第9讲 导数在研究函数中的简单应用 (文科班含答案)

当前
形势
导数及其应用在近五年北京卷（文）中考查13～18分
高考 要求
内容
要求层次 具体要求
A B C 导数在研究函数中的
应用
√ 利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）
√ 函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）
√
利用导数解决某些实际问题．
北京 高考 解读
2008年 2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 第13题 5分 第17题13分
第18题14分
第18题13分 第18题13分
第18题13分
新课标剖析
满分晋级
第9讲 导数在研究函数
中的简单应用
导数1级 导数的概念与运算
导数2级 导数在研究函数中的简单应用
导数3级 导数的运算与几
何意义
利用导数判断函数的单调性的方法
如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；
如果函数()y f x =在x ()f x 在这个区间上是减函数． 【教师备案】对于函数()f x ，若()()0()f x f x ''>()f x 为增函数（减函数）；反之，若()f x 为
增函数（减函数），则()()0()0f x f x ''≥≤恒成立，且()f x '不恒等于零．
考点1：函数单调性与其导函数正负的关系【教师备案】选修2-2A 版教材引入方式
1．如下图，函数图象的切线的斜率（即导数）的正负可以反映函数的单调性．
导数()0f x '表示函数()f x 在点()()00x f x ，处的切线的斜率．在0x x =处，()00f x '>，
切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，()10f x '<，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．
2．已知导函数()f x '的下列信息：
当14x <<时，()0f x '>；当1x <或4x >时，()0f x '<；当1x =或4x =时，()0f x '=． 试画出函数()f x 的大致形状．
【教师备案】选修2-2B 版教材引入方式
函数()y f x =在区间[]x x x +∆，上的平均变化率为
y x
∆∆． 依据函数单调性的定义： 若0y x ∆>∆，则函数在给定区间上为增函数；若0y x
∆<∆，则函数在给定区间上为减函数． 9.1利用导数分析函数的单调性
经典精讲
知识点睛
从导数的角度看： ()00()()lim
lim x x y f x x f x f x x x
∆→∆→∆+∆-'==∆∆．
若()0f x '>，则函数在给定区间上为增函数；若()0f x '<，则函数在给定区间上为减函数． 因此我们可以用导数作工具来研究函数的性质．
【铺垫】老师可以以此铺垫给学生讲解导函数的正负与原函数单调性的关系
求下列函数的导函数，并画出导函数的图象，观察导函数的正负与原函数单调性的关系
【解析】 导
函数的图象
为：
从导函数的图象我们可以看出，当导函数大于零时，原函数是单调递增的；当导函数小于零 时，原函数是单调递减的．
【例1】
根据导函数图象判断原函数图象
（2010石景山一模文理7）
已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）．
【解析】 A
考点2：从导数角度解释函数增减的快慢【教师备案】函数图象如图1、2所示，由图3、4可知，当自变量x ∆逐次增加一个单位增量x ∆时，
函数()g x 的相应增量1y ∆，2y ∆，3y ∆，…越来越大；函数()f x 的相应增量1y ∆，2y ∆，3y ∆，…
越来越小．
(3)
(1)
图1 图2
图3 图4
从导数的角度来看：()0
f x'为减函数．
f x'>，()
g x'>，()
g x'为增函数；()0
图象特点：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）．
如果一个函数在某一区间内导数的绝对值越来越大，那么对应的函数图象就越来
越陡峭．反之，就越来越平缓．
【铺垫】如图，水以恒速（即单位时间内注水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．
【解析】以容器⑵为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高
度增加得越来越快．反映在图象上，（A）符合上述变化情况，同理可知其他三种容器的情
况．
⑴→B；⑵→A；⑶→D；⑷→C．
【例2】函数的增长速度
⑴汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路
程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）
⑵ 如左图所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过3 分 钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量，H 是漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系用图象表示可能是右图中的（ ）．
【解析】 ⑴A ⑵D
考点3：求函数的单调区间
【教师备案】求可导函数单调区间的一般步骤和方法
第一步：确定函数()f x 的定义域；
第二步：求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；
第三步：把函数()f x 在间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小
到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区 间；
第四步：确定()f x '在各个小区间的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应
小区间的增减性．
【注意】①函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式；
②当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“∪”连接，可
用“，”或“和”连接．
提高班学案1
【铺1】 确定函数()33f x x x =-在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
