相关函数 (DEMO)

信号的自相关函数描述了信号x(t)本身在一个时刻t与另一个时刻t ＋τ取值之间的相似关系。

自相关函数是区别信号类型的—个非常有效的手段。

例如．如果信号的自相关函数中有不衰减成分，具有周期性，根据性质4，该信号中必含有该周期成分。

再如，对随机噪声来说．根据τ增大时，自相关函数衰减至零的快慢，就可判断噪声是宽带还是窄带。

图6—8是四种典型信号的自相关函数：
在实际应用中，可以利用相关函数的性质，用相关的方法来区分和处理不同结构(即具有不同的复杂分量)的各类信号或测量系统的延时等。

例如．确定信号通过一给定系统所需的时间(输出滞后输入的时间)。

若系统是线性的，则滞后时间可直接用输入、输出互相关图上峰值的位置来确定。

利用互相关函数可识别、提取含有噪声成分的信号。

例如，对一线性系统进行激振，测得的振动信号中含有大量的噪声干扰。

根据线性系统的频率保持特性，只有与激振频率相同的成分才可能是由激振而引起的响应，因干扰信号与激振信号不同频(即不相关)，所以，只要将激振信号和测得信号进行互相关处理，这样可得到由激振引起的响应，消除了噪声干扰的影响。

与自功率谱相比，互谱的最大特点是保留了原信号的幅值、频率和相位三个基本信息。

互谱密度函数，在工程测试中得到广泛的应用。

相干函数常用来评价系统的输入信号和输出信号之间的因果性，也就是在输出信号的功率谱中有多少是输入量所引起的响应，在信号分析中经常是工程人员所关心的。

相干函数γ²
xy
(f)反映了输出信号y(t)在多大程度上来源于输入信号x(t)，它有如下三种情况
1)当γ²
xy
(f)＝1时，表示信号y（t）完全源于x(t)，系统作不失真测试；
2）当γ²
xy
(f)＝0时，表示信号y（t）和x(t)是统计独立的，既不相干；
3)当0＜γ²
xy (f)＜1时，表示各频率范围内，信号y(t)只有一部分来源于信号x(t)，
其余部分是来源于其他振源或外界噪声或者测试系统是非线性的。

相关分析是在时域中分析随机信号的方法，为在噪声背景下提取有用信息提供了途径。

功率谱分析则是从频域提供相关技术所能提供的信息，它是在频域内研究平稳随机过程的重要方法。

前面已经讲述了确定性信号的时域和频域描述方法，它们都有确定的时域波形和频谱。

信号在时域上的变化，必然引起频谱的相应变化。

因为随机信号在时域上的波形是不确定的，因而也无法直接瞄述其确切的频谱。

也就是说，它的频谱也具有其种程度上的不确定性。

但在工程测试中常常需要了解如随机噪声、随机振动大致确定的频谱描述。

随机信号是不可积的，即能量是无限的，但它的功率却是有限的．换句话说，它在不同时刻的取值虽不能确定，但在单位时间内所提供的能量(功率)却基本确定。

由此引出功率谱这一概念。

作为功率信号的随机信号不满足傅里叶变换所需要的前提——绝对可积充要条件，也就无法用傅里叶变换求其频谱。

但随机信号x(t)的自相关函数是随时差τ的增加而衰减的。

即R x (τ)是收敛的，满足可积条件。

自相关函数的主要用途是：
1．判断原信号的性质。

例如，周期信号的自相关函数仍为相同周期的周期函数，而随机
信号的自相关函数当∞→τ时，,)(2X X E R →τ若0=X E ,则0)(→τX R ，如图所示：
2．检测混杂在随机噪声信号中的确定性信号。

例如，若随机信号)(t x 由信号)(t s 和完全独立的高斯噪声)(t n 构成，则)(t x 的自相关函数等于各独立信号自相关之和，即：)
()()(τττn S X R R R +=由于0)(lim =∞
→ττn R ,所以当τ较大时，)()(ττs x R R ≈，于是可以从自相关函数中提取出确
定性信号，如图所示：
互相关函数的主要用途是：
1)确定信号通过某一给定系统所需的时间。

例如，图2—5—5展示的互相关分析结果表明，信号X(t)经过系统输出y(t）的时间为0．035
秒。