甘肃省通渭县马营中学高二数学上学期12月阶段性考试试

马营中学2015—2016学年度第一学期阶段性考试
高二数学理科
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

（1）设集合{}
)23lg(x y x A -==，集合{}
x y y B -==1，则=B A I （ ） A ． )2
3,0[ B ． （﹣∞，1] C ．
D ．
（2） 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则以下为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ∧⌝
C ．()p q ⌝∨
D ．()()p q ⌝∧⌝
（3） 已知向量21,e e 是两个不共线的向量，若212e e -=与21e e λ+=共线，则λ的值（ ） A. 1- B. 2
1
- C. 1 D. 21
（4）二项式6(2)x x
-
的展开式中常数项为（ ）
A ．160
B ．160- C.60 D ．60-
（5）设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤+1
011
y x x y x ，则目标函数2-=x y z 的取值范围为 （ ）
A ．[]3,3-
B ．[]2,2-
C ．[]1,1-
D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
32,32 （6）已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列，则
1
3
2a a a +等于（ ） A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
（7）定义：在数列{}n a 中，若满足
d a a a a n
n n n =-+++1
12（+∈N n ，d 为常数）
，称{}n a 为“等 差比数列”。

已知在“等差比数列”{}n a 中，,3,1321===a a a 则=2013
2015
a a （ ） A ．2420151⨯-
B ．2420141⨯-
C ．2420131⨯-
D ．242013⨯
（8）设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），若=<<-=>)02(,)2(ξξP p P 则 （ ）
俯视图
5
3
4 3
（11题图）
A ．
p +2
1
B ．p -1
C ．
p -2
1
D ．p 21-
（9）在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-，
2BA BC ⋅=u u u r u u u r
，则ABC ∆的面积为 （ ）
A ．2
B ．
2
3
C ． 22
D ． 24 （10）已知抛物线y 2
＝2px （p ＞0）与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点F ，点A 是两曲
线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．2＋2 B ．5＋1 C ．3＋1 D ．2＋1
（11）若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示， 则该几何体的体积等于( )
A ．3
10cm B ．3
20cm C ．3
30cm D ．3
40cm
（12）已知函数⎩⎨
⎧>≤+=0
,
log 0
,
1)(2x x x x x f ，若方程a x f =)(有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且4321x x x x <<<，则4
2
32131
)(x x x x x +
+的取值范围是（ ） A. ),1(+∞- B. (]1,1- C. )1,(-∞ D. [)1,1- 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若复数i a a z )2()4(2
++-=为纯虚数，则i
i a 212015
++的值为
（14）设1
20
1x dx α=
-⎰
，tan 3β=，则()tan αβ+= ．
（15）当输入的实数[]2,30x ∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是 。

