广义对角占优矩阵的判定

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广义α1对角占优矩阵的判定准则

广义对角占优矩阵在数学、系统理论、弹性力学等诸多领域有着广泛的应用，所以如何简便地判别一
个矩阵是否是广义。对角占优矩阵是人们比较关心的一个问题［】］，本文给出一些判定的简洁方法．设ｃ表示凡阶全体复方阵的集合．设Ａ＝（ａｆ） ∈Ｃ，ＯＬ ∈（０，１］，如果ＩａＩ＞ｏＲ（Ａ）＋（１－ａ）Ｃ（Ａ），则
Ｖ０１．３３Ｎｏ．２
Ｊｕｎ．２０１５
文章编号：１００８ — ８４２３（２０１５）０２－０１５６－０３
ＤＯＩ：１０．１３５０１／ｊ．ｃｎｋｉ．４２ — １５６９／ｎ．２０１５．０６．０１ｌ
阵的简洁方法．
关键词：广义对角占优矩阵；不可约；对角占优中图分类号：０１５１．２１文献标志码：Ａ
ＣｒｉｔｅｒｉａｆｏｒＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ１ＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤｏｍｉｎａｎｔＭａｔｒｉｃｅｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｌｄｉａｇｏｎａＨｙｄｏｍｉｎａｎｔｍａｔｒｉｃｅｓａｒｅｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｓｙｓｔｅｍｓｔｈｉｔｙｍｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄｏｔｈｅｒｉｆｅｌｄｓ，ｂｕｔｉｔｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｄｅｔｅｒｍｉｎｅｗｈｅｔｈｅｒａｍａｔｒｉｘｉｓａＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｌ

广义S-α1_型块对角占优矩阵的判定及其谱分析

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(8), 3619-3630 Published Online August 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.128360文章引用: 朱开心, 庹清, 黄琦. 广义S-α1型块对角占优矩阵的判定及其谱分析[J]. 应用数学进展, 2023, 12(8): 3619-3630. DOI: 10.12677/aam.2023.128360广义S -α1型块对角占优矩阵的判定及其谱分析朱开心，庹清*，黄琦吉首大学数学与统计学院，湖南吉首收稿日期：2023年7月18日；录用日期：2023年8月8日；发布日期：2023年8月17日摘要利用G -函数的性质研究了一类新的广义块对角占优矩阵及其判定方法。

同时，利用该判定方法给出了分块矩阵特征值新的包含域。

最后，用数值算例说明了该判定方法的优越性。

关键词块H -矩阵，G -函数，特征值，广义S -α1型块对角占优矩阵The Determination and Spectrum of Generalized S -α1 Block Diagonally Dominant MatricesKaixin Zhu, Qing Tuo *, Qi HungCollege of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou HunanReceived: Jul. 18th , 2023; accepted: Aug. 8th , 2023; published: Aug. 17th, 2023AbstractA new class of generalized block diagonally dominant matrix and its determination method are studied by using the properties of G-function. At the same time, a new bound for eigenvalues of block matrices was given and some examples are given to show the advantages of this new result.KeywordsBlock H -Matrix, G -Function, Eigenvalue, Generalized S -α1 Block Diagonally Dominant Matrix*通讯作者。

广义对角占优矩阵的判定方法

广义对角占优矩阵的判定方法刘钰靖【摘要】利用矩阵分析方法和矩阵的Ostrowski对角占优性，给出了一类广义对角占优矩阵的判定条件，拓展了广义对角占优矩阵的判定方法。

%By using matrix analysis method and Ostrowski diagonally dominant matrices,a criteria condition for judging generalized diagonally dominant matrices is given,the judging methods of generalized diagonally dominant matrices are expanded.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】4页(P449-452)【关键词】广义对角占优矩阵;判定;矩阵Ostrowski对角占优性【作者】刘钰靖【作者单位】北华大学数学与统计学院，吉林吉林 132033【正文语种】中文【中图分类】O151.211 引言广义对角占优矩阵是一重要的矩阵类，具有很强的理论价值和广泛的实际背景，在计算数学、信息论、系统论、经济学、控制理论等众多领域都有重要应用[1-2].关于广义对角占优矩阵的判定已有很多系统的结果(见文献[3]等)，其研究方法也在不断改进，如文献[4-5]等引入矩阵的有向图研究矩阵的对角占优性，文献[6-8]等利用矩阵的分块研究其对角占优性，文献[9-11]等研究了矩阵的α-对角占优性等，以及更为实用的迭代判别法[12-13]，而直接给出非奇异H-矩阵的判定条件的研究成果最为丰富.本文利用矩阵的α-对角占优性，给出了广义对角占优矩阵的新判定条件.本文用n×n表示n阶复矩阵的集合，N={1，2，…，n}.设A=(aij)∈n×n，∀i∈N，记aij，aji，为整数).作为约定，本文总假定矩阵的行与列均非零，即Λi≠0，Qi≠0，i∈N.定义1 设A=(aij)∈n×n.若aii>Λi，∀i∈N，则称A为严格对角占优矩阵，记为A∈D；若存在正对角矩阵X，使AX∈D，则称A为广义严格对角占优矩阵，记为A∈D*.定义2[14] 设A=(aij)∈n×n.若存在α∈(0，1]，使∀i∈N有aii则称A为严格α-对角占优矩阵，记为A∈D(α).引理1[14] 设A=(aij)∈n×n. 若A∈D(α)，则A∈D*.2 主要结果定理1 设A=(aij)∈n×n，n>2，α∈(0，1]. 若∀i∈N有则A∈D*.证明：情况1.当时，对∀i∈N，设因为Λi≠0，Qi≠0，知di>0，i∈N且由此得，对i∈N有再由得即设正对角矩阵D=diag(d1，d2，…，dn)，B=AD=(bij)∈n×n.由n>2，di>0得aijaij因此，对∀i∈N有即aij(1)将式(1)两端α次方得aii(2)将式(2)两端分别乘以得aiidi>aijdj)αajidi)1-α，即bii>bij)αbji)1-α.因此B∈D(α).由引理1知B∈D*，进而知A∈D*.情况2.当时，设∀i∈N，再设则知di>0，i∈N且再由得设正对角矩阵D=diag(d1，d2，…，dn)，B=AD=(bij)∈n×n.则对∀i∈N有(3)将式(3)两端α次方得aii(4)将式(4)两端分别乘以得aiidi>aijdj)αajidi)1-α，即bii>bij)αbji)1-α.因此B∈D(α).由引理1知B∈D*，进而知A∈D*.证毕.定理2 设aijaij，α∈(0，1]. 若∀i∈N有则A∈D*.证明：当时，对∀i∈N，设由Λi≠0，Qi≠0，知di>0，i∈N.由得仿定理1中情况1证明可得A∈D*.当时，设对∀i∈N，再设则知di>0，i∈N且仿定理1中情况2证明可得A∈D*.证毕.定理3 设A=(aij)∈n×n，α∈(0，1]，其中若∀i∈N，存在j≠s(j，s∈N)，使且有则A∈D*.证明：当时，由题设对∀i∈N，有di>0，由得仿定理1中情况1证明可得A∈D*.当时，设∀i∈N，再设则知di>0，i∈N且仿定理1中情况2证明可得A∈D*.证毕.3 算例例1 设取α=1/2，有由定理1知A是广义严格对角占优矩阵.例2 设取α=1/2，有由定理1知A是广义严格对角占优矩阵.以上诸例说明给出的条件便于使用，是判定广义严格对角占优矩阵的新的实用方法. 【相关文献】[1] A Berman，R J Plemmons.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences[M].New York：Society for Industrial and Applied Mathematics，1994.[2] R S Varga.Matrix Iterative Analysis[M].(Second Edition)Berlin：Springer-Verlag，2000.[3] R S Varga.Gersgorin and His Circles[M].Berlin：Springer-Verlag，2004.[4] R A Brualdi.Matrices，Eigenvalues，and Directed Graphs[J].Linear and Multilinear Algebra，1982，11：143-165.[5] 林彤，杜宇辉，术洪亮.矩阵的k-path 覆盖对角占优性与应用[J].东北师大学报：自然科学版，2008，40(4)：1-6.[6] Gao Y M，Xiao H W.Criteria for Generalized Diagonally Dominant Matrices and M-matrices[J].Linear Algebra Appl，1992，169：257-268.[7] Gao Y M，Xiao H W.Criteria for Generalized Diagonally Dominant Matrices and M-matrices Ⅱ[J].Linear Algebra Appl，1996，248：339-353.[8] L Cvetkovic，Vladimir Kostic，Rafael Bru，et al.A Simple Generalization of Gensgorin’s Theorem[J].Adv Comput Math，2011，35：271-280.[9] 吕洪斌.矩阵的弱α-连对角占优性及应用[J].东北师大学报：自然科学版，2005，37(2)：10-14.[10] 李敏，孙玉祥.α-对角占优矩阵的讨论及其应用[J].工程数学学报，2009，26(5)：941- 945.[11] Ljiljana Cvetkovic.H-matrix Theory vs.Eigenvalue Localization[J].Numer Algor，2006，42：229-245.[12] Bishan Li，Lei Li，M Harada，et al.An Iterative Criterion for H-Matrices[J].Linear Algebra and Its Applications，1998，271：179-180.[13] T Kohno，H Niki，H Sawami，et al.An Iterative Test for H-Matrix[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2000，115：349-355.[14] Gao F S，Sun Y X.Judgement of M-matrices[J].Acta Math Appl Sinica，1998，21：535-538.。

