威海市八年级数学下册第十七章《勾股定理》复习题(培优专题)(1)

一、选择题
1．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF B
解析：B
【分析】
设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】
解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，
CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，
GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB、CD、EF、GH各自的长度. 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）
A．a＝7，b＝25，c＝24 B．a＝11，b＝41，c＝40
C．a＝12，b＝13，c＝5 D．a＝8，b＝17，c＝15B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【详解】
解：A、72+242＝52，能构成直角三角形，不符合题意；
B、112+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；
D、82+152＝172，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，准确分析计算是解题的关键．
3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为（ ）
A ．103
B ．256
C ．203
D ．154
C 解析：C
【分析】
利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．
【详解】
解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，
∴22221086BC AB AC =-=-=，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴BD=12
AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6
在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253
x =
∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，ED=22222520()533
BE BD -=
-=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
4．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，△ABC 的面积为120，则△BCD 的面积为（ ）
A ．20
B ．24
C ．30
D ．40C 解析：C
【分析】
根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求得CD 3x ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝23x ，根据△ABC 的面积为120，即11202
AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】
解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，
∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，
在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，
∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，
CD ()2
22223BC BD x x x -=-=， ∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，
∴AC ＝2BC ＝23x ，
∵△ABC 的面积为120， ∴1122312022
ABC S AC BC x x =⨯⨯=⨯⨯=， 解得：2=203x ∵211333203=3022BCD S BD CD x x =⨯⨯=⨯=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．
5．如图，平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点B 、C 的坐标分别为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
．若ABC ∆是等边三角形，则点A 的坐标为（ ）
A．
1
,3
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．
1
,2
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C．
1
3,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．()
1,3 A
解析：A
【分析】
先过点A作AD⊥OB，根据△ABC是等边三角形，求出AC=BC，CD=BD，∠ACB=60°，再根据点B、C的坐标，求出CB的长，再根据勾股定理求出AD的值，从而得出点A的坐标．【详解】
过点A作AD⊥OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，CD=BD，∠ACB=60°，
∵点B的坐标为
3
,0
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，点C的坐标为
1
,0
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
∴BC=2，OC=1
2
∴CA=2，
∴CD=1，
∴2222
=1=3
2
CA CD
--
∵OD=CD-CO
∴OD=1-1
2= 1 2
∴点A的坐标是
1
3
2
⎛
⎝
．
故选A．【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A 的坐标．
6．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为（ ）
A ．514
B ．8
C ．16
