白沙黎族自治县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

白沙黎族自治县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
2．如图，从点M（x0，4）发出的光线，沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于（）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．函数y=（x2﹣5x+6）的单调减区间为（）
A．（，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，2）
4．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（）
（A）150种（B ）180 种（C）240 种（D）540 种
5． 如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的有（ ） ①三棱锥M ﹣DCC 1的体积为定值 ②DC 1⊥D 1M ③∠AMD 1的最大值为90° ④AM+MD 1的最小值为2．
A ．①②
B ．①②③
C ．③④
D ．②③④
6． 已知函数，，若，则（ ）
A1 B2 C3 D-1
7． 若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．f （x ）为奇函数
B ．f （x ）为偶函数
C ．f （x ）+1为奇函数
D ．f （x ）+1为偶函数
8． 在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3+a 5=8，则a 7=（ ） A ．3
B ．6
C ．7
D ．8
9． O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．2
10．已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ） A ．
14 B ．18 C ．23 D ．1
12
11．已知表示数列
的前项和，若对任意的
满足
，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若复数满足
7
1i i z
+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -
二、填空题
13．设a 抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ．
14．设双曲线﹣=1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．若∠F1MF2=90°，则△F1MF2的面积是．
15x和所支出的维修费用y（万元）的统计资料如表：
根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程=0.7x+，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为万元．
16．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．
17．已知函数f（x）=cosxsinx，给出下列四个结论：
①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[﹣，]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=对称．
其中正确的结论是．
18．等比数列{a n}的前n项和S n＝k1＋k2·2n（k1，k2为常数），且a2，a3，a4－2成等差数列，则a n＝________．三、解答题
19．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM 的斜率与l的斜率的乘积为定值．
20．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，圆C
的极坐标方程为．
（1）写出圆C 的直角坐标方程；
（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
21．已知函数f （x ）=lnx ﹣
ax+（a ∈R ）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数y=f （x ）在定义域内存在两个极值点，求a 的取值范围．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+，点12,F F
为其左、右焦点，直线的参数方程为
22
x y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（为参数，t R ∈）. （1）求直线和曲线C 的普通方程；
（2）求点12,F F 到直线的距离之和.
23．某市出租车的计价标准是4km 以内10元（含4km ），超过4km 且不超过18km 的部分1.5元/km ，超出18km 的部分2元/km ．
（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y 元与行车里程x km 的函数关系式； （2）如果某人乘车行驶了30km ，他要付多少车费？
24．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为方程为r （],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t a
a ì=+ïí=+ïî
（t 为参数）．
（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C
的参数方程；
（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．
白沙黎族自治县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，
它们的底面直径均为2，故底面半径为1，
圆柱的高为1，半圆锥的高为2，
故圆柱的体积为：π×12×1=π，
半圆锥的体积为：×=，
故该几何体的体积V=π+=，
故选：B
2．【答案】B
【解析】解：由题意可得抛物线的轴为x轴，F（2，0），
∴MP所在的直线方程为y=4
在抛物线方程y2=8x中，
令y=4可得x=2，即P（2，4）
从而可得Q（2，﹣4），N（6，﹣4）
∵经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，
∴直线MN的方程为x=6
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质的应用，解决问题的关键是要熟练掌握相关的性质并能灵活应用．3．【答案】B
【解析】解：令t=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）＞0，可得x＜2，或x＞3，
故函数y=（x2﹣5x+6）的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞）．
本题即求函数t在定义域（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间．
结合二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间为（3，+∞），
故选B．
4．【答案】A
【解析】5人可以分为1,1,3和1,2,2两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为
22333
535
3
32
2
150C C C A A A ⋅⋅+⋅=种,故选A ． 5． 【答案】A
【解析】解：①∵A 1B ∥平面DCC 1D 1，∴线段A 1B 上的点M 到平面DCC 1D 1的距离都为1，又△DCC 1的面积
为定值，因此三棱锥M ﹣DCC 1的体积V=
=为定值，故①正确．
②∵A 1D 1⊥DC 1，A 1B ⊥DC 1，∴DC 1⊥面A 1BCD 1，D 1P ⊂面A 1BCD 1，∴DC 1⊥D 1P ，故②正确．
③当0＜A 1P ＜
时，在△AD 1M 中，利用余弦定理可得∠APD 1为钝角，∴故③不正确；
④将面AA 1B 与面A 1BCD 1沿A 1B 展成平面图形，线段AD 1即为AP+PD 1的最小值，
在△D 1A 1A 中，∠D 1A 1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD 1==
＜2，
故④不正确． 因此只有①②正确． 故选：A ．
6． 【答案】A
【解析】g （1）=a ﹣1， 若f[g （1）]=1， 则f （a ﹣1）=1， 即5|a ﹣1|=1，则|a ﹣1|=0， 解得a=1 7． 【答案】C
【解析】解：∵对任意x 1，x 2∈R 有 f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1， ∴令x 1=x 2=0，得f （0）=﹣1
∴令x 1=x ，x 2=﹣x ，得f （0）=f （x ）+f （﹣x ）+1， ∴f （x ）+1=﹣f （﹣x ）﹣1=﹣[f （﹣x ）+1]， ∴f （x ）+1为奇函数．
故选C
【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
8． 【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{a n }中a 1=2，a 3+a 5=8， ∴2a 4=a 3+a 5=8，解得a 4=4，
∴公差d==，
∴a 7=a 1+6d=2+4=6 故选：B ．
9． 【答案】C
【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F （0，1）， 又P 为C 上一点，|PF|=4， 可得y P =3，
代入抛物线方程得：|x
P |=2，
∴S △POF =|0F|•|x P |=．
故选：C ．
10．【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 11．【答案】C
【解析】 令得
，所以
，即
，所以
是以1为公差的等差数列，首项为
，
所以，故选C
答案：C
12．【答案】A 【解析】
试题分析：42731,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足7
1i i z +=,所以()1,1i i i i z i z
+=-∴=-，所以复数的虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算.
