2019-2020学年四川省宜宾市第二中学校高二下学期第一次在线月考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年四川省宜宾市第二中学校高二下学期第一次
在线月考数学（理）试题
一、单选题
1．若直线的倾斜角是060，则直线的斜率为 A ．
33
B ．
32
C ．1
D ．3
【答案】D
【解析】分析：根据倾斜角和直线斜率的关系求解即可. 详解：由题可得：直线的斜率为tanα=tan 0603=
故选D.
点睛：考查直线斜率的计算，属于基础题.
2．在一次田径比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示。

若将运动员按成绩由好到差编为1—35号，再用系统抽样方法从中抽取5人，则其中成绩在区间(]139,152上的运动员人数为 A ．6 B ．5
C ．4
D ．3
【答案】D
【解析】根据系统抽样方法将运动员平均分组，得到每组成绩及排序；分别讨论取序号为14-之间和57-之间的运动员时满足题意的运动员人数，从而得到结果. 【详解】
将35名运动员平均分为5组，可得每组成绩如下：
第一组130，130，133，134，135，136，136；第二组138，138，138，139，141，141，141；
第三组142，142，142，143，143，144，144；第四组145，145，145，146，146，147，148；第五组150，151，152，152，153，153，153
若每组取排序第1、2、3或4位的运动员，则成绩在(]139,152的为第三组、第四组和第五组的运动员，共有3人
若每组取排序在第5、6或7位的运动员，则成绩在(]139,152的为第二组、第三组和第四组的运动员，共有3人
综上所述：成绩在(]139,152的恰好为3人 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查系统抽样方法的应用，关键是能够通过平均分组，通过所取每组序号的不同进行分类讨论.
3．方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是（ ）
A ．
1
14
m << B ．1m >
C ．14
m <
D ．m<1
【答案】D
【解析】根据方程表示圆，直接得到2
2
4(2)200+-->m ，求解，即可得出结果. 【详解】
由2
2
4250x y x y m ++-+=表示圆，可得：2
2
4(2)200+-->m ， 解得1m <. 故选：D 【点睛】
本题主要考查由二元二次方程表示圆求参数，熟记圆的一般方程满足的条件即可，属于基础题型.
4．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）
A ．8x =
B ．甲得分的方差是736
C ．乙得分的中位数和众数都为26
D ．乙得分的方差小于甲得分的方差 【答案】B
【解析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A ，甲得分的极差为32，30+x ﹣6=32，解得：x=8，A 正确， 对于B ，甲得分的平均值为
142834386
245
++++=，
其方差为
()()()()()2
2
2
2
2
62414242824342438247365
5
-+-+-+-+-=
，B
错误；
对于C ，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数、众数都是26，C 正确， 对于D ，乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D 正确； 故选：B ． 【点睛】
本题考查茎叶图的应用，涉及数据极差、平均数、中位数、众数、方差的计算，属于基础题．
5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积等于（ ）
A ．83
B ．4
C ．8
D ．
43
【答案】D
【解析】易得该几何体为三棱锥,再计算底面积与高求解即可. 【详解】
画出图像,易得该几何体为三棱锥,故该三棱锥的体积211422323
V =
⨯⨯⨯=.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据三视图求几何体体积的问题,属于基础题.
6．已知互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（ ） A ．若l 与m 为异面直线，l α⊂，m β⊂，则αβ∥； B ．若αβ∥，l α⊂，m β⊂，则l m P ；
C ．若l αβ=I ，m βγ=I ，n αγ=I ，l γP ，则m n P ；
D ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥ 【答案】C
【解析】分析：利用线面平行（或垂直）的性质定理和判定定理逐一判断即可. 详解：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m ，故①错误；
②中l 与m 也可能异面，故②错误；
③中}l y
l ββγ⎧⎪
⊂⎨⎪⋂⎩P ⇒l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n ，故③正确．
④若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故④错误. 故选：C
点睛：本题考查了平面与平面之间位置关系判断，及空间中直线与平面之间的位置关系判断，熟练掌握空间中线面之间关系判定的方法和性质定理是解答本题的关键． 7．若直线和直线互相垂直，则
( ) A ．
或
B ．3或1
C ．
或1
D ．
或3
【答案】C
【解析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】 因为直线和直线互相垂直，
所以， 解方程可得或
，故选C.