D.C.B.A.s s
【解析】 已知函数在区间()1+∞，和()1-∞-，内是增函数；在区间()11-，内是减函数．
尖子班学案1
【铺2】已知函数()e x f x x =．求函数()f x 的单调区间．
【解析】 ()f x 的单调递增区间为()1-+∞，，单调递减区间为()1-∞-，．
【例3】 求单调区间
求下列函数的单调区间
⑴32()395f x x x x =--+；⑵()22ln f x x x =-．
【解析】 ⑴函数()f x 的单调递增区间为(1)-∞-，
和(3)+∞，；单调递减区间为(13)-，． ⑵()f x 的单调递增区间为()1+∞，，()f x 的单调递减区间为()01，，
目标班学案1
【拓3】 已知函数()e 1
x
f x x =-，求函数()f x 的定义域及单调区间．
【解析】 函数()f x 的定义域为{}1x x ≠．
()f x 的单调递增区间为()2+∞，，单调递减区间为()1-∞，和()12，．
求函数()()2ln f x x ax a =-∈R 的单调区间．
【解析】 当0a ≤时， ()y f x =的单调递增区间为()0+∞，；
当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间是20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，．
提高班学案2
【铺1】 若y ax =与b
y x
=-
在()0+∞，
上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是（ ）
A ．在()-∞+∞，
上是增函数 B ．在()0+∞，上是增函数 C ．在()-∞+∞，
上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数 【解析】 C
【例4】 已知函数单调性，求参数范围
已知函数()21
()ln 202
f x x ax x a =--≠不存在单调递减区间，求a 的取值范围．
【追问】若改为存在单调递减区间，则a 的取值范围是多少．
【解析】 a 的取值范围为(]1-∞-，． 【追问】a 的取值范围为(10)(0)-+∞，
，．
尖子班学案2
【拓2】 已知函数2
1
()2(02]f x ax x x =-
∈，，，若()f x 在(01]x ∈，
上是增函数，则a 的取值范围 为 ．
【解析】
1a ≥-．
目标班学案2
【拓3】 设函数2()ln f x x x ax =++在其定义域内为增函数，求a 的取值范围． 【解析】 a
的取值范围是)
⎡-+∞⎣．
1．利用导数研究函数的极值：
已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作()y f x =极大．并把x 称为函数()f x 的一个极大值点．如果在0x 附近都有()()f x f x >)在点0x 处取极小值，记作()y f x =极小．并把x 称为函数()f x 的一个极小值点．
极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．
再来总结极值，并总结极值中应注意的方面． 我们可以从以下几个方面理解概念：
①极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的 连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值 也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．即极大 值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
②函数的极值点的导数为0，但导数为0的点可能不是函数的极值点．也就是说，若 ()f c '存在，()0f c '=是()f x 在x c =处取得极值的必要条件，但不是充分条件．比
如()3f x x =在0x =处，()00f '=但0x =不是函数的极值点，所以一定要注意点的左右变化趋势．
③若()f x 在区间()a b ，
内有极值，那么()f x 在()a b ，内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
9.2利用导数分析函数的极值与最值
知识点睛
④如果函数()f x 在[]a b ，上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的．相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数()f x 在[]a b ，上连续且有有限个极值点时，函数()f x 在[]a b ，内的极大值点、极小值点是交替出现的．
2．求函数()y f x =的极值的方法 ⑴确定函数定义域 ⑵求导数()f x '； ⑶求方程()0f x '=的根；
⑷检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值
【教师备案】①使()f x '无意义的点也要讨论．即可先求出()'0f x =的根和使()f x '无意义的点，这些
点都称为可疑点，再用定义去判断．
②极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值．极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值．
3．求函数()y f x =在[]a b ，
上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴ 求函数()y f x =在()a b ，内的极值；
⑵ 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，(f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
要注意的几点．
在理解函数最值时，需要注意以下几点：
①函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小者．
②函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的．函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得；有极值未必有最值，有最值也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值；极值不一定是最值，比如说，某位同学在班里的成绩最好，可以认为是班里的极大值，但在全校不一定是最好的，即使在全校最好，也不一定在全国最好，所以极大值不一定是最大值，老师也可以以此为例讲解极小值不一定是最小值．
