(优辅资源)吉林省吉林市高三第七次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． （1）复数
1i
12i
++（i 是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 解析：（A ）
（2）已知集合{()|lg }{()|}A x y y x B x y x a ====，，，，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）
（A ）1a < （B ）1a … （C ）0a < （D ）0a … 解析：（D ）
（3）已知αβ，是两不重合的平面，直线m α⊥，直线n β⊥，则“αβ，相交”是“直线m n ，异面”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
2016—2017学年下学期高三年级 第七次模拟考试数学（理）学科试卷
“鹰隼三朝展羽翼 蛟龙一跃上九天”
解析：（B ）
（4）已知函数2()f x x x =+，执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是（ ）
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （C ）7 解析：（C ）
（5）已知函数()sin cos f x a x b x =-（a b ，为常数，0a ≠，x ∈R ）在4
x π
=处取得最大值，
则函数()4
y f x π
=+是（ ）
（A ）奇函数且它的图象关于点(0)π，对称 （B ）偶函数且它的图象关于点3(0)2
π，对称
（C ）奇函数且它的图象关于点3(0)2
π
，对称（D ）偶函数且它的图象关于点(0)π，
对称 解析：（B ）
（6）设单位向量12，e e 的夹角为
23
π
，122=+a e e ，23=-b e ，则a 在b 方向上的投影为（ ） （A
）（B ）32- （C ）32
（D
解析：（B ）
（7）某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为1的 等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何
体的体积为（ ）
（A ）
1
4
（B
（C ）12
（D ）34
解析：（A ）
（8）已知2sin21cos2αα=+，则tan()4
π
α+的值为（ ）
（A ）3- （B ）3 （C ）3-或3 （D ）1-或3 解析：（D ）
俯视图
侧视图
正视图
（9）已知圆C ：22((1)1x y -+-=和两点(0)A t -，，(0)B t ，(0)t >，
若圆C 上存在点P ，使得0PA PB =，则t 的最小值为（ ）
（A ）3 （B ）2 （C （D ）1 解析：（D ）
（10）已知等差数列{}n a 的第8项是二项式41()x y x +
+展开式的常数项，
则9111
3
a a -=（ ） （A ）
2
3
（B ）2 （C ）4 （D ）6 解析：（C ）
（11）过抛物线2
2y px =(0)p >的焦点F 的直线与双曲线22
13
y x -=的一条渐近线平行，
并交抛物线于A B ，两点，若||||AF BF >，且||2AF =，则抛物线的方程为（ ）
（A ）22y x = （B ）23y x = （C ）24y x = （D ）2y x = 解析：（A ）
（12）已知函数()f x 满足()()ln f x xf x x '+=，且(1)0f =，则函数()f x （ ）
（A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值，又有极小值 （D ）既无极大值，也无极小值
解析：（B ）. 因为()()ln f x xf x x '+=，即[()]l n x f x x '=，所以()ln xf x x x x c =-+，其中c 为常数，又因为(1)0f =，所以()ln 1xf x x x x =-+，1()ln 1f x x x =-+
，22111
()x f x x x x
-'=-=， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在1x =时取得极小值，无极大值.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．
（13）在ABC △中，角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，且c =45B =︒，面积2S =，则b = . 解析：5
（14）已知1077000
x y x y x y -+⎧⎪--⎪
⎨⎪⎪⎩…………表示的平面区域为D ，若()2x y D x y a ∀∈+，，…为真命题，则
实数a 的取值范围是 . 解析：[5)+∞，
（15）某单位员工按年龄分为A B C ，，三组，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是1
45
，则该单位员工总数为 . 解析：100
（16）设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0ω>，使|()|||f x x ω…对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”. 现给出下列函数：
①()4f x x =； ②2()2f x x =+； ③22()25
x
f x x x =
-+；
④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12x x ，均有1212()()4||f x f x x x --…. 其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号）. 解析：①③④.
对于①，取4ω=即可； 对于②，因为0x →时，()
||f x x
→∞，所以不存在0ω>，使|()|||f x x ω…对一切实数x 均成立；
对于③，因为222||2||1|()|||25(1)42x x f x x x x x =
=-+-+…，取1
2
ω=
即可； 对于④，由于()f x 为奇函数，故(0)0f =，令120x x x ==，得()4||f x x …，故()4||f x x --…，即()4||f x x -…，所以|()|4||f x x …，取4ω=即可.