（16）设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线
y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点，若−→ED ＝6−→
DF ，则k 的值为_______
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P ､Q ，已知点P 的坐标为(53-
，5
4
). （Ⅰ）求αααtan 11
2cos 2sin +++的值;
（Ⅱ）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r
，求sin (α+β)的值
（18）（本小题满分12分）
在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x 、y ，设
O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,)x x y --，记2
OP ξ=u u u r ．
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． （19）(本小题满分12分)
如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上不与A 、B 重合的一个动点，
S 是圆O 所在平面外一点，且总有SC ⊥平面ABC ，M 是SB 的中点，AB = SC = 2．
（Ⅰ）求证：OM ⊥BC ；
（Ⅱ）当四面体S －ABC 的体积最大时，设直线AM 与平面ABC 所成的角为α，
二面角B －SA －C 的大小为β，分别求tan tan αβ，的值．
（20）（本小题满分12分）
已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）设C 为W 上的一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D .判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.
第17题
S
C M
A
O
（21）（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直，函数
2
1()()2
g x f x x bx =+
-． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； (3)设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若7
2
b ≥
，求12()()g x g x -的最小值． 请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，在正△ABC 中，点D,E 分别在边AC, AB 上，且AD=13AC ，AE=2
3
AB ，BD ，CE 相交于点F. （Ⅰ）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC 的边长为2，求，A ，E ，F ，D 所在圆的半径．
（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 1C 的参数方程为 2cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为ρ=2. （Ⅰ）分别写出 1C 的普通方程， 2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知M ，N 分别为曲线 1C 的上、下顶点，点P 为曲线 2C 上任意一点，求 PM PN +
的最大值．
（24）（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲. （Ⅰ）设函数1
()=||||(0)f x x x a a a
-
++>.证明：()2f x ≥； （Ⅱ）若实数z y x ,,满足222
43x y z ++=,求证:23x y z ++≤ ．
马营中学高二理数学测试题（答案）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分， （1）A （2）B （
3）B （4）C （5）D （6）B （7）C （8）C （9）C （10）D （11）B （12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13) i - (14) -2 (15) 9
14
(16) k ＝23或k ＝ 3 8
三、解答题：
17解：(1)由三角函数的定义得αcos =－
53，αsin =5
4， 则原式=α
ααααααααααcos cos sin )
cos (sin cos 2cos sin 1cos 2cos sin 22++=+
+
=2=α2
cos 2×(－53)2=25
18
(2)∵OQ OP ⋅=0，∴OP ⊥OQ ∴,2
π
βα=-∴2
π
αβ-
=，
∴53cos )2
sin(sin =
-=-
=απ
αβ，5
4
sin )2cos(cos ==-=απαβ. ∴βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ =54×54+(－53)×53=25
7
18解
因此，随机变量ξ的最大值为5 ………………………3分
Θ 有放回摸两球的所有情况有933=⨯种2
(5)9
P ξ∴==
………6分
则随机变量ξ的分布列为：
………………10分
因此，数学期望1422
012529999
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=…………………12分 19．解(Ⅰ)证：由于C 是以AB 为直径的圆上一点，故AC ⊥BC
又SC ⊥平面ABC ，∴SC ⊥BC
∵SC AC C =I ，∴BC ⊥平面SAC ，BC ⊥SA 2分 O 、M 分别为AB 、SB 的中点，故OM 平行于SA ∴OM ⊥BC
4分
(Ⅱ)解：四面体S －ABC 的体积221112()3363
ABC V SC S AC BC AC BC ∆=
⋅=⋅+=≤ 当且仅当2AC BC = 6分
方法一
取BC 的中点N ，连接MN 、AN ，则MN 与SC 平行，MN ⊥平面ABC
∴MAN α=∠，10
tan 1
22
MN AN α===
+
9分
作CH ⊥SA 垂足为H ，连接BH ，由(Ⅰ)知BC ⊥SA ，∴SA ⊥平面BCH ，BH ⊥SA
故BHC β=∠，在Rt SAC ∆中，3AC SC CH SA ⋅=,6
tan BC CH β==
12分
方法二
以CA CB CS u u u r u u u r u u u r
、，
分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，则 C (0，0，0)，A 2 ，0，0)，B (02，0)，S (0，0，2)
进而M (02
，1)，2(21)AM u u u u r ，=-
(002)CS =u u u r
，，是平面ABC 的一个法向量，
故14sin |cos |AM CS α=<>=u u u u r u u u r ，，3510
cos tan αα==
9分
设v = (x ，y ，z )是平面SAB 的一个法向量，则00v AB v AS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u r ,即220
220
x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
故可取(2,2,1)v =，由（1）知，(0,2,0)CB =u u u r
是平面SAC 的一个法向量
故10156
cos |cos ,|,sin ,tan v CB βββ=<>===
r u u u r 12分
20.解：（1）抛物线2y x =的焦点为1
(0,)4
.由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， 令0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -.因为抛物线W 的焦点在直线AB 的
下方，所以114k ->
，解得3
4k <，因为0k >，所以304
k <<..。

