2017-2018学年高中数学人教A版必修2练习：第一章 章末

(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2012·德州高一检测)如图所示，在三棱台A′B′C′—ABC中，截去三棱锥A′—ABC，则剩余部分是()
A．三棱锥B．四棱锥
C．三棱柱D．组合体
解析：剩余部分是四棱锥A′—BCC′B′.
答案：B
2．下列说法中正确的是() A．直角梯形绕其一边旋转形成圆台
B．直角三角形绕其一边旋转形成圆锥
C．圆柱不是旋转体
D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的
解析：圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转而得到的，故A不正确；圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而得到的，故B不正确；而圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体，故C不正确．
答案：D
3．过棱柱不相邻两条侧棱的截面是() A．矩形B．正方形
C．梯形D．平行四边形
解析：注意平行四边形包括矩形．
答案：D
4．如图所示的水平放置的三角形ABC的直观图，D是△ABC的BC边的中点，那么AB，AD，AC三条线段的长度关系()
A ．A
B >AC
B ．A
C >AB C ．AB ＝AC >AD
D ．AD >AC >AB
解析：由斜二测画法的规则知，AB ＝AC >AD . 答案：C
5．(2012·铜陵高一检测)面积为Q 的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为
( )
A ．πQ
B ．2πQ
C ．3πQ
D ．4πQ
解析：设正方形边长为a ，则a ＝Q ，S 侧＝2π·a ·a ＝2πQ . 答案：B
6．正六棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm ，高是1 cm ，它的侧面积为
( )
A.972cm 2
B ．97cm 2 C.2
3
3cm 2
D ．32cm 2
解析：棱台的斜高为
72
， ∴S 侧＝6×12×(1＋2)×72＝97
2.
答案：A
7．(2012·长春高一检测)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体， 则截面图形可能是
( )
A ．(1)(2)
B ．(1)(3)
C ．(1)(4)
D ．(1)(5)
解析：当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为(1)，当不过上、下底的中心时，截
面图形为(5)，故D 正确．
答案：D
8．一个物体的三视图如图所示，则该物体的体积为
( )
A ．2π B.83＋43π C.14
3
π
D.403
π 解析：该几何体为一圆柱和球的组合体， V ＝π×12×23＋4
3π×13＝2π.
答案：A
9．(2012·武汉高一检测)正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则它的表面积为
( )
A ．4(33＋4)
B ．12(3＋2)
C ．12(23＋1)
D ．3(3＋8)
解析：如图所示， S ＝12×
34
×22
＋6×2×2 ＝123＋24 ＝12(3＋2)． 答案：B
10．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被
分成的三部分的体积的比是
( )
A ．1∶8∶27
B ．1∶1∶1
C ．1∶7∶19
D ．1∶2∶3
解析：如图所示是圆锥的轴截面，两个平行于圆锥底面的平面将圆锥分成了两个圆台和一个圆锥，设它们的高为h ，小锥体的底面半径以及圆台的底面半径，依次为r 1、r 2、r (从上到下)，体积依次为V 1、V 2、V 3，大圆锥的体积为V ，
V 1V ＝13πr 21h 13πr 2·3h ＝13·r 21
r 2＝13·(h 3h )2＝127
， 同理：
V 1＋V 2V ＝8
27
. ∴V 2V ＝827－V 1V ＝727，V 3
V ＝1－V 1＋V 2V ＝1927. ∴V 1∶V 2∶V 3＝1∶7∶19. 答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．(2012·厦门高一检测)如图(1)、(2)所示的三视图代表的立体图形分别是__________．
解析：由三视图的特征想象原几何体的特征分别为正六棱锥和两个圆台的组合体． 答案：正六棱锥、两个圆台的组合体
12．球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的________倍．
解析：设原球的半径为r ，则扩大为2倍后为2r ，V 扩＝43π×(2r )3＝32
3πr 3.原来球的体积
V ＝4
3
πr 3，故体积扩大为原来的8倍．
答案：8
13．(2012·西安高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________．
解析：长方体的对角线是球的直径，l ＝32＋42＋52＝5 2. 2R ＝52，∴R ＝52
2
，∴S ＝4πR 2＝50π. 答案：50π
14．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个棱锥后，剩下的凸多面体的体积为________．
解析：截去的每个小三棱锥体积为13×12×12×12×12＝148，所以截去部分的体积为8×148＝
16，即剩余部分的体积为1－16＝5
6
.
答案：5
6
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)画出如图所示的直三棱柱和正五棱柱的三视图．
解：如图(1)是直三棱柱的三视图，图(2)是正五棱柱的三视图．
16．(本小题满分12分)(2012·珠海高一检测)如图，已知几何体的三视图(单位：cm)． (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．
解：(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是由正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体． 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积
S ＝5×22＋2×2×2＋2×1
2×(2)2
＝22＋42(cm 2)，
所求几何体的体积V ＝23＋1
2
×(2)2×2＝10(cm 3)．
17．(本小题满分12分)有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一个圆台体，问容器中水的高度为多少．
解：作出圆锥和球的轴截面(如右图所示)，设圆锥底面半径为r ，母
线长为l，高为h，则
r＝
R
tan 30°＝3R，l＝2r＝23r，
h＝3r＝3R，
∴V水＝π
3r
2h－4π
3R
3
＝π
3·3R
2·3R－4π
3R
3＝5π
3R
3.
球取出后，水形成一个圆台，设圆台上底面半径为r′，高为h′，则下底面半径r＝3 R，
h′＝(r′－r′) tan 60°＝3(3R－r′)，
∴5π
3R
3＝
π
3h′(r
2＋r′2＋rr′)，
∴5R3＝3(3R－r′)(r′2＋3Rr′＋3R2)，∴5R3＝3(33R3－r′3)，
解得r′＝34
3
R＝
616
3
R，
∴h′＝(3－3
12)R.
18．(本小题满分14分)(2012·杭州高一检测)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求出该几何体的表面积．
解：(1)
(2)下底圆面积S1＝25π，
台体侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，
锥体侧面积S3＝π×2×22＝42π，
故表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋42)π.。