福建省安溪一中、养正中学11-12学年高二上学期期中联考 数学(理)

安溪一中、养正中学2011—2012学年度高二（上）期中联考
数学试卷（理科）
(考试时间为120分钟，满分为150分） 第Ⅰ卷 （选择题 共50分)
一、选择题:本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置。

1。

已知数列{}n
a 的通项公式为n
a
=2n-37，则当n S 取最小值时，项数n 为
（ ）
A.1 B 。

17 C 。

18 D.19
2. 已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边,若A= 45°,B=60°，
6a =，则b 等于（
）
A 。

B. C. D 。

3．若011<<b a ，则下列结论不正确的是（
）
Ａ．22
b a
< B ．2
ab b >
Ｃ．2
>+b a
a b
D ．1b
a >
4.已知点(,)P a b 和点(1,2)Q 在直线l :3280x y +-=的同侧，则（ )
A.3270a b +-< B 。

3280a b +-> C 。

3280a b +-< D.3270a b +-> 5.设
0x <<1，则a =1
1,1b x c x =+=
-中最大的是（
）
A.a
B.b C 。

c D 。

与x 的
取值有关 6.在ABC ∆中，2
cos 22A b c c +=，则ABC ∆为（
）
A 。

等腰直角三角形
B 。

等边三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形 7.若方程2
210
ax
x --=在(0,1)内恰有一实数解，则a 的取值范围是
（ ） A 。

18a =-
B.1a > C 。

1a ≤ D 。

11a -<<
8.等差数列{}n
a 的前n 项和记为n
S ，若2
610a
a a ++为一个确定的常数，则
下列各数中可以用这个常数表示的是（ ）
A 。

10
S B.11
S C.12
S
D.13S
9．对一切实数x ，不等式01||2
≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围
是（ ）
Ａ．),0[+∞ B ．)2,(--∞ Ｃ．[2,2]- D ．[2,)-+∞ 10。

已知
n
n a )
(231⋅=，把数列{}n
a 的各项排成三角形状:
1a 2a 3
a
4a
5
a 6
a 7
a 8
a
9a
……
记A （m,n ）表示第m 行，第n 列的项，则A （10,8）=（ )
Ａ．89
123⎛⎫⋅ ⎪
⎝⎭
B ．108
312⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅
Ｃ．74
312⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅
D ．65
312⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅
第Ⅱ卷（非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.
11．设0,0>>y x 且1=+y x ，则y x 41+的最小值为
12. 在大海上一高为300米小岛A 上，看到正东方向一船B 的俯角为30°，同时看到南偏
西30°方向一小船C 的俯角为60°，则此时两小船的距离为 13。

在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，。

若
1
cos 8C =
，
5
,9.
2CB CA a b ⋅=+=则c =
14. 等差数列{an ｝中有两项am 和ak 满足am=k 1，ak=m 1
，则该数列
前mk 项之和是 。

15．给定集合A ＝{a1，a2，a3，…,an ｝(n ∈N ，n ≥3)，定义ai ＋
aj(1≤i 〈j ≤n ，i,j ∈N
）中所有不同值的个数为集合A 两元素和的
容量，用L(A ）表示，若A ＝{2,4,6,8｝,则L （A ）＝ ;若数列｛an}是等差数列，设集合A ＝{a1,a2，a3，…，am ｝（其中m ∈N*，m 为常数)，则L （A ）关于m 的表达式为 ．
三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16。

（13分)解关于x 的不等式01222
<--a ax x 。

(1）当1=a 时,求不等式01222
<--a ax x
的解集;
（2)当R a ∈时，求不等式01222
<--a ax x
的解集.
17．（13分）已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边; （1)若ABC ∆
面积2ABC S c ∆=
=A 、B 、C 成等差数列，求a 、b 的
值；
（2)若cos a c B =，且sin b c A =，试判断ABC ∆的形状。

18．(13分）设等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S 且5
2555,20S
a a =+=.
（1）求数列}{n
a 的通项公式；
（2)设
1
(17)2n n n b a -=-⋅，求数列{}n
b 的前n 项和n
T 。