5分
（2）结论：四边形ABDC 不可能为梯形.理由如下：
假设四边形ABDC 为梯形.依题意，设211(,)B x x ，2
22(,)C x x ，33(,)D x y ，
联立方程2
1(1),,
y k x y x -=-⎧⎨=⎩消去y ，得2
10x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以11x k =-. 同理，得21
1x k
=-
-.对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线BD 的斜率为1222x k =-，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的斜率为22
22x k
=--. 由四边形ABDC 为梯形，得//AB CD 或//AC BD .若//AB CD ，则2
2k k
=--，即2220k k ++=，因为方程2220k k ++=无解，所以AB 与CD 不平行. 若//AC BD ，则1
22k k
-
=-，即22210k k -+=，因为方程22210k k -+=无解，所以AC 与BD 不平行，所以四边形ABDC 不是梯形，这与假设矛盾.因此四边形ABDC 不可能为梯形.。

12分
21题解
()()()22
11121212222111ln 1ln 22x x x x x x b x x x x x x ⎛⎫=+----=-- ⎪⎝⎭
120x x <<Q
所以设()1201x t t x =<< ()()11ln 012h t t t t t ⎛⎫
=--<< ⎪⎝⎭
()()2
2211111022t h t t t t -⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭，
所以()h t 在()0,1单调递减，
()2
725124b b ≥∴-≥又 ()()2
2121212x 125x 24x x t x x t ++=
=++≥⋅即 ()21115
01,41740,0,2ln 2448
t t t t h t h ⎛⎫<<∴-+≥∴<≤≥=- ⎪⎝⎭Q ，故所求的最小值是15
2ln 28
- …………12分
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 解：
（1）证明：Q 23AE AB =，∴1
3
BE AB =． Q 在正△ABC 中，1
3
AD AC =
，∴AD BE =，--------------1 又AB BC =Q ，BAD CBE ∠=∠，
∴△BAD ≌△CBE ，∴ADB BEC ∠=∠，-------------------------3
即πADF AEF ∠+∠=，所以A ，E ，F ，D 四点共圆．…………………………（5分）
（2）解：如图，取AE 的中点G ，连结GD ，则1
2
AG GE AE ==
．
Q 23AE AB =，∴1233AG GE AB ===， Q 12
33
AD AC =
=，60DAE ∠=︒， ∴△AGD 为正三角形， ∴23GD AG AD ===
，即2
3
GA GE GD ===， 所以点G 是△AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为
2
3
． 由于A ，E ，F ，D 四点共圆，即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为
23
．（10分）
23.解：（1）曲线1C 的普通方程为22
143
x y +=，……………………2分 曲线2C 的普通方程为2
2
4x y +=. ……………………4分 （2）
法一：由曲线2C ：2
2
4x y +=，可得其参数方程为2cos 2sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩，所以P 点坐标为
(2cos ,2sin )αα，由题意可知3),(0,3)M N .
因此2
2
2
2
(2cos )(2sin 3)(2cos )(2sin 3)PM +PN αααα=+-++ 743sin 743sin αα=-+6分
22()1424948sin PM +PN α=+-.
所以当sin 0α=时，2
()PM +PN 有最大值28，……………………8分 因此PM +PN 的最大值为27……………………10分
法二：设P 点坐标为(,)x y ，则22
4x y +=，由题意可知(0,M N .
因此PM +PN =
=6分
2()14PM +PN =+所以当0y =时，2
()PM +PN 有最大值28，……………………8分
因此PM +PN 的最大值为……………………10分 24．（10分）证明:(Ⅰ)由0a >，
有111
()=|||||)()|2f x x x a x x a a a a a
-
++≥--+=+≥( 所以()2f x ≥ ………………………5分 (Ⅱ)2
2
2
43x y z ++=Q ,由柯西不等式得:
2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z +++≥++ (当且仅当2111x y z ==即63
55
x z y ===，时取“=”号)整理得:9)2(2≤++z y x ,即
32≤++z y x ……………………10分。