浙江省金华市金东区傅村镇初级中学2015届高三适应性考

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．
是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．已知i 为虚数单位，R a ∈，若)1)(1(i a a ++-是纯虚数，则a 的值为 A ．-1或1
B ．1
C ．-1
D ．3
2．若)0)(sin()(:,,2
:≠+=∈+=
ωϕωππ
ϕx x f q Z k k p 是偶函数，则p 是q 的
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ． 既不充分也不必要条件
3．下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是 A ．2y x =
B ．3y x =-
C ．lg ||y x =-
D ．2x y =
4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x y ，之间关系最强的是
A ．
B ．
C ．
D ． 5．如图所示的程序框图，该算法的功能是
A ．计算0
1
2
(12)(22)(32)++++++…(12)n
n +++的值 B ．计算1
2
3
(12)(22)(32)++++++…(2)n
n ++的值 C ．计算(123+++…)n +0
1
2
(222++++ (1)
2
)n -+的值
D ．计算[123+++…(1)]n +-0
1
2
(222++++…2)n
+的值
6．双曲线C ：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为21,F F ，渐近线分别为21,l l ，
点P 在第一象限内且在1l 上，若2212//,PF l PF l ⊥，则该双曲线的离心率为 A ．5
B ．2
C ．3
D ．2
7．△ABC 各角的对应边分别为c b a ,,，满足1≥+++b
a c
c a b ，则角A 的范围是 A ．(0,
]3
π
B ．(0,
]6
π
C ．[
,)3
π
π
D ．[
,)6
π
π
第5题图
8．函数)2
|)(|2sin()(π
ϕϕ<+=x x f 的图象向左平移
6
π
个单位后关于原点对称，则函数()
f x 在[0,
]2
π
上的最小值为
A
．
B ．12
-
C ．
12
D
9．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ⎧⎪
<⎨⎪+- ⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是
A ．5
[,5]3
B ．[]0,5
C ．[)0,5
D ．5[,5)3
10．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为 A
B
C
D
11．已知函数2
()f x x =的图象在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相垂直，并交
于点P ，则点P 的坐标可能是
A ．3(,3)2-
B ． (0,4)-
C ．(2,3)
D ．1
(1,)4
- 12．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：22
25x y +=上任意一点，PQ 中
点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A ．
1325
B ．
35
C ．
13
25π
D ．
35π
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．
⎰=+
-1
2)21
1(dx x x ．
14．已知函数2
()sin 21
x f x x =++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -+-+++= ．
15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 ．
16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆22
1259
x y +=上，点P 满足
(1)()AP OA λλ=-∈R ，且72OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值
为 ．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和12n n S +=，数列{}n b 满足21
(1)log n n
b n n a =++．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
≥ ≥
（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数0.785⨯，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数0.19⨯等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”．经统计，这两类家庭占
是“低碳家庭”的概率；
（2）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有20%
的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周后随机地从东城小区中任选5个家庭，记ξ表示5个家庭中“低碳家庭”的个数，求E ξ和D ξ．
19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面
ABCD ，1AB PA ==，AD =，F 是PB 中点，E 为BC 上
一点．
（1）求证：AF ⊥平面PBC ；
（2）当BE 为何值时，二面角C PE D --为45︒．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线1C ：24y x =和2C ：2
2x py =(0)p >的焦点分别为12,F F ，12,C C 交于,O A 两点（O 为坐标原点），且12F F OA ⊥. （1）求抛物线2C 的方程；
（2）过点O 的直线交1C 的下半部分于点M ，交2C 的左半部分于点N ，点P 坐标为
(1,1)--，求△PMN 面积的最小值.
