垣曲县某中学七年级数学下册 第八章 整式的乘法 8.2《幂的乘方与积的乘方》教学设计 冀教版

幂的乘方与积的乘方
教学设计思路
数学上的一些基本法则、公式，给出结论再去证明有时会让人觉得枯燥.理化教学先作演示实验，观察现象，猜测原因，容易引起学生的兴趣。

借鉴其它学科的方法，我们在学生明确了（a4）3的意义后，提问：“你能猜猜（a4）3有关简便的计算方法？”引导学生先猜后证，逐步培养学生观察能力、自信心及抽象概括能力。

教学目标
知识与技能：
1．经历积的乘方和幂的乘方运算性质的获得过程，在计算、归纳和概括的活动中，发展学生归纳推理能力。

2．掌握积的乘方和幂的乘方运算性质，能进行积的乘方和幂的乘方的有关计算，提高学生的运算能力。

过程与方法：
1．通过推导性质进一步训练学生的抽象思维能力，通过完成例题，培养学生综合运用知识的能力；
2．体会归纳推理在数学发现中的重要作用。

情感、态度与价值观：
1．培养实事求是、严谨、认真、务实的学习态度；
2．渗透数学公式的结构美、和谐美。

教学方法
引导发现法、探究法、讲练法
教具学具准备
多媒体或投影仪
重点难点
重点：幂的乘方法则推导以及对法则的理解应用。

难点：幂的乘方、与同底幂的乘法的运算性质容易混淆。

教学设计过程
第一课时
一、引导学生猜想幂的乘方法则
1．根据你自己的理解，说明（a4）3所表示的意义是什么？这种运算叫什么好？
通过分析可引出：（a4）3＝a4·a4·a4.这种运算可叫幂的乘方，我们今天就学习它的性质.（板书课题：幂的乘方）
2．猜想（a4）3有无简便的计算方法？（（a4）3＝a3×4.）
3．你能证明自己猜出的“方法”吗？
二、引导学生证明幂的乘方法则
利用乘方的意义与同底数幂的乘法法则可得（a4）3＝a4·a4·a4＝a4+4+4＝a12＝a3×4。

一般地有，
于是得（am）n＝amn（m，n都是正整数）
这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘.
三、引导学生剖析幂的乘方法则
1．公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式.
2．注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
3．多重乘方可以重复运用上述法则，如［（am）n］p＝（amn）p＝amnp
四、应用举例变式练习
例计算：
（1）（107）2；（2）（z4）4；（3）－（y4）3；（4）（am）4.
解：（1）（107）2＝107×2＝1014；（2）（z4）4＝z4×4＝z16；
（3）－（y4）3＝－y4×3＝－y12；（4）（am）4＝am×4＝a4m.
第（1）小题由学生口答，教师板演；第（2），（3），（4）小题由学生板演.
五、课堂练习
1.计算：
（1）（103）3；（2）（x4）3；（3）－（x3）5；
（4）（a2）3·a5；（5）（x2）8·（x4）4；（6）－（xm）5.
2.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正：
（1）（a5）2＝a7；（2）a5·a2＝a10.
3.计算：
（1）［2］3；（2）（a2）3·（a3）4；（3）［（x－y）2］3·（x－y）.
六、课时小结
同底数幂的乘法与幂的乘方中底数都不变，但它们有着本质的不同，要严格区分。

六、课后作业
P72 习题：A组1（2）（3），2（4）（5），3，B组2.
七、板书设计
第二课时
一、议一议
（1）等于多少？与同伴交流你的做法。

（2），分别等于多少？
（3）从上面的计算中，你发现了什么规律？再换一个例子试一试。

在解决以上（1）、（2）问题时，学生可能会用多种做法，例如对于（1）。

①23×53=（2×2×2）×（5×5×5）=8×125=1000
②23×53=2×2×2）×（5×5×5）=（2×5）×（2×5）×（2×5）
=10×10×10=1000
③23×53=2×2×2）×（5×5×5）=（2×5）×（2×5）×（2×5）=（2×5）
3=103=10000
让学生在各自说明理由的基础上充分交流做法，由此归纳出：
你能根据幂的意义和乘法的有关运算律进行验证吗？
二、做一做
（1）（2×3）2=（2×3）×（2×3）=（2×2）×（3×3）=2（）·3（）
（2）（ab）3=
（3）（ab）n=
请你用自己的语言描述以上性质。