D ．64D
解析：D
【分析】 设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得222+=a b c ，代入得到
2225289a +=，计算求出答案即可．
【详解】
如图，设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得
222+=a b c ，
∴2225289a +=，
∴字母A 所代表的正方形的面积264a =，
故选：D ．
．
【点睛】
此题考查以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关键．
7．如图，在长为10的线段AB 上，作如下操作：经过点B 作BC AB ⊥，使得12
BC AB =
；连接AC ，在CA 上截取CE CB =；在AB 上截取AD AE =，则AD 的长为（ ）
A ．555
B ．55-
C ．10510
D ．555A
解析：A
【分析】
由勾股定理求出AC=55，则AD=AE=AC-CE=55-5即可．
【详解】
解：∵BC ⊥AB ，AB=10，CE ＝BC=
1110522AB =⨯=， ∴AC=222210555AB BC +=+=，
∴AD=AE=AC-CE=555-，
故选：A
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（ ）
A ．34h <<
B ．34h ≤≤
C ．24h ≤≤
D ．4h = B
解析：B
【分析】 根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．
【详解】
①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长2234+，高为12cm ，
由勾股定理可得：杯里面管长22512+＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），
∴34h ≤≤
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．
9．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在边BC 上，AD =BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．若AC =12，BC =16，则AE 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12C
解析：C
【分析】 首先根据勾股定理求得斜边AB 的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE 的长度．
【详解】
解：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16， 由勾股定理知：2222121620AB AC BC =+=+=，
∵AD=BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．
∴1102
AE BE AB ==
=， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
10．如图，长方形ABCD 中，43,4AB BC ==，点E 是DC 边上的动点，现将BCE 沿直线BE 折叠，使点C 落在点F 处，则点D 到点F 的最短距离为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2B
解析：B
【分析】 连接DB ，DF ，根据三角形三边关系可得DF+BF ＞DB ，得到当F 在线段DB 上时，点D 到点F 的距离最短，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：连接DB ，DF ，
在△FDB 中，DF+BF ＞DB ，
由折叠的性质可知，FB=CB=4，
∴当F 在线段DB 上时，点D 到点F 的距离最短，
在Rt △DCB 中，228BD DC BC =
+=，
此时DF=8-4=4，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是翻转变换的性质，勾股定理，三角形三边关系．翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 二、填空题
11．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD 的方法证明了勾股定理（如图），若Rt ABC △的斜边10AB =，=6BC ，则图中线段CE 的长为______．
【分析】根据勾股定理求出AC 根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6EF ＝AC ＝8求出FC 根据勾股定理计算得到答案【详解】解：在Rt △ABC 中AC ＝∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ∴AF ＝BC ＝6EF ＝A 解析：17【分析】
根据勾股定理求出AC ，根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，求出FC ，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，AC 22221068AB BC -=-=，
∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ，
∴AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，
∴FC＝AC﹣AF＝2，
∴CE＝2222
82217
EF FC
+=+=，
故答案为：217．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
12．如图，已知圆柱体底面圆的半径为a
π
，高为2,AB CD
、分别是两底面的直径，
,
AD BC是母线．若一只蚂蚁从A点出发，从侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）
【分析】要求一只蚂蚁从A点出发从侧面爬行到C点蚂
蚁爬行的最短路线利用在圆柱侧面展开图中线段AC的长度即为所求【详解】解：圆柱的展开图如下在圆柱侧面展开图中线段AC的长度即为所求在Rt△ABC 中AB=
解析：2+4
a
【分析】
要求一只蚂蚁从A点出发，从侧面爬行到C点，蚂蚁爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段AC的长度即为所求．