广义严格对角占优矩阵的新判定条件

广义严格对角占优矩阵的新判定条件
黄政阁;徐仲;陆全
【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》
【年(卷),期】2015(028)003
【摘要】为了得到广义严格对角占优矩阵的新判定条件,首先对方阵行下标集进行不同的递进式划分,再利用α-对角占优矩阵以及不等式的放缩技巧,给出判定广义严格对角占优矩阵的一组充分条件.最后利用数值算例说明了结论的有效性,推广和改进了已有的一些结果.
【总页数】8页(P259-265,275)
【作者】黄政阁;徐仲;陆全
【作者单位】西北工业大学应用数学系,陕西西安710072;西北工业大学应用数学系,陕西西安710072;西北工业大学应用数学系,陕西西安710072
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.块广义严格对角占优矩阵的一组判定条件 [J], 许洁
2.广义严格对角占优矩阵的判定条件 [J], 何安旗;刘建州
3.简论广义严格对角占优矩阵的判定条件 [J], 程薇薇
4.广义严格对角占优矩阵的新判定条件 [J], 邰志艳;李庆春
5.广义严格对角占优矩阵的一组判定条件 [J], 马玉洁
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广义严格对角占优矩阵的新判据

Ⅳｓ１Ｑ一一１：｛一Ｉｔ＞Ａｓ１）， Ⅳｓ１， ∈ ２ｌｌａｌ－））（ ≠０
－＋Ａ１一蒹（Ｓ－）
显然，
＋０ ∑
一
一１ｕⅣｓ１一ｕ… ｕⅣ ０＝Ｎ，且两两交集为空。为书写方便，本文简记：
当Ｑ０＝０时，Ａ ∈Ｄ，当然Ａ ∈ ；当Ｑ＝０时，则Ａ０。故总假定Ｑ，００ｏ ≠ 。
下面先引入本文所需记号。设 Ⅳ０Ｑ，Ｎｏ０ ≠０，
＝Ｎ一Ⅳ０ ≠０。存在ｓ∈Ｎ，使得：
Ａ） ∑ ｌｌ：ａ＋∑ ｌＩｓｔａｓｔ
分类号：ＡＭＳ２０１１Ａ５（００５７
中图分类号：５．１Ｏ１１２
文献标识码：Ａ
１引言
设Ａ＝（ｊ ∈ＭｎＣ是一复矩阵，（） ∑ Ｊｊ ∈Ｎ：｛，，，）ａ）ｉ（）＝ａｉ，ｉＪ１２… 礼。若ＪｉａｉＪ
的概念，给出了广义严格对角占优矩阵的两个充要判定条件，得到了广义严格对角占优矩阵的几
个新的实用判据，包含和推广数值例子说明了结论的有效性。关键词：义严格对角占优矩阵；广义Ｎｅｒｓｖ矩阵；不可约；非零元素链广ｋａｏ
意ｉ２，存在ｎｎｎ｛ … ０Ｊ≠０ ∈【ｏ｛ｔ：｛，Ｊ∈Ｑ。通常称满足此充分性条件的矩阵为具有非零元０素链对角占优阵。
定理１设Ａ＝（巧（）。）∈ ｃ，若对任意ｉ一，ｓ∈Ｎ，有ｌｔＡ，Ｊ＝ ∈ １ｎｌ｛ ∈ Ⅳ １。＞Ａ｝一ｌｊｌ，则Ａ∈Ｄ当且仅当满足下列条件之一。ｌ

广义对角占优矩阵的新判据

１广义对角占优矩阵判定的充分条件
引理３设Ａ＝（ ∈ｃ，ｎ）若存在正对角矩阵．使Ｄ则Ｄ
约，称Ａ为不可约一对角占优矩阵；若对式则
证明
因为Ａ是广义对角占优矩阵，以存Ｄ所
定义ｌ若存在 Ⅳ１Ⅳ ，，ｃＮ＋满足ｎ，２… ，：（，≠ ，，２ｉＶｉｊＪ∈Ｎ＋ｕ：＝Ｎ＋则称 Ⅳ ，２，，】Ⅳ ，
…
０．设 ∈［，］Ｎ０１，＋＝Ｎ２１０Ⅳ 为Ｎ＋的一个划分，其中Ｎ＝｛∈ ＋０＜ＩＩ（＋１）ｉ｝。ｉＮ：口 ≤ Ａ）（一Ｓ（Ａ），＾＝｛∈ ＋ｆ“ ＞＋Ｉ）｝，Ｎ：ｆＲ（２Ａ）（ — Ｓ（．Ａ）
由引理１，Ｎ＝（，ＡＥＧ若＝２，知若１２则Ｄ；ｊｆｊ则Ａ∈Ｇ．故本文总假设： Ⅳ ≠ ．此外， Ⅳ ＤＮ，２当１（ Ⅳ）或２为单点集时，规定
ｔＥＮ１，≠‘ Ｉ
，
为集合Ｎ＋的划分，为Ｎ＋Ｎ１２记＝０Ⅳ ０…０．
第１期
江
如：义对角占优矩阵的新判据广
２５
阵．由于Ｄ是正对角矩阵，故Ｄ也是正对角矩又Ｄ
）Ａ，ｓ（）则称Ａ为具非零元素链ａ一角占优对
引理１设Ａ∈ｃｌ，Ｄ当且仅当Ａ为【ＪＡＥＧ
广义一角占优矩阵．对
了深入研究，并取得了不少成果（见文献［］－［］１６等）文提出一些新的判据，广了文献［］［］．本推１、２

广义块严格对角占优矩阵的一种判定

Ａｌ】Ａ１２
…
ＡｌＡ２
●
Ａ２ｌＡ
＝
…
●
：
：
Ａｌ
２
…
Ａ船
若存在，２≠ 声ＫＫ，Ｕ
．．
＝Ｋ，ｎＫ，（，１，足下述条件：Ｋ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝ＯＥ０１满ｔ
ａ
ｌ＾１ｃ１
，，ｌｌ ≠
Ａｌｉ“ ＩＪｌｉｌ）（Ｉｉｌ）ｄｄ卜。Ａ
ｌ１ ≠
＝
ｄ～ｉ
＋
∈
ｌ）ｄｓｌｌｄ
≥
Ｉ
ｄＩ一ｌｉｄＳｉ蠢ｌ～＋ｄｌｌ ∈ ｊ）
２１０２年４月第３３卷第２期
湘南学院学报
ＪｕｌｆａｇａｎｖｒｉｏｍａｎｎｎＵｉｅｓｙｏＸｉｔ
Ａｐ．２２ｒ，０１Ｖ０．３Ｎｏ．１３２
广义块严格对角占优矩阵的一种判定
肖菊，秋张
１Ｖ ∈ ）取正对角矩阵Ｄ＝ｄｇｄｌ＝１ｉｄ＝Ｐ＋ｉ）显然Ｄ为正对角矩阵．（Ｊ．ｉ（，ＥＫ；，Ｅａｄ，
记Ｂ＝（Ｄ＝（，Ａ）Ｂ）则对Ｖｉ∈ Ｋ，２有
ｌ『。Ａ（）ｌＢ＝ｌｌｉｌｌｌｌ一Ｂｓ～（）ＩＢ。Ａｌ一（ｌｌ＋～ｄＡ
㈩＝＜；
１～∑ Ｐ（Ｖ ∈Ｋ，Ａ＞２ｌｌ ∑ ｌｌ）ｉｌｌｌ＋∑ ｌＩ＋）其中０Ａｌｌ（ｐ，Ａ：— ，（所含ｎ是／２元

