七年级上册上海娄塘学校数学期末试卷测试题(Word版 含解析)

七年级上册上海娄塘学校数学期末试卷测试题（Word版含解析）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，， .
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）若，求的度数；
（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角，试探究等于多少度时，并简要说明理由.
【答案】（1）解：，理由如下：
，
（2）解：如图①，设，则，
由（1）可得，
，
，
（3）解：分两种情况：
①如图1所示，当时，，
又，
；
②如图2所示，当时，，
又，
.
综上所述，等于或时， .
【解析】【分析】（1）由∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可求出∠BCD+∠ACE的度数.
（2）如图①，设∠ACE=a，可得∠BCD=3a，结合（1）可得3a+a=180°，求出a的度数，即得∠BCD的度数.
（3）分两种情况讨论，①如图1所示，当AB∥CE时，∠BCE=180°-∠B=120°，②如图2所示，当AB∥CE时，∠BCE=∠B=60°，分别求出∠BCD的度数即可.
2．已知：线段AB=30cm.
（1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以4厘米/秒运动，经过几秒，点P、Q两点能相遇？
（2）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，点P出发3秒后，点Q沿线段BA自B点向A点以4厘米/秒运动，问再经过几秒后点P、Q两点相距6cm？
（3）如图2，AO=4cm，PO=2cm，∠POB=60°，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若P、Q两点能相遇，直接写出点Q运动的速度.
【答案】（1）解：30÷(2+4)=5(秒)，
答：经过5秒，点P、Q两点能相遇.
（2）解：设再经过x秒后点P、Q两点相距6cm.
当点P在点Q左边时，2(x+3)+4x+6=30
解得x=3；
当点P在点Q右边时，2(x+3)+4x-6=30
解得x=5，
所以再经过3或5秒后点P、Q两点相距6cm；
（3）解：设点Q运动的速度为每秒xcm.
当P、Q两点在点O左边相遇时，120÷60x=30-2，
解得x=14；
当P、Q两点在点O右边相遇时，240÷60x=30-6，
解得x=6，
所以若P、Q两点能相遇点Q运动的速度为每秒14cm或6cm.
【解析】【分析】(1)根据点P、Q运动路程和等于AB求解；(2)分点P在点Q左右两边两种可能来解答；(3)分情况讨论，P、Q在点O左右两边相遇来解答.
3．如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由）
【答案】（1）解：∠ACE=∠BCD，理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD；
（2）解：若∠DCE=30°，∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°，
∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，
∠ACB=90°+60°=150°
（3）解：猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：
∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，
∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°
（4）解：成立．
【解析】【分析】（1）根据余角的性质，可得答案；（2）根据余角的定义，可得∠ACE，根据角的和差，可得答案；（3）根据角的和差，可得答案；（4）根据角的和差，可得答案．
4．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转.
（1）直接写出∠DPC的度数.
（2）如图②，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当PC与PB重合时，求旋转的时间是多少？
（3）在（2）的条件下，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请直接写出旋转的时间.
【答案】（1）解：∠DPC=180°-∠APC-∠BPD=180°-60°-30°=90°
故答案为：90°
（2）解：设旋转的时间是t秒时PC与PB重合，根据题意列方程得
5t-t=30+90
解得t=30
又∵180÷5=36秒
∴30＜36
故旋转的时间是30秒时PC与PB重合
（3）解：设t秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角，分三种情况：
①当PD平分∠BPC时，5t-t=90-30，解得t=15
②当PC平分∠BPC时，，解得t=26.25
③当PB平分∠DPC时，5t-t=90-2×30，解得t=37.5
故15秒或26.25秒或37.5秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角
【解析】【分析】（1）易得∠DPC=180°-∠APC-∠BPD即可求（2）只需设旋转的时间是t 秒时PC与PB重合，列方程解可得（3）一条射线平分另两条射线的夹角，分三种情况：当PD平分∠BPC时；当PC平分∠BPC时；当PB平分∠DPC时，计算每种情况对应的时间即可.
5．已知：，点，分别在，上，点为，之间的一点，连接， .
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，，，分别为，，，的角平分线，求证与互补；
【答案】（1）证明：过C点作CG∥MN，
∵，
∴，
∴∠MAC=∠ACG,∠PBC=∠GCB，
∵∠ACB=∠ACG+∠GCB，
∴∠ACB=∠MAC+∠PBC
（2）证明：由（1）同理可知，
∵，，，分别为，，，的角平分线，
∴∠DAE=∠DBE= =90°，
∴∠D+∠E=360°-（∠DAE+∠DBE）=180°，
∴与互补.
【解析】【分析】（1）过C点作CG∥MN，再根据两直线平行，内错角相等即可证明；（2）由（1）可知，，再根据角平分线的性质与平角的性质知∠DAE=∠DBE=90°，即可证得 + =180°.
6．课题学习：平行线的“等角转化功能.
（1）问题情景：如图1，已知点是外一点，连接、，求的度数.
天天同学看过图形后立即想出：，请你补全他的推理过程.解：（1）如图1，过点作，∴ ________， ________.
又∵，∴ .
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）问题迁移：如图2，，求的度数.
（3）方法运用：如图3，，点在的右侧，，点在的左侧，，平分，平分，、所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数.
【答案】（1）∠EAB；∠DAC
（2）解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，
∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°，
