例析与中点有关的辅助线的作法

使教学变得更加高效，摆脱了传统课堂的枯燥性教学．
四、通过“互联网+”技术简化教学
在统计和概率的教学中，通过真实数据进行分析比较复杂，存在一定的难度．在教学的时候应根据学生的理解水平进行设计，使学生避免将精力花费在计算中，可以利用信息技术工具来进行教学，将非智力的过程通过计算机进行处理，使教学的效率提升．比如在轴对称和坐标变化教学中，教学内容包括较多的画图，还需要进行详细的比较，因此需要花费较多的时间．教师可以将学生安排在多媒体教室中，利用课间进行演示，使学生更加容易进行学习，并且加深印象．使用电脑进行操作，可以得到简化，使学生在自主的形式下进行学习，这种方式也提升了学习的质量．教师当场作图，缩短了时间，使用动态的画面来呈现图形，使教学的重点内容得到突出，还可以将难点突破，使学生更好地进行学习，也使学生的能力得到培养，加强了数学教学的效果．
“互联网+”技术的发展使数学教学具有更多的条
件，
通过软件工具等的使用，教学可以呈现出更多的效果，使复杂的数学知识变得更加生动，学生可以更容易进行理解，这使教学的质量得到了提升，帮助学生更好地学习数学．因此，需要利用“互联网+”技术将教学进行优化，使数学教学更加地具有现代化特点，从而促进数学教学的信息化发展．
参考文献:
［1］胡国桥．互联网+背景下初中数学教学改革实践探讨［J ］．读写算，2018(21):18．［2］张岩．互联网+背景下初中数学教学改革的实践与探讨［J ］．科学咨询，2018(42):53．［3］朱佳英．“互联网+”背景下初中数学教学模式创新发展研究［J ］．数学大世界(中旬版)，2018(8):16．［4］吴冬．基于“互联网+”背景下初中数学教学模式的创新发展分析［
J ］．好家长，2018(051):106．［责任编辑:李克柏］
例析与中点有关的辅助线的作法
宋明明
(北京市文汇中学100022)
摘要:在解决几何问题时，常需添加辅助线，把命题中的已知与求证的有关图形或分散的图形集中地联
系起来，
构建新的图形，创造由已知向未知转化的条件，从而把问题顺利解决．线段的中点是几何图形中的一个特殊点．在解决与中点有关的问题时，适当地添加辅助线、巧妙地利用中点，是处理中点问题的关键．但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少学生难以掌握．下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法．
关键词:数学解题教学;中点;发散思维中图分类号:G632文献标识码:A 文章编号:1008－0333(2020)08－0026－02收稿日期:2019－12－15
作者简介:宋明明(1984．4－)，女，北京人，硕士，一级教师，从事初中数学教学研究．
在初中数学的解题中，中点起着非常重要的作用．如
果能用好、用活中点，不但能提高解题速度，而且能够提高解题的准确度，提高学生的发散思维能力，为学生的数学学习插上腾飞的翅膀．
线段的中点是几何图形中的一个非常特殊的点．在解决与中点有关的问题时，如果能适当地添加辅助线、巧妙地利用中点是处理中点问题的关键．但是由于含有中点的问题的辅助线作法灵活，不少学生难以掌握．
如图1，在△ABC 中，AC ＞BC ，D 为线段AB 的中点，E 为线段AC 上一点，
AE =BC ，F 为线段EC 的中点．求证∠AFD =1
2
∠ACB．
一、中位线
方法一(图2)
分析在△ABC 中存在一个中点D ，所以需要再找到一个中点才能构造出D 为中位线，这时候我们自然想到要在AC 上取中点，因为在BC 上取中点会破坏AE =BC 这个条件．
证明取AC 的中点P ，连接DP．ȵD 、P 分别为AB 、AC 的中点，
ʑDP ∥BC ，DP =1
2
BC ，ʑ∠APD =∠ACB．
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62