广义严格对角占优矩阵的一种判别法___

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2019,32(3):676-681广义严格对角占优矩阵的一种判别法关晋瑞,任孚鲛(太原师范学院数学系,山西晋中030619)摘要：广义严格对角占优矩阵是一类很重要的特殊矩阵,在理论与实际中具有广泛的应用,有关它的判别一直是人们研究的重点.本文给出广义严格对角占优矩阵的一种迭代判别法,证明了相应的收敛性理论,并用数值算例展示了该判别法的有效性.关键词：广义严格对角占优矩阵;不可约矩阵;迭代判别法中图分类号：O241.6AMS(2000)主题分类：15B99;65F30;65F10文献标识码：A 文章编号：1001-9847(2019)03-0676-061.引言广义严格对角占优矩阵是一类很重要的特殊矩阵,在矩阵理论,数值分析,控制论及数理经济学中都有着广泛的应用[2−3,8,11,14−16].有关广义严格对角占优矩阵的判定一直是人们研究的一个重点.近年来很多学者都对此问题作了深入的研究,得到了大量的成果[1,4−7,9−10,12−13].为了方便讨论,下面我们首先给出有关广义严格对角占优矩阵的一些基本概念,术语符号及常见结论.设A =(a ij )∈C n ×n ,记N ={1,2,···,n },对任意的i ∈N ,令r i (A )=∑j =i |a ij |,t i (A )=ri(A )|a ii |,以及N 1(A )={i ∈N ||a ii |>r i (A )},N 0(A )={i ∈N ||a ii |=r i (A )},N 2(A )={i ∈N ||a ii |<r i (A )},则有N =N 1(A )∪N 0(A )∪N 2(A ).定义1.1[8,16]设A =(a ij )∈C n ×n ,若对任意的i ∈N ,都有|a ii |>r i (A ),则称A 为严格对角占优矩阵.若存在正对角矩阵D ,使得AD 为严格对角占优矩阵,则称A 为广义严格对角占优矩阵.定义1.2[16]设A =(a ij )∈C n ×n ,若存在置换矩阵P ,使得P AP T =(A 11A 12O A 22),其中A 11,A 22分别为k ×k ,(n −k )×(n −k )的矩阵,1≤k <n ,则称矩阵A 是可约的.否则称A 是不可约的.定义1.3[8,16]设A =(a ij )∈C n ×n 不可约,若对任意的i ∈N ,有|a ii |≥r i (A ),且至少有一个严格不等式成立,则称A 为不可约对角占优矩阵.定义1.4[16]设A =(a ij )∈C n ×n ,称m (A )=(αij )∈R n ×n 为A 的判别矩阵,其中αij ={|a ii |,i =j,−|a ij |,i =j.∗收稿日期：2018-08-22基金项目：国家自然科学基金(11401424),山西省自然科学基金(201601D011004),太原师范学院大学生创新创业训练项目(CXCY1861)作者简介：关晋瑞,男,汉族,山西人,讲师,研究方向：数值代数.第3期关晋瑞等：广义严格对角占优矩阵的一种判别法677下面是广义严格对角占优矩阵的几个基本性质[7−8,16].引理1.1设A 为广义严格对角占优矩阵,则对任意的i ∈N ,有a ii =0.引理1.2设A 为广义严格对角占优矩阵,则N 1(A )=∅.引理1.3设A =(a ij )∈C n ×n ,则A 为广义严格对角占优矩阵当且仅当AD 为广义严格对角占优矩阵,其中D 为正对角矩阵.引理1.4设A 是不可约对角占优矩阵,则A 为广义严格对角占优矩阵.现有文献中关于广义严格对角占优矩阵的判别法大多数都是直接法,但直接法判定范围狭窄,复杂且不实用,相比之下,迭代判别法具有更大的优势,并且可以充分利用计算机来实现[1,7].本文研究广义严格对角占优矩阵的迭代判别法,在第2节我们提出广义严格对角占优矩阵的一种迭代判别法,并证明了相应的收敛性理论,在第3节中用数值算例展示了该判别法的有效性.2.主要结果文[13]提出如下一个广义严格对角占优矩阵的迭代判别法.算法2.1输入：不可约矩阵A =(a ij )∈C n ×n .输出：“A 不是广义严格对角占优矩阵”或者“A 是广义严格对角占优矩阵”.1)若对某个i ∈N ,有a ii =0,“A 不是广义严格对角占优矩阵”,停止；否则2)令k =0,A 0=A ；3)对i ∈N ,计算t i (A k ),及[u,uu ]=min 1≤i ≤n t i (A k ),v =max 1≤i ≤n t i (A k )；若u ≥1,“A 不是广义严格对角占优矩阵”,停止；若v ≤1,“A 是广义严格对角占优矩阵”,停止；否则计算A k +1=A k D k ,其中D k =diag(d 1,d 2,···,d n ),且d i ={u,i =uu,1,i =uu ;4)令k =k +1,返回第3步.该算法的优点是运算量小,每步迭代只需要O (n )的运算量,而其他的一些判别法每步都需要O (n 2)的运算量.对于不可约广义严格对角占优矩阵,该算法具有良好的收敛性.通过数值实验我们发现当所要判别的矩阵不是广义严格对角占优矩阵时,算法2.1所需的迭代次数比较多,因此有待进一步改进.通过对算法2.1的深入研究,我们发现其基本思想是不断缩小占优行对角元所在列元,从而最终得到矩阵是否为广义严格对角占优矩阵的结论.经过分析我们认为如果同时对占优行对角元所在列进行不断缩小,以及对占劣行对角元所在列进行不断放大,这样会取得更好的效果,避免了其缺陷.下面按照这个想法我们对算法2.1进行改进.设A =(a ij )∈C n ×n 不可约,构造序列{A k }如下：记A 0=(a (0)ij )=A .计算t i (A 0),∀i ∈N .设t p (A 0)=max 1≤i ≤n t i (A 0),则令A 1=A 0D 0,其中D 0=diag(d 1,d 2,···,d n ),且d i ={t p (A 0),i =p,1,i =p.若A k =(a (k )ij )已得到,然后计算t i (A k ),∀i ∈N .设t p (A k )=max 1≤i ≤n t i (A k ),则令A k +1=A k D k ,其中D k =diag(d 1,d 2,···,d n ),且d i ={t p (A k ),i =p,1,i =p.678应用数学2019依此类推,可以得到矩阵序列{A k}.由构造过程可以看到该矩阵序列元素的绝对值不断变大.对于该矩阵序列,我们有下面的结论.引理2.1设A=(a ij)∈C n×n不可约,若A不是广义严格对角占优矩阵,对角线元素非零且判别矩阵m(A)非奇异,则对于上述构造的矩阵序列{A k},存在一个正整数K,当k>K时,有N1(A k)=∅.证首先注意到当k增加时,集合N1(A k)的元素个数不增,而N0(A k)∪N2(A k)的元素个数不减.这是因为∀i∈N1(A k),设t p(A k)=max1≤i≤n t i(A k),则t p(A k)>1,且p=i.从而t i(A k+1)=r i(A k+1)|a(k+1)ii|=∑j=i,p|a(k)ij|+t p(A k)|a(k)ip||a(k)ii|≥∑j=i|a(k)ij||a(k)ii|=t i(A k).这样有可能t i(A k+1)≥1,进而i/∈N1(A k+1).而对于∀i∈N0(A k)∪N2(A k),当i=p时,很明显i∈N0(A k+1),而当i=p时,t i(A k+1)=r i(A k+1)|a(k+1)ii|=∑j=i,p|a(k)ij|+t p(A k)|a(k)ip||a(k)ii|≥∑j=i|a(k)ij||a(k)ii|=t i(A k).因此仍然有i∈N0(A k+1)∪N2(A k+1).其次,假设引理结论不成立,即对任意正整数k,都有N1(A k)=∅.根据上面的分析则存在一个正整数l,使得∀m>0,有N1(A l)=N1(A l+m).为了讨论方便,不妨设N1(A l)={1,2,···,k},且A l=(A11A12A21A22),其中A11是k×k的.这样A l的前k行是严格对角占优行,且由上面假设对于任意m>l,A m的前k行也是严格对角占优行.而根据引理的条件,A l的后n−l行必存在严格对角占劣行,否则A l将是广义严格对角占优矩阵,从而A是广义严格对角占优矩阵,这与引理条件矛盾.类似的对于任意m>1,A m的后n−k行必存在严格对角占劣行.这样对于A l而言,当l增大时,对应的子块A12中的元素将不断增大,但是由于前k行是严格对角占优行,于是A12中的元素存在上界,从而必有极限.设lim l→∞A l=Aω=(A11BA21C).我们来看看最后极限结果中的B和C.容易证明Aω后n−k列不会趋于无穷大,而且lim l→∞max1≤i≤nt i(A k)=1,因此Aω无严格对角占劣行.若Aω前k行存在严格对角占优行,则Aω是广义严格对角占优矩阵,从而A是广义严格对角占优矩阵,与定理条件矛盾.若Aω前k行不存在严格对角占优行,即有t i(Aω)=1,则m(Aω)奇异,从而m(A)也奇异,这也与定理假设矛盾.从而对于充分大k必有N1(A k)=∅.证毕.根据前面的分析以及上述定理,我们提出下面的判别法.算法2.2输入：不可约矩阵A=(a ij)∈C n×n.