【点睛】
本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）
（
）；（2）
（
），这类问题尽管简单却容易出错，特
别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
8．两条平行直线1:(1)20l x m y ++-=和2:240l mx y ++=之间的距离为 A ．
65
B 45
C ．6
D ．4
【答案】A
【解析】∵()1:120l x m y ++-=和2:240l mx y ++=互相平行，
∴()120m m +-=，即m=-2或1，经检验：m=-2两直线重合，故m=1；两条平行直线()1:120l x m y ++-=和2:240l mx y ++=之间的距离665
14
=
+ 9．圆2
2
1:2410C x y x y ++++=与圆2
2
2:4410C x y x y +---=的公切线有几条（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
【答案】C
【解析】首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数. 【详解】
圆()()2
2
1:124C x y +++=，圆心1C ()1,2-- ，12r =，
圆()()2
2
2:229C x y -+-= ,圆心2C ()2,2，23r =，
圆心距
125C C =
=
1212C C r r =+Q
∴两圆外切，有3条公切线.
故选C. 【点睛】
本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.
10．过抛物线2
4y x =上的焦点F ，作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，已知3
2
AF =
，则BF =（ ）
A ．2
B ．3
C ．
13
D ．
12
【答案】B
【解析】()()1122,,,A x y B x y ，不仿设10
y >，由131122x A ⎛+=
⇒ ⎝，求出直线AF 的方程与抛物线方程联立可得B 坐标，结合抛物线定义可得结果.
【详解】
()()1122,,,A x y B x y ，不仿设10y >，因为3
2
AF =，
由抛物线的定义可知，AF 等于A 到抛物线2
4y x =的准线1x =-的距离，
即113111,,222x x A ⎛+=
= ⎝
， 直线AF ：
()1,1
12
y x
=
--即为)1y x =--，
与2
4y x =可得，22520x x -+=， 解得22x =，BF =22132
p
x +=+=， 故选B. 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
11．在四边形ABCD 中，2AB AD ==，BC =，CD =AB AD ⊥，现将ABD ∆沿BD 折起，得三棱锥A BCD -，若三棱锥A BCD -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积为（ ）
A ．
4
B ．
3
C ．
3
D ．
3
【答案】D
【解析】BD =，222DC BC BD +=，所以0
90,90BCD BAD ∠=∠=，所
以球心在BD ，所以3433
V R π==，故选D.
【点睛】本题重点考察了几何体与外接球的问题，属于中档题型，首先应确定球心的
位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
12．已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点A 为双曲
线右支上一点，线段1AF 交左支于点B .若22AF BF ⊥，且121
3
BF AF =，则该双曲线的离心率为（ ）
A B ．
5
C D ．3
【答案】B
【解析】设121
BF AF 3
==m,由定义得2BF m 2a,AB 2m 2a,=+=+在三角形AB 2F 中由勾股定理，求得m=2a
3
，在B 12F F 中运用余弦定理即可求解.
【详解】 设121
BF AF 3
=
=m,，由双曲线定义得2BF m 2a =+，又A 12F AF 2a,-=所以AB=2m+2a,22AF BF ⊥Q ,∴222
22AB BF AF =+,即()()()2
2
2
2m 2a m 2a 3m +=++，
解m=22
222122a 8a 4c BF 2433a,cos ABF cos F BF ,2a 8a 3AB 5233
∠∠⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴===-=-⨯⨯解得
故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线定义，简单几何性质，熟记双曲线定义，熟练解三角形正确运算是关键，是难题.