（3）解：如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE= ∠ABC=30°，∠CDE= ∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
【解析】【解答】解：（1）根据平行线性质可得：因为，所以∠EAB，∠DAC；
【分析】（1）根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）过C作CF∥AB，根据平行线性质可得；（3）
如图3，过点E作EF∥AB，根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE= ∠ABC=30°，
∠CDE= ∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF.
7．如图，∠AOB是平角，OD是∠AOC的角平分线，∠COE＝∠BOE．
（1）若∠AOC＝ 50 ，则∠DOE＝________ ；
（2）若∠AOC＝ 50 ，则图中与∠COD互补的角为________；
（3）当∠AOC的大小发生改变时，∠DOE的大小是否发生改变？为什么？
【答案】（1）
（2）∠BOD
（3）解：不发生改变，
设∠AOC＝2x .
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD ＝∠COD＝x，
∴∠BOC＝180 ̶2x，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE＝＝90 +x，
∴∠DOE＝90 +x ̶x＝90
【解析】【解答】（1）解：∵∠AOC=50 ，
∴∠BOC=180 130 ，
∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠AOD=∠COD=25 ，
∴∠COE＝∠BOE= ，
∴∠DOE=115 ；
故答案为：90
（ 2 ）解：由（1）知∠AOD=∠COD=25 ，
∴∠BOD=155 ，
∴图中与∠COD互补的角为∠BOD；
故答案为：∠BOD
【分析】（1）由∠AOC=50 ，得到∠AOD=∠COD=25 ，∠BOC=130 ，求得∠COE＝∠BOE=115 ．即可求出∠DOE；（2）由（1）得∠AOD=∠COD=25 ，则∠BOD=155 ，即可得到答案；（3）设∠AOC＝2x，则∠AOD ＝∠COD ＝x，得到∠COE=90 +x，即可得到∠DOE＝90 .
8．某数学活动小组在做角的拓展图形练习时，经历了如下过程：
（1）操作发现：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，如图：将图1中的三角板绕点O旋转，当直角三角板的OM边在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC时，如图2．则下列结论正确的是________（填序号即可）.
①∠BOM=60°②∠COM-∠BON=30°③OB平分∠MON④∠AOC的平分线在直线ON上（2）数学思考：同学们在操作中发现，当三角板绕点O旋转时，如果直角三角板的OM 边在∠BOC的内部且另一边ON在直线AB的下方，那么∠COM与∠BON的差不变，请你说明理由；如果直角三角板的OM、ON边都在∠BOC的内部，那么∠COM与∠BON的和不变，请直接写出∠COM与∠BON的和，不要求说明理由．
（3）类比探索：三角板绕点O继续旋转，当直角三角板的ON边在∠AOC的内部时，如图3，求∠AOM与∠CON相差多少度？为什么？
【答案】（1）①②④
（2）解：① ，
，
；
②由题意可得：
（3）解：，，
【解析】【解答】解：（1），OM平分，
，故①正确；
，，
，，
，故②正确；
，，
平分，错误；
，，
，
的平分线在直线ON上，故④正确；
故答案为①②④
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BOM=∠COM=∠BOC=60°，即得∠BON=∠MON-∠BOM=30°，从而求出∠COM-∠BON=30°据此判断①②③；由∠AOC=180°-∠AOC=60°，利用角平分线定义可得∠AOD=30°，从而判断∠AOC的平分线在直线ON上，据此判断④；
（2）由∠COM=120°-∠BOM，∠BON=90°-∠BOM，即可求出结论；
（3）由∠AOM=90°-∠AON，∠CON=∠AOC-∠AON=60°-∠AON，两式相减即可求出结论.
9．已知：在和中，，，将如图摆放，使得的两条边分别经过点和点 .
（1）当将如图1摆放时，则 ________度.
（2）当将如图2摆放时，请求出的度数，并说明理由.
（3）能否将摆放到某个位置时，使得、同时平分和？直接写出结论________（填“能”或“不能”）
【答案】（1）240
（2）∠ABD+∠ACD=40°；
理由如下：
∵∠E+∠F=100°
∴∠D=180°−(∠E+∠F)=80°
∴∠ABD+∠ACD=180°−∠A−∠DBC−∠DCB=180°−40°−(180°−80°)=40°；
（3）不能
【解析】【解答】解：(1)在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−40°=140°
在△BCD中,∠D+∠BCD+∠CBD=180°
∴∠BCD+∠CBD=180°−∠D
在△DEF中,∠D+∠E+∠F=180°
∴∠E+∠F=180°−∠D
∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°；
故答案为：240；
( 3 )不能.假设能将△DEF摆放到某个位置时,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB.则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°,那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能.
【分析】（1）要求∠ABD+∠ACD的度数,只要求出∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD,利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°;∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°,从而得出答案；
（2）要求∠ABD+∠ACD的度数，只要求出∠ABC+∠ACB-（∠BCD+∠CBD）的度数.根据三角形内角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°；根据三角形内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，得出∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-（∠BCD+∠CBD）=140°-100°=40°；
（3）不能，假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB，则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能.
10．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?
小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。