输出：“A不是广义严格对角占优矩阵”或者“A是广义严格对角占优矩阵”.1)若对某个i∈N,有a ii=0,“A不是广义严格对角占优矩阵”,停止;否则2)令k=0,B0=A,C0=A;3)对i∈N,计算t i(B k),及p=min1≤i≤n t i(B k),[q,qq]=max1≤i≤n t i(B k);若p≥1,“A不是广义严格对角占优矩阵”,停止;第3期关晋瑞等：广义严格对角占优矩阵的一种判别法679若q ≤1,“A 是广义严格对角占优矩阵”,停止;否则计算B k +1=B k D k ,其中D k =diag(d 1,d 2,···,d n ),且d i ={q,i =qq,1,i =qq ;4)对i ∈N ,计算t i (C k ),及[u,uu ]=min 1≤i ≤n t i (C k ),v =max 1≤i ≤n t i (C k )；若u ≥1,“A 不是广义严格对角占优矩阵”,停止；若v ≤1,“A 是广义严格对角占优矩阵”,停止；否则计算C k +1=C k D k ,其中D k =diag(d 1,d 2,···,d n ),且d i ={u,i =uu,1,i =uu ;5)令k =k +1,返回第3步.下面我们分析算法2.2的收敛性.定理2.1对任意给定的不可约矩阵A =(a ij )∈C n ×n ,假设判别矩阵m (A )非奇异,则算法2.2总是收敛的.证若矩阵A 对角线有零元素,则算法2.2直接可以停止.若矩阵A 对角线无零元素,当矩阵A 是广义严格对角占优矩阵时,根据文[13]中的结论,算法2.2中第4步可以在有限步内停止.当矩阵A 不是广义严格对角占优矩阵时,根据引理2.1,算法2.2中第3步可以在有限步内停止.证毕.定理2.2对任意给定的不可约矩阵A =(a ij )∈C n ×n ,若算法2.2收敛,则它的结论是正确的.证当算法终止时,有两个输出结果:“A 不是广义严格对角占优矩阵”和“A 是广义严格对角占优矩阵”.下面我们分情况讨论.当输出结果为“A 不是广义严格对角占优矩阵”时,可能在第1、3或4步.若在第1步停止,则对某个i ∈N ,有a ii =0,根据引理1.1,A 不是广义严格对角占优矩阵.若在第3步停止,则对任意i ∈N ,有t i (B k )≥1,即有N 1(B k )=∅,根据引理1.2,B k 不是广义严格对角占优矩阵,从而由引理1.3,A 不是广义严格对角占优矩阵.若在第4步停止,则对任意i ∈N ,有t i (C k )≥1,即有N 1(C k )=∅,根据引理1.2,C k 不是广义严格对角占优矩阵,从而A 不是广义严格对角占优矩阵.当输出结果为“A 是广义严格对角占优矩阵”时,可能在第3、4步.若在第3步停止,则对任意i ∈N ,有t i (B k )≤1,由于前面已经处理了t i (B k )≥1的情形,此时有t i (B k )≤1,且至少有一个不等式是严格的,从而根据引理1.4,B k 是广义严格对角占优矩阵,从而A 是广义严格对角占优矩阵.若在第4步停止,则对任意i ∈N ,有t i (C k )≤1,由于前面已经处理了t i (C k )≥1的情形,此时有t i (C k )≤1,且至少有一个不等式是严格的,根据引理1.4,C k 是广义严格对角占优矩阵,从而A 是广义严格对角占优矩阵.证毕.3.数值例子本节中,我们通过几个例子来检验提出的判别法(算法2.2)的有效性,并与算法2.1进行比较.实验用Matlab(R2012a),并在个人机上运行.实验结果给出两种算法的判别结果(GDDM),所需的迭代次数(IT)以及计算时间(CPU).实验的例子取自文[1,7].例3.1考虑下列矩阵A = 10−0.5−0.5100−21 ,B = 10011111113,680应用数学2019C=1−0.8−0.1−0.51−0.3951−0.8−0.61,D=1−0.8−0.1−0.51−0.3952−0.8−0.61,E=4−1−5−13−7−2−17,F=1−2−10−210−10−0.251−0.5−0.250−0.51.实验结果见表格3.1.表3.1例3.1的实验结果矩阵A B C D E FGDDM是是是否否否算法2.1IT2318767053CPU0.0001670.0001800.0005640.0023020.0018100.001483GDDM是是是否否否算法2.2IT111810302CPU0.0001650.0001450.0009170.0006750.0015740.000150从实验结果可以看到,对于非广义严格对角占优矩阵,算法2.2所需要的迭代次数和计算时间明显少得多,而对于广义严格对角占优矩阵,算法2.2比算法2.1在一些例子中所需要的迭代次数和计算时间也有一定的减少,因此我们的算法是很有效的.以上我们提出一个广义严格对角占优矩阵的判别法,理论分析和数值算例显示了该算法是有效的.本判别法的不足之处是依赖于矩阵的不可约性,对于可约矩阵则不能奏效.如何把我们的算法推广到判别可约矩阵,则是我们今后的工作.参考文献：[1]ALANELLI M,HADJIDIMOS A.A new iterative criterion for H-matrices[J].SIAM J.Matrix Appl.,2006,29:160-176.[2]BERMAN A,PLEMMONS R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences[M].New York:Academic Press,1994.[3]DAILEY M,DOPICO F,YE Q.A new perturbation bound for the LDU factorization of diagonallydominant matrices[J].SIAM J.Matrix Anal.Appl.,2014,35(3):904-930.[4]范迎松,陆全,徐仲,高慧敏.非奇异H-矩阵的一组细分迭代判别准则[J].工程数学学报,2012,31(6):877-882.[5]高慧敏,陆全,徐仲,山瑞平.非奇H-矩阵的一组含参数迭代判定准则[J].高校应用数学学报,2012,27(4):439-448.[6]高慧敏,陆全,徐仲,山瑞平.非奇H-矩阵的一组细分迭代判定条件[J].工程数学学报,2014,33(6):329-337.[7]GUAN J R,LU L Z,LI R C,SHAO R X.Self-Corrective iterations for generalized diagonally dominantmatrices[J]put.Appl.Math.,2016,302:285-300.[8]黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京:科学出版社,2007.[9]黄政阁,徐仲,陆全,崔静静.非奇H-矩阵的一组新的判定条件[J].高等学校计算数学学报,2016,38(4):330-342.[10]KOHNO T,NIKI H,SAWAMI H,GAO Y M.An iterative test for H-matrix[J]put.Appl.Math.,2000,115:349-355.第3期关晋瑞等：广义严格对角占优矩阵的一种判别法681[11]KOEV P,DOPICO F.Perturbation theory for the LDU factorization and accurate computations fordiagonally dominant matrices[J].Numer.Math.,2011,119:337-371.[12]LI H B,HUANG T Z.On a new criterion for the H-matrix property[J].Applied Mathematics Letters.,2006,19:1134-1142.[13]OJIRO K,NIKI H,USUI M.A new criterion for H-matrices[J]put.Appl.Math.,2003,150:293-302.[14]SPIELMAN D A,TENG S H.Nearly-linear time algorithms for preconditioning and solving sym-metric,diagonally dominant linear systems[J].SIAM J.Matrix Anal.Appl.,2014,35(3):835-885.[15]徐仲,陆全,张凯院等.H-矩阵类的理论及应用[M].北京:科学出版社,2013.[16]VARGA R S.Matrix Iterative Analysis[M].Berlin:Springer-Verlag,2000.An Iterative Method for Checking Generalized StrictlyDiagonally Dominant MatricesGUAN Jinrui,REN Fujiao(Department of Mathematics,Taiyuan Normal University,Jinzhong030619,China) Abstract:Generalized strictly diagonally dominant matrix is a kind of special matrix which hasmany applications in theory and practice,and research on its discrimination has become a hot topic in recent years.In this paper,an iterative method is proposed for identifying a matrix to be a generalized strictly diagonally dominant matrix or not.Theoretical analysis and numerical examples are given to show that the method is eﬀective and eﬃcient.Key words:Generalized strictly diagonally dominant matrix;Irreducible matrix;Iterative algo-rithm。