三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． （17）（本小题满分12分）
在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，且13223a a a ，，成等差数列. （Ⅰ）求等比数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足2log n n b a =，数列{}n n
b
a 的前n 项和为n T ，求证：2n T <.
解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为13223a a a ，，成等差数列，所以123232a a a +=，即2111232a a q a q +=，所以22320q q --=，解得2q =或1
2
q =-，因为0q >，所以2q =，
所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.
（Ⅱ）证明：因为2log n n b a n ==，所以1
()2
n n n b n a =⨯，所以 1211
11()2()()22
2n n T n =⨯+⨯+
+⨯，23+1111
1
1()2()()2222
n n T n =⨯+⨯+
+⨯，
相减得1211111
[1()]
111
11112
2()()()()()1(2)()1222
222212
n n n n n n T n n n +++-=++
+-⨯=-⨯=-+⨯-. 因此1
2(2)()22
n n T n =-+⨯<.
（18）（本小题满分12分）
如图，直角三角形ABC 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒，2AB =，E 为线段BC 上一点，且1
3
BE BC =，沿AC 边上的中线BD 将ABD △折起到PBD △的位置.
（Ⅰ）求证：
PE BD ⊥；
（Ⅱ）当平面PBD ⊥平面BCD 时，求二面角C PB D --的余弦值.
B
E
B A
解析：由已知得2DC PD PB BD ====
，BC =.
（Ⅰ）证明：取BD 中点O ，连接OE PO ，，因为1OB =
，BE =且30OBE ∠=︒，
所以OE =
OE BD ⊥. 又因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥，又PO OE O =，所以BD ⊥平面POE ，又PE ⊂平面
（Ⅱ）因为平面PBD ⊥平面BCD ， 平面PBD
平面BCD BD =，PO BD ⊥，PO ⊂平面所以PO ⊥平面BCD ，所以OE OB OP ，，两两垂直. 以O 为坐标原点，以OE 、OB 、OP 所在直线分别为
x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则(010)B ，，，(00P ，，20)C -，，
(01BP =-，，(330)BC =-，，设平面PBC 的法向量为()x y z =，，n ，则
30
y y ⎧-+=⎪-=，不妨令y =，得(31)=n . 又平面PBD 的一个法向量为(100)=，，m ，
所以cos =
，m n C PB D --. （19）（本小题满分12分）
某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为2000元. 产品质量为一等品的概率为0.5；二等品的概率为0.4. 每件一等品的出厂价为10000元，每件二等品的出厂价为8000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1件产品还会带来1000元的损失.
（Ⅰ）求在连续生产的3天中，恰有一天生产的2件产品都为一等品的概率； （Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另1件也为一等品的概率；
（Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润ξ（元）的分布列和期望. 解析：（Ⅰ）一天中2件都为一等品的概率为1
0.50.54
⨯=
. 设连续生产的3天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品为事件A ，则1231327
()C ()4464
P A =⨯
⨯=.
（Ⅱ）2件中有一等品的概率为113
1224
-⨯=，则2件中有1件为一等品，另1件也为一
等品的概率为
131443
÷=. （Ⅲ）ξ的可能取值为160001400012000500030006000-，，，，，.
则2(16000)0.50.25P ξ===；12(14000)C 0.50.40.4P ξ==⨯⨯=；2
(12000)0.40.16P ξ===；
12(5000)C 0.50.10.1P ξ==⨯⨯=；
1
2(3000)0.10.40.08
P C ξ==⨯⨯=；
2(6000)0.10.01P ξ=-==. 故ξ的分布列为
()160000.25140000.4120000.1650000.130000.08(6000)0.0112200
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=.
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22
221x y a b
+=(1)a b >…的离心率e =且椭
圆1C 上一点M 到点(03)Q ，的距离的最大值为4.
（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；
（Ⅱ）设1
(0)16
A ，，N 为抛物线2C ：2y x =上一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭
圆1C 于B C ，两点，求ABC △面积的最大值.
解析：（Ⅰ）因为2222
2234c a b e a a -===，所以224a b =，则椭圆方程为222214x y b b
+=，即
22244x y b +=. 设()M x y ，，则
||MQ =.
当1y =-时，||MQ 4. 解得21b =，则24a =.
所以椭圆1C 的方程是2
214
x y +=.
（Ⅱ）设曲线C ：2y x =上的点2()N t t ，
，因为2y x '=， 所以直线BC 的方程为2
2()y t t x t -=-，即2
2y tx t =-，代入椭圆方程2
214
x y +=得
2234(116)16440t x t x t +-+-=，则有322442(16)4(116)(44)16(161)t t t t t ∆=-+-=-++.
