《信号与系统 》课件第5章

例5.2-5 已知如图5.2-3所示的离散系统的模拟框图，试 列写该系统的输入输出差分方程。
图5.2-3 例5.2-5用图
解 设左端加法器的输出为x(k)，相应延迟单元的输出为 x(k－1)、x(k－2)，如图5.2-3中所标。显然可得左端加法器输 出为
改写上式为
(5.2-12)
右端加法器输出为
对于n阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为Cλk的序列 组合而成，将Cλk代入式(5.2-24)，得
由于C≠0，消去C；且λ≠0，以λk－n除上式，得
(5.2-27) 上式称为差分方程式(5.2-9)和式(5.2-23)的特征方程，它有n个 根λi(i=1，2，…，n)，称为差分方程的特征根。显然，形式 为Ciλik的序列都满足式(5.2-23)，因而它们是方程(5.2-9)的齐 次解。
为消除中间变量x(k)，先求出y(k)的移位序列为
(5.2-13)
(5.2-14)
(5.2-15)
将式(5.2-13)和式(5.2-14)、式(5.2-15) 中y(k)及其移位序列 按式(5.2-12)中x(k)、x(k－1)、x(k－2)的系数配置相应的系数 并相加，即
将式(5.2-12)代入上式右端，即得系统的差分方程 (5.2-16)
y(1)=0.5
(5.2-20)
将y(1)=0.5，f(2)=2代入式(5.2-20)，得
y(2)=1.75
k=3时，有
(5.2-21)
将y(2)=1.75，f(3)=3代入式(5.2-21)，得
y(3)=2.125
重复进行这种迭代பைடு நூலகம்算，可以得到k为任意值时的输出y(k)。
5.2.4 差分方程的经典解与自由响应、强迫响应 参见后向差分方程的一般式(5.2-9)。设系统的单输入信
如图5.1-3(a)所示的双边指数序列，可以通过与图(b)所示 的单位阶跃序列相乘，截取为图(c)所示的单边指数序列(因果 序列)。
图5.1-2 复杂序列用单位阶跃序列表示
图5.1-3 序列与ε(k)相乘被截取
5.1.2 单位脉冲序列 单位脉冲序列定义为
(5.1-2)
其波形如图5.1-4所示。它与连续信号δ(t)的定义有着显著的区 别：δ(k)只在k＝0处定义函数值为1，而在k等于其余各整数时 函数值均为零。
(5.2-9)
1. 由实际问题列写差分方程 例5.2-3 向阳公司按时于每月初向银行存款f(k)万元，银 行按月实行复息(即上一个月底的本、息合在一起算作下一个 月计息时的本金)，利率为β万元／(月·万元)。第k月刚存款后 的本息为y(k)万元，试列写该实际系统问题的差分方程。
解 这个问题中f(k)即是系统的输入，y(k)即是系统的输出。 分析可知，第k月刚存款后的本息总额y(k)包含如下三部分： 本月刚存入的款项f(k)，上个月初存款后的本金y(k－1)，以及 y(k－1)在上个月获得的利息βy(k－1)。所以
5.1.1 单位阶跃序列 单位阶跃序列定义为
其波形如图5.1-1所示。
(5.1-1)
图5.1-1 单位阶跃序列波形图
为满足系统分析的需要，离散阶跃序列也如同连续阶跃 信号那样，可用来表示复杂的离散信号或截断离散信号。如 图5.1-2(a)所示的复杂序列f(k)可用图(b)所示的左移2位的单位 阶跃序列ε(k＋2)加上图(c)图所示的单位阶跃序列ε(k)，再减 去图(d)所示的经系数3加权(即相乘)且右移4位的单位阶跃序 列3ε(k－4)来表示，写为函数式表示，即为
2. 求特解 与微分方程特解相对应，差分方程的特解与输入f(k)的函 数形式雷同，表5.2-3列出了几种典型的输入f(k)所对应的特解 yp(k)。 根据输入f(k)的函数形式，按表5.2-3中相应栏目设定特解 yp(k)的函数形式，代入原差分方程运算，比较等式两端对应 项系数使之相等，建立以特解函数式中待定常数(或Pi或P，Q 或A，θ)为未知量的代数方程组，解之即得待定常数，这样就 完全确定了系统的特解yp(k)。
这一结果正确吗？
参看图5.1-8，当k－2<3即k＜5时有 (5.1-15)