广义_对角占优矩阵与非奇异H_矩阵的判别

1
(1) ( B) t∈N1
| |+
(1) ( ) t∈N2 B
| | +
t∈N2 ( B)， t≠i
| |
+
1
>
t∈N1( B)， t≠i
| |+ +1
t∈N2( B)
+
=
1
。
= 1 + 1 1 . 1 1 综上可知，对于 i 1 ，有| 1 |> 2 2= ，又由 1= 0 1 ， 0 1 1 + 1 1 ，所以 1 都是正对角矩阵，知，由引理 1 可知，为非奇异矩阵。
| | 1+
t∈N2( B) 1
| |
+
)
i
（3） }， |b it|
2
=
1 2
1
+1
1 2
。， <1，
取 0<d<min d ，构造正对角矩阵
1
=diag{ | = 1，i
1
1
； = + ，i
t∈N2( B)
当 i ，则 |
1
时，由 <1，
2
记 1=
=
1
×
，若
|bit|=0，则有
|= | |= > (1
to be generalized - diagonally dominant matrix， im-
proving and generalizing the related results. This result enriches and improves the theory of - diagonally dominant matrix and H-matrix. Finally， some numerical examples are given for illustrating advantage of results in this paper．Providing theory's base for relative fields， such as in matrix theory ，control theory， mathematical economics，etc . Key words： -diagonally dominant matrix；generalized -diagonally dominant matrix； H-matrix

广义严格对角占优矩阵的判定

沿用参考文献［］的定义、理及符号．６中引
定理１设＝ＪＭ，Ｄ＝ｄｇ，，口（ｏ ∈ｃｉｈＩ …，＿ａ％口，
，， …’）Ｐ
是列阵ｊＰ：】记＝１＝１ Ⅳ 排矩，：ｒＰ（，』｛ｌ（ＤＥ１｝，
其＝∑ ｌ中
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１
敬Ｄ＝ｄｇ，：，＾Ｉ］ｉ｛ｄＩｔ ∈ ，ａ
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Ａ＝Ｄ＝口。。：（）则ＭＩ， “ ．２ ’ ＲＲＲＪ０当 ∈ 时。．Ｉ，＞，一卜Ｒ．“ “
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Ｊ列阵：ＤＰ）＝Ｉ ∑ ＜ｅ ≠ ｐ矩，Ｐ：，ｌ＝网ｌ Ⅳ 为，ｉ排置，｝，
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若存在Ｎ．Ｎ２ Ⅳ Ｎ２：Ｎ，使得对一切 ∈Ｎ．／∈ Ｎ２．，Ｕ，有
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喑尔蒺师范大学自然科学学报
２０００年
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维普资讯
第２期
广义严格对角占优矩阵的判定
州告苔． Ⅳ ∈ ∈ 』－吼 Ⅳ
因此．Ａ∈Ｄ’ Ｍ（且Ａ）为非奇Ｍ．阵

对角占优矩阵的判定条件

对角占优矩阵的判定条件作者：田素霞来源：《科技视界》2014年第26期【摘要】本文介绍了α-对角占优矩阵的概念，给出了广义严格对角占优矩阵新的判定条件，改进和推广了先前有关文献的相应的结果.【关键词】广义对角占优矩阵;α-对角占优矩阵;判定条件对角占优矩阵及M-矩阵是计算数学和矩阵理论研究的重要课题之一。

本文利用α-对角占优矩阵给出了广义对角占优矩阵和分块对角占优矩阵的判定条件，改进和推广了文1-3的结果。

设A=（a■）∈C■，N={1，2，…n}=N■∪N■，N■∩N■=Φ，记∧■（A）=■a■，Si（A）=■aji定义1 设A=（a■）∈C■，若aii>∧■（A）（？坌■∈N），则称A为严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵.定义2 设A=（a■）∈C■，若存在α∈（0，1]使aii>α∧■（A）+（1-α）S■（A）（？坌■∈N），则称A为严格α-对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格α-对角占优矩阵，则称A为广义严格α-对角占优矩阵.定义3 设A=（a■）∈Z■=（a■）│a■≤0，i≠j;i，j∈N，若A=sI-B，s>ρ（B），其中：B为非负矩阵，ρ（B）为B的谱半径，则称A为非奇异M-矩阵;若A的比较矩阵M（A）=（mij）为非奇异M-矩阵，则称A为非奇异H-矩阵，其中：设A=（a■）∈C■，把A分块为：这里A■（1≤i≤k）为ni阶方阵，■n■=n定义4 设A=（a■）∈C■，分块如（1），若A■（1≤i≤k）均非奇异，且：则称A为块对角占优矩阵;如果（2）的所有不等号为严格不等式，则称A为块严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为块严格对角占优矩阵，则称A为广义块对角占优矩阵.设A=（a■）∈C■，分块如（1），且A■（1≤i≤k）均非奇异，构造B如下：引理1[1] 设A=（a■）∈C■，若A为严格α-对角占优矩阵，则A为广义严格对角占优矩阵.引理2[1] 设A=（a■）∈C■，分块如（1），且A■（1≤i≤k）均非奇异，构造B如（3），则A为广义块对角占优矩阵当且仅当B是非奇异M-矩阵.定理1 设A=（a■）∈C■，若N■∪N■=N，N■∩N■=？覫及α∈（0，1]存在使得满足：则A为广义严格对角占优矩阵.证明：令：若■a■=0时，记M■=+∞.由题设知0≤m■适当选取d使之满足0≤■m■设正对角矩阵X=diag（xi│xi=d■，i∈N■;xi=■，i∈N■），再设B=AX=（bij），则：当i ∈N■时，当j ∈N■时，所以B为严格α-对角占优矩阵，由引理1知B为广义严格对角占优矩阵，又因为X为正对角矩阵，所以A也是广义严格对角占优矩阵。

