2018年高考数学总复习6.2等差数列及其前n项和演练提升同步测评文新人教B版

6.2 等差数列及其前n 项和
A 组 专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2016·泉州模拟)等差数列{a n }的前三项为x －1，x ＋1，2x ＋3，则这个数列的通项公式为( )
A ．a n ＝2n －5
B ．a n ＝2n －3
C ．a n ＝2n －1
D ．a n ＝2n ＋1
【解析】 ∵等差数列{a n }的前三项为x －1，x ＋1，2x ＋3，
∴2(x ＋1)＝(x －1)＋(2x ＋3)，解得x ＝0.∴a 1＝－1，a 2＝1，d ＝2，故a n ＝－1＋(n －
1)×2＝2n －3.
【答案】 B
2．(2016·东北三省联考)现给出以下几个数列：①2，4，6，8，…，2(n －1)，2n ；②1，1，2，3，…，n ；③常数列a ，a ，a ，…，a ；④在数列{a n }中，已知a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2.其中等差数列的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 ①由4－2＝6－4＝…＝2n －2(n －1)＝2，得数列2，4，6，8，…，2(n －1)，2n 为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1，1，2，3，…，n 不是等差数列；③常数列a ，a ，a ，…，a 为等差数列；④当数列{a n }仅有3项时，数列{a n }是等差数列，当数列{a n }的项数超过3项时，数列{a n }不一定是等差数列，故等差数列的个数为2.
【答案】 B
3．(2016·山东齐鲁名校第二次联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 5＝15，若⎩⎨⎧
⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为910，则n 的值为( ) A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【解析】 因为S 5＝15，{a n }为等差数列，所以a 3＝3，又a 2＝2，所以公差d ＝1，a n ＝n .所以1a 1·a 2＋1a 2·a 3＋1a 3·a 4＋…＋1a n ·a n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910
，所以n ＝9. 【答案】 B
4．(2016·西安八校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋
a 9，则m 的值为( )
A ．37
B ．36
C ．20
D ．19
【解析】 a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82
d ＝36d ＝a 37. 【答案】 A
5．(2016·陕西质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1＜0，则正整数k ＝( )
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
【解析】 3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23
n .∵a k ＋1·a k ＜0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫453－23k ＜0，∴452＜k ＜472，∴k ＝23. 【答案】 C
6．(2016·唐山期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________．
【解析】 设数列{a n }的公差为d ，S 3＝6，S 4＝12，
∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＝6，4a 1
＋4×32d ＝12， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2， ∴S 6＝6a 1＋6×52
d ＝30. 【答案】 30
7．(2016·海淀模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________．
【解析】 ∵a 3＋a 9＝a 10－a 8，
∴a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )，解得a 1＝－4d ，
∴a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ，
令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5.
【答案】 5
8．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]
＝0，[2.6]＝2.
【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.
解得a 1＝1，d ＝25
. 所以{a n }的通项公式为a n ＝
2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35
＜2，b n ＝1； 当n ＝4，5时，2＜2n ＋35
＜3，b n ＝2； 当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35
＜4，b n ＝3； 当n ＝9，10时，4＜2n ＋35
＜5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
9．(2016·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，4S n ＝a 2
n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n ＞0.
(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列；
(2)求{a n }的前n 项和S n .
【解析】 (1)证明 由4S n ＝a 2n ＋2a n －3，4S n ＋1＝a 2
n ＋1＋2a n ＋1－3，
得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，
即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.
当n ≥5时，a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2，
所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．
(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1，
又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，
所以a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1，
而a 5＞0，所以a 1＞0，从而a 1＝3，
所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（－1）n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5， 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－（－1）n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.
10．(2016·济南模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？
【解析】 方法一 由S 3＝S 11得
3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213
a 1. 从而S n ＝d 2n 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 又a 1＞0，所以－a 113
＜0.故当n ＝7时，S n 最大． 方法二 由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象
关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113
＜0，故当n ＝7时，S n 最大． 方法三 由方法一可知，d ＝－213
a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1
≤0， 解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．
方法四 由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，
即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，
故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，
所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大．
B 组 专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·浙江卷)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *
(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )
A ．{S n }是等差数列
B ．{S 2
n }是等差数列
C ．{d n }是等差数列
D ．{d 2n }是等差数列
【解析】 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成
等差数列，又S n ＝12
×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A. 【答案】 A
12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32
，S k ＝－12，则正整数k ＝________．
【解析】 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212
， 又S k ＋1＝（k ＋1）（a 1＋a k ＋1）2
＝（k ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322
＝－212
， 解得k ＝13.
【答案】 13
13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9
b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．
【解析】 ∵{a n }，{b n }为等差数列，
∴
a 9
b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941
， ∴a 6b 6＝1941
. 【答案】 1941
14．(2016·青岛二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12
.
(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求a n 的表达式．
【解析】 (1)证明 ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.
因此1S n －1S n －1
＝2(n ≥2)． 故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1
＝2为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝1S 1
＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ， 即S n ＝12n
. 由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－
12n （n －1）
， 又∵a 1＝12
，不适合上式． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，
－12n （n －1），n ≥2. 15．(2016·咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.
(1)求通项a n ；
(2)求S n 的最小值；
(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n
n ＋c ，求非零常数c .
【解析】 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117， 所以a 3，a 4是方程x 2
－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，所以a 3＜a 4，
所以a 3＝9，a 4＝13，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. 所以通项a n ＝4n －3.
(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，
所以S n ＝na 1＋
n （n －1）2×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18
.
所以当n ＝1时，S n 最小， 最小值为S 1＝a 1＝1.
(3)由(2)知S n ＝2n 2
－n ，
所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2
－n
n ＋c ， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝15
3＋c . 因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即6
2＋c ×2＝11＋c ＋15
3＋c ，
所以2c 2＋c ＝0， 所以c ＝－12或c ＝0(舍去)， 经验证c ＝－12时，{b n }是等差数列，
故c ＝－12.。