当k－2≥3即k≥5时有 (5.5-16)
综合式(5.1-15)、式(5.1-16)，显然可知上述原式结果是正确的。
图5.1-8 例5.1-2示意用图
例5.1-3 计算换元移动累和式 解
或
5.2 LTI离散系统的自由响应、强迫响应 与零输入响应、零状态响应
图5.2-2 梯形电阻衰减网络
解 对第k－1节点列写KCL方程，有
整理上式得
(5.2-11)
3. 由模拟框图列写差分方程 由式(5.2-9)或式(5.2-10)、式(5.2-11)可见，差分方程表述 的运算关系有延时(移位)、数乘及相加运算，与连续系统对 应，定义离散系统中使用的理想运算部件的模型符号与相应 的运算功能于表5.2-1中。
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.1 单位阶跃序列与单位脉冲序列 5.2 LTI离散系统的自由响应、 强迫响应与
零输入响应、 零状态响应 5.3 单位序列响应与单位阶跃响应 5.4 卷积和及其应用
5.1 单位阶跃序列与单位脉冲序列
单位阶跃序列ε(k)、单位脉冲序列δ(k)分别对应连续单位 阶跃信号ε(t)和单位冲激信号δ(t)，二者也是最基本的离散信 号，在离散系统时域分析中充当着重要角色。
图5.1-4 单位脉冲序列波形
若δ(k)平移m位，则可书写为 其波形如图5.1-5所示。图中假设m>0。
(5.1-3)
图5.1-5 单位脉冲序列平移m位后的波形
一般的离散序列信号均可以用单位脉冲序列的移位、加 权代数和来表示。如图5.1-6中的f1(k)和f2(k)可分别写为
改写上式为简洁的和式
(5.2-4)
2. 序列的累和运算 这里所述的序列累和运算，确切地说应是序列的换元移 动累和运算，与连续信号的换元移动积分运算相对应。在5.1 节中讨论δ(k)与ε(k)关系及阐述δ(k)的性质时已讲述了关于δ(k) 的换元移动累和运算，这里仅给出一般序列f(k)的累和运算式
(5.2-5)
例5.2-1 计算序列f(k)=k2+4的差分Δf(k)，Δ2f(k)， 解
解 先求齐次解。由式(5.2-32)写得差分方程的特征方程 为
6λ2－5λ+1=0
解得
设方程的齐次解为
(5.2-33)
再求特解。由已知的输入，查表5.2-3，设特解为 其移位序列
将上式两端消去(2)k，解得
于是得特解
差分方程的全解为
将已知的初始条件代入上式，有
联立解以上两式，得
所以系统的全解为 (5.2-31)
例5.2-8 某离散系统的差分方程为
(5.2-32)
已知起始条件y(－1)=－6, y(－2)=－20；输入f(k)=10cos(πk/2)。 求系统的全响应y(k)。
方程的一般形式本应为
考虑离散信号整变量的特点，Δk=1，则有
(5.2-6)
所以方程(5.2-6)又可改写为 (5.2-7)
将离散序列的差分运算表示为序列移位加权代数和的形式， 再将上式改写为业内人士共识的差分方程的通用形式
(5.2-8)
式(5.2-8)称为LTI离散系统n阶前向差分方程的一般形式。类 似地，也可得到LTI离散系统的n阶后向差分方程的一般形式
式(5.2-1)称为序列f(k)的一阶前向差分，式(5.2-2)称为序列f(k) 的一阶后向差分。类似地，也可以定义序列的二阶差分及更 高阶的差分运算。这里只导出二阶前向及后向差分运算的定 义式。
序列的二阶差分就是对序列的一阶差分再施行一阶差分 运算，如序列二阶前向差分为
(5.2-3)
序列二阶后向差分为
5.2.1 离散信号的差分运算与累和运算 1.序列的差分运算 与连续信号微分运算相对应，离散信号有差分运算。一
阶前向、后向差分运算本来的定义式分别应为 因为离散信号变量k为整变量，所以前向差分定义式中前向变 量增量Δk=(k+1)－k=1，后向差分定义式中后向变量增量
k=k－(k－1)=1。
于是一阶前向、后向差分运算的常用定义式分别为 (5.2-1) (5.2-2)
5.2.3 差分方程的迭代解法 例5.2-6 某LTI离散系统的差分方程为
(5.2-17) 已知初始条件y(0)=1，输入f(k)=kε(k)，求输出y(k)。