经典精讲
【铺垫】如图所示，函数()y f x =在a b c d e f g h ，
，，，，，，等点的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？
【解析】 以a b ，
两点为例，我们可以发现，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>．类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附
近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<． 其它的点老师可以自由发挥，随便问学生．
考点4：与极值相关的图象问题
【例5】
与极值相关的图象问题
⑴函数()f x 的导函数图象如图所示，则函数()f x 在图示区间上 （ ） A ．无极大值点，有四个极小值点 B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点 ⑵（2010朝阳二模6）
函数321
()
f x x x =-+的图象大致是（
）．
【解析】 ⑴C ⑵A
考点5：求函数的极值与最值
尖子班学案3
【铺2】用导数法求函数2
()f x x x
=+
的极值． 【解析】 ()f x 在x =时取得极大值-x
【例6】 求函数的极值与最值
已知函数()()32231f x x x x =-+∈R ． ⑴求()f x 的极值；
⑵求函数()f x 在闭区间[]12-，上的最值．
【解析】 ⑴()f x 的极小值为()10f =；极大值为()01f =．
⑵函数()f x 在闭区间[]12-，上的最小值为4-，最大值为5．
提高班学案3
【铺1】 设函数3()32f x ax x =++有极值，求a 的取值范围． 【解析】 a 的取值范围为0a <．
【例7】 已知函数存在极值，求参数范围
设函数()f x 的导函数为()f x '，若()()32112f f x ax ax x a '⎡⎤
=-+-∈⎢⎥⎣⎦
R ，．
⑴用a 表示()1f '；
⑵若函数()f x 在R 上存在极值，求a 的范围．
【追问】若函数在R 上不存在极值，则a 的取值范围是多少？
【解析】 ⑴()122f a '=-．
⑵03a <<．
【追问】(][)03-∞+∞，
∪，
目标班学案3
【拓3】 （2010北京卷18）设函数()()3
203
a f x x bx cx d a =
+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4．
⑴ 当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； ⑵ 若()f x 在()-∞,+∞内无极值点，求a 的取值范围．
【解析】 ⑴ ()32312f x x x x =-+．
⑵ a 的取值范围是[]19,．
右图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数 ()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点．
【解析】 根据导函数的正负，我们可以判断原函数的单调性，由
118
第9讲·尖子-目标·教师版
此，我们可以得到，函数在2x x =处取得极大值，即2x 为极大值点；函数在4x x =处取得极大值，即4x 为极小值点．
【点评】一方面，学生在看到此图时，第一反应会默认为1x 和3x 分别为极值点，但是我们要审清题意，
这里给的是导函数的图象，不是原函数的图象，我们要根据导函数的图象画出原函数的图象；另一方面，学生也会误认为6x 为函数的一个极值点，我们从图象上就可以看出原函数在
()5x +∞，一直是单调递增的，所以6x 不是函数的极值点．所以原函数的单调性只与导函数的
正负有关，与导函数的单调性无关．
【演练1】 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的
是（ ）
【解析】 A
【演练2】 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如左图
所示，那么水瓶的形状是（ ）．
【解析】 B
【演练3】 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不
可能正确的是（ ）．
实战演练
119
第9讲·尖子-目标·教师版
D
C B A
【解析】 D
【演练4】 函数21
4y x x
=+
的单调增区间为（ ） A ．(0)+∞，
B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，
C ．(1)-∞-，
D ．12⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭， 【解析】 B
【演练5】 已知0a ≥，函数2()(2)e x f x x ax =-．设()f x 在[]11-，上是单调函数，求a 的取值范围． 【解析】 a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，．
函数2y x = ）
A ．min 54y =-，max 54y =
B ．无最小值，max 5
4y =
C ．min 5
4
y =-，无最大值 D ．既无最大值也无最小值
【解析】 B
解法一：
函数的定义域为12⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭，
，对原函数求导得2y '=-0y '=得38x =；于是38x <时
0y '>，3182x <<时0y '<；故原函数在38⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在3182⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递减；
所以当38x =时，有max 5
4
y =；
又由于x 趋向于-∞时y 同样趋向于-∞，故原函数无最小值．
解法二：
t =，则221x t =-，原函数变成21y t t =-+，其中[)0t ∈+∞，
； 而二次函数2
251142y t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，其在[)0+∞，
上显然有最大值5
4
而无最小值． 大千世界
120 第9讲·尖子-目标·教师版。