19．(13分）某厂使用两种零件A 、B 装配两种产品P 、Q ，该厂的生产能力是月产P 产品最多有2500件,月产Q 产品最多有1200件;而且组装一件P 产品要4个A 、2个B ，组装一件Q 产品要6个A 、8个B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14000个；B 零件最多12000个。

已知P 产品每件利润1000元，Q 产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P 、Q 产品各多少件?最大利润多少万元？
20．（14分）在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且sin ,sin ,sin A B C
成等比数列．
（I)求∠B 的范围； （II)求
22sin sin 26y B B π⎛
⎫=++ ⎪
⎝
⎭的取值范围．
21．（14分）已知正项数列{},{}n
n
a b 满足：对任意正整数n ，都有1
,,n
n
n a b a +成等差数列，1
1,,n
n n b a
b ++成等比数列，且1210,15.a a ==
（Ⅰ）求证：数列}是等差数列； (Ⅱ)求数列{}n
a 的通项公式;
(Ⅲ) 设
12
11
1
,n n S a a a =
+++
如果对任意正整数n ，不等式22n n n
b aS a <-恒成立，
求实数a 的取值范围．
2011—2012学年高二上期中考试数学试题 （时间120分种，满分150分） 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知数列{}n
a 的通项公式为n
a
=2n-37,则当n S 取最小值时,项数n 为
（ C ）
A 。

1 B.17 C.18 D.19
2。

已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若A= 45°，
B=60°,6a =则b 等于（ A ）
A 。

B 。

C. D.
3．若011<<b a ，则下列结论不正确的是（
B )
Ａ．22b a <
B ．2
ab b >
Ｃ．2
>+b a
a b
D ．1
b
a >
4。

已知点(,)P a b 和点(1,2)Q 在直线l :3280x y +-=的同侧,则（ C ） A.3270a b +-< B.3280a b +-> C 。

3280a b +-< D.3270a b +-> 5.设
0x <<1,则a =1
1,1b x c x =+=
-中最大的是（
C ）
A 。

a B.b C.c D 。

与x 的
取值有关
6.在ABC ∆中，2
cos 22A b c c +=，则ABC ∆为（
C ）
A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C 。

直角三角形
D 。

等腰三角形或直角三角形 7。

若方程2
210ax
x --=在(0,1)内恰有一实数解，则a 的取值范围是
（ B ） A.
1
8a =-
B.1a > C 。

1a ≤ D 。

11a -<<
8.等差数列{}n
a 的前n 项和记为n
S ,若2
610a
a a ++为一个确定的常数，则下
列各数中可以用这个常数表示的是( B )
A.10
S B 。

11
S C.12
S
D.13S
9．对一切实数x ，不等式01||2
≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围
是（ D ）
Ａ．),0[+∞ B ．)2,(--∞ Ｃ．[2,2]- D ．[2,)-+∞ 10。

已知
n
n a )
(231⋅=，把数列{}n
a 的各项排成三角形状:
1a 2a 3
a
4a
5
a 6
a 7
a 8
a
9a
……
记A （m ，n)表示第m 行,第n 列的项，则A （10，8)=( A )
Ａ．89
123⎛⎫⋅ ⎪
⎝⎭
B ．108
312⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅
Ｃ．74
312⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅
D ．65
312⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅
2009—2010学年第一学期高二年级期中考试 数学答题卷 第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共5小题，第小题4分,共20分；把答案填在答题卡中的横线上。

11．设0,0>>y x 且1=+y x ，则y x 41+的最小值为
9
12。

在大海上一高为300米小岛A 上，看到正东方向一船B 的俯角为30°，同时看到南偏
西30°方向一小船C 的俯角为60°，则此时两小船的距离为
10039米
13．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,. 若
1
cos 8C =
，
5
,9.
2CB CA a b ⋅=+=则c =
6
14。

等差数列{an}中有两项am 和ak 满足am=k 1,ak=m 1
，则该数列
前mk 项之和是
12mk +
.
15．给定集合A ＝{a1,a2，a3，…，an ｝(n ∈N ，n ≥3），定义ai
＋aj （1≤i<j ≤n ，i,j ∈N
）中所有不同值的个数为集合A 两元素和
的容量，用L （A ）表示，若A ＝｛2，4,6,8｝，则L （A ）＝ 5 ；若数列{an}是等差数列,设集合A ＝｛a1,a2，a3，…，am ｝(其中m ∈N*，m 为常数），则L （A ）关于m 的表达式为 23m -
．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出必要的文字说
明，证明过程或演算步骤。

