心--三角形的“魂”--由三角形的“心”的教学实践想到的

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一、背景与展望
三角形的“五心”——
—内心、旁心、外心、重心和垂心在整个三角形的知识体系中占有极其重要的地位。

在实际的生活中“五心”有极其较高的应用，它是三角形的“魂”。

本人在日常的教育教学过程中牵扯到有关三角形的“心”时会倍加关注，用心研讨，也有颇多的感慨，对三角形的“五心”作如下一些浅显罗列，以期抛砖引玉。

二、实践与喜悦
（一）内心
内心——
—三角形三内角平分线的交点，即点Ｏ是△ＡＢＣ三内角平分线的交点，它就是内心，这一“心”也是该三角形的内切圆的圆心，它的位置在三角形的内部。

其用途很广，在解决一些实际问题时常要用到这一“心”。

例1.一个村被三条公路呈环行围在其中（如图1），为扩大对外影响，村委会决定，利用便捷的交通，要建一个比较现代化的大型文化娱乐中心，使从三个不同方向来的客人到各个车站后到活动中心的距离相等。

试确定中心的建造点及三条道路上各个车站的站址。

公路
村庄
公路
公路
图1
（二）旁心
旁心——
—三角形一个内角平分线与其不相邻的两个外角的平分线的交点，如图2，点Ｏ是∠ＥＡＣ、∠ＡＢＣ和∠ＡＣＧ的平分线的交点，它就是△ＡＢＣ的旁心，它也是一个很重要的“心”。

如求作一点使它到已知△ＡＢＣ各边的距离都相等，那么，除了内心以外，还有旁心，这点到△ＡＢＣ三边的距离也相等，且这样的点共有三个。

这个点在实际生活中有很大的应用。

例2.某集镇是农副产品的集散地（如图3），可它被三条不同流向的河流ＥＡ、ＡＢ、ＢＣ呈半圆形包围，进出货物只能通过水路，为了能方便地从各个方向收购和发送农副产品，准备修建三个码头和一个货物集散中心，使这三个码头到集散中心的距离相等，该怎样解决呢？这其实就是确定旁心问题。

先找到旁心Ｏ，再过点Ｏ分别作垂线段ＯＦ、ＯＤ、ＯＧ，这样Ｏ处就是货物集散中心，垂足Ｆ、Ｄ、Ｇ三处为码头所建之处。

Ｏ
Ｇ
Ｃ
Ｆ
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｏ
ＥＣ
Ｂ
Ｄ
Ａ
Ｆ
Ｇ
集散中心
图2图3
（三）外心
外心——
—三角形三边中垂线的交点，即点Ｏ是△ＡＢＣ三边的中垂线的交点，点Ｏ就是外心。

这一“心”的位置随三角形形状的改变而改变：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边的中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部。

根据线段中垂线的性质定理：“线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等”可以得到外心的一个重要性质：即不管此“心”在哪里，它到三角形三个顶点的距离都相等，它也是该三角形外接圆的圆心。

此“心”在解决一些实际问题时也经常要用到。

例3.Ａ、Ｂ、Ｃ三处是三个自然村（如图4），村干部决定在三处之间的适当地方建造一个自来水厂，并使通向三处的自来水地下管道的长度相等，问该厂应建在何处？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｏ
A
E
D
C
B
F O
图4图5
其实也是确定外心，连结ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ，作任意两边的中垂线相交于点Ｏ，连结ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ，因为点Ｏ是外心，它到Ａ、Ｂ、Ｃ三点的距离相等，即，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ，所以，Ｏ处就是自来水厂的建造处，线段ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ就是地下管道的铺设路线。

（四）重心
重心——
—三角形三条中线的交点，即点Ｏ是△ＡＢＣ三条边的中线的交点，点Ｏ就是重心，它是均质几何体的平衡点，它的位置与内心一样总在三角形的内部。

在研究三角形相似、相似三角形有关线段的关系及解决某些实际问题时常要用到。

例4.学校的操场有三块不规则的三角形形状的空地（如图5），现要把三块空地改建成花坛并种上花卉，要求：甲块花坛种六种不同颜色的花卉，要求每种花卉种植面积相等且形状是有一个公共顶点的向四周散开的三角形。

心——
—三角形的“魂”
——
—由三角形的“心”的教学实践想到的
钱利成
（浙江省桐庐县分水初中教育集团玉泉校区）
摘要：三角形是数学家族中的一个重要分支，是人们早已熟知了的图形，它常被用于生活和生产实践中，时常被作为数学问题的背景来提出，并与其他数学知识结合起来以考查人们综合分析问题和解决问题的能力，引起人们的高度重视。

从三角形“五心”的实践教学出发联想到如何以研促教，加强应用教学，以提高数学教学的实用效率。

关键词：生活数学化；生活数学化；三角形心的应用；数学教学与实践
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因为三角形的三条中线把三角形分成六块，通过计算可知道这六个三角形的面积相等，理由如下：∵Ｅ、Ｅ是中点，∴Ｓ△BCF=Ｓ△BCE （同底等高），∴Ｓ△BOF=Ｓ△COE，同理，Ｓ△AOF=Ｓ△COD，Ｓ△AOE=Ｓ△BOD，又∵Ｄ是ＢＣ的中点，∴Ｓ△BOD=Ｓ△COD（等底同高），同理，Ｓ△AOE=Ｓ△COE，Ｓ△BOF=Ｓ△AOF，所以，六个三角形的面积相等，按这种方案种植花卉，符合设计要求。

