对固定质量的水能托起多重物体的讨论

对固定质量的水能托起多重物体的讨论 作者：106012009073黄志铭
摘要：本文对水将物体全部包围及没有全部包围时能托起的物体最多有多重进行了讨论.当没有全部包围时,讨论了物体为球体及任意形状的情况.得出当水刚好包围一个半球时,物体的质量最大的结论. 关键词：阿基米德原理；体积；对称.
当重物漂浮在水上或悬浮在水中时,由阿基米德原理,有
G gV ρ=物水排 (1)
由于ρ水,g 为常数,要求水托起的重物的质量,只需求重物在水中排开的水的体积,即水包围重物的体积即可.
若理想地认为固定质量的水能无限地铺开成很薄的面,那么当水托起重物时,可能由于水太过稀薄而被重物挤压使得水中的化学键断裂.为了避免这种情况,我们认为包围重物的水的稀薄程度有一定限度,即认为水展开的面的表面积不能无限大,而是有一定限度.我们将一定质量的水展开的最大表面积记为常数C. 现在讨论当水展开为表面积为C 的曲面时所能包围的最大体积的物体（当然,水可以不将物体完全包住,且可知,没包住的部分应为一个平面）.
若水将物体全部包围.由表面积一定时,球的体积最大,可知,此时水包围的体积
304
3
V r π= (2)
并且有
204r C π= (3)
若水没有将球完全包围,如图 1 (虚线以下为排开水的体积)
图1 此时
()()()32
211cos sin cos 33
r V r r r πθπθθ=++排 ()0r r > (4)
其中右式第一项为图中I 的体积,第二项为II 的体积.
并且有
()22021cos 4r C r πθπ+== (5)
联立(4)(5)两式,可得
()46
003
483r r V r r r ππ=-排 ()0r r > (6)
6)式两边对r 求导,得
()46
002448dV r r r dr r r
ππ=-+排 (7) 令
()
dV r dr
排0=,可得
0r =
显然,当0r =时,()V r 排有最大值
3
03
r . 现在考虑一般情况.
前面讨论了当水没有将球全部包围时,球的最大体积.现在讨论水没有全部包围某一任意形状的物体（如图2所示,由一水平面及一任意曲面围成）时,所能包围的最大体积.
图2
由于只知道曲面I 的表面积为C,而平面II 与曲面I 的形状都是任意的.要证明在什么情况下所包围的体积最大较难.因此作以下操作：将两面所包围的空间沿着平面对称翻转,并保留原来所包围的空间,如图3所示.
图3
现在问题转化为求一个物体的表面积为2C 时,在什么情况下物体的体积最大.显然应为一个球体,即水包围的物体为半球时,体积V 最大.对此作以下简单论证：
若水包围的物体（如图2）不为半球时体积最大,为'V , 即
'V >V
其中V 为半球体积.
在作对称操作后,有
2'V >2V
即表面积为2C 时,不为球体的物体体积2'V 大于球体体积2V ,矛盾. 因此,水包围的物体为半球时体积最大,此时有
22024r C r ππ==
33
0233
V r r π==排
与对球体的讨论的结果一致.只要知道常数C 的值,并将上式代入(1)式,即可算
出该质量的水最多能托起多重的物体.。