二、填空题
13．命题“230x ,x x ∀∈-+>R ”的否定是___________
【答案】2
000,30x R x x ∃∈-+≤
【解析】全称命题的否定是特称命题. 【详解】
2x R,x x 30∀∈-+>
否定是：2
000x R,x x 30∃∈-+≤
【点睛】
全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定.
14．设,x y 满足约束条件032060x y x y x y -≤⎧⎪
--≥⎨⎪+-≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最小值为
___________． 【答案】8
【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最小值取法，即得结果. 【详解】
作可行域，则直线2z x y =+过点A 时()2,4z 取最小值8.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15．抛物线y 2=4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________. 【答案】(x －1)2＋y 2=4
【解析】∵抛物线y 2=4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，∴不妨设A ，B 两点的坐标分别为：(1,2)，(1，－2)，又准线与x 轴的交点为M ，∴M 点的坐标为(－1,0)，
则过M ，A ，B 三点的圆的圆心在x 轴，设圆心坐标为C (a,0)， 则|CA |=|CM |()()
()22
1021a a -+-=--，解得a =1.∴圆心坐标为(1,0)，半径为
2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2=4. 16．下列说法中：
①若,0x y >，满足2x y +=，则22x y +的最大值为4； ②若1
2
x <
，则函数1221y x x =+-的最小值为3
③若,0x y >，满足3x y xy ++=，则x y +的最小值为2 ④函数22
14
sin cos y x x
=
+的最小值为9 正确的有__________．（把你认为正确的序号全部写上） 【答案】③④
【解析】①令()21,4x
t =∈，得出4
22x y
t t
+=+
，再利用双勾函数的单调性判断该命题的正误；
②将函数解析式变形为()111
2211121212112y x x x x x x
=+
=-++=---+---，利用基本不等式判断该命题的正误； ③由3x y xy ++=得出31
x y x -=
+，得出()34
1211x x y x x x x -+=+=++-++，利用基本不等式可判断该命题的正误； ④将代数式22
14
sin cos x x
+与代数式22sin cos x x +相乘，展开后利用基本不等式可求出
22
14
sin cos x x
+的最小值，进而判断出该命题的正误。

【详解】
①由2x y +=得2y x =-，则02x <<，则24222222x y x x x
x
-+=+=+
， 设2x t =，则14t <<，则4
y t t
=+
，则(]1,2上减函数，则[)2,4上为增函数， 则2t =时，y 取得最小值4，当1t →时，5y →，故22x y +的最大值为4，错误； ②若1
2
x <
，则函数1122112121y x x x x =+
=-++--，
则1
210,212221
x y x x -<∴=-+
+<--220=-+=， 即函数的最大值为0，无最小值，故错误；
③若,0x y >，满足3x y xy ++=，则()13x y x +=-，则31
x
y x -=
+， 由301
x
y x -=
>+，得03x <<， 则()4134
1111
x x x y x x x x x x -+-+=+
=+=+-=+++4121x x ++
-+
2422≥=-=，
当且仅当411
x x +=
+，即()2
14x +=得12x +=，即1x =时取等号， 即x y +的最小值为2，故③正确；
④()222222224sin cos 14sin cos sin cos sin cos x x x x y x x x x
++=+=+
2222
cos 4sin 14sin cos x x x x
=+++ 2222
cos 4sin 52549sin cos x x
x x
≥+•=+=， 当且仅当2222
cos 4sin sin cos x x
x x
=，即444sin cos x x =，即222sin cos x x =时，取等号， 即函数22
14
sin cos y x x
=+的最小值为9，故④正确，故答案为：③④。

【点睛】
本题考查利用基本不等式来判断命题的正误，利用基本不等式需注意满足“一正、二定、三相等”这三个条件，同时注意结合双勾函数单调性来考查，属于中等题。

三、解答题
17．设命题p ：实数x 满足，其中
；命题q ：
．
若，且为真，求实数x 的取值范围；
若
是
的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) (2)
【解析】
解二次不等式
，其中
解得
，解
得：
，取
再求交集即可；
写出命题所对应的集合，命题p ：
，命题q ：
，由
是
的充
分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件，则，列不等式组可求解．
【详解】 解：(1)由，其中
；
解得，
又，即
， 由得：
， 又为真，则
，
得：
，
故实数x 的取值范围为；
由得：命题p ：，命题q ：
，
由是的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件，
则，
所以
，即
． 故实数m 取值范围为：.