【详解】
解：圆柱的展开图如下，
在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求，
在Rt △ABC 中，AB=π•a π=a ，BC=2，则：2222=+=4AC AB BC a +，所以AC=2+4a ． 即蚂蚁爬行的最短路线的长度为2+4a ．
故答案是2+4a ．
【点睛】
本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图． 13．如图，已知点A ，点B 分别为y 轴和x 轴正半轴上两点，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，点A ，点B ，点C 按顺时针方向排列，若4,AB AOB =∆的面积为3，则点C 的坐标为_________．
或【分析】过点C 作交x 轴于点N 延长NC
至点M 使根据勾股定理解得ACBC 的长再证明由全等三角形对应边相等解得再根据设用加减消元法解得x 的值最终得到点C 的坐标【详解】解：过点C 作交x 轴于点N 延长NC 至点
解析：()1,1-或()1,1-
【分析】
过点C 作CN OA ⊥交x 轴于点N ，延长NC 至点M 使BM CM ⊥，根据勾股定理解得AC 、BC 的长，再证明()NAC BCM AAS ≅，由全等三角形对应边相等解得NC BM =，再根据3AOB S =△，设=,NC BM x ON AN CM y ====，用加减消元法解得x 的值，最终得到点C 的坐标．
【详解】
解：过点C 作CN OA ⊥交x 轴于点N ，延长NC 至点M 使BM CM ⊥，
Rt ABC 为等腰直角三角形，
222AC BC AB ∴+=
22AC BC ∴==90NAC ACN ∠+∠=︒
90BCM ACN ∠+∠=︒
NAC MCB ∴∠=∠
()NAC MCB AAS ∴≅
NC BM ∴=
设=,NC BM x ON AN CM y ====
AO y x ∴=-
在t R CMB 中，222
8x y BC +==① 3AOB S =
1()()32
x y y x ∴+-= 226y x -=②
①-②得，
21x =
1x ∴=±
(1,1)C ∴-或(1,1)C -
故答案为：()1,1-或()1,1-．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，其中涉及勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．如图，90MON ∠=︒，点A 、B 分别在射线OM ，ON 上，点C 是线段AB 的一点，且2BC AC OC ===，A OC '与AOC 关于直线OC 对称，A O '与AB 相交于点D ，当
A DC ∆'是直角三角时2O
B 等于__________．
4或【分析】分两种情况讨论：①当时和②当时分别利
用轴对称性质和勾股定理求解即可【详解】解：分两种情况讨论：①当时如图1此时由折叠可知；②当时如图2过点作于点由折叠可知在中在中在中；综上或故答案为：4
解析：4或842-
【分析】
分两种情况讨论：①当90A DC '∠=︒时和②当90A CD '∠=︒时，分别利用轴对称性质和勾股定理求解即可．
【详解】
解：2BC AC OC ===，
4AB BC AC ∴=+=．
分两种情况讨论：
①当90A DC '∠=︒时，如图1，
此时90ADO ∠=︒，
由折叠可知，
CA CA '=，
OC CA =，
OC CA '∴=，
COA CA O ''∴∠=∠，
COA CAO ∠=∠，
COA COA CAO '∴∠=∠=∠，
90COA COA CAO '∠+∠+∠=︒，
30COA COA CAO '∴∠=∠=∠=︒，
∴114222
OB AB ==⨯=， 24OB ∴=；
②当90A CD '∠=︒时，如图2，过点O 作OH AB ⊥于点H ．
90A CA ∴='∠︒， 由折叠可知，11(360)(36090)13522A CO ACO A CA ''∠=∠=︒-=︒-︒=︒， 1359045HCO A CO A CD ''∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
45HOC ∴∠=︒，
在Rt OHC ∆中，2OC =，
222
OH CH OC ∴===， 22AH CH CA ∴=+=+，
在Rt OHA ∆中，
22222(2)(22)842OA OH AH =+=++=+，
在Rt AOB ∆中，
22224(842)842OB AB OA -==-+=-；
综上，24OB =或842-．
故答案为：4或842-．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，正确利用勾股定理，能分类讨论是解题的关键．
15．已知一个直角三角形的两边长分别是a ，b ，且a ，b 340a b --=．则斜边长是____________5或4【分析】根据绝对值和算术平方根具有非负性可得ab 的值然后再利用勾股定理分类求出该直角三角形的斜边长即可【详解】∵满足∴a−3＝0b−4＝0解得：a ＝3b ＝4当ab 为直角边该直角三角形的斜边长为 解析：5或4．
【分析】
根据绝对值和算术平方根具有非负性可得a 、b 的值，然后再利用勾股定理，分类求出该直角三角形的斜边长即可．
【详解】
∵a ，b 340a b --=，
∴a −3＝0，b−4＝0，
解得：a ＝3，b ＝4，
当a，b为直角边，
=；
5
4也可能为斜边长．
综上所述：直角三角形的斜边长为：5或4．
故答案为：5或4．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理和绝对值和算术平方根的非负性，关键是掌握绝对值和算术平方根具有非负性，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
16．一个直角三角形，一边长5cm，另一边长4cm，则该直角三角形面积为____10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可【详解】解：当5为直角边时4也为直角边则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5为斜边时由勾股定理得另一直角边为=3则该直角三角形
解析：10或6
【分析】
分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可．
【详解】
解：当5为直角边时，4也为直角边，
则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；
