2020-2021初中数学方程与不等式之分式方程真题汇编(1)

2020-2021初中数学方程与不等式之分式方程真题汇编(1)
一、选择题
1．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元.根据题意，列方程正确的是( ) A ． B ． C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解. 【详解】
∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元， ∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元， 则有
故选A. 【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系.
2．关于x 的方程
m 3+=1x 11x
--解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且 B ． 2 B 3m m >≠
C ．m<2m 3≠且
D ．m>2
【答案】B 【解析】 【分析】
首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠. 【详解】
方程两边同乘以()1x -，得2x m =- ∴2
10x m x =-⎧⎨
-≠⎩
解得2m >且3m ≠
故选：B. 【点睛】
此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.
3．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A ．4 1.2540800x x ⨯-=
B ．800800
402.25x x -= C ．800800
401.25x x -= D ．
800800
401.25x x
-= 【答案】C 【解析】 【分析】
先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即
可． 【详解】
小进跑800米用的时间为
8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800
x
秒， ∵小进比小俊少用了40秒，
方程是
800800
401.25x x
-=， 故选C ． 【点睛】
本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
4．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是（ ） A ．60(125%)60
60x x
⨯+-=
B ．6060(125%)60x x
⨯+-= C ．
6060
60(125%)x x
-=+
D ．
606060(125%)x x
-=+ 【答案】D 【解析】 【分析】
设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里，根据题意即可列出分式方程. 【详解】
解：设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里，
依题意得：606060(125%)x x
-=+． 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
5．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x 件，则下列方程正确的是（ ）
A ．400400
(130%)x x
-+＝4 B ．400400
(130%)x x
-+＝4
C ．
400400
(130%)x x --＝4 D ．
400400
4(130%)x x
-=-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程． 【详解】
设每月原计划生产的医疗器械有x 件，
根据题意，得：()
400400
4130%x x -=+ 故选A ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
6．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x 个零件，下面所列方程正确的是（ ）
A ．
9060
6x x =- B ．
90606
x x =+ C ．
9060
6x x
=- D ．
9060
6x x
=+ 【答案】A 【解析】
解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（x ﹣6）个零件，由题意得：90606
x x =-．故选A ．
7．对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝
21
a b a
-．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ）
A ．1
B ．
13
C ．﹣1
D ．-
13
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21
121x x x
-=-， 解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解， 故选A ． 【点睛】
本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．180180
32
x x -=+ B ．180180
32x x -=+ C ．
180180
32x x -=- D ．
180180
32x x
-=- 【答案】D 【解析】 【分析】
先用x 表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊
了3元钱车费列出方程即可. 【详解】
解：设前去观看开幕式的同学共x 人，根据题意，得：180180
32x x
-=-. 故选：D. 【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个，已知购进 A 种月饼和 B 种月饼的费用分别为3000元和2000元，且 A 种月饼的单价比 B 种月饼单价多1元．求 A 、B 两种月饼的单价各是多少？设 A 种月饼单价为x 元，根据题意，列
方程正确的是( )
A．30002000
1500
1
x x
+=
+
B．
20003000
1500
1
x x
+=
+
C．30002000
1500
1
x x
+=
-
D．
20003000
1500
1
x x
+=
-
【答案】C
【解析】
【分析】
设A种月饼单价为x元，再分别表示出A种月饼和B种月饼的个数，根据“购进A、B两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可.
【详解】
设A种月饼单价为x元，则B种月饼单价为(x-1)元，
根据题意可列出方程30002000
1500
1
x x
+=
-
，
故选C.
【点睛】
本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.
