高考数学一轮知能训练 专题六 立体几何(第2课时)(含解析)-人教版高三全册数学试题

第2课时 1．在三棱锥A ­BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为22，32，62
，则三棱锥A ­BCD 的外接球的体积为( ) A.6π B．2 6π
C ．3 6π D．4 6π
2．(2017年新课标Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A ．π B.3π4 C.π2 D.π4
3．已知如图Z6­16所示的三棱锥D ­ABC 的四个顶点均在球O 的球面上，△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，AB ＝3，AC ＝3，BC ＝CD ＝BD ＝2 3，则球O 的体积为( )
图Z6­16
A.4π3
B.4 3π3
C.32π3
D ．36π 4．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将三角形ABC 折起，当平面ABC ⊥平面ACD 时，四面体ABCD 的外接球的体积是( )
A.12512π
B.1259
π C.
1256π D.1253π 5．(2013年新课标Ⅰ)如图Z6­17，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )
A.500π3 cm 3
B.866π3
cm 3
C.1372π3 cm 3
D.2048π3
cm 3
图Z6­17 图Z6­18
6．如图Z6­18，在四棱锥P ­ABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为正方形且边长为2，平面PAB ⊥平面ABCD ，四棱锥P ­ABCD 的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是( )
A.2821π27
B.7π3 C ．28π D.28π3
7．已知点P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，PA ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，点B 在AC 上的投影为D ，则三棱锥P ­ABD 体积的最大值是( )
A.3 34
B.3 38
C.12
D.34
8．已知在三棱锥P ­ABC 中，侧面PAC ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，PA ＝10，PC ＝2，则三棱锥P ­ABC 外接球的体积为( )
A ．28π B．36π C．48π D ．72π
9．(2018年某某某某高中毕业班综合测试)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ­ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )
A ．8π
B ．12π
C ．20π
D ．24π
10．已知三棱锥P ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝2 2，∠ACB ＝90°，PA 为球O 的直径且PA ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为( )
A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3
11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图Z6­19，若四棱锥P ­ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝3，BC ＝AB ＝4，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则R
r
＝________.
图Z6­19
12．已知正三棱锥P ­ABC 的外接球的半径为2，且球心在点A ，B ，C 所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是________．
13．四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥面ABCD, PA ＝PD ＝AD ＝3，AB ＝4，则四棱锥ABCD 的外接球的表面积为________．
14．A ，B ，C ，D 四点在半径为5 22
的球面上，且 AC ＝BD ＝5，AD ＝BC ＝41，AB ＝CD ，则三棱锥D ­ABC 的体积是________．
15．在三棱锥P ­ABC 中，底面ABC 是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且PA ＝PB ＝2，PA ⊥AC ，则该三棱锥外接球的表面积为________．
第2课时 1．A 解析：由已知三棱锥A ­BCD 的外接球是长为3，宽为2，高为1的长方体的外接球，由长方体对角线长为6，得外接球半径为62
，故所求球体体积为6π. 2．B 解析：如图D249，画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心．球半径R ＝OA ＝1，球心到
底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32
，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭
⎪⎫322×1＝3π4. 图D249
3．C 解析：△ABC 外接圆半径为3，△DBC 的高为 2 3×