当5，
则该直角三角形的面积为3×4÷2=6，
综上，该直角三角形的面积为10或6，
故答案为：10或6．
【点睛】
本题考查直角三角形的面积、勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解答的关键．17．直角三角形两边长分别为3和4，则它的周长为__________．12或7+【分析】分两种情况求出第三边即可求出周长【详解】分两种情况：①当3和4都是直角边时第三边长==5故三角形的周长=3+4+5=12；②当3是直角边4是斜边时第三边长故三角形的周长=3+4+=
解析：12或
【分析】
分两种情况求出第三边，即可求出周长．
【详解】
分两种情况：
①当3和4都是直角边时，第三边长，故三角形的周长=3+4+5=12；
②当3是直角边，4是斜边时，第三边长==，故三角形的周长
=3+4+7=7+7，
故答案为：12或7+7．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，题中不明确所给边长为直角三角形的直角边或是斜边时，应分情况讨论求解．
18．如图，以Rt ABC △的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为1S 、2S ， Rt ABC △的面积3S ．若14S =， 28S =，则 3S 的值为 ________ ．
12【分析】根据勾股定理和圆的面积公
式即可求得的值【详解】解：设Rt △ABC 的三边分别为abc 则观察图形可得：即∵∴=∴=4+8=12故答案为：12【点睛】本题考查了勾股定理圆的面积熟记圆的面积公式
解析：12
【分析】
根据勾股定理和圆的面积公式即可求得3S 的值．
【详解】
解：设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，则222+=a b c ，
观察图形可得：
222312111111()()()222222a b S S S c πππ⋅+⋅+=++⋅， 即222312111888a b S S S c πππ⋅+⋅+=++⋅，
∵222+=a b c ，
∴221188a b ππ⋅+⋅=218
c π⋅， ∴312S S S =+=4+8=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．
19．已知：直角三角形两直角边a ，b 满足a+b=17，ab=60，则此直角三角形斜边上的高为__________；【分析】设此直角三角形的斜边为c 斜边上的高为h 先根据勾股定
理和完全平方公式的变形求出c 再利用三角形的面积求解即可【详解】解：设此直角三角形的斜边为c 斜边上的高为h 则因为此直角三角形的面积=所以故答案 解析：6013 【分析】 设此直角三角形的斜边为c ，斜边上的高为h ，先根据勾股定理和完全平方公式的变形求出c ，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】
解：设此直角三角形的斜边为c ，斜边上的高为h ，
则()222221726016913c a b a b ab =+=+-=-⨯==，
因为此直角三角形的面积=
1122ab ch =， 所以6013
ab h c ==． 故答案为：
6013
． 【点睛】 本题考查了勾股定理和完全平方公式等知识，正确变形、掌握解答的方法是关键． 20．如图，Rt ABC △，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B F '的长为________．
【分析】根据折叠性质和余角定理可知是等腰直角三
角形是直角三角形运用勾股定理求出DF 的值最后用勾股定理得出的值【详解】解：根据折叠的性质可知∴；∵(三角形外角定理)(都是的余角同角的余角相等)∴∵在中
解析：45
【分析】
根据折叠性质和余角定理可知CEF △是等腰直角三角形，B FD '是直角三角形，运用勾股定理求出DF 的值，最后用勾股定理得出B F '的值．
【详解】
解：根据折叠的性质可知3CD AC ==，4B C BC '==，∠=∠ACE DCE ，BCF B CF '∠=∠，CE AB ⊥，
∴431B D B C CD '-=-'==；
∵ECF DCE B CF ∠=∠+∠'，EFC B BCF ∠=∠+∠(三角形外角定理)，
B ACE ∠=∠(B 、ACE ∠都是A ∠的余角，同角的余角相等)，
∴ECF EFC ∠=∠，
∵在Rt ECF △中，90ECF EFC ∠+∠=︒，
∴=45ECF EFC ∠∠=︒，
∴ECF △是等腰直角三角形，EF CE =，
∵EFC ∠和BFC ∠互为补角，
∴135BFC B FC '∠=∠=︒，
∴==1354590B FD B FC EFC ''∠∠-∠︒-︒=︒，B FD '为直角三角形， ∵1122
ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅△， ∴AC BC AB CE ⋅=⋅，
∵根据勾股定理求得5AB =， ∴125CE =
，
∴125EF =，95ED AE === ∴35
DF EF ED =-=，
∴45
B F '=
=． 故答案为：45
． 【点睛】 本题考查折叠性质与勾股定理的应用，掌握折叠性质及勾股定理，运用等面积法求出CE 的值是解题关键．
三、解答题
21．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a 2+b 2＝c 2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a +b ）2的值．
解析：（1）证明见解析；（2）23
【分析】
（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）根据完全平方公式的变形解答即可．
【详解】
解：（1）∵大正方形面积为c 2，直角三角形面积为12ab ，小正方形面积为（b ﹣a ）2， ∴c 2＝4×12
ab +（a ﹣b ）2＝2ab +a 2﹣2ab +b 2即c 2＝a 2+b 2； （2）由图可知：
（b ﹣a ）2＝3，4×
12ab ＝13﹣3＝10， ∴2ab ＝10，
∴（a +b ）2＝（b ﹣a ）2+4ab ＝3+2×10＝23．
【点睛】
本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
22．已知：在ABC ∆中，点E 在直线AC 上，点,,B D E 在同一条直线上，且BA BD =，.BAE D ∠=∠
（问题初探）（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，求证：180AEB BCE ∠+∠=︒．
