数学高一必修1 4.1.2 利用二分法求方程的近似解 作业

4.1.2 利用二分法求方程的近似解
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1. 用“二分法”可求近似解，对于精度ε说法正确的是()
A．ε越大，零点的精度越高
B．ε越大，零点的精度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
【解析】依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精度越低．
【答案】 B
2. 在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()
A．[1,4]B．[－2,1]
C．[－2,2.5] D．[－0.5,1]
【解析】因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中，故选D.
【答案】 D
3. 设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间() A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)
C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)
【解析】由二分法的步骤知方程的根落在区间(2.5,2.75)内．
【答案】 C
4. 为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：
A ．1.32
B ．1.39
C ．1.4
D ．1.3
【解析】 由f (1.375)·f (1.4375)＜0， 可知方程2x ＋3x ＝7的近似解可取1.4.故选C. 【答案】 C
5. 已知f (x )＝1
x －ln x 在区间(1,2)内有一个零点x 0，若用二分法求x 0的近似值(精度为0.2)，则需要将区间等分的次数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解析】 由用二分法求函数零点近似值的步骤可知． 分一次，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞0，区间长度⎪⎪⎪
⎪⎪⎪2－32＝0.5＞0.2，
分二次，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74＞0，区间长度⎪⎪⎪
⎪⎪⎪2－74＝0.25＞0.2，
分三次，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫158＜0，区间长度⎪⎪⎪⎪⎪⎪74－158＝1
8＜0.2，
所以分三次可以使x 0的近似值达到精度为0.2.故选A. 【答案】 A 二、填空题
6. 在用二分法求方程e x ＋x －2＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
【解析】 令f (x )＝e x ＋x －2，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝e －32>0.
∴下一个区间为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12
7. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值(或近似值)用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x32．
【解析】由于f(1.438)·f(1.406 5)＜0，结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.406 5，1.438)中，故方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4.
【答案】 1.4
8. 用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精度能达到0.01?
【解析】设n次“二分”后精度达到0.01，∵区间(2,3)的长度为1，
∴1
2n＜0.01，即2
n＞100.
注意到26＝64＜100,27＝128＞100，故要经过7次二分后精度达到0.01. 【答案】7
三、解答题
9. 用二分法判断函数f(x)＝2x3－3x＋1零点的个数．
【解】用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图)：x －1.5－1－0.500.51 1.5
f(x)－1.252 2.251－0.250 3.25
由上表和上图可知，f(－1.5)<0，f(－1)>0，
即f (－1.5)·f (－1)<0，说明这个函数在区间(－1.5，－1)内有零点． 同理，它在区间(0,0.5)内也有零点．另外，f (1)＝0，所以1也是它的零点，由于函数f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞内是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22内
是减函数，所以它共有3个零点．
10. 证明方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精度为0.1)
【解】 证明如下： 设函数f (x )＝2x ＋3x －6， ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝4＞0， 又∵f (x )是增函数，
∴函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间[1,2]内有唯一的零点， 则方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解． 设该解为x 0，则x 0∈[1,2]， 取x 1＝1.5，f (1.5)≈1.33＞0， f (1)·f (1.5)＜0， ∴x 0∈(1,1.5)，
取x 2＝1.25，f (1.25)≈0.128＞0， f (1)·f (1.25)＜0，∴x 0∈(1,1.25)， 取x 3＝1.125，f (1.125)≈－0.444＜0， f (1.125)·f (1.25)＜0， ∴x 0∈(1.125,1.25)，
取x 4＝1.187 5，f (1.187 5)≈－0.16＜0，
f (1.187 5)·f (1.25)＜0， ∴x 0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5＜0.1， ∴1.187 5可作为这个方程的实数解．
[能力提升]
1. 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
与函数y ＝lg x 的图像的交点的横坐标(精度为0.1)约是
( )
A ．1.5
B ．1.6
C ．1.7
D ．1.8
【解析】 设f (x )＝lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ，经计算f (1)＝－12<0，f (2)＝lg 2－14>0，所以
方程lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，
可知选项D 符合要求．
【答案】 D
2. 下列函数中，不适合用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝2x ＋3 B ．f (x )＝ln x ＋2x －9 C ．f (x )＝x 4－2x 3＋x 2
D ．f (x )＝2x －3
【解析】 C 中令f (x )＝x 4－2x 3＋x 2＝x 2(x －1)2＝0.
得x ＝0或x ＝1，又f (x )≥0恒成立，由二分法的定义知不适合用二分法． 【答案】 C
3. 用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算________次．
【解析】 设至少需要计算n 次，则n 满足0.1
2n ＜0.001，即2n ＞100，由于27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．
【答案】 7
4. 在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍
轻)．现在只有一台天平，请问：用二分法的思想最多称几次就可以发现这枚假币？
【解】第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．∴最多称四次．。