21．（本小题满分12分）
已知函数2
()2()3x
f x e x a =--+，a ∈R ．
（1）若函数()y f x =的图象在0x =处的切线与x 轴平行，求a 的值； （2）若x 0，()f x 0恒成立，求a 的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 23．（本小题满分10分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．
≥ ≥ P
F
E
D
B
A
已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上
的点按坐标变换13
12
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．
（1）求曲线C '的普通方程；
（2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹
方程．
24．（本小题满分10
已知函数()f x =+． （1）求()f x (4)f 的解集；
（2）设函数()(3),g x k x =-k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x
∈R 都成立，求k 的取值
范围．
1．【答案】C 2．【答案】A
3．【答案】C
【解析】四个函数中，是偶函数的有A C ，，又2y x =在(0,)+∞内单调递增，故选C ． 4．【答案】D
【解析】在频率等高条形图中，
a a
b +与c
c d
+相差很大时，我们认为两个分类变量 有关系，四个选项中，即等高的条形图中12,x x 所占比例相差越大，则分类
变量,x y 关系越强，故选D ．
5．【答案】C
【解析】初始值1,0k S ==，第1次进入循环体：012S =+，2k =；当第2次进入
循环体时：011222S =+++，3k =，…，给定正整数n ，当k n =时， 最后一次进入循环体，则有：011222S =++++…12n n -++，1k n =+，
≥
退出循环体，输出S =(123+++…)n +012(222++++…12)n -+，故选C ．
6．【答案】B
7．【答案】A 【解析】由
1b c
a c a b
+≥++得：()()()()b a b c a c a c a b +++≥++，化简得： 2
2
2
b c a bc +-≥，同除以2bc 得，
2221
22
b c a bc +-≥，即 1cos 2A ≥
(0)A π<<，所以03
A π
<≤，故选A ． 8．【答案】A
【解析】函数()sin(2)f x x ϕ=+向左平移
6
π
个单位得
sin[2()]sin(2)63y x x ππϕϕ=++=++，又其为奇函数，故则3
k π
ϕπ+=，
Z k ∈，解得=3
k π
ϕπ-
，又||2
π
ϕ<
，令0k =，得3
π
ϕ=-
，
∴()sin(2)3f x x π
=-
，又∵[0,]2x π∈，∴ sin(2)[3x π-∈，即
当0x =时，min ()f x =，故选A ． 9．【答案】C
【解析】画出,x y 约束条件限定的可行域为如图阴影
区域，令221u x y =--，则1
2
u y x +=-
， 先画出直线y x =，再平移直线y x =，当经 过点(2,1)A -，12(,)33
B 时，代入u ，可知
5
53
u -≤<，∴||[0,5)z u =∈，故选C ． 10．【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则22r h h r
π=，则2h =
S 侧=2r h π⋅4r π=S 全242r r ππ=+，故圆柱的侧面积与
=，故选B ． 11．【答案】D
【解析】由题，22
1122(,),(,)A x x B x x ，()2f x x '=，则过,A B 两点的切线斜率
112k x =，222k x =，又切线互相垂直，所以121k k =-，即121
4
x x =-.两
条切线方程分别为22
111222:2,:2l y x x x l y x x x =-=-，联立得
1212()[2()]0x x x x x --+=，∵12x x ≠，∴12
2
x x x +=
，代入1l ，解得 121
4
y x x ==-，故选D ．
12．【答案】B
【解析1】设00(,)Q x y ，中点(,)M x y ，则00(2,2)P x x y y --代入22
9x y +=，
得20(2)x x -+20(2)9y y -=，化简得：
22009
()()224
x y x y -
+-=，又220025x y += 表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M
轨迹是在以0022x y （,）
为圆心以3
2为半径的圆 绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上， 即应有2
2
2
(14)x y r r +=≤≤，那么在2C 内部任取一点落在M 内的概率 为
163
255
πππ-=，故选B ．
【解析2】设(3cos ,3sin )P θθ，(5cos ,5sin )Q ϕϕ，(,)M x y ，则
23cos 5cos x θϕ=+，①23sin 5sin y θϕ=+，②，①2+②2得：
221715
cos()22
x y θϕ+=
+-2r =，所以M 的轨迹是以原点为圆心， 以(14)r r ≤≤为半径的圆环，那么在2C 内部任取一点落在M 内的概率
为
163
255πππ-=，故选B ．
13．【答案】
4
1
+π
14．【答案】5
【解析】∵()()f x f x +-=1
2222sin sin 221212112
x x x x x
x x +-++-=+=++++，且 (0)1f =，∴(2)(1)(0)(1)(2)5f f f f f -+-+++=．
15．【答案】3π
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC 及其内切圆
1O 和外切圆2O ，且
两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题 意
1O 的半径为1r =，∴△ABC
的边长为
，
高为3，∴1
3333
V ππ=
⨯⨯⨯=． 16．【答案】15
【解析】(1)AP OP OA OA λ=-=-，即OP OA λ=，则,,O P A 三点共线，
72OA OP ⋅=，所以OA 与OP 同向，∴||||72OA OP =，设OP 与x 轴夹