请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．
（变式再探）（2）如图2，若BE 平分ABC ∆的外角ABF ∠，交CA 的延长线于点E ，
问：AEB ∠和BCE ∠的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．
（拓展运用）（3）如图3，在()2的条件下．若,1AB BC CD ⊥=，求EC 的长度．
解析：（1）见解析 （2）BEC BCE ∠=∠；理由见解析 （3）12+
【分析】
（1）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得BEC BCE ∠=∠，进一步可得结论； （2）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得ABE BCE ∠=∠；
（3）连结AD ，分别求出∠AEB=∠ADE=∠ACB=22．5°,再证明AE=CD ，∠ADC=90°，由勾股定理可得AC ，由EC=EA+AC 可得结论．
【详解】
解：（1）证明BE 平分ABC ∠，
,ABE DBC ∴∠=∠
在ABE ∆和DBC ∆中，
BAE D BA BD
ABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，
,BE BC ∴=
,BEC BCE ∴∠=∠
180AEB BCE AEB BEC ∴∠+∠=∠+∠=︒； ()2BEC BCE =∠∠．
理由：BE 平分ABF ∠，
,ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠
在ABE ∆和DBC ∆中，
BAE D BA BD
ABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，
,BE BC ∴=
BEC BCE ∴∠=∠．
()3连结AD ，
AB BC ⊥，
45ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠=︒， ABE DBC ∆≅∆，
,BAE BDC ∴∠=∠且E E ∠=∠， 45,ABE ACD ∴∠=∠=︒
由()2得BE BC =，
22.5BCD BCE BEC ∴∠=∠=∠=︒， ,AB BD =
22.5,BAD BDA ∴∠=∠=︒
,BEC BDA ∴∠=∠
,45,AE AD DAC ACD ∴=∠=︒=∠ 1,CD =
221,112AD AE AC ∴===+= 12EC ∴=+
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD 是解答此题的关键．
23．如图，//,90AD BC A ∠=︒，E 是AB 上的点，且,12AD BE =∠=∠．
（1）求证：ADE BEC ≌△△．
（2）若30,3AED AE ∠=︒=，求线段CD 的长度．
解析：（1）证明见详解；（2）26
【分析】
（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由30,3AED AE ∠=︒=，可求得AD 、DE 的长，再利用勾股定理求得CD 的长即可．
【详解】
（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，
∴∠A =∠B =90°，
∵∠1=∠2，
∴DE =CE ．
∵AD =BE ，
在Rt △ADE 与Rt △BEC 中
AD BE DE CE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）
（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．DE=CE ,
∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．
∴∠DEC =90°．
在Rt △ADE 中
又∵30,3AED AE ∠=︒=
设AD =x ，则DE =2x,
由勾股定理222AD AE DE +=，即2294x x += 解得3x =∴3
在Rt △CDE 中
由勾股定理，DC 2=DE 2+CE 2
∴()()22=23+23=26CD ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握等三角形的判定与性质的运用是解题关键．
24．如图，ABC 中，AC=2AB=6，BC=33．AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．
（1）求BE 的长；
（2）延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．若M 是DF 上一动点，N 是CF 上一动点，请直接写出CM+MN 的最小值为 ．
解析：（1）3BE =
；（2）33
【分析】
（1）利用勾股定理逆定理可得ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，连接AE ，根据线段垂直平分线的性质可得AE CE =，在Rt ABE △中利用勾股定理列出方程即可求解；
（2）根据题意画出图形，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，利用全等三角形的判定与性质即可求解．
【详解】
解：（1）连接AE ， ，
∵26AC AB ==，33BC =
∴222AC AB BC =+，
∴ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，
∵DE 垂直平分AC ，
∴AE CE =，
在Rt ABE △中，222AE AB BE =+，即222CE AB BE =+，
∴()222333BE BE =+，解得3BE =
（2）∵DE 垂直平分AC ，M 是DF 上一动点，
∴AM CM =，
∴CM MN AM MN +=+，
若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，如图，
，
在ABC 和CNA 中，
B AN
C ACB CAN AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABC ≌CNA ， ∴33AN BC ==．
【点睛】
本题考查勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用以上基本性质定理是解题的关键．
25．本题分为A ，B 两题，可以自由选择一题，你选择 题