积的乘方，等于。

以上性质可推广三个或三个以上的积的乘方。

如，你会推导吗？
，或。

三、讲解例题
例1 计算：
（1）（2）
（3）（4）
学生活动：每一题目均由学生说出完整的解题过程．
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
强调：（1）负数乘方的符号法则，
（2）积的乘方等于积中“每一个因式的乘方的积”，防止有的因式漏乘方的错误。

例2球体表面积的计算公式是S=4πr2地球可以近似地看做是球体，它的半径为
6.37×106m，地球的表面积大约是多少平方米？（π取3.14）
解：
=
答：地球的表面积大约是
该例题是让学生综合运用积的乘方和幂的乘方的性质解决一些实际问题，要求学生说出每一步的理论根据，最后一步的运算可以使用计算器。

例3 计算：
（1）；
（2）。

由学生分析题中的运算种类和运算顺序，师生共同完成解答。

解（1）原式=（这里用了哪些性质？）
==（这一步根据什么？）
（2）原式===0
说出以上每一步运算的根据，本例是幂的混合运算，运算中要注意遵循由高级到低级的运算顺序。

四、课堂练习
课本P74练习
五、课时小结
本节课我们探究了积的乘方的性质，运用积的乘方的性质时应注意每一个因式都要乘方，还有符号问题，幂的乘方，积的乘方以及同底数幂乘法，这三个性质容易混淆理解幂的意义，其次解题时要先判断题型，然后再按法则进行运算。

六、课后作业
P75习题A组1、2、3 B组1.（ 3（3）（5） 4，5）
七、板书设计
《1.3 有理数的加减法》教学反思
数学一科中，初一新生一开始面对的就是有理数的认识与有理数的运算。