（五）垂心
垂心——
—三角形三条边的高线的交点，即Ｏ是△ＡＢＣ三条边的高线的交点，即Ｏ就是垂心，它的位置与外心相似，也是随三角形形状的改变而改变：锐角三角形的垂心在三角形的内部，它把每条高线内分成两条线段后，整个三角形被分成了六个小三角形，这其中就有三对三角形相似；直角三角形的三条高线相交于直角顶点处，所以，Ｃ点既是直角顶点，又是该三角形的垂心，过这一“心”作斜边的高线，则这条高线把三角形分成两个与原三角形相似的小三角形；钝角三角形的垂心在三角形的外部。

垂心在研究三角形相似以及相似三角形的有关线段的关系时经常要用到。

三、收获和反思
以上浅显地罗列了三角形的“五心”，这五“心”涵盖了三角形很多极其重要的性质和定理，掌握了这五“心”，也就基本把握了三角形的整个脉搏。

每种知识都是有机的统一体，都有自己完整的系统，只要抓住了该种知识的主线，就等于把握了该种知识的要点，然后举一反三、触类旁通地对各个知识点梳理总结并融会贯通地加以运用，进而就很容易把握该种知识的系统，从而也就达到了掌握该种知识的目的。

我对三角形的“五心”“情有独钟”，其原因不仅仅是因为这部分知识在高考和中考的试卷中有所涉及并涉及面较广，更重要的是这部分知识在我们的日常生活和生产实践中有实实在在的应用。

我们知道，中学阶段教研的特点是应用研究，其中一个重要内容就是要解决教育教学中的实际问题，即如何把书本中的理论知识转换成解决实际问题的能力，如何学以致用，活学活用。

数学知识来源于日常生活和生产实践，又反过来为日常生活和生产实践服务，学和用紧密结合，脱离实际学数学必成为“无源之水，无本之木”。

然而，学了不用，将其束之高阁，更是浪费时间，亵渎生命。

教学实践之路，既崎岖坎坷，又水深洋阔，花的苦力多多，收的绩效微微，一时享受不到成功的喜悦，但我仍能一如既往地“慎思之，明辨之，笃行之”。

誗编辑王团兰
2014年11月19日，周三，是师慧杯决赛的日子。

随着近一周的备课，心情经历了一个过程：有想法—实践—评课—迷茫—再到明白这个过程。

有想法：是起源于我的师慧杯复赛内容，对本节课有了一个初步的设想。

实践：是师慧杯决赛内容，将复赛内容上为一节课。

评课：上课只会便是评课再试讲再评课。

一节好课就是这样一圈一圈磨出来的。

迷茫：在多次的评课和说课的过程中，心情比较复杂，不仅仅是压力，还有就是对本节课的迷茫，脑袋里木木的，并不知道自己在想什么，但是就是备不下去，脑袋对本节课已经有了抵触心理。

明白：我的明白过程是源于周一去黄小试讲，梁老师给我说课，专家就是专家。

给我将每一部分、每一环节说得清清楚楚、明明白白，还给我配上了比较高端大气上档次的设计意图。

虽然心理的变化过程只有我自己清楚，但是内心的压力还是不小的。

从大家一起参加初赛，然后复赛雅静我们两个一起奋斗，实在弄不下去的时候就想想雅静，就告诉自己，没事，自己不行还有雅静呢。

我们俩都代表我们学校，没事、不着急的心态便会显现出来。

但是到了决赛，就剩自己了，这种压力感突然倍增。

没有及时地调整心态，导致后面备赛的时间过于紧张。

随着赛程的跟进和试讲，我发现我上课的一个问题，就是不会肯定学生的发言，这就导致了想让学生重复的问题，学生不知道如何回答。

因此，本次试讲和比赛，我知道了肯定学生的答案的重要性。

这就像一个旗杆和标志，学生会向刚才教师所肯定的点着重说，这样越来越接近答案。

在此还会得到了别人的肯定，收获学习的快乐，让学生爱学习。

最终本次比赛我已经放宽心态。

我在这个过程中有所收获，并不是一定要得第几名或者几等奖，我刚上班第一年就拿一等奖，那些老教师情何以堪啊。

所以，我的目标有收获就好，虽然上完课后，心理还是有一些遗憾，自己以后一定注意。

吃一堑长一智嘛。

尊重学生的想法是一个新教师应当注意的，但是对于学生上课漫无边际的想法，教师应当站出来，作为一名引导者，将本节的重点、难点进行突破。

本节课前面有所太关注学生的个性差异，过分地尊重了学生的意愿，导致了本节的练习环节时间不充足。

最终还有一点就是关于学生所说的很好理解，对于一年级的孩子，只要能表达自己的观点就行了。

没必要总结出标准的数学语言，不能较真。

这是我在本次师慧杯决赛的一点收获，为我后续的课程提供了前景方向，我定会继续努力，将自己的课堂变得更优秀！
誗编辑王团兰
师慧杯决赛反思
王雪松
（北京四中璞瑅学校）
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