湖南省岳阳县第一中学高三上学期开学考试文科数学试卷有答案

湖南省岳阳县第一中学2017年上学期高三开学考试文科数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题 目要求的．
1．已知集合{}{}
20,,30,A b B x x x ==∈-<Z 若,A B ≠∅则b 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．1或2 2．已知i
为虚数单位，且1i a +=a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．1或1-
D ．2或2-2-
3．双曲线2
213
y x -=的渐近线方程为（ ）
A
．y =
B
．y x = C ．2y x =± D
．y = 4．函数()πsin 4f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像的一条对称轴方程是（ ）
A ．π
4
x =
B ．π2
x =
C ．π4
x =-
D ．π2
x =-
5．设()1,0
0,01,0
x f x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
，()1,0,x g x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，若()()0f g a =，则（ ）
A ．a 为无理数
B ．a 为有理数
C ．0a =
D ．1a =
6．函数()1cos f x x x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭＝(ππx -≤≤且0x ≠)的图象可能为（ ）
7．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使
a b a
b
=
成立的充要条件是
A ．a b =-
B ．a b ∥且方向相同
C ．2a b =
D ．a b ∥且a b =
8．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．1365石
B ．338石
C ．169石
D ．134石
9．对任意非零实数a ，b ，定义a b ⊗的算法原理如程序框图所示。

设a 为函数223y x x =-+()x ∈R 的最小值，b 为抛物线28y x =的焦点到准线的距离，则计算机执行该运算后输出结果是（ ）
A ．
23 B ．32 C ．72 D ．12
10．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体 的外接球的表面积为（ ）
A ．
16
π3
B ．
4π3 C ．16
π9
D ．4π9 11．已知满足220
21020x y x y x y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩
的(),x y 使()221x y m +-≤恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．1m ≥
B
．m ≥
C ．2m ≥ D
．m ≥
12．若函数()321
2
f x x bx =-+有且仅有两个不同零点，则b 的值为（ ） A ．2 B ．32 C
D ．不确定
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知函数()1log 1
a
mx
f x x -=-是奇函数()0,1a a >≠，则m 的值等于________． 14．已知等比数列{}n a 为递增数列．若10a >，且()46525a a a +=，则数列{}n a 的公式q =________． 15．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则43x y +的最小值是________．
16．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足
PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为________．
三、解答题：满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．等差数列{}n a 中24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
，求12310b b b b ++++的值．
18．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3
/g m μ）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年8月某日某省x 个监测点数据统计如下：
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,x y 的值，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）在空气污染指数分别为50~100和150~200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A “两个都为良”发生的概率是多少？
19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点． （1）证明：PB ∥平面AEC ； （2）设1,AP AD ==P ABD -的体积V =
，求A 到平面PBC 的距离．
20．设椭圆M ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，且内切于圆
224x y +=。

（1）求椭圆M 的方程；
0.0.0.0.0.0.0.0. （3/g
m μ）
（2）已知(2,A -，F 是椭圆M 的下焦点，在椭圆M 上是否存在点P ，使AFP △的周长最大？若存在，请求出AFP ∆周长的最大值，并求此时AFP △的面积；若不存在，请说明理由。

21．已知函数()()ln 30f x x ax a =--≠ （1）求函数()f x 的极值；
（2）若对于任意的[]1,2a ∈，若函数()()23
2'2x g x x m f x =+⎡-⎤⎣⎦在区间(),3a 上有最值，求实数m 的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号．
22．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l 过点(2,P 且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建
立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点；
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若AB =l 的倾斜角α的值。