【点睛】
本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题． 18．已知点()1,1A ，()1,3B -. （1）求以AB 为直径的圆C 的方程；
（2）若直线10x my -+=被圆C 6，求m 值． 【答案】(1) ()2
222x y +-=. (2)1m =或
17
． 【解析】（1）根据题意，有A 、B 的坐标可得线段AB 的中点即C 的坐标，求出AB 的长即可得圆C 的半径，由圆的标准方程即可得答案；
（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得点C 到直线x ﹣my +1＝0的距离
d 2
262()22r =-=221221m m
=+-+m 的值，即可得答案． 【详解】
（1）根据题意，点()1,1A ，()1,3B -，则线段AB 的中点为()0,2，即C 的坐标为()0,2；
圆C 是以线段AB 为直径的圆，则其半径()()
22
11
1113222
r AB ==++-=
圆C 的方程为()2
222x y +-=.
（2）根据题意，若直线10x my -+=被圆C 6，
则点C 到直线10x my -+=的距离2
262
2d r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
， 又由2
112m m d -+=
+，2
212
2
1m m =
+-+，变形可得：27810m m -+=，解可得1m =或
17
．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系以及弦长的计算，涉及圆的标准方程，属于基础题．19．南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?
（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
【答案】(1)700人；(2) ①男生抽取4人，女生抽取1人．②2 5
【解析】（1）100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出7000名学生中“锻炼达人”的人数．
（2）①100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．
②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率．
【详解】
（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000
名学生中“锻炼达人”的人数为
10
7000700
100
⨯=（人）
（2）①由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．
从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．
②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，
则5人中随机抽取2人的所有结果有：男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果，且每种结果发生的可能性相等．记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A ，则事件A 包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，故42
()105
P A ==． 【点睛】
本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，已知
//AB CD ，AB BC ⊥，1
12
DC BC AB ==
=，点M 在线段EC 上.
（1）证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；
（2）判断点M 的位置，使得平面BDM 与平面ABF 所成的锐二面角为
3
π. 【答案】（1）证明过程见详解；（2）点M 在线段CE 的靠近点C 的三等分点处. 【解析】（1）先由题中数据，根据勾股定理，得到BD AD ⊥，再由面面垂直的性质定理，得到BD ED ⊥，根据线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先在面DAB 内过点D 作DN AB ⊥，垂足为N ，根据题意，得到DN CD ⊥；
DN ED ⊥，以点D 为坐标原点，DN 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DE 所
在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设000(,,)M x y z ，因为点M 在线段EC 上，所
以可设(01)EM EC λλ=<<u u u u r u u u r
，得到)()
0,21M λλ-，再分别求出平面BDM 与
平面ABF 的一个法向量，根据向量夹角公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】
（1）因为底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，所以CD BC ⊥， 又1DC BC ==，所以2BD =，
因为
1
12
AB =，正方形ADEF 2，
所以222AD BD AB +=，因此BD AD ⊥，
又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，ED AD ⊥，平面ADEF I 平面ABCD AD =， 所以ED ⊥平面ABCD ，因此BD ED ⊥， 又⋂=ED AD D ，所以BD ⊥平面ADEF ；
