四川省南充市2019届高三第一次高考适应性考试数学试题(理科)(附解析)

南充市高2019届第一次高考适应性考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合B，由此能求出．
【详解】则.
故选C.
【点睛】本题考查集合交集的求法，属基础题.
2.
A. B. C. 2 D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的乘方运算法则运算即可.
【详解】
故选A.
【点睛】本题考查复数的乘方运算，属基础题.
3.下列命题中的假命题是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
对四个选项，逐一举例子进行真假性的判断，由此得到正确选项.
【详解】对于选项A，当时，故A选项为真命题.对于B选项，当时，，故选项B为真命题.当时，，故C选项为真命题.根据指数函数的性质知D选项为真命题.故选C.
【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断，考查指数函数、对数函数和正切函数有关的性质.属于基础题.
4.是第四象限角，，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值．【详解】由题是第四象限角，
则
故选B.
【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
5.在的展开式中含有常数项，则正整数的最小值是
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
当存在与时，展开式有常数项，此时.
【详解】由于和的最小公倍数为，故当存在与时，展开式有常数项，即为常数项，此时，故选B.
【点睛】本小题主要考查二项式的展开式，考查两个数的最小公倍数.二项式展开式的通项公式为.属于基础题.
6.点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于
A. B. C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k，然后求出半径．【详解】圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（，
因为点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，
所以直线l：x-y+1=0经过圆心，
所以．
所以圆的方程为：x2+y2+4x+2y-4=0，圆的半径为：
故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力．
7.已知函数，则函数的图像大致是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，排除BCD，即可得到答案.
【详解】函数，函数，
则函数的定义域为，故排除B，C，D，
故选：A．
【点睛】本题考查函数的图象，考查同对数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．
8.设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则
A. B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将代入的表达式，利用概率之和为列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可
求解得的值.
【详解】依题意可的的分布列为
依题意得
，解得，故.所以选A.
【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.
9.将边长为2的正沿高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积即可．
【详解】根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，
所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
所以求出长方体的对角线的长为：，
所以球的直径是，半径为，
所以球的表面积为：
故选D．
【点睛】本题主要考查了外接球的表面积的度量，解题关键将三棱锥B-ACD的外接球扩展为长方体的外接球，属于中档题．
10.在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：成等差数列，．平方得．又的面积为，且，
故由，得，．
由余弦定理，
解得．又∵为边长，∴．故B正确.
考点：等差数列，三角形面积，余弦定理的应用.
11.在实数的原有运算法则（“” “”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“如下：当
时，；当时，，则当时，函数的最大值等于
A. -1
B. 1
C. 6
D. 12
【答案】C
【解析】
此题是信息类的题目，考查分段函数的最值问题的求法、学生的自学能力和逻辑推理能力；由已知得
所以，可求出：当时，函数最大值是-1；当
时，函数最大值是6；当时，函数不存在最大值是；所以函数的最大值等于6，选C
12.已知双曲线与函数的图像交于点.若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：设，∴切线的斜率为，又∵在点处的切线过双曲线左焦点，∴，解得，∴，因此，，故双曲线的离心率是，故选A．
考点：双曲线离心率的计算．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若变量，满足约束条件则的最大值是__________．
【答案】11
【解析】
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可直线在y轴上的截距最大值即可．
【详解】
变量，满足约束条件在坐标系中画出图象，
三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），
在△ABC中满足z=2y-x的最大值是点C，代入得最大值等于11．
故填：11．
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14.若，则__________．
【答案】
【解析】
15.已知函数，，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
判断出函数为奇函数，并且导数为正数，为递增函数，利用奇偶性和单调性化简题目所给的不等式，由此求得
的取值范围.
【详解】由于，故函数为奇函数，由于故函数为上的增函数.由
得，故.故的取值范围是.