解 将式(5.2-17)改写为 k=1时，有
(5.2-18) (5.2-19)
将y(0)=1，f(1)=1代入式(5.2-19)，得
k=2时，有
3. 求全解 由式(5.2-22)可知，系统的齐次解与特解之和即是系统的 全解。设n阶LTI离散系统的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单 根，则全解为
(5.2-28) 若n阶LTI离散系统的特征根λi(i=1，2，…，n)中λ1是r重根， 其余根为相异单根，则全解为
(5.2-29)
例5.2-7 一LTI离散系统的差分方程为
(5.1-8)
(5.1-9)
(5.1-10)
(3) 偶函数性。由式(5.1-2)的δ(k)定义式或图5.1-４的δ(k) 的波形图不难看出，δ(k)具有偶函数性，即有
(5.1-11) 对照连续信号ε(t)与δ(t)之关系，考虑离散信号只对整变量有 定义的特点并联系ε(k)、δ(k)的定义，即可得到ε(k)与δ(k)有下 列重要关系：
整理上式，得差分方程
(5.2-10)
2. 由电路问题列写差分方程 例5.2-4 图5.2-2所示为电阻梯形衰减器网络，图中电 阻R、电压源us均为常数。设各节点电压为u(k)，其中k=0， 1, 2, …，N为各节点的序号。显然其边界条件为u(0)=us， u(N)=0。试列写可以求得节点电压uk的差分方程。
号为f(k)且k=0时加入系统，其单输出信号为y(k)。与微分方程 的经典解相类似，差分方程的解也由齐次解和特解两部分组 成。齐次解用yh(k)表示，特解用yp(k)表示，即
(5.2-22)
1. 求齐次解 当式(5.2-9)右端输入及其移位项均为零时即成为齐次方程， 即
(5.2-23) 为分析问题简便，取上式中的an=1。齐次方程的解即是 系统的齐次解。换言之，齐次解应满足上面的齐次方程，即
(5.1-4)
图5.1-6 用单位脉冲序列表示一般的序列信号
根据单位脉冲序列定义，亦可得到与单位冲激信号δ(t)类 似的几个重要性质：
(1) 序列f(k)与单位脉冲序列相乘。若f(k)为有界序列，则 (5.1-5) (5.1-6) (5.1-7)
(2) 筛选性。对式(5.1-5)~式(5.1-7)分别作k＝－∞～+∞求 和(对应连续信号t=－∞～+∞ 积分)计算，显然可得
(5.2-30) 已知y(0)=0，y(1)=2，f(k)=(2)k，k≥0。求系统输出y(k)。
解 先求齐次解。由已知的差分方程写特征方程为 解得特征根λ1=－1，λ2=－2，则齐次解为
再求特解。由已知的输入f(k)，由表5.2-3设特解为 将yp(k)，yp(k－1)，yp(k－2)代入式(5.2-30)，得
(5.2-24)
设一阶差分方程的齐次解满足的方程为 改写上式为
(5.2-25)
yh(k)与yh(k－1)之比等于－a表明，序列yh(k)是一个公比 为－a的等比级数，因此yh(k)应有如下函数形式
(5.2-26)
上式中C是待定常数，由初始条件确定。由式(5.2-26)可以看 出，yh(k)与一阶连续系统齐次解yh(t)=Ce－at有着明显的区别， 特别提醒读者不要把二者搞混淆了。
(5.1-12) (5.1-13)
令k－m＝n并代入上式，考虑m＝0时n＝k，m＝∞时 n＝－∞，得
(5.1-14)
图5.1-7 换元移动累和示意图
当k＜0时，累和区间内δ(n)值均为零，所以累和值等于 零；当k≥0时，累和区间包含着δ(n)，所以累和值等于1。故
例5.1-1 计算和式 解
例5.1-2 计算换元移动累和式 解 考虑单位脉冲序列的偶函数性及式(5.1-6)关系，所以
例5.2-2 计算图5.2-1所示序列f(k)的累和 并画出其图形。
解 将k换为m，f(k)→f(m)，观察图5.2-1(a)。 当k<－2时，
当k=－2时，
图5.2-1 例5.2-2用图
当k=－1时， 当k=0时，
当k=1时， 当k=2时，
5.2.2 LTI离散系统的差分方程 与连续系统微分方程的一般形式相对应，离散系统差分