对角占优矩阵的判定条件

对角占优矩阵及M-矩阵是计算数学和矩阵理论研究的重要课题之一。

本文利用α-对角占优矩阵给出了广义对角占优矩阵和分块对角占优矩阵的判定条件,改进和推广了文1-3的结果。

设A=(a ij )∈Cn×n,N={1,2,…n}=N 1∪N 2,N 1∩N 2=Φ,记∧i (A)=j ∈Nj ≠i∑a ij ,S i (A )=j ∈N j ≠i∑a ji定义1设A=(a ij )∈C n×n,若a ii >∧i (A)(∀i ∈N ),则称A 为严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X 使得AX 为严格对角占优矩阵,则称A 为广义严格对角占优矩阵.定义2设A=(a ij )∈Cn×n,若存在α∈(0,1]使a ii >α∧i (A )+(1-α)S i (A )(∀i ∈N ),则称A 为严格α-对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X 使得AX 为严格α-对角占优矩阵,则称A 为广义严格α-对角占优矩阵.定义3设A=(a ij )∈Z n×n =(a ij )│a ij ≤0,i ≠j ;i ,j ∈N {},若A =sI-B ,s>ρ(B ),其中:B 为非负矩阵,ρ(B )为B 的谱半径,则称A 为非奇异M-矩阵;若A 的比较矩阵M(A)=(m ij )为非奇异M-矩阵,则称A 为非奇异H-矩阵,其中:设A=(a ij )∈Cn×n,把A 分块为:这里A ii (1≤i ≤k )为n i 阶方阵,ki =1∑n i =n定义4设A=(a ij )∈Cn×n,分块如(1),若A ii (1≤i ≤k )均非奇异,且:则称A 为块对角占优矩阵;如果(2)的所有不等号为严格不等式,则称A 为块严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X 使得AX 为块严格对角占优矩阵,则称A 为广义块对角占优矩阵.设A=(a ij )∈Cn×n,分块如(1),且A ii (1≤i ≤k )均非奇异,构造B如下:引理1[1]设A=(a ij )∈Cn×n,若A 为严格α-对角占优矩阵,则A 为广义严格对角占优矩阵.引理2[1]设A=(a ij )∈Cn×n,分块如(1),且A ii (1≤i ≤k )均非奇异,构造B 如(3),则A 为广义块对角占优矩阵当且仅当B 是非奇异M-矩阵.定理1设A=(a ij )∈Cn×n,若N 1∪N 2=N ,N 1∩N 2=Ø及α∈(0,1]存在使得满足:则A 为广义严格对角占优矩阵.证明:令:若k ∈N ∑a jk =0时,记M j =+∞.由题设知0≤m i <M j ,∀i ∈N 1,j ∈N 2.适当选取d 使之满足0≤max i ∈N m i <d <min j ∈N M j ≤+∞.设正对角矩阵X=diag(x i │x i =d ∧i (A )a ii ,i ∈N 1;x i =∧i (A )a ii,i ∈N 2),再设B=AX=(b ij ),则:当i ∈N 1时,当j ∈N 2时,所以B 为严格α-对角占优矩阵,由引理1知B 为广义严格对角占优矩阵,又因为X 为正对角矩阵,所以A 也是广义严格对角占优矩阵。

广义对角占优矩阵的判定

广义对角占优矩阵的判定
广义对角占优矩阵（Generalized Diagonally Dominant Matrix）又称为弱对角占优矩阵。

它是一类特殊的矩阵，其特性为每行或每列上的绝对值最大的元素在对角线上，而且对角元素的绝对值大于其余元素的绝对值之和。

广义对角占优矩阵用来判断矩阵结构的稳定性。

广义对角占优矩阵判定可以利用如下定理来完成。

定理1：设A是n阶方阵，则当A满足：
∑|aik|≤|aii| (i=1,2,…,n)
时，称A为弱对角占优矩阵，记作A∈GDD(n) 。

根据定理1可以看出，当矩阵A满足弱对角占优的条件时，就表明该矩阵具有广义对角占优的结构，该矩阵更加稳定。

广义对角占优矩阵的判定可以分别针对不同情况进行检测，例如：
1. 当矩阵A的所有元素为正数时，可以判断
A∈GDD(n) 的条件是：
∑aik≤aii (i=1,2,…,n)
2. 当矩阵A的元素包含正负数时，可以判断
A∈GDD(n) 的条件是：
∑|aik|≤|aii| (i=1,2,…,n)
3. 当矩阵A的元素都是负数时，可以判断A∈GDD(n) 的条件是：
∑(-aik)≤(-aii) (i=1,2,…,n)
4. 关于重复元素的情况，判断A∈GDD(n) 的条件是：
∑|aik|<|aii| (i=1,2,…,n)
以上就是广义对角占优矩阵的判定，从上面可以看出，广义对角占优矩阵具有一定的稳定性，因此在矩阵分析中，它常常被用来判断矩阵的结构稳定性。

广义对角占优矩阵与非奇M-矩阵的新判定

ＪＥＶ２ ’
＋ｄｆ
∑ ｌＩ（一）。口＋１ａＩＡ）ｓ（
，Ｅ』２、２， ‘ Ｖ
３对式（）（）号成立的ｉｉ∈ ：，）１，２等和存在非零元素链口（ｌ￣ｎ使对于ｉ式（）吨Ｚｉｏ。ｉ￣２，１，
构造正对角阵ｌ＝ｄａ｛ｆｉ＝ｄｉｇＩ， ∈Ｎ；１
＝１ｉ＝』２令Ａ＝Ａｌ，、｝，ｒ２１＝（ ’ 则当口），
Ｖｉ∈Ⅳｌ，时
∑ Ｉｌ（一（。口＋１）Ａ）
＝０＋１ｌ０＋（一ａ６（＋．）ｄｃｏｆ＋１）ｌＡｉｓ
（１一Ｏ）Ａ）Ｌ．（。ｓ
３及文［］Ａ是广义对角占优矩阵，）５知，从而Ａ是。广义对角占优矩阵，进而由文［Ｏ知Ａ是广义对１］
角占优矩阵，由引理１知是非奇矩阵。定理２设Ａ＝（ ∈ Ｃ，存在 Ⅳ ① Ⅳ２＝ａ）若Ｎ， ∈ （，］，０１使得Ａ满足以下条件：
（＝） ∑ １＋ ∑ ｌ占＋ ∑ ０口。
ＪＥＩ１Ｖ，ｅ， ’ ≠ ‘ ｖ２，ＪＥ２、２
则Ａ是广义对角占优矩阵，是非奇矩阵。证明
口 ¨ ＝
一
Ｉ ’ ＋（口Ｉ１—０６Ｓ（２ｃｌＡ））
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２・
贵州大学学报（自然科学版）
第２８卷
使得
ｄ￡ｉ１＋ｄ１—０（＋｜）≤ ＋。ｌ＋。６（ｃＡｉｓ）ｉ２０，ｄ１ “ＩＶｉ∈ Ｎｌ，（）１

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件

广义严格对角占优矩阵的充分必要条件1. 引言1.1 引言概述广义严格对角占优矩阵是线性代数中一个重要且常见的概念。

在矩阵理论中，对角占优矩阵是指矩阵每一行（或每一列）对角线上的元素的绝对值都大于该行（或该列）上所有其他元素的绝对值之和。

而广义严格对角占优矩阵则是对角线和非对角线上元素的要求更为宽松的一类矩阵。

广义严格对角占优矩阵在实际问题中有着重要的应用，尤其在数值计算中起着至关重要的作用。

本文将探讨广义严格对角占优矩阵的定义、性质、定理证明、应用和举例，希望通过对这一概念的深入研究，能够更好地理解其在数学和工程领域的重要性和实用性。

在下文中，我们将详细介绍广义严格对角占优矩阵的各个方面，并通过具体的例子和应用场景来帮助读者更好地理解这一概念。

通过对广义严格对角占优矩阵的全面分析，我们可以更好地把握其本质和特点，为进一步的研究和应用奠定基础。

2. 正文2.1 定义广义严格对角占优矩阵是指对于一个n阶方阵A，如果存在正整数r（r=1,2,...,n-1），使得对于所有i(j≠i)，都有|a_ij|≤r|a_ii|成立，则称矩阵A是广义严格对角占优的。

这里，a_ij表示矩阵A的第i行第j列元素，a_ii表示矩阵A的第i 行第i列元素。

简单来说，广义严格对角占优矩阵是一种特殊的矩阵，其非对角线上的元素的绝对值都小于等于对角线上元素的绝对值的r 倍。

广义严格对角占优矩阵的定义对于矩阵的性质和定理证明有着重要的影响，它保证了矩阵A的主对角线上的元素起着重要的作用，并且非对角线上的元素相对于对角线上的元素来说是比较小的。

这种特性为矩阵的计算和性质分析提供了便利，在实际应用中也有着重要的作用。

2.2 性质广义严格对角占优矩阵是一类在数学和工程领域中广泛应用的重要矩阵。

它具有许多独特的性质，这些性质在矩阵论和线性代数中具有重要的意义。

广义严格对角占优矩阵是一种特殊的矩阵结构，它的对角元素绝对值大于其它元素绝对值的和。

广义严格对角占优矩阵的几个判定方法

广义严格对角占优矩阵的几个判定方法
广义严格对角占优矩阵是线性代数中的重要概念，它既包括标准的严格对角占优矩阵，也包括带有权值信息的广义严格对角占优矩阵。

它是用来描述矩阵主对角线上元素均大于等于矩阵的非主对角线元素的非负值矩阵。

一般来说，严格对角占优矩阵有几种判定方法，他们是对角元素检查法、列求和检查法以及行求和检查法。

首先，对角元素检查法要求每一个矩阵的对角元素都必须大于等于它的其他元素，如果这一条件不满足，则矩阵就不是严格对角占优矩阵。

其次，列求和检查法要求将每一列的元素求和，若求和的结果大于对角元素，则不是严格的对角占优矩阵。

最后，行求和检查法是将每一行的元素求和，若求和的结果大于对角元素，则矩阵也不是严格的对角占优矩阵。

总之，严格对角占优矩阵判定方法并不是很复杂，通常来说，只要确保矩阵的对角元素大于等于该矩阵的所有其他元素即可，同时也可以通过列和行求和的方法来判断矩阵是否为严格的对角元素。