10．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（）
A．
240120
4
20
x x
-=
-
B．
240120
4
20
x x
-=
+
C．120240
4
20
x x
-=
-
D．
120240
4
20
x x
-=
+
【答案】D
【解析】
【分析】
设第一次买了x本资料，则第二次买了(x＋20)本资料，由等量关系第二次比第一次优惠了4列出方程即可解答．
【详解】
解：设第一次买了x本资料，则第二次买了(x＋20)本资料，
根据题意可得：
120240
420
x x -=+ 故选：D 【点睛】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，设出未知数，找到等量关系是解题的关键．
11．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ．253010
18060
(%)x x -=+ B ．2530
10180(%)x x -=+ C ．
302510
18060
(%)x x -=+
D ．
3025
10180(%)x x
-=+
【答案】A 【解析】
若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程． 解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，
()253010180%60
x x -=+ 故选A ．
12．已知关于x 的分式方程22124
x mx
x x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或-8
C ．-8或-4
D ．0或-8或-4
【答案】D 【解析】 【分析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】
解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx ＝（x ＋2）（x−2）， 整理得：（4＋m ）x ＝8， 当m ＝−4时整式方程无解；
当x ＝−2时原方程分母为0，此时m ＝−8； 当x ＝2时原方程分母为0，此时m ＝0， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容．
13．关于x 的分式方程230+=-x x a
解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =
C ．4a =
D ．10a =
【答案】D 【解析】 【分析】
根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】
解：把x=4代入方程
230+=-x x a
，得 23044a +=-， 解得a=10．
经检验，a=10是原方程的解 故选D ．
点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
14．若数k 使关于x 的不等式组30113
2x k x x +≤⎧⎪
-⎨-≤⎪⎩只有4个整数解，且使关于y 的分式方程
1
k y -+1＝1y k
y ++的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（ ）
A ．2
B ．0
C ．﹣3
D ．﹣6
【答案】A 【解析】 【分析】
解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k 的取值范围，解分式方程得出y=-2k+1，由方程的解为整数且分式有意义得出k 的取值范围，综合两者所求最终确定k 的范围，据此可得答案． 【详解】
解：解不等式组30
113
2x k x x +≤⎧⎪
-⎨-≤⎪⎩得：﹣3≤x ≤﹣3k ，
∵不等式组只有4个整数解，
∴0≤﹣
3
k
＜1， 解得：﹣3＜k ≤0，
解分式方程1
k y -+1＝1y k y ++得：y ＝﹣2k +1，
∵分式方程的解为正数， ∴﹣2k +1＞0且﹣2k +1≠1， 解得：k ＜
1
2
且k ≠0， 综上，k 的取值范围为﹣3＜k ＜0，
则符合条件的所有整数k 的积为﹣2×（﹣1）＝2， 故选A ． 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
15．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A ．
1010253x x -= B ．
1010
253x x
-= C ．
10105312
x x -= D ．
10105312
x x -= 【答案】D 【解析】 【分析】
设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程． 【详解】
解：设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x
由题意得：
10105312
x x -= 故答案为D ． 【点睛】
本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．
16．若整数a 使关于x 的分式方程
111
a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组
1
()02
2113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨
+⎪-≥
⎪⎩
无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．10
【答案】C 【解析】 【分析】
解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加． 【详解】
解：解关于x 的分式方程111
a x a
x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1， ∴a ≠0，a≠1， ∵关于x 的分式方程111
a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0，
∴1
2
a >， 解不等式1
()02
x a -->，得：x ＜a ，
解不等式21
13
x x +-≥
，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1
()02
2113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥
⎪⎩
无解，
∴a ≤4，
∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．
17．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为
（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】C 【解析】
设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个，列方程得：
，故选C.
18．若关于x 的分式方程2
233
x m
x x -=
--有增根，则m 的值为（ ）． A ．3 B ．3C 3D ．3±【答案】D 【解析】
解关于x 的方程2
233
x m
x x -=
--得：26x m =-， ∵原方程有增根，
∴30x -=，即2630m --=，解得：3m = 故选D.
点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0，由此即可求得待定字母的值.
19．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A ．
600480
40x x =- B ．
600480
40x x =+ C ．600480
40x x =+ D ．600480
40
x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可． 【详解】
解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：
48060040
x x =+. 故选B ．
【点睛】
读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为
480x 天和现在生产600台机器所需时间为60040
x +天是解答本题的关键．
20．甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x 个零件，则可以列出方程为（ ）
A ．480360140x x =-
B ．480480140x x =-
C ．480360140x x +=
D ．360480140x x
-= 【答案】A
【解析】
【分析】
设甲每天做x 个零件，根据甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，列出方程即可．
【详解】
解：设甲每天做x 个零件，根据题意得：
480360140x x
=-， 故选：A ．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．。