角为θ，设A 点坐标为(,)x y ，B 为点A 在x 轴的投影， 则OP 在x 轴上的投影长度为
||cos OP θ⋅=2
||72||
||||||OB OB OP OA OA ⋅
= 22
2||||1
727272161699||2525||
x
x x y x x x =⋅
=⋅=⋅
+++
7215≤=.当且仅当15||4x =时等号成立．
则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15．
17．【解析】（1）当1n =时，114a S == ………………………2分
由12n n S +=，得12n n S -=(2)n ³，
∴11222n n n n n n a S S +-=-=-=(2)n ³
∴4,12,2n n n a n ì=ïï=íï³ïî
………………………6分
（2）当1n =时，1215
12log 44
b =
+=，∴154T = …………………7分
当2n ³时，
21111
(1)log 2(1)1
n n
b n n n n n n n n =
+=+=-++++ ……9分 5111111
(4233445
n T =
+-+-+-+…+11)(2341n n -+++++…)n +
1111111
(4233445=
+-+-+-+…+11)(12341n n -++++++…)n + 31(1)
412
n n n +=
-++ ………11分
上式对于1n =也成立，所以31(1)
412
n n n T n +=
-++． ………12分
18．【解析】（1）设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为A ， ………1分
则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自 东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．
∴100
33
5454212151542121451512121)(=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
A P ．…6分 （2）因为东城小区每周有20%的人加入“低碳家庭”行列，经过两周后，两
类家庭占东城小区总家庭数的比例如下：
………8分 由题意，两周后东
城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数ξ服从二项分布，
即17
(5,
)
25B ξ
………10分 ∴1717
5255E ξ=⨯= ， ………11分
178136
52525125
D ξ=⨯⨯=
． ………12分 19．【解析】『法一』(1)取BC 中点为N ，连结1,MN C N ，………1分 ∵,M N 分别为,AB CB 中点 ∴MN ∥AC ∥11A C ，
∴11,,,A M N C 四点共面， ………3分 且平面11BCC B I 平面11A MNC 1C N = 又DE Ì平面11BCC B ， 且DE ∥平面11A MC ∴DE ∥1C N
∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点， ………5分 ∴
1
3
CE EB =． ………6分 （2）连结1B M ， ………7分 因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC ∴1AA AB ^，即四边形11ABB A 为矩形，且12AB AA = ∵M 是AB 的中点，∴11B M A M ^， 又11A C ^平面11ABB A ，
∴111AC B M ^，从而1B M ^平面11A MC ………9分 ∴1MC 是11B C 在平面11A MC 内的射影 ∴11B C 与平面11A MC 所成的角为∠11B C M 又11B C ∥BC ，
∴直线BC 和平面11A MC 所成的角即11B C 与平面11A MC 所成的角…10分 设122AB AA ==，且三角形11A MC 是等腰三角形
∴111A M AC ==12MC =
，11B C =
∴11111cos MC B C M
B C ?=
∴直线BC 和平面11A MC
………12分 『法二』（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，
∴1AA ^平面ABC ，又AC AB ⊥ ∴以A 为坐标原点，分别以1,,AB AA AC 所在直线为,,x y z 轴，
建立如图空间直角坐标系. ………1分 设122AB AA ==，又三角形11A MC 是
等腰三角形，所以111A M AC ==
易得1(0,1,0)A ，(1,0,0)M
，1C ，
所以有1(1,1,0)A M =-uuuu r
，11AC =uuu u r
设平面11A MC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则有11100
n A M
n AC
ìï?ïíï?ïïîr uuuu r
r uuu u r
，即
00
x y ì-=ïïí
ï=ïî，令1x =，有(1,1,0)n =r ………4分 （也可直接证明1B M 为平面11A MC 法向量） 设
CE EB λ=
，2(
1E λλ+
，又1
(0,2
D ，
∴21(
,12DE λλ=-+ 若DE ∥平面11A MC ，则n r ^DE uuu r ，所以有21
012
λλ-=+，
解得13λ=，∴
1
3
CE EB = ………6分 （2）由（1）可知平面11A MC 的一个法向量是(1,1,0)n =r
，
(2,0,0)B
，C
，求得(BC =-
设直线BC 和平面11A MC 所成的角为θ，[0,]2
π
θ∈，
则||sin ||||2n BC n BC θ⋅=
==⋅，
………11分
所以cos q =
∴直线BC 和平面11A MC ………12分 20．【解析】（1）由已知得：1(1,0)F ，2(0,
)2p F ，∴12(1,)2
p
F F =- ………1分 联立224
2y x x py ⎧
=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或
x y ⎧
=⎪⎨=⎪⎩，即(0,0)O ，A ，
∴3(16OA = ………3分 ∵12F F OA ⊥，∴12F F
0OA ⋅=
，即0=，解得2p =，∴2C 的方程为24x y =． ………5分
『法二』设111(,)(0)A x y x >，有211211
