有意义的条件．
22．（1）2；（2）﹣2x 11y 2
【分析】
（1）先根据绝对值、算术平方根、立方根、乘方的意义化简，再根据实数运算法则计算即可；
（2）先算乘方，再算乘除即可．
【详解】
解：（1）21|3|(2)2
-- ＝134(2)42
-+
⨯-+ ＝3﹣4﹣1+4
＝2； （2）xy 2•（﹣2x 3x 2）3÷4x 5
＝xy 2•（﹣2x 5）3÷4x 5
＝xy 2•（﹣8x 15）÷4x 5
＝（﹣8÷4）x 1+15﹣5y 2
＝﹣2x 11y 2．
【点睛】
考查了整式的混合运算，有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．同时考查了实数的运算．
23．（1）222x y +；（2）
36
m m -+ 【分析】
（1）先根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可； （2）把括号内通分，并把除法转化为除法，然后约分化简即可．
【详解】
（1）原式22222x xy y x xy =-+++ 222x y =+；
（2）原式=2226693336m m m m m m m --+⎛⎫-⨯ ⎪---⎝⎭ ()()()
2
36366m m m m m --=⋅--+ 36
m m -=
+． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
24．（1）y x -；（2）5x =．
【分析】
（1）根据分式运算的性质，结合平方差公式计算，即可得到答案；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】 （1）22
y x x y x y
-++， =22
y x x y
-+， =()()
x y x y x y +--+，
=()x y y x --=-，
y x =-；
（2）4322x x x
=+--， 去分母得()4=32x x --，
去括号得436x x =--，
移项合并得210x =，
系数化1得5x =，
当x=5时，25230x -=-=≠，
所以x=5是原方程的解．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算及解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行化简以及掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意解分式方程要验根．
25．（1）第一批紫水豆干每千克进价是25元；（2）a 的值是50．
【分析】
（1）设第一批紫水豆干每千克进价是x 元，则第二批每件进价是（x-3）元，再根据等量关系：第二批所购数量是第一批的2倍列方程求解即可；
（2）根据第一阶段的利润+第二阶段的利润=1520列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设第一批紫水豆干每千克进价x 元， 根据题意，得：
2500440023x x ⨯=-， 解得：x=25，
经检验，x=25是原方程的解且符合题意；
答：第一批紫水豆干每千克进价是25元．
（2）第二次进价：25-3=22（元），
第二次紫水豆干的实际进货量：4400÷22=200千克，
第二次进货的第一阶段出售每千克的利润为：22×a %元， 第二次紫水豆干第二阶段销售利润为每千克325a -
元， 由题意得：322%20080%200(180%)152025
a a ⨯⨯⨯-
⨯-=， 解得：a =50，
即a 的值是50．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 26．21(2)x -，19
【分析】
先计算括号内的运算，然后进行化简，得到最简分式，再把5x =代入计算，即可得到答案．
【详解】 解：22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭
=221[](2)(2)4
x x x x x x x +--⨯--- =22224[](2)(2)4
x x x x x x x x x ---⨯--- =24(2)4
x x x x x -⨯-- =2
1(2)x -； 当5x =时，原式=
211(52)9=-． 【点睛】
本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．。