高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理教案新人教A版选修2

1.3.1二项式定理
一 、教学目标
1.知识与技能：
(1) 能利用计数原理证明二项式定理；
(2) 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

2. 过程与方法：
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。

3. 情感、态度与价值观：
通过本节课的学习，可以培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。

二、教学重点、难点
重点：二项式定理；
难点：二项式定理的应。

三、教具：白板 四、课型：新课
五、教学过程
一）新课提问引入课题
1、分类计数加法原理与分布乘法计数原理；
2、组合与组合数
3、今天是星期五，再过7天、15天、810
天的那一天分别是星期几？
二）讲授新课
1、探究发现
二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：?)(2=+b a ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？
探究一：))(()(2
b a b a b a ++=+ b b a b b a a a ⨯+⨯+⨯+⨯=
222b ab a ++=
从上述过程可以看出2
)(b a +是2个))((b a b a ++相乘，根据多项式的乘法法则，每个)(b a +在相乘
是由两种选择，选a 或b 选，而且每个)(b a +中的a 或b 选定后，才能得到2)(b a +展开式的一项。

根据分布乘法计数原理，在合并同类项前2)(b a +展开式共有2
222=⨯项，合并后共有3项，分别为22,,b ab a 。

①对于2a 项，是由2个)(b a +都不选b 得到的，所以2a 出现的次数相当于2个)(b a +从取0个b 的
组合数02C ，即2a 的系数为02C ②对于ab 项，是由1个)(b a +选a ，1个)(b a +选b 得到的，由于a 选定后，b 的选法也随之确定，
所以ab 出现的次数相当于从2个)(b a +中取1个b 的组合数12C ，即ab 的系数为12C ；
③对于2b 项，是由2个)(b a +都选b 得到的，相当于从取2个)(b a +取2个b 的组合数22C ，即的系数为22C 。

所以222122022)(b C ab C a C b a ++=+
探究二：引导学生模仿上述过程推出3)(b a +，4)(b a +的展开式 归纳总结：2
22122022)(b C ab C a C b a ++=+
3332232133033)(b C ab C b a C a C b a +++=+ 44433422243144044)(b C ab C b a C b a C a C b a ++++=+
分析：①2)(b a +展开整理后共有3项，分别为22,,b ab a ，系数为221202,,C C C ；
②3)(b a +展开整理后共有4项，3
2233,,,)(b ab b a a b a 展开整理后的项分别为+
系数为33231303,,,C C C C ； ③4)(b a +展开整理后共有5项，4322344,,,,)(b ab b a b a a b a 展开整理后的项分别为+
系数为4434241404,,,,C C C C C 。

问：学生回答）
的呢？，（的呢，())(5n
b a b a ++ 猜想：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，
它是由k k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b
的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n
2项（包括同类项），其中每一项都k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，它是由k k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b 的组
合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理． 2、二项式定理
1）二项式地理
=+n b a )( ++-b a C a C n n n n 110+++---11n n n r r n r n ab C b a C n n n
b C ),2,1,(n r N n =∈* 2）二项式定理的特征
①、公式的左边是二项式，右边是二项展开式，共有1+n 项，等式即为二项式定理；
②、二项式的次数为n ,二项展开式每一项的次数也为n ；
③、二项式定理展开式按字母a 降幂排列，次数由n 递减到0；按字母b 升幂排列，次数由0递增到n ．
④ 二项展开式的通项: 定理中的k k n k n b a C -叫做二项展开式的通项. 用1+r T 表示.即通项为展开式的第
1+k 项: 1+k T =k k n k n b a C -
⑤二项式系数: 依次为n n k n n n n C C C C C ,,,,,,210 ，这里),,1,0(n k C k n ⋅⋅⋅=称为二项式系数. 与b a 、无关。

展开式项的系数与b a 、有关。

3、例题
例题1、今天是星期五，再过810
天的那一天是星期几？
解：810=10109101010911010010107777)17(C C C C C r r +++++=+- )10,2,1( =r 天那一天是星期六，即过除余数为被10108178∴
例题2、求6)12(x
x -
的展开式 解：先化简再展开
[]
32236656246336426516606363661126016024019264)2()2()2()2()2()2(1)12(1)12()12(x x x x x x C x C x C x C x C x C x C x
x x x x x x +-+-+-=++++++=-=-=-
例题3、求9)1
(x
x -的展开式中3x 的二项式系数与系数。

解：9)1
(x x -的通项为k k r k k k k x C x x C T 299991)1()1(--+-=-=
根据题意可得3329=∴=-k k
84393=∴C x 的二项式系数为，系数为84)1(393-=-C
六、课堂练习
课本31P 练习1、2
七、课堂小结
1. 二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--
2. 思想方法：1.归纳、猜想、证明的数学方法. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.
八、课堂作业
巩固型作业：课本36页习题1.3 A 组 1、2、3
思维拓展型作业：二项式系数n n
k n n n n C C C C C ,,,,,,210 有何性质． 九、板书设计
精美句子 1、善思则能“从无字句处读
书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。