广义严格对角占优矩阵的一组含参数充分条件

广义严格对角占优矩阵的一组含参数充分
条件
广义严格对角占优矩阵是数据统计学中的重要数学概念，它描述了一个矩阵的非对角线元素的数量，有时也叫做帕累托矩阵或约束矩阵。

它可以用来描述不同变量之间的关系和它们的变化趋势。

广义严格对角占优矩阵的一组含参数充分条件包括:
1、每行每列的非对角元素数及其顺序都是相同的，即在矩阵的对角线对齐之外，其余元素的位置相对固定。

2、至少有m-1行，其中m是矩阵的行数。

3、每行的非对角线元素相等，其实非对角线元素的取值可以是任意的非负整数，这些参数的取值可以不一致，也可以一致，但总和均不大于m-1，说明每行的最后一个元素是负数。

4、矩阵的对角线元素都为零。

从上述内容可以看出，广义严格对角占优矩阵的概念，是矩阵具有某种程度上的规律性、参数性。

矩阵的非对角元素数量以及它们之
间的联系，是按照固定的规则安排排列的，而其非对角元素的值也与其位置相对固定。

若一个矩阵符合上述条件，它就可以被称为一个广义严格对角占优的矩阵。

现代数据统计学中，经常使用广义严格对角占优矩阵来表达不同变量之间的联系；它的实际运用，是指根据实际的数据，按照上述的条件来建立相应的矩阵，以统计变量之间的关系和变化趋势。

在社会科学研究中，广义严格对角占优矩阵可以帮助研究者更准确地定义变量之间的联系，并分析各变量间的变化特点。

同时，它还可以用来统计不同变量间的独立性，以鉴别有假设和无假设实验。

通过以上介绍，可以明白，广义严格对角占优矩阵在数据统计学中扮演着重要角色。

它的存在，为社会科学研究和数据分析提供了坚实的基础，使研究者能够更加清楚和准确地分析、识别变量之间的联系。

广义严格对角占优矩阵的实用判定准则

广义严格对角占优矩阵的实用判定准则张俊丽;红艳【摘要】广义严格对角占优矩阵是一类特殊矩阵,在工程技术和科学研究中有着广泛应用.本文根据α对角占优矩阵与广义严格对角占优矩阵的关系,利用不等式放缩技巧,给出了广义严格对角占优矩的实用判定准则,推广了已有的相关结果,数值算例说明了该判定准则的有效性.【期刊名称】《内蒙古民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(032)006【总页数】4页(P470-473)【关键词】广义严格对角占优矩阵;α-对角占优矩阵;不可约;非零元素链【作者】张俊丽;红艳【作者单位】内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽028043;内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽028043【正文语种】中文【中图分类】O151.21广义严格对角占优矩阵是计算数学的重要研究课题之一，其在弹性力学、动力系统理论及神经网络等众多领域都有着重要应用，但是其判定却比较困难.近年来众多学者对其作了深入的研究，给出了一些重要结果[1-10].文〔1〕给出了非奇异H-矩阵的简捷判据，文〔2〕给出了非奇异H-矩阵的迭代判定方法，改进文〔1〕的结果.本文给出了广义严格对角占优矩的实用判定准则，推广了文〔3〕的结果.用Cn×n表示n×n阶复矩阵的集合.A=(aij)∈Cn×n，α∈(0,2]，N={1,2,...,n}，记定义1〔4〕设A=(aij)∈Cn×n，若| |aii≥(＞)Ri(A)(i∈N)，称A为对角占优矩阵（严格对角占优矩阵），记作A∈D(A∈D0);如果存在对角阵X使得AX∈D，称A为广义严格对角占优矩阵（又称非奇异H-矩阵），记作A∈D~.定义2A=(aij)∈Cn×n，如果存在α∈(0,1]，使得对∀i∈N ，有则称A为α-对角占优矩阵（严格α-对角占优矩阵），记为A∈D0(α)(A∈D(α));如果存在正对角阵X，使得AX∈D(α)，则称A为广义严格α-对角占优矩阵，记为A∈D~(α).定义3设A=(aij)∈Cn×n，不可约，若A∈D0(α)，且至少有一个不等式严格成立，则称A为不可约α-对角占优矩阵;若A∈D0(α)，并对于满足等式成立的下标i都存在非零元素链aii1，ai1i2，…，aikj，使得，则称A具为非零元素链α-对角占优矩阵.引理1〔5〕设A=(aij)∈Cn×n，α∈(0,1].若满足下列条件之一，则A为广义严格对角占优矩阵:（1）A ∈ D(α);（2）A为不可约α-对角占优矩阵，且至少有一个严格对角占优行;（3）A具为非零元素链α-对角占优矩阵.引理2〔7〕设A=(aij)∈Cn×n，α∈(0,1]，则A∈D~ 当且仅当A∈D~(α).显然，N1⋃N2⋃N3=N ，若N1⋃N2=Φ，则A∈D~;若N3=Φ，则;若有i∈N ，使得aii=0，则.故本文总假设aii≠0，∀i∈N;N1⋃N2≠Φ;N3≠Φ，并规定定理1 设.若对任意的i∈N2，下式成立则证明由ρi，δi的定义知，∀i∈N3,0＜ρi＜1;∀i∈N2,0＜δi＜1.构造正对角矩阵X=diag(x1,x2,...,xn)，且令B=AX，其中，于是有∀i∈N2，由（1）式及 0＜δi＜1，得∀i∈N3，由ρi的定义得故综上所述，∀i∈N ，有，即，由引理2知，注：上述定理是文〔3〕的定理1的推广，且该迭代判定方法可以推广到不可约和具有非零链的情形.记定理2设A=(aij)∈Cn×n不可约，α∈(0,1]，.若对任意的i∈N2，有且（2）中至少有一严格不等式成立，则证明仿照定理1，构造正对角矩阵X=diag(x1,x2,...,xn)，且令B=AX，其中∀i∈N1，由知，对i∈M(A)≠Φ，有对i∈N2\M(A)，由（2）得，∀i∈N3，证明和定理1相同.综上可得，对∀i∈N，有| bii|≥αRi(B)+(1-α)Ci(B)，且至少有一个不等式严格成立.由A不可约，知B不可约，故B为不可约α-对角占优矩阵，由引理2得，A∈D~.类似地，我们可以证明如下的定理3:定理3 设A=(aij)∈Cn×n，α∈(0,1]，.若对任意的i∈N2，有且其中至少有一严格不等式成立，对式（3）中的每一个等式成立的i，存在非零元链aii1ai1i2ai2i3…aikj，满足则考虑矩阵故可以验证文献〔1〕中定理1无法判断.利用本文定理1，取α=0.9，则N1={1}，N2={2}，N3={3,4,5}.于是，【相关文献】〔1〕黄廷祝.非奇异H-矩阵的简捷判据〔J〕.计算数学，1993，15（3）:318-328.〔2〕黄泽军，刘建州.非奇异H-矩阵的一类新迭代判别法〔J〕.工程数学学报，2008，25（5）:939-942.〔3〕张威.非奇异H-矩阵的判定〔J〕.北华大学学报（自然科学版），2014，15（3）:302-307. 〔4〕Berman A，Plemmons R J.Nonnegative Matrix in the Mathematical Sciences〔M〕.New York:Academic Press，1979.〔5〕SUN Y X.An improvement on a theorem by Ostrowski and its applications〔J〕.Northeast.Math.J.，1991（4）：497-502.〔6〕张俊丽，韩贵春.非奇异H-矩阵的一类判定条件〔J〕.湖北民族学院学报（自然科学版），2014，32（2）:144-147.〔7〕李继承，张文修.H矩阵的判定〔J〕.高等学校计算数学学报，1999，21（3）:264-268. 〔8〕孙玉祥.广义对角占优矩阵的充分条件〔J〕.高等学校计算数学学报，1997，9（3）:216-223. 〔9〕张俊丽，韩贵春.不同的离散矩阵对数值微分的影响〔J〕.内蒙古民族大学学报（自然科学版），2014，2:14-17.〔10〕许洁，刘明姬，吕显瑞.广义严格对角占优矩阵的实用新判定〔J〕.吉林大学学报（理学版），2014，52（4）:740-742.。