有理数的认识，只需通过例举生活中相反意义的量，便可以很快认识负数，进而较为全面认识有理数。

而有理数的运算却不是一蹴而就的，将近半个学期都是教学生有理数的运算，其中包括五种运算：加、减、乘、除、乘方。

这几种运算中，又以加减法最为基础，最难掌握。

首先，有理数的加减法，是建立在一定法则之上，但仅靠盲目的背法则来应对加减法，是不可取的。

数学的学习不是文史类的机械背诵，应是在法则制约下，依靠灵动思维解决问题。

因此，个人认为，在学习加减法之前，就应顾及到将来加减法这一拦路虎来势之凶猛，为扫除这一路障先做好充分准备。

这个准备就是：
一、让学生深刻认识正数、负数、零。

长期以来，学生局限于正有理数的运算，对负数的参与会很不适，对负数认知的程度直接影响以后学习有理数的加减法。

二、数轴的教学。

数轴是新生面临的又一新概念。

它是许多解决数学问题赖以依靠的工具，也是数形结合思维的最初体现。

有了数轴，有理数的加减变得“可视化”。

三、相反数、绝对值、两个重要概念的掌握。

尤其是绝对值，相对较难理解，却是做加减法的重要理论。

有了以上知识的准备，在套用加减法法则时，不再是简单条文的背诵，学生对枯燥的数学语言和记忆有关法则不再缺乏兴趣，学习便变得是件非常惬意的事情。

当然，我不主张只要学生生硬依照法则行事，在法则熟透余心后，更应启发学生用自己的思维方法理解加减法法则的内在意义。

比如：3+（－5）的值可理解为3与-5正负抵消后的结果，甚至3－5的值也可以理解为3与-5正负抵消的结果。

其实掌握了加减中的本质意义，于自然而然当中便得到了结果，至于用了哪条法则，不必去管了！
【知识与技能】
1.掌握数轴三要素，能正确画出数轴.
2.能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数.
【过程与方法】
1.使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意识.
2.结合本节内容，对学生渗透数形结合的重要思想方法.
【情感态度】
使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点.
【教学重点】
数轴的概念与应用.
【教学难点】
从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念.
一、情境导入，初步认识
问题在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和西7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境.（学生画图）
师：对照大家画的图，为了使表达更清楚，我们把0左右两边的数分别用负数和正数来表示，即用一直线上的点把正数、负数、0都表示出来.也就是本节内容——数轴.
【教学说明】（1）引导学生学会画数轴.
第一步：画直线定原点；
第二步：规定从原点向右的方向为正（左边为负方向）；
第三步：选择适当的长度为单位长度（据情况而定）；
第四步：拿出教学温度计，由学生观察温度计的结构和数轴的结构是否有共同之处，并让学生对比思考：原点相当于什么；正方向与什么一致；单位长度又是什么？
（2）有了以上基础，我们可以来试着定义数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.
做一做学生自己练习画出数轴.
二、思考探究，获取新知
思考1你能利用你自己画的数轴上的点来表示数1，-0.5，-2，-7/2，0吗？
思考2若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位置上？与原点相距多
少个单位长度？表示-a的点在原点的什么位置上？与原点又相距了多少个单位长度？
小结：整数在数轴上都能找到点吗？分数呢？教师总结.
试一试教材第9页练习.
三、典例精析，掌握新知
例1下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里.
【答案】①错，没有原点②错，没有正方向③正确④错，没有单位长度⑤错，单位长度不统一⑥正确⑦错，正方向标错
例2用你画的数轴上的点表示4，1.5，-3，-7/3，0.
【答案】
图中A点表示4，B点表示1.5，C点表示-3，D点表示-73，E点表示0.
【教学说明】教师应向学生强调，所有的有理数都可以在数轴上找个点与它对应，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数.数与数轴上的点结合，这是一种数形结合的重要数学思想.
例3（1）与原点的距离为2.5个单位的点有个，它们分别表示有理数
和 .
（2）一个蜗牛从原点开始，先向左爬了4个单位，再向右爬了7个单位到达终点，那么终点表示的数是 .
【答案】（1）两2.5-2.5（2）+3
【教学说明】这类题的解答可借助数轴上点的移动来找到结果.
例4在数轴上表示-21
2
和
2
1
3
，并根据数轴指出所有大于-2
1
2
而小于
2
1
3
的整数.
【答案】-2，-1，0，1
【教学说明】教师要向学生评讲并指出本题反映了数形结合的思想方法.
例5数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长2000cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（）
A.1998或1999
B.1999或2000
C.2000或2001
D.2001或2002
【分析】分两种情况分析：（1）当线段AB的起点是整点时，终点也落在整点上，那就盖住2001个整点；（2）当线段AB的起点不是整点时，终点也不落在整点上，那么线段AB盖住了2000个整点，所以选C.
【教学说明】本题解答时要特别注意对题意的理解，不能忽略了分类讨论.
四、运用新知，深化理解
1.把数轴上表示2的点移动5个单位后，所得的对应点表示的数是（）
A.7
B.-3
C.7或-3
D.不能确定
2.数轴上表示5和-5的点离开原点的距离是，但它们分别 .
3. 是最小的正整数，是最小的非负数，是最大的非正数.
个，它们分别是和 .
5.在数轴上，离原点距离等于3的数是 .
6.在数轴上与-1相距3个单位长度的点有个，为；长为3个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖个整数点.
7.一条直线的流水线上，依次有5个卡通人，它们站立的位置在数轴上依次用点M1、M2、M3、M4、M5表示，如图：
（1）点M4和M2所表示的有理数是什么？
（2）点M3和M5两点间的距离为多少？
（3）怎样将点M3移动，使它先达到M2，再达到M5，请用文字说明；
（4）若原点是一休息游乐所，那5个卡通人到休息游乐所的总路程为多少？
【教学说明】本栏目1~6题较为简单，可让学生独立完成，教师再让学生回答，第7题较为新颖，教师可适当引导后仍由学生自主完成.
【答案】1.C
2.5在原点的两边
3.1 0 0
4.2 3.5 -3.5
5.3或-3
6.2 -4或2 4
7.（1）M4表示2，M2表示-3；（2）相距7个单位长度；（3）先向左移动1个单位长度，再向右移动8个单位长度；（4）17个单位长度.
五、师生互动，课堂小结
数轴是非常重要的工具，它使数和直线上的点建立了对应关系.它揭示了数和形的内在联系，为今后进一步研究问题提供了新方法和新思想.应让学生掌握数轴的三要素，正确画出数轴.提醒学生，所有的有理数都可以用数轴上的相关点来表示，但反过来并不成立，即数轴上的点并不都表示有理数.
1.布置作业：：从教材习题1.2中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
数轴是数形结合的基本知识，是学生难以理解的难点，教学过程应从贴近学生的实际出发，学生才易于接受和体验，让学生通过观察、思考和动手操作、经历数轴的形成过程，加深对数轴概念的理解，同时可培养抽象概括能力.
教学过程可突出“情境——抽象——概括”的主线，体现从特殊到一般研究问题的方法，注意从学生已有经验出发，发挥学生主体作用，会达到事半功倍的效果.。