设1122()()B x y C x y ，，，，则312216116t x x t +=
+，4122
44
116t x x t -=+.
所以12|||BC x x =-==.
设点A 到直线BC 的距离为d ，则2
d =
所以ABC △的面积
2
11||22S BC d =⋅==
=
当t =±0∆>，满足题意.
综上，ABC △. （21）（本小题满分12分）
已知2
()e 4
x
x
f x =-
，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）设()(1)()g x x f x '=+（其中()f x '为()f x 的导函数），判断()g x 在(1)-+∞，上的单调性；
（Ⅱ）若()ln(1)()4F x x af x =+-+无零点，试确定正数a 的取值范围.
解析：（Ⅰ）因为2
()e 4x
x f x =-，则211()e 24x f x '=-，2
1()(1)()(1)(2e 1)4x
g x x f x x '=+=+-，
所以1
22
2111()[e (3)1](2e 1)(2e 1)0444
x x
g x x -'=+->->->，所以()g x 在(1)-+∞，上单调递增.
（Ⅱ）由()ln(1)()4F x x af x =+-+知11
()()[()]11a F x af x g x x x a
''=-=-++，
由（Ⅰ）知()g x 在(1)-+∞，上单调递增，且(1)0g -=，可知当(1)x ∈-+∞，时，()(0)g x ∈+∞，，
则1
()[()]1a F x g x x a
'=
-+有唯一零点，设此零点为x t =. 易知(1)x t ∈-，时，()0F x '>，()F x 单调递增；()x t ∈+∞，时，()0F x '<，()F x 单调递减，
故max ()()ln(1)()4F x F t t af t ==+-+，其中1()
a g t =
. 令()()ln(1)4()f x G x x g x =+-+，则22
1()()()()()()
()1[()][()]f x g x f x g x f x g x G x x g x g x '''-'=-=
+， 易知()0f x >在(1)-+∞，上恒成立，所以()0G x '>，()G x 在(1)-+∞，上单调递增，且(0)0G =.
①当04a <<时，11
()(0)4
g t g a =>=，由()g x 在(1)-+∞，
上单调递增知0t >， 则
max ()()()(0)0
F x F t
G t G ==>=，由()F x 在(1)t -，上单调递增，
44(e 1)(e 1)0F af ---=--<，所以4()(e 1)0F t F -⋅-<，故()F x 在(1)t -，上有零点，不符合题意；
②当4a =时，11
()(0)4
g t g a =
==，由()g x 的单调性知0t =，则max ()()()(0)0F x F t G t G ====，此时()F x 有一个零点，不符合题意；
③当4a >时，11
()(0)4
g t g a =
<=，由()g x 的单调性知0t <，则max ()()()(0)0F x F t G t G ==<=，此时()F x 没有零点.
综上所述，当()ln(1)()4F x x af x =+-+无零点时，正数a 的取值范围是(4)a ∈+∞，. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221x y +=，在以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为8
cos 2sin ρθθ
=
+.
（Ⅰ）将1C 上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长到原来的22C ，求曲线2C 的参数方程；
（Ⅱ）若P Q ，分别为曲线2C 与直线l 的两个动点，求||PQ 的最小值以及此时点P 的坐标.解析：（Ⅰ）在曲线
2C 上任取一点M ，设点M 的坐标为()M x y ，，则点1()
2M x y '在曲线
1C 上，满足22
1())12x y +=，所以曲线2C 的直角坐标方程为22143x y +=，曲线2
C 的参数方程为2cos
x y θ
θ=⎧⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数）.
（Ⅱ）直线l 的直角坐标方程为l ：280x y +-=，设点(2cos )P θθ，点P 到直
线l 的距离为|4sin()8|
d π
θ+-==
，当3
π
θ=
，即点P 的直角坐标为
3
(1)2，时，d .
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()|3||2|f x x x =--+.
（Ⅰ）若不等式()|1|f x m -…有解，求实数m 的最小值M ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a b ，满足30a b M ++=，证明：33a b ab +…. 解析：（Ⅰ）因为|3||2||(3)(2)|5x x x x --+--+=…，所以|1|5m -…，解得46m -剟，
故4M =-.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得34a b +=，所以
31131191(3)()(33)6)3444a b a b b a b a b a +=⨯+⨯+=⨯+++=…， 当且仅当9a b
b a
=，即32a b ==时等号成立. 所以33a b ab +….。