【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查利用导数求函数的单调性，考查抽象不等式的解法.对于有关函数的题目，首先想到的是函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等等.对于抽象函数的不等式，往往要结合函数的单调性来求解.利用导数可以判断出函数的单调性.属于中档题.
16.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，.若，则
的面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线焦点的坐标求得的值.联立直线的方程和抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，这个方
程的判别式大于零，利用韦达定理求得弦长的表达式，利用点到直线距离公式求得到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，在利用导数求得面积的最大值.
【详解】由于抛物线的焦点为，故，抛物线方程为，联立得，
.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式，解得.由弦长公
式得.焦点到直线的距离为.故三角形的面
积为，由于，故上式可化为.令，，故当时，函数递增，当
时，函数递减，故当时取得最大值，此时=.
【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程，考查直线和抛物线的位置关系，考查与抛物线有关的三角形的面积公式.由于抛物线的参数只有一个，故只要一个条件就可以求得的值.直线和抛物线形成的弦长公式可以利用韦达定理计算出来.求得面积的表达式后，由于表达式是高次的，故利用导数求得它的最大值.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.在数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）数列是等差数列，为前项和，若，，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由等比数列的定义可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则的通项公式易求；（2）由（1）得：，由此求得公差，代入等差数列前公式计算即可.
【详解】（1）因为
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，
所以.
（2）由（1）得：，
则，，
所以 .
【点睛】本题考查等差数列，等比数列的基本量计算，属基础题.
18.为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6. （1）请将上面的列联表补充完整；
（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明理由.
附：
【答案】（1）见解析；（2）在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.
【解析】
（1）根据分层抽样比计算出全班喜欢体育运动的人数和不喜欢体育运动的人数，可将列联表补充完整；（2）根据公式计算K2，对照临界值表作结论．
【详解】（1）设喜好体育运动人数为，则 .
所以
列联表补充如下：
（2）因为
所以可以在犯错误率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关.
【点睛】本题考查分层抽样的统计原理，独立性检验的运用，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．19.如图，三棱柱中，平面，为正三角形，是边的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先证明平面，根据面面垂直的性质定理可以得到平面平面.（2）以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为三棱柱中平面，
所以平面，又平面，所以平面平面
因为为正三角形，为的中点，
所以，又平面平面，所以平面，又平面
所以平面平面.
（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则
，，，，
所以，设平面的法向量则
即
令，则得同理可求得平面的法向量
设二面角的大小为，所以.
【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理，考查利用空间向量的方法计算二面角的余弦值，属于中档题.
20.已知椭圆的焦点，，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，并且，椭圆上不同的两点，满足条件：，，成等差数列.
（1）求椭圆的方程；
（2）求弦中点的横坐标.
【答案】（1）；（2）4
【解析】
【分析】
（1）利用椭圆的焦点坐标得到，利用椭圆的定义得到，利用求得，由此求得椭圆的方程.（2）
利用，，成等差数列列出方程，将的坐标代入，可求得的值，由此求得中点的横坐标.
【详解】（1）由题意可知.
所以，又，所以，
所以椭圆方程为：.
（2）由点在椭圆上，得.
由，，成等差数列，得
①
点在椭圆上，得
所以②
同理可得③
将②③代入①式，得：
所以设中点坐标为，则横坐标：.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，还考查了等差中项的性质.属于中档题.
21.已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）设函数，求证：.
【答案】（1）在单调递增；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）当时，利用的二阶导数，求得函数的单调区间.（2）先求得的表达式，化简得到.将要证明的不等式的左边利用倒序相乘的方法，证得不等式成立.
【详解】（1）当时，（）
，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
所以所以在单调递增.
（2）证明：，当时，
所以
由此得
故（）
【点睛】本小题考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，要有一定分析问题和运算的能力，属于难题.
22.[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）. （1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）
【解析】
分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程
化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．
详解：（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)
若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).
(2)|M1M2|＝|t1－t2|.
(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
23.设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】
分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为
，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．
详解：（1）当时，
可得的解集为．
（2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。