因为BD ⊂平面BDM ，所以平面BDM ⊥平面ADEF ；
（2）在面DAB 内过点D 作DN AB ⊥，垂足为N ，因为//AB CD ，所以DN CD ⊥； 又因为ED ⊥平面ABCD ，所以DN ED ⊥；
以点D 为坐标原点，DN 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(1,1,0)B ，(0,1,0)C
，E ，(1,0,0)N ，
设000(,,)M x y z ，因为点M 在线段EC 上，所以可设(01)EM EC λλ=<<u u u u r u u u r
，
即(
(000,,0,1,x y z λ=，
所以)
0000
1x y z λλ⎧=⎪
=⎨⎪
=-⎩
，即)()
0,1M λλ-，
设平面BDM 的一个法向量为(),,m x y z =u r
，
则00m DM m DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v
，所以(1)00y x y λλ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =
，则1,m ⎛⎫=- ⎝u r ，
又易知：DN ⊥平面ABF ，所以(1,0,0)DN =u u u r
为平面ABF 的一个法向量，
所以1cos ,2m DN m DN m DN ⋅<>==
=u r u u u r
u r u u u r u r u u u r ， 解得：2
3λ=
，所以20,3M ⎛ ⎝⎭
， 即，点点M 在线段CE 的靠近点C 的三等分点处.
【点睛】
本题主要考查证明面面垂直，以及由二面角的大小求其它量，熟记线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.
21．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y 约为多少？
附：相关系数公式()()
()()
1
2
2
1
1
n
i
i
i n
n
i
i
i i x x y y r x x y y ===--=
=
--∑∑∑1
2
2
2
2
1
1
n
i i
i n
n
i
i
i i x y nxy
x
nx y
ny ===---∑∑∑，参
0.30.55≈，0.90.95≈.
回归方程y b x a ∧
∧
∧
=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
()()()
1
12
22
1
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx ∧
====---=
=
--∑∑∑∑，a y b x ∧∧
=-
【答案】（1）0.95；（2）0.3 2.5y x ∧
=+，6.1百千克.
【解析】（1）直接利用相关系数的公式求相关系数r ，再根据相关系数的大小判断可用
线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）利用最小二乘法求回归方程，再利用回归方程预测得解. 【详解】
（1）由已知数据可得2456855
x ++++=
=，34445
45y ++++=
=. 所以
()()5
1
i
i
i x x y y =--=∑(3)(1)(1)00010316-⨯-+-⨯+⨯+⨯+⨯=，
==
==，
所以相关系数()()
5
i
i
x x y y r --
=
∑
0.95=
=≈.
因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.
（2）()()
()
5
1
2
1
5
63
0.32010
i
i
i i i x x y y b x x ∧
==--=
=
==-∑∑. 那么450.3 2.5a ∧
=-⨯=. 所以回归方程为0.3 2.5y x ∧
=+. 当12x =时，0.312 2.5 6.1y ∧=⨯+=，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克. 【点睛】
本题主要考查相关系数和回归方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b
+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴
垂直的直线交椭圆C 于,M N 两点，2MNF
∆，椭圆C 的离心率为2
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两
个不同的点，若3AP PB =u u u r u u u r
，求m 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）2
2
14
y x +=；
（Ⅱ）21m -<<-或12m <<． 【解析】试题分析：（1）由椭圆的标准方程与几何意义，可利用三角形面积与离心率建立关于,,a b c 的方程，解得,,a b c ；（2）将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，利用根与系数的关系，可得,A B 两点坐标间关系式，据3AP PB =u u u r u u u r
，可得斜率k 与m 间关
系，利用方程组有解，得出关于m 的不等式，解之得m 的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）根据已知椭圆
的焦距为
，当
时，
，
由题意的面积为，
由已知得，∴，∴，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）显然，设，，由得
，
由已知得
，即
，
且，，
由，得，即，∴，
∴，即．
当时，不成立，∴，
∵，∴，即，
∴，解得或．
综上所述，的取值范围为或.。