23．选修4-5：不等式选讲 设函数()271f x x =-+。

（1）求不等式()f x x ≤的解集；
（2）若存在x 使不等式()21f x x a --≤成立，求实数a 的取值范围。

湖南省岳阳县第一中学2017届高三上学期开学考试文科数学试卷
答 案
1~5．DDACA 6~10．DBCBA
11~12．CB
13．1- 14．2 15．5 16
1
17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11
14
3615a d a d a d +=⎧⎪⎨
+++=⎪⎩解得131a d =⎧⎨=⎩……………………4分
所以()112n a a n d n =+-=+……………………6分 （Ⅱ）
2n a n =+，()()111112323
n n n b a a n n n n +=
==-++++∴……………9分 121011111111103445121331339
b b b ++
+=-+-++-=-=∴…………………12分
18．解：（Ⅰ）15
0.00350100x x
⨯=∴=，15401010035y y +++=∴=……2分
400.00810050=⨯，350.00710050=⨯，10
0.00210050=⨯
频率分布直方图如图所示…5分
（Ⅱ）在空气污染指数为50~100和150~200的监测点中分别抽取4个和1个监测点．设空气污染指数为
50~100的4个监测点分别记为a ，b ，c ，d ；空气污染指数为150~200的1个监测点记为E ．从中任
取2个的基本事件分别为22151151
55a a m a m a a a a a
--∴<=-∴<=-，
(),a c ，(),a d ，(),a E ，(),b c ，(),b d ，(),b E ，(),c d ，(),c E ，(),d E 共10种，…8分
其中事件A “两个都为良”包含的基本事件为
0.
0.0.0.0.0.0.0.
（3
/g m μ）
(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共6种，……10分
所以事件A “两个都为良”发生的概率是()63
105
P A =
=．……12分 19．解（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ． 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又
E 为PD 的中点，所以EO PB ∥．
EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，
所以PB ∥平面AEC ．
（Ⅱ）16V PA AB AD AB =
∙∙=．
由V =，可得32AB =．
作AH PB ⊥交PB 于H ．
由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ．
又PA AB AH PB ∙=
=
A 到平面PBC
20．解：（1）双曲线22
1x y -=
，
∴椭圆M
的离心率为c e a =
椭圆M 内切于圆22
4x y +=
得：6,17
()410,1274,2x g x x x x ⎧
⎪≤⎪
⎪=-+<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
…………………………4分
圆22
4x y +=的直径为4，则24a =
所求椭圆M 的方程为22
142
y x +=．……………………5分
（2）椭圆M
的上焦点为(10,F ，由椭圆的定义得：114,4PF PF PF PF +=∴=-
AFP △
的周长为11446PA PF AF PA PF AF ++=-+++++当且仅当点P 在线段1AF 的延长线上时取等号．
∴在椭圆M 上存在点P ，使AFP △
的周长取得最大值6+9分 直线1AF
的方程为y =
，由2
214
2y y x
⎧⎪⎨+
=⎪⎩
解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
或1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 点P 在线段1AF 的延长线上，∴点P
的坐标为(1,P ，…………………11分
AFP △
的面积111
322
AFP S AP FF =
=⨯⨯=△12分 21．解：（1）由已知得()f x 的定义域为()0,+∞，且()1
'f x a x
=-，…………2分
当0a <时，()1
0f x a x
=->，
()f x ∴在()0,+∞单调增，()f x 无极值；…………3分 当0a >时， 由()1'0f x a x =
->得：10x a <<由()1'0f x a x =-<得：1x a
> ∴()f x 在10a ⎛⎫
⎪⎝⎭，上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减…………4分
()f x ∴的极大值()1ln 4f a a ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，无极小值．…………………5分
综上：当0a <时，()f x 无极值；
当0a >时，()f x 有极大值()1ln 4f a a ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，无极小值．…………6分
（2）()()23
3
2'22x m g x x m af x x a x x ⎛⎫=+⎡-⎤=++- ⎪⎣⎦⎝⎭
()()2'321g x x m a x ∴=++-
()g x ∴在区间(),3a 上有最值，
()g x ∴在区间(),3a 上有极值，即方程()'0g x =在(),3a 上有一个或两个不等实根， 又()()()
'0
'01'30g a g g ⎧<⎪=-∴⎨>⎪⎩…………………………9分
由题意知：对任意[]()()22
1,2,'321510a g a a m a a a ma ∈=++∙-=+-<恒成立，
21515a m a a a
-∴<=-
因为[]1,2a ∈19
2m ∴<-
对任意[]1,2a ∈，()'326360g m a =++>恒成立
62626233a m a --∴>
=--[]1,2a ∈32
3m ∴>- 3219
32
m ∴-<<-………………………………12分
22、解：（1
）()
πππ4cos ,4cos cos sin sin 2cos 333ρθρθθθθ⎛⎫⎛
⎫=-∴=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…3分
(
)
2222cos sin ,2x y x ρρθθ=∴+=+∴， ∴曲线C 的直角坐标方程为(
)(2
2
14x y -+=．………………………5分
（2）当90α=时，:2l x =
，AB =∴，90α∴=舍…………6分 当90α≠时，设tan k α=
，则():2l y k x -=-
，即20kx y k --=，
∴
圆心(1,C
到直线20kx y k --+
的距离d =
=
由2
2
42AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
得：22
13414k k +=+
，解得：k =
tan α∴=，()0,πα∈，π3α∴=
或2π
3
……………………………10分 23．解：(Ⅰ)由()f x x ≤得271x x -+≤，
270271x x x -≥-+≤⎧∴⎨⎩或270271x x x
-<⎧⎨-++≤⎩解得：7
62x ≤≤或8732x ≤<
∴
不等式()f x x ≤的解集为863x x ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
………………………………4分 (Ⅱ)令()()2127211g x f x x x x =--=---+
则()6,17410,1274,2x g x x x x ⎧
⎪≤⎪
⎪
=-+<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
，()min 4g x ∴=-…………………………8分
存在x 使不等式()21f x x a --≤成立，()min ,4g x a a ∴≤∴≥-…………10分。