A ：如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m 处，发现此时绳子底端距离打结处2m ，则旗杆的高度为多少米？
B ：如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的
C 处有一筐水果，一只猴子从
D 处爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两只猴子所经路程都是16m ，求树高AB ．
解析：A 题：8米；B 题：41213m 【分析】 A 题：设出旗杆的高度，利用勾股定理解答即可；
B 题：根据题意表示出AD 、A
C 、BC 的长，进而利用勾股定理求出A
D 的长，即可得出答案．
【详解】
解：A 题：设旗杆的高度为x 米，则绳子长为（x+2）米，
由勾股定理得：()22226x x +=+，
解得：8x =，
答：旗杆的高度为8米；
B 题：由题意可得：BD=10m ，BC=6m ，
设AD=xm ，则有：AC=()16x -m ，
在Rt △ABC 中，222AB BC AC +=，
即()()22210616x x ++=-，
解得：3013x =
， 故AB=30410121313
+=m ， 答：树高AB 为412
13
m ． 【点睛】 本题考察勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．
26．三角形ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O 为坐标原点，()1,4A -，()4,1B --，()1,1C ．将三角形ABC 向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形111A B C ．
（1）画出平移后的三角形；
（2）直接写出点1A ，1B ，1C 的坐标：1A （______，______），1B （______，______），1C （______，______）；
（3）请直接写出三角形ABC 的面积为_________．
解析：（1）见解析；（2）()12,2A ，()11,3B --，()14,1C -；（3）192
【分析】
（1）作出A 、B 、C 的对应点111,,A B C 并两两相连即可；
（2）根据图形得出坐标即可；
（3）根据割补法得出面积即可．
【详解】
解：（1）如图所示，
111A B C 即为所求．
（2）根据图形可得：()12,2A ，()11,3B --，()14,1C -
（3）△ABC 的面积=5×5−
12×3×5−12×2×3−12
×2×5=192． 【点睛】
本题考查作图-平移变换，熟练掌握由平移方式确定坐标的方法及由直角三角形的边所围成的图形面积的算法是解题关键．
27．如图，长方体的长AB =5cm ，宽BC =4cm ，高AE =6cm ，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A 出发到点G 处．蚂蚁甲的行走路径S 甲为：翻过棱EH 后到达G 处（即A →P →G ），蚂蚁乙的行走路径S 乙为：翻过棱EF 后到达G 处（即A →M →G ），蚂蚁丙的行走路径S 丙为：翻过棱BF 后到达G 处（即A →N →G ）．
（1）求三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是多少？
（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？
解析：（1）三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是137cm ，55cm ，117cm ；（2）蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达
【分析】
（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，根据勾股定理分别求出S 甲，S 乙，S 丙的值即可；
（2）比较S 甲，S 乙，S 丙的值即可得到答案．
【详解】
解：（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，
∵长AB =5cm ，宽BC =4cm ，高AE =6cm ，
∴EF =AB =5cm ，GF =BC =EH =4cm ，AE =BF =CG =6cm ，
∴图1：S 甲=2222()114137AE EF G F '''++=+=（cm ）
图2：S 乙=2222()10555AE EH G H '''++=+=（cm ），
图3：S 丙=2222()96117AB BC C G '''++=+=（cm ），
答：三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是137cm ，55cm ，117cm ；
（2）由（1）知，S 甲137cm ），S 乙5125cm ），S 丙117cm ）． ∵137125117
∴蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，立方体的平面展开图，正确理解题意，确定每只蚂蚁所走的路径构建直角三角形是解题的关键．
28．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：
（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形ABC ；
（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形DEFG ；
（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段1H ； （4）在图4中画出一个周长为3210的格点直角三角形JKL ．
解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解；
（213
（3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可；
（42，210的三角形，即可．
【详解】
（1）∵2121ABC S
=⨯÷=，
∴ABC 即为所求；
（2）∵222313+=
∴正方形DEFG 的面积为13；
（3）22345+=；
（4）∵22112+=222222+=，221310+= 且2222)2)10)+=
∴JKL 是直角三角形，且周长为3210．
【点睛】
本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．。