(直接写出结论)
问题情境2
如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。

(直接写出结论)
问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题:
已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
（1）如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数；
（2）如图5中,∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论。

（3）若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,设∠E=m°,用含有n,m°的代数式直接写出∠M=________.
【答案】（1）解：根据问题情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF
∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE
∴∠FBE+∠FDE=∠BFD
∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°
∴80°+∠BFD+∠BFD=360°
∴∠BFD=140°
（2）结论为：6∠M+∠E=360°
证明：∵∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM
∵∠ABE+∠CDE+∠E=360°
∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°
∵∠M=∠ABM+∠CDM
∴6∠M+∠E=360°
（3）证明：根据（2）的结论可知
2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°
2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360°
∵∠M=∠ABM+∠CDM
∴2n∠M+m°=360°
∴∠M=
【解析】问题情境1: 图1中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P+∠B+∠D=360°，问题情境2：图3中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P=∠B+∠D；
【分析】问题情境1和2 过点P作EP∥AB，利用平行线的性质，可证得结论。

（1）利用问题情境2的结论，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根据角平分线的定义得出∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE，再证明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°，就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°，解方程求出∠BFD的度数即可。

（2）根据已知可得出∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，再根据角平分线的定义得出，∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，然后根据问题情境1的结论∠ABE+∠CDE+∠E=360°，可推出6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°，变形即可证得结论。

（3）根据已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，再根据∠M=∠ABM+∠CDM，代入变形即可得出结论。