广义严格对角占优矩阵的新判定准则

广义严格对角占优矩阵的新判定准则高慧敏;陆全;徐仲;袁志杰【摘要】广义严格对角占优矩阵作为一类特殊矩阵，在数学、物理、控制论及经济学等许多领域有着重要的应用。

文章利用α-对角占优矩阵给出了判定广义严格对角占优矩阵的一组充分条件，推广和改进了已有的相关结果，数值算例也说明了这些结论的有效性。

%10.3969/j.issn.1003-5060.2012.11.029【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(000)011【总页数】4页(P1565-1568)【关键词】广义严格对角占优矩阵;非奇异H-矩阵;α-对角占优矩阵;不可约;非零元素链【作者】高慧敏;陆全;徐仲;袁志杰【作者单位】西北工业大学应用数学系,陕西西安 710072;西北工业大学应用数学系,陕西西安 710072;西北工业大学应用数学系,陕西西安 710072;合肥工业大学理学院,安徽合肥 230009【正文语种】中文【中图分类】O151.21广义严格对角占优矩阵作为一类特殊的矩阵，在数学、物理、控制论及经济学等许多领域有着重要的应用。

如何在实际应用中方便地判别一个矩阵是否是广义严格对角占优矩阵，一直是人们关注的问题。

近年来，国内外许多学者做了不少工作，提出了一些实用的判别条件［1－9］，本文在文献［1］的基础上，利用α－对角占优矩阵给出了判定广义严格对角占优矩阵的一组充分条件，推广了文献［1］的主要结果，同时也改进了文献［4－5］的主要结果，并用数值算例说明了结论的有效性。

用Cn×n表示n×n阶复方阵集合，设定义1 设A＝（aij）∈Cn×n，若｜aii｜≥Ri（A）（i∈N），则称A为对角占优矩阵，记为A∈D0；若每个不等号都是严格的，则称A为严格对角占优矩阵，记为A∈D；如果存在正对角阵D使得AD∈D，则称A为广义严格对角占优矩阵，即A为非奇异H－矩阵，记为A∈D＊。

定义2 设A＝（aij）∈Cn×n，如果存在α∈（0，1］，使得对∀i∈N，有｜aii｜＞αRi＋（1－α）Si，则称A为严格α－对角占优矩阵，记为A∈D（α）；如果存在正对角阵D，使得AD∈D（α），则称A为广义严格α－对角占优矩阵，记为A∈D＊（α）。

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第２第６期８卷
Ｖｌ８ＮＯ６ｂ．２
温州大学学报・然科学版自
ＪｒｌｅｈｏｕｎａＷｎｚｏｕＵｎｉｅｓｔ・ａｕａｉｎｅｏｆｖｒｉｙＮｔｒｌＳｃｅｃｓ
本文引进下述记号：
＝
ＡＳ，Ｊ＝｛∈Ｎｌ＞） ∈（，．卜ｆａ，ｌ０１】，若Ａ的所有顺序主子式ａ） “ ｆ，Ｊ ≠Ｊ
均大于零，则称Ａ为非奇Ｍ．阵．矩
定义２设Ａ＝（ ∈Ｃ，若存在 ∈（，，使得ａ０１】
Ｉ ‘ Ⅱ ，ｆＮ Ⅱ ｌ＞Ｖ∈
ｔ＝ｌｔ＝ｌ
（１）
其中， … ，是集合 Ⅳ 的一个排列，则称Ａ为ｒ，，．角占优矩阵；若式（）中每一不等号都链对１是严格的，则称Ａ为严格ｒ．链对角占优矩阵．
￣ｄｔｅＡ＞０．
证明：先假设Ａ为严格３链对角占优矩阵．不失一般性，设Ｊ ≠ ，且ｒ ∈ Ｊ，这里Ｊ＝．／
Ｎ＼令＝Ｎ＼／，Ｊ．｛）作矩阵Ｂ＝（）则对Ｖ ∈Ｎ＼Ｙ，Ｉａ，））ｒＡｆ，１ｉ｛）有Ｉ１人（＝人（一／ａ＝／ＢＡ
条件是非常有意义的．本文引进了ｒ链对角占优矩阵的概念，讨论了广义对角占优矩阵的判定条．
件，这些条件是简单且实用的．
１预备知识
用脓表阶矩，＝）Ｃ记 ∑ａ，＝以ｌ其ｃ”示ｎ复阵Ｈ（ ∈ ，Ａ＝ＵＡ ∑ｌ，中ｌＪ
ＩｉｌＡ（）ｎ＜Ａ，（））ａＢ＝Ｓ（一ＩｎＩ（）ＡａＡ，于是（）Ｂ．
由式（）知Ｉ１
Ｉ／＝ａＩｆ１＞ａＩ
２，这里Ｉ表示集合了元素个数．由Ｂ的作法可知，对Ｖ ∈Ｊ恒有
（）Ｂ，于是Ｉ（）１ＢＩ．Ｊ
温州大学学报・自然科学版（０）２卷第５２７第８０期
素按照原来相对位置所构成的子矩阵记为Ａｆ，（，特别地，ｌ把主子阵Ａｆ）（，简记为Ａｆ．ｌ（）当１（可逆时，其逆阵记为Ａ，（）此时称矩阵＝（）ＡｆＡ（Ａｆ）Ａｆ一（，）（，为Ａ关于１１ｌＡｆ的Ｓｈｒ（）ｃｕ补，其中＝．１Ｎ＼
关键词：广义对角占优矩阵；非奇矩阵；ｒ对角占优矩阵一链
中图分类号：Ｏ１１１５．２文献标识码：Ａ文章编号：１０ —３５２０）６０１—４０６０７（０７０ —０７０
广义对角占优矩阵是很重要的一类特殊矩阵，它在数值分析、矩阵理论、数量经济学等诸多领域发挥着重要作用．在目前己给出的广义对角占优矩阵的判定条件中，因许多条件本身的表现形式及其计算比较复杂，致使在实际应用中不便操作．因此寻找一个行之有效且易于计算的判定
，即
（）Ａ，
即ｉ∈．Ａ）ｏ，，由式（）知，对Ｖ ∈Ｎ＼） ≠ｉ，有ＩａｌＩ（１ｆ｛，ｉｏａｌ＞ａ
ＩＩＩ（ＩＩ＞／）＞
２００７年１２月
Ｄｅ．００ｃ２７
广义对角占优矩阵的判定
王蝰（菏泽学院数学系，山东菏泽２４１）７０５
摘
要：引进了ｒ一角占优矩阵的概念，给出了判定广义对角占优矩阵的充要条件，从而改进和推链对
广了已有的相应结果．
Ｊ≠ｌＪ≠ｆ
Ｖ ∈Ｎ＝Ｌ，，．ｉ｛ …，｝若存在正对角阵ｘ，２２使得Ａｘ为严格对角占优矩阵，则称Ａ为广义对角
占矩；丘Ｉ＝Ｉ，ｉ∈ ，Ｊ则（）的较阵优阵令，一ＶＮ＝以， ≠，称＝ｉＩａＡ比矩．
２主要结果
已知，当厂，，严格ｒ＝１２时－链对角占优矩阵必是广义对角占优矩阵，但这结论对厂３不并成立引卜．为此给出如下结论：
引理１设Ａ＝（ ∈Ｃ，Ａ为广义对角占优矩阵的充要条件是Ａ为非奇矩阵．ａ定理１已知Ａ＝（）为３ ∈Ｃ一链对角占优矩阵，则Ａ为广义对角占优矩阵的充要条件
设和为Ｎ的非空子集，对于Ａ＝（ ∈Ｃ，把由Ａ中行标属于而列标属于的元以
收稿日期：２０ —７２０７０ —７作者简介：王峰（９１）１８一，男，山东临沂人，硕士研究生，研究方向：矩阵代数
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１８
下面分两种情形讨论：
情形１若Ｉ（）０则Ｂ为严格对角占了ＢＩ，＝优矩阵，由文献【的定理１５】知Ｂ为广义对角占优
矩阵，进而由本文引理１知否为非奇Ｍ一矩阵．
情形２若Ｉ（）１则令ｆ∈．Ｂ，．ＢＩ，，＝０，）即Ｉ（（）故有ＩＩｌ（）Ｂ．＝ａ１＜Ｂ