和顺县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

和顺县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=lnx+2x ﹣6，则它的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）
2． 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（ ）
A ．4π
B ．12π
C ．16π
D ．48π
3． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ）
A ．8πcm 2
B ．12πcm 2
C ．16πcm 2
D ．20πcm 2
4． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A ．M ∪N
B ．（∁U M ）∩N
C ．M ∩（∁U N ）
D ．（∁U M ）∩（∁U N ）
5． 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．￢p 或q
D ．p 且￢q
6． 设集合（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知a =b =
6
A π
∠=
，则
B ∠=（ ）111]
A ．
4π B ．4π或34π C ．3π或23π D ．3
π
8． 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）
A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a ，b ，c 都是奇数
D ．a ，b ，c 都是偶数
9． 复数z=
（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）
|x ﹣2|
+（）
|x ﹣2|
，则关于x 的不等
式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）
A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）
B ．（，2）
C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）
D ．（﹣，2）
11．在平面直角坐标系中，若不等式组
（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．
12．在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）
A ．
B ． C.
D 二、填空题
13．已知平面上两点M （﹣5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：
①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1
是“单曲型直线”的是 ．
14．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= ． 15．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点B 是圆心为C 的圆（x ﹣1）2+y 2=16上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 与点M ，则动点M 的轨迹方程为 ．
16．双曲线x 2﹣my 2=1（m ＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m 的值为 ．
17．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
18．抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 2
：
交于A ，B 两点，C 1与C 2的
两条渐近线分别交于异于原点的两点C ，D ，且AB ，CD 分别过C 2，C 1
的焦点，则= ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，()a R ∈．
（Ⅰ）若当04x ≤≤时，()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值； （Ⅱ）当03a ≤≤时，求证：()()()()f x a f x a f ax af x ++-≥-．
20．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别是棱DD 1 、C 1D 1的中点. （1）求直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．
21．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C
的对边，且
csinA=acosC ．
（I ）求C 的值； （Ⅱ）若c=2a ，b=2，求△ABC 的面积．
A 1
B 1
C 1
D D 1 C
B A
E F
22．（本小题满分14分）
设函数2()1cos f x ax bx x =++-，0,2
x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（其中a ，b R ∈）.
（1）若0a =，1
2
b =-
，求()f x 的单调区间； （2）若0b =，讨论函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上零点的个数.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.
23．计算： （1）8
+（﹣）0﹣
；
（2）lg25+lg2﹣log 29×log 32．
24．（本题满分15分）
如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM ．
（1）求证：BM AD ⊥；
（2）若)10(<<=λλDB DE ，当二面角D AM E --大小为
3
π
时，求λ的值．
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
和顺县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：易知函数f（x）=lnx+2x﹣6，在定义域R+上单调递增．
因为当x→0时，f（x）→﹣∞；f（1）=﹣4＜0；f（2）=ln2﹣2＜0；f（3）=ln3＞0；f（4）=ln4+2＞0．可见f（2）•f（3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点．
故选C．
2．【答案】B
【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，
∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，
∴几何体的体积V=π×22×3=12π．
故选B．
【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．
3．【答案】B
【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，
R=，S=4πR2=12π
故选B
4．【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，
∴∁U M={0，1}，
∴N∩（∁U M）={0，1}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中
命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；
命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，
直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；
故选C．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
6．【答案】B
【解析】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x
＞；当x＜0时，解得：x
＜，
集合B中的解集为x
＞，
则A∩B=
（，+∞）．
故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
7．【答案】B
【解析】
试题分析：由正弦定理可得
()
sin0,,
24
sin
6
B B B
π
π
=∴=∈∴=或
3
4
π
，故选B.
考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数.
8．【答案】B
【解析】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”
可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数
∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．
故选B．
【点评】此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．
9．【答案】C
【解析】解：z====+i，
当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；
当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；
当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；
当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；
故选：C．
【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．
10．【答案】B
【解析】解：∵α，β为锐角△ABC的两个内角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°﹣β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，
∴f（x）=（）|x﹣2|+（）|x﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，
由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），
∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；
故选：B．
11．【答案】B
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域：
由题知：
所以
故答案为：B
12．【答案】B
【解析】
考点：正弦定理的应用.