42y x x py ⎧=⎨=⎩①，由题意知，1(1,0)F ，2(0,)2p F ，∴12(1,
)2
p F F =- ………1分 ∵12F F OA ⊥，∴12F F 0OA ⋅= ，有1102p x y -+=， 解得112py x =， ………3分 将其代入①式解得114,4x y ==，从而求得2p =，
所以2C 的方程为2
4x y =． ………5分
（2）设过O 的直线方程为y kx =(0)k < 联立24y kx y x =⎧⎨=⎩得244(,)M k k ，联立24y kx y x
=⎧⎨=⎩得2(4,4)N k k ………7分 (1,1)P --在直线y x =上，设点M 到直线y x =的距离为1d ，点N 到直线
y x =的距离为2d
则121()2
PMN S OP d d =⋅⋅+
………8分
12= 22112(||||)k k k k
=-+- 22112()k k k k
=--++………10分
8≥= 当且仅当1k =-时，“=”成立，即当过原点直线为y x =-时，…11分
△PMN 面积取得最小值8．
………12分
『法二』联立24y kx y x
=⎧⎨=⎩得244(,)M k k ， 联立24y kx y x
=⎧⎨=⎩得2(4,4)(0)N k k k <， ………7分
从而2244||4|4)MN k k k k =-=-，
点(1,1)P --到直线MN 的距离d =，进而
214(4)2PMN S k k
∆=- ………9分 32222(1)(1)2(1)(1)1122(2)(1)k k k k k k k k k k k
---++===+-++令1(2)t k t k
=+≤-，有2(2)(1)PMN S t t ∆=-+， ………11分 当2t =-，即1k =-时，即当过原点直线为y x =-时，△PMN 面积取
得最小值8． ………12分
21．【解析】
（1）()2()x f x e x a '=-+ ………2分
因为()y f x =在0x =处切线与x 轴平行，即在0x =切线斜率为0即(0)2(1)0f a '=+=，∴1a =-． ………5分
（2）()2()x f x e x a '=-+， 令()2()x g x e x a =-+，则()2(1)0x g x e '=-≥，
所以()2()x
g x e x a =-+在[)0,+∞内单调递增，(0)2(1)g a =+ （i ）当2(1)0a +≥即1a ≥-时，()2()(0)0x
f x e x a f ''=-+≥≥，()f x 在 [)0,+∞内单调递增，要想()0f x ≥只需要2(0)50f a =-≥，解得
a ≤≤，从而1a -≤≤ ………8分 （ii ）当2(1)0a +<即1a <-时，由()2()x
g x e x a =-+在[)0,+∞内单调递增知， 存在唯一0x 使得000()2()0x g x e x a =-+=，有00x e x a =-，令()0f x '>解 得0x x >，令()0f x '<解得00x x ≤<，从而对于()f x 在0x x =处取最小值，
0200()2()3x f x e x a =--+，又00x x e a =+
0()f x 000022()3(1)(3)x x x x e e e e =-+=-+-，从而应有0()0f x ≥，即
030x e -≤，解得00ln 3x <≤，由00x e x a =-可得00x a x e =-，有
ln 331a -≤<-
，综上所述，ln 33a -≤≤ ………12分
22．【解析】（1）根据弦切角定理，
知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，
∴△ABC ∽△DBA ，则
AB BC DB
BA
=， 故250,AB BC BD AB =⋅==…5分
（2）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅，
2DA DB DE =⋅，
两式相除，得22CA CB CF DA DB DE
=⋅（*）. 由△ABC ∽△DBA ，
得AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，由（*） 得1CF DE =． ………10分 23. 【解析】（1）将3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ 代入1312
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ，得C '的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩ ∴曲线C '的普通方程为22
1x y +=． ………5分
（2）设(,)P x y ，00(,)A x y ，又(3,0)B ，且AB 中点为P 所以有：00
232x x y y =-⎧⎨=⎩ 又点A 在曲线C '上，∴代入C '的普通方程22001x y +=得22
(23)(2)1x y -+= ∴动点P 的轨迹方程为2231()24x y -+=
． ………10分
24.【解析】（1
）()f x =
|3||4|x x ==-++
∴()(4)f x f ≥即|3||4
|x x -++9≥
∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩① 或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩② 或3349
x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③
解得不等式①：5x ≤-；②：无解 ③：4x ≥
所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤-或4}x ≥． ………5分
（2）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方
21,4()|3||4|7,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩
()(3)g x k x =-图象为恒过定点P (3,0)，且斜率k 变化
的一条
直线作函数(),()y f x y g x ==图象如图,其中2PB k =，(4,7)A -，∴1PA k =-
由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方
∴实数k 的取值范围为12k -<≤． ……。