32＝3，球O 的半径为32＋12＝2，则球O 的体积为32π3
. 4．C 解析：AC 为球的直径，四面体ABCD 的外接球的体积是43π⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝1256
π. 5．A 解析：如图D250，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12
×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42.∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝500π3
(cm 3)．
图D250
6．D 解析：将四棱锥补成以△PAB 为底面的正三棱柱，又⎝
⎛⎭
⎪⎫2 332＋12＝r 2＝73，∴S ＝4πr 2＝28π3
. 7．B 解析：如图D251，∵∠ABC ＝90°，∴AC 为截面圆直径．
图D251 设球心为O ，连接PO ，易知PO 交AC ，记交点为E ，结合PC ＝CO ＝2知PE ＝1， 故CE ＝3，则AC ＝2 3.设AB ＝a ，则BC ＝12－a 2，
由AB 2＝AD ·AC 知AD ＝a 22 3，BD ＝a 12－a 2
2 3，
∴S △ABD ＝124a 312－a 2＝124
12a 6－a 8.令f (a )＝12a 6－a 8， 则f ′(a )＝72a 5－8a 7＝8a 5(9－a 2)．由f ′(a )＝0得a ＝3，
且f (a )在(0,3)上单调递增，在(3,2 3)上单调递减，
故当a ＝3时，f (a )取得最大值．
∴三棱锥P ­ABD 体积的最大值为13×1×124×33×12－32＝3 38
. 8．B 解析：∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，BC ＝4 2，PA ＝10，PC ＝2，cos ∠PCA ＝2＋16－102×2×4
＝22，2r ＝102
2＝2 5，外接球的半径R ＝r 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫422＝9＝3，S ＝4π×32＝36π. 9．C 解析：方法一，将三棱锥P ­ABC 放入长方体中，如图D252(a)，三棱锥P ­ABC 的外接球就是长方体的外接球．∵PA ＝AB ＝2，AC ＝4，△ABC 为直角三角形，∴BC ＝42－22
＝2 3.设外接球的半径为R ，依题意可得(2R )2＝22＋22＋(2 3)2＝20，故R 2＝5，则球O 的表面积为4πR 2＝20π.故选C.
(a) (b)
图D252
方法二，利用鳖臑的特点求解，如图D252(b)，∵四个面都是直角三角形，∴PC 的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC 的中点为球心O ，易得2R ＝PC ＝20，∴球O 的表面积为4πR 2＝20π .故选C.
10．B 解析：取AB的中点O1，连接OO1，如图D253，在△ABC中，AB＝2 2，∠ACB＝90°，∴△ABC所在小圆圆O1是以AB为直径的圆，∴O1A＝2，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA ＝4，∴OA＝2，∴OO1＝OA2－O1A2＝2，且OO1⊥底面ABC，∴点P到平面ABC的距离为2OO1＝2 2.
图D253
11.41
2
解析：∵四棱锥P­ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，
且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，
∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，∴(2R)2＝AB2＋AD2＋AP2＝16＋16＋9＝41，
∴R＝41
2
，
∵侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为正方形，
∴内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，∴内切球半径为r＝1，
故R
r
＝
41
2
.
12．3 3＋3 15 解析：如图D254，OP＝OA＝2，OD＝1，PA＝PB＝PC＝2 2，AB＝2 3，则该正三棱锥的表面积是3 3＋3 15.
图D254
13．28π解析：先找到矩形ABCD的外心O1，球心在O1的正上方．然后找到等边△PAD 的外心O2，即等边△PAD的重心，球心在O2的正上方，由此可得到球心O的位置如图255所示．O2E
＝1
3
PE＝
1
3
×
3 3
2
＝
3
2
，O1B＝
5
2
，故球的半径R2＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫3
2
2＋
⎝
⎛
⎭⎪
⎫5
2
2＝7，
故球的表面积为4πR 2
＝28π.
图D255
14．20 解析：由题意，将三棱锥D ­ABC 放入长方体中(如图D256)，设长方体的长、宽、
高分别为a ，b ，c ，从而得出⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝25，a 2＋c 2＝41，
a 2＋
b 2＋
c 2＝50，
解得a ＝4，b ＝3，c ＝5. 利用整体割补法求出三棱锥D ­ABC 的体积为4×3×5－4×13×12
×4×3×5＝20.
图D256 图D257
15．12π 解析：如图D257，侧面是直角三角形，且PA ＝PB ＝2，则AB ＝2 2.又PA ⊥AC ，PC ＝2 3，得PB ⊥BC .显然PC 为该三棱锥外接球的直径．则该三棱锥外接球的表面积为4π×(3)2＝12π.。