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数， ∴试验发生包含的事件数6，
∵方程x 2
+ax+a=0 有两个不等实根， ∴a 2
﹣4a ＞0，
解得a ＞4， ∵a 是正整数， ∴a=5，6，
即满足条件的事件有2种结果，
∴所求的概率是=，
故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．
14．【答案】 9 ．
【解析】解：双曲线
﹣=1的a=2，b=3，
可得c 2=a 2+b 2
=13，
又||MF
1|﹣|MF 2||=2a=4，|F 1F 2|=2c=2，∠F 1MF 2=90°，
在△F 1AF 2中，由勾股定理得： |F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2
=（|MF 1|﹣|MF 2|）2+2|MF 1||MF 2|，
即4c 2=4a 2
+2|MF 1||MF 2|， 可得|MF 1||MF 2|=2b 2
=18，
即有△F 1MF 2的面积S=|MF 1||MF 2|sin ∠F 1MF 2=×18×1=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
15．【答案】7.5
【解析】解：∵由表格可知=9，=4，
∴这组数据的样本中心点是（9，4），
根据样本中心点在线性回归直线=0.7x+上，
∴4=0.7×9+，
∴=﹣2.3，
∴这组数据对应的线性回归方程是=0.7x﹣2.3，
∵x=14，
∴=7.5，
故答案为：7.5
【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．
16．【答案】12
【解析】
考点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键．
17．【答案】③④．
【解析】解：函数f（x）=cosxsinx=sin2x，
对于①，当f（x1）=﹣f（x2）时，sin2x1=﹣sin2x2=sin（﹣2x2）
∴2x1=﹣2x2+2kπ，即x1+x2=kπ，k∈Z，故①错误；
对于②，由函数f（x）=sin2x知最小正周期T=π，故②错误；
对于③，令﹣+2π≤2x≤+2kπ，k∈Z得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z
当k=0时，x∈[﹣，]，f（x）是增函数，故③正确；
对于④，将x=代入函数f（x）得，f（）=﹣为最小值，
故f（x）的图象关于直线x=对称，④正确．
综上，正确的命题是③④．
故答案为：③④．
18．【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．
∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k1＝－1，k2＝1，
∴a n＝2n－1.
答案：2n－1
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，
，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），
把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，
故x M==，y M=kx M+b=，
于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM k=．
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．
20．【答案】
【解析】解：（1）圆C 的极坐标方程为，可得直角坐标方程为x 2
+y 2
=2，即x 2
+（y ﹣）
2
=3；
（2）设P （3+，
t ），
∵C （0，），
∴|PC|=
=
，
∴t=0时，P 到圆心C 的距离最小，P 的直角坐标是（3，0）．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=lnx ﹣x+， ∴f （1）=1， ∴切点为（1，1）
∵f ′（x ）=﹣1﹣=
，
∴f ′（1）=﹣2，
∴切线方程为y ﹣1=﹣2（x ﹣1）， 即2x+y ﹣3=0；
（Ⅱ）f （x ）的定义域是（0，+∞），
f ′（x ）=
， 若函数y=f （x ）在定义域内存在两个极值点，
则g （x ）=ax 2
﹣x+2在（0，+∞）2个解，
故，
解得：0＜a ＜．
22．【答案】（1）直线的普通方程为2y x =-，曲线C 的普通方程为22
143
x y +=；（2）． 【解析】
试题分析：（1）由公式
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．
23．【答案】
【解析】解：（1）依题意得：
当0＜x≤4时，y=10；…（2分）
当4＜x≤18时，y=10+1.5（x﹣4）=1.5x+4…
当x＞18时，y=10+1.5×14+2（x﹣18）=2x﹣5…（8分）
∴…（9分）
（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）
【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
（Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(22
2
≥=+y y x 相切时
21|22|2
=+-k
k
0142=+-∴k k ，32-=∴k ，32+=k （舍去）
设点)0,2(-B ，2
AB
k =
=-
故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--.。