11．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．
（1）若，，求∠D的度数；
（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，
∵CD平分△ABC的外角，
∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.
（2）解：猜想：∠ D = ( ∠ M + ∠ N − 180 ° ).
∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,
∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.
=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.
=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.
= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,
或写成
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°，根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°，最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；
(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.
12．探究与发现：
（1）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系.
（2）探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系.
（3）探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探
究∠P与∠A+∠B的数量关系.
（4）探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：▲ .
【答案】（1）解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；
（2）探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°- ∠ADC- ∠ACD，
=180°- （∠ADC+∠ACD），
=180°- （180°-∠A），
=90°+ ∠A；
（3）探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°- ∠ADC- ∠BCD，
=180°- （∠ADC+∠BCD），
=180°- （360°-∠A-∠B），
= （∠A+∠B）；
（4）探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）•180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°- ∠EDC- ∠BCD
=180°- （∠EDC+∠BCD）
=180°- （720°-∠A-∠B-∠E-∠F）
= （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°.
【解析】【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可.
13．如图①，已知AB//CD， AC//EF
（1）若∠A=75°，∠E=45°，求∠C和∠CDE的度数；
（2）探究：∠A、∠CDE与∠E之间有怎样的等量关系？并说明理由.
（3）若将图①变为图②，题设的条件不变，此时∠A、∠CDE 与∠E之间又有怎样的等量关系，请直接写出你探究的结论.
【答案】（1）解：在图①中，
∵AB∥CD
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=75°，
∴∠C=180°-∠A=180°-75°=105°，
过点D作DG∥AC，
∵AC∥EF，
∴DG∥AC∥EF，
∴∠C+∠CDG=180°，∠E=∠GDE，
∵∠C=105°，∠E=45°，
∴∠CDG=180°-105°=75°，∠GDE=45°，
∵∠CDE=∠CDG+∠GDE，
∴∠CDE=75°+45°=120°；
（2）解：如图①，通过探究发现，∠CDE=∠A+∠E.
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
过点D作DG∥AC，
∵AC∥EF，
∴DG∥AC∥EF，
∴∠C+∠CDG=180°，∠GDE=∠E，
∴∠CDG=∠A，
∵∠CDE=∠CDG+∠GDE，
∴∠CDE=∠A+∠E；
（3）解：如图②，通过探究发现，∠CDE=∠A-∠E.
∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
∵AC∥EF，
∴∠E=∠CHD，
∵∠CHD+∠C+∠CDE=180°，
∴∠E+∠C+∠CDE=180°，
∴∠E+∠CDE=∠A，
即∠CDE=∠A-∠E.
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质定理可得∠C，过点D作DG∥AC，可得DG∥AC∥EF，利用平行线的性质定理可得∠CDG，由∠CDE=∠CDG+∠GDE，代入数值可得
结果；
（2）利用平行线的性质和同角的补角相等得∠A=∠CDG，由角的和及等量代换可得；（3）利用平行线的性质定理和三角形的内角和定理可得结论.
14．如图1，，点，分别在，上，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转.射线转动的速度是每秒度，射线转动的速度是每秒度.
（1）直接写出的大小为________；
（2）射线、转动后对应的射线分别为、，射线交直线于点，若射线比射线先转动秒，设射线转动的时间为秒，求为多少时，直线直线？
（3）如图2，若射线、同时转动秒，转动的两条射线交于点，作，点在上，请探究与的数量关系.
【答案】（1）60°
（2）解：设灯转动t秒，直线直线，
①当时，如图，
，
，
，
，
，
，
解得；
②当时，如图，
，，
，
，，解得，
综上所述，当秒或秒时直线；
（3）解：和关系不会变化，
理由：设射线AM转动时间为m秒，
作，，，
，，
，
，，
，而，
，
，
，
，
即，
和关系不变.
【解析】【解答】解：（1）∵
，
∴，
∴（两直线平行，内错角相等）
故结果为：；
【分析】(1)根据得到，再根据直线平行的性质即可得到答案；(2)设灯转动t秒，直线直线，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；(3)根据补角的性质表示出，再根据三角形内角和即可表示出，即可得到答案；
15．
（1）①如图1，已知，，可得 ________.
②如图2，在①的条件下，如果平分，则 ________.
③如图3，在①、②的条件下，如果，则 ________.
（2）尝试解决下面问题：已知如图4，，，是的平分线，，求的度数.
【答案】（1）60°；30°；60°
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴ .
∵是的平分线，
∴
∵，
∴ .
【解析】【解答】解：(1)①由两直线平行，内错角相等得到∠BCD=60°；
②如果平分，则 =30°；
③如果，则 90°－ 60°.
【分析】(1) ①根据两直线平行,内错角相等即可求解;②根据角平分线的定义求解即可;③根据互余的两个角的和等于90°,计算即可;(2)先根据两直线平行,同旁内角互补和角平分线的定义求出∠BCN的度数,再利用互余的两个角的和等于90°即可求出.。