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ȵF 为EC 的中点，ʑCF =
12EC．ȵP 为AC 的中点，ʑPC =1
2
AC．
ʑPF =PC －CF =12AC －12EC =12AC －()EC =1
2
AE．
ȵAE =BC ，ʑDP =PF ，ʑ∠PDF =∠AFD ，ʑ∠APD =2∠AFD ，ʑ∠ACB =2∠AFD．
方法二(图3)
分析D 为线段AB 的中点，
F 为线段EC 的中点，自然联想到DF 是某个三角形的中位线．这时需要构造一个△ABP ，而且F 必须是线段AP 的中点，所以只需在AC 的延长线上截取CP =AE．
证明在AC 的延长线上截取CP =AE ，连接BP．ȵF 为EC 的中点，ʑCF =EF ，ʑCF +CP =EF +AE ，即PF =AF ，
ʑF 为线段AP 的中点．ȵD 为线段AB 的中点，
ʑDF ∥BP ，ʑ∠AFD =∠P．ȵAE =BC ，CP =AE ，ʑBC =PC ，ʑ∠CBP =∠P．ʑ∠ACB =2∠P ，ʑ∠ACB =2∠AFD．
方法三(图4)
分析D 为线段AB 的中点，F 为线段EC 的中点，但
DF 不是这个图形中三角形的中位线．我们可以尝试再取
一个中点，
从而构成两条中位线
．证明连接BE ，取BE 的中点P ，连接DP 、
FP．ȵF 为EC 的中点，ʑFP =
1
2
BC ，FP ∥BC．ȵD 为AB 的中点，ʑDP =1
2
AE ，DP ∥AC．ȵAE =BC ，ʑDP =FP ，ʑ∠PDF =∠PFD．ȵPF ∥BC ，ʑ∠PDF =∠AFD ，ʑ∠PFD =
∠AFD ，
ʑ∠AFP =2∠AFD ，ȵDP ∥AC ，ʑ∠AFP =∠ACB ，
ʑ∠ACB =2∠AFD．二、倍长线段
方法一(图5)分析
尝试连接线段BF ，BF 为△ABC 的中线，可以
联想到倍长中线．
证明连接BF 并延长到点P ，使得FP =BF ，连接EP 、AP．ȵF 为EC 的中点，ʑEF =CF．在△PEF 和△BCF
中，EF =CF ，
∠PFE =∠BFC FP =BF {
，
，
ʑ△PEF △BCF ，ʑPE =BC ，∠ACB =∠PEF．ȵAE =BC ，
ʑPE =AE ，，ʑ∠EAP =∠EPA ，
ʑ∠PEF =2∠EAP ，ʑ∠ACB =2∠EAP．ȵF 为EC 的中点，D 为AB 的中点，ʑDF ∥AP ，ʑ∠AFD =
∠EAP ，
ʑ∠ACB =2∠
AFD．方法二(图6)
分析尝试连接线段ED ，D 为AB 的中点，可以联想
到倍长线段ED．
证明连接ED 并延长到点P ，使得DP =ED ，连接BP 、CP．
ȵF 为EC 的中点，ʑDF ∥CP ，ʑ∠AFD =∠ACP．ȵD 为AB 的中点，ʑAD =BD．在△ADE 和△BDP 中AD =BD ，
∠ADE =∠BDP DE =DP {
，，ʑ△ADE △BDP ，ʑAE =BP ，∠A =
∠ABP．
ȵAE =BC ，ʑBP =BC ，ʑ∠BPC =∠BCP．ȵ∠A =∠ABP ，ʑAC ∥BP ，ʑ∠BPC =∠ACP ，ʑ∠BCP =∠ACP ，ʑ∠ACB =2∠
AFD．方法三(图7)
分析D 为AB 的中点，尝试倍长线段FD ，证明方法类似方法二．
从这个含有中点的典型例
题中我们可以看出:由中点联
想到作三角形的中位线或倍长线段等方法添加辅助线，通过探索即可找到解决问题的方法和途径．遇到与中点有关的问题时联想到中位线与倍长线段，大胆尝试小心求证即可．
参考文献:
［1］张蓓．教育心理学［M ］．北京:高等教育出版社，2001:27－28．
［责任编辑:李克柏］
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