二、填空题
13．【答案】①②．
【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即，（x＞0）．
对于①，联立，消y得7x2﹣18x﹣153=0，
∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．
对于②，联立，消y得x2=，∴y=2是“单曲型直线”．
对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．
对于④，联立，消y得20x2+36x+153=0，
∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．
故符合题意的有①②．
故答案为：①②．
【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．14．【答案】5．
【解析】解：P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，
即有42=m，即m=16，
抛物线的方程为y2=16x，
焦点为（4，0），
即有|PF|==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．
15．【答案】=1
【解析】解：由题意得，圆心C（1，0），半径等于4，
连接MA，则|MA|=|MB|，
∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，
故点M的轨迹是：以A、C为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1，
∴b=，
∴椭圆的方程为=1．
故答案为：=1．
【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查学生转化问题的能力，属于中档题．
16．【答案】4．
【解析】解：双曲线x2﹣my2=1化为x2﹣=1，
∴a2=1，b2=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，
解得m=4．
故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
17．【答案】BC
【解析】
【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离
d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集
合，
A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；
C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；
D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，
故本命题不正确．
故答案为：BC．
18．【答案】．
【解析】解：由题意，CD 过C 1的焦点，根据
，得x C =，∴b=2a ；
由AB 过C 2的焦点，得A （c ，
），即A （c ，4a ），
∵A （c ，4a ）在C 1上，
∴16a 2=2pc ， 又c=
a ，
∴a=
，
∴==．
故答案为：
． 【点评】本题考查双曲线、抛物线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）()2x a f x -=≤得，22a x a -≤≤+
由题意得2042a a -≤⎧⎨
≤+⎩，故22a ≤≤，所以2a = …… 5分 （Ⅱ）03a ≤≤，∴112a -≤-≤，∴12a -≤，
()()2f ax af x ax a a x a ax a ax a -=---=---()()
2212ax a ax a a a a a a ≤---=-=-≤ ()()()2222f x a f x a x a x x a x a a -++=-+≥--==，
∴()()()()f x a f x a f ax af x -++≥-．…… 10分
20．【答案】解：（1）设G 是AA 1的中点，连接GE ，BG ．∵E 为DD 1的中点，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴GE ∥AD ，又∵AD ⊥平面ABB 1A 1，∴GE ⊥平面ABB 1A 1，且斜线BE 在平面ABB 1A 1内的射影为BG ，∴Rt △BEG 中的∠EBG 是直线BE 和平面ABB 1A 1所成角，即∠EBG =θ．设正方体的棱长为a ，∴a GE =，a BG 25=，a GE BG BE 2
322=+=， ∴直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值为：=
θsin 32=BE GE ；……6分 （2）证明：连接EF 、AB 1、C 1D ，记AB 1与A 1B 的交点为H ，连接EH ．
∵H 为AB 1的中点，且B 1H =21C 1D ，B 1H ∥C 1D ，而EF =2
1C 1D ，EF ∥C 1D ， ∴B 1H ∥EF 且B 1H =EF ，四边形B 1FEH 为平行四边形，即B 1F ∥EH ，
又∵B 1F ⊄平面A 1BE 且EH ⊆平面A 1BE ，∴B 1F ∥平面A 1BE ． ……12分
21．【答案】
【解析】解：（I ）∵a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且
csinA=acosC ，
∴
sinCsinA=sinAcosC ，∴sinCsinA ﹣sinAcosC=0，
∴sinC=cosC ，∴tanC==
，
由三角形内角的范围可得C=；
（Ⅱ）∵c=2a ，b=2，C=
，
∴由余弦定理可得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，
∴4a 2
=a 2+12﹣4a •，解得a=﹣1+，或a=﹣1﹣（舍去）
∴△ABC 的面积S=absinC==
22．【答案】
【解析】（1）∵0a =，12b =-
， ∴1()1cos 2f x x x =-+-，1()sin 2f x x '=-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （2分） 令()0f x '=，得6
x π=. 当06x π<<时，()0f x '<，当62
x ππ<<时，()0f x '>， 所以()f x 的单调增区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （5分）
若
112a -
<<-π，则()102f a π'=π+<，又()(0)0f f θ''>=，由零点存在定理，00,2θπ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使0()0f θ'=，所以()f x 在0(0,)θ上单调增，在0,2θπ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调减. 又(0)0f =，2
()124
f a ππ=+. 故当2142a -<≤-π时，2()1024f a ππ=+≤，此时()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点； 当241a -<<-ππ时，2()1024f a ππ=+>，此时()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上只有一个零点.
23．【答案】
【解析】解：（1）8
+（﹣）0﹣
=2﹣1+1﹣（3﹣e ）
=e ﹣．
（2）lg25+lg2﹣log 29×log 32 =
=
=1﹣2=﹣1．…（6分）
【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数性质及运算法则的合理运用．
24．【答案】（1）详见解析；（2）3λ=.
【解析】（1）由于2AB =，AM BM ==，则AM BM ⊥，
又∵平面⊥ADM 平面ABCM ，平面 ADM 平面ABCM ＝AM ，⊂BM 平面ABCM ，
∴⊥BM 平面ADM ，…………3分
又∵⊂AD 平面ADM ，∴有BM AD ⊥；……………6分。