16。

(13分)解关于x 的不等式01222
<--a ax x 。

（1)当1=a 时,求不等式
01222<--a ax x 的解集； （2)当R a ∈时，求不等式01222
<--a ax x 的解集。

16、解:（1）1=a ∴不等式01222<--a ax x 即为2120x x --<
由方程2
120x
x --=解得两根分别为123,4x x =-=
∴不等式2120x x --<的解集是{}34x x -<< (5)
分
（2）不等式01222
<--a ax x
⇔(4)(3)0x a x a -+< (7)
分
∴当0a >时,34a x a -<<;当0a <时，43a x a <<-；当0a =时，x ∈∅
故当0a >时,不等式01222
<--a ax x 的解为：{34}x a x a -<<； (9)
分 当0a <时，不等式
0122
2<--a ax x 的解为：{43}x a x a <<-；…………11分
当0a =时，不等式01222
<--a ax x
的解为：∅…………13分
17.（13分）已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边;
（1）若ABC ∆面积2ABC S c ∆=
=且A 、B 、C 成等差数列，求a 、b 的
值;
（2）若cos a c B =,且sin b c A =，试判断ABC ∆的形状。

17、解:(1）A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+, (1)
分
又A B C π++=∴3B π
=
…………3分
ABC S c ∆=
=1sin 2
ac B =a = …………5分
由余弦定理知，b ==
=
3 (7)
分
（2）根据余弦定理，由cos a c B =，得
222
2a c b a c ac +-=⨯
， ∴222
a b c +=，
∴ABC ∆是直角三角形，
2
C π
=
…………10分
∴
sin a A c
=
，∴sin b c A ==
a c a c ⋅
=，
故ABC ∆是等腰直角三角形.…………13分
另法：根据正弦定理,由cos a c B =，得sin sin cos A C B =，又sin sin()A B C =+
∴sin()sin cos B C C B +=
∴sin cos 0B C =
sin 0B ≠，∴
cos 0,2C C π
==
…………10分
∴
sin a
A c
=
，∴sin b c A ==a c a c ⋅
=，
故ABC ∆是等腰直角三角形。

(13)
分
18．(13分）设等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S 且5
2555,20S
a a =+=。

（1）求数列}{n
a 的通项公式;
（2）设
1
(17)2n n n b a -=-⋅，求数列{}n
b 的前n 项和n
T 。

18。

解：(1）
52555,20S a a =+=∴151055a d +=……①，12520a d +=……②
由①、②解得1
15,2a d ==-…………4分
∴15(1)(2)172n a n n =+-⨯-=-…………6分
（2）
172
n a n =-∴11(17)222n n n n b a n --=-⋅=⋅
∴
012
122426222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅……①
①式两边乘以2得，
123
222426222n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅……②
①—②得，
012
112(2222)222222n n n n n T n n -+-=⨯++++-⋅=-⋅-
∴2
(22)22n
T n =-⋅+…………13分
19、（13分）某厂使用两种零件A 、B 装配两种产品P 、Q ，该厂的
生产能力是月产P 产品最多有2500件，月产Q 产品最多有1200件；而且组装一件P 产品要4个A 、2个B ，组装一件Q 产品要6个A 、8个B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14000个；B 零件最多12000个。

已知P 产品每件利润1000元,Q 产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P 、Q 产品各多少件？最大利润多少万元？ 19、解：设分别生产P 、Q 产品x 件、y 件，则
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≤≤≤≤≤+≤+1200025000120008214000
64y x y x y x 依题意有 (4)
分
设利润 （x+2y ） ……5分
要使利润最大，只需求z 的最大值.
作出可行域如图示(阴影部分及边界）………8分
作出直线l ：1000（x+2y ）=0，即x+2y=0 …………9分
由于向上平移平移直线l 时，z 的值增大，所以在点A 处z 取得最大值
由⎩⎨⎧=+=+60004700032y x y x 解得⎩⎨⎧==10002000y x ，即
A （2000，1000） …………11分
因此，此时最大利润zmax=1000(x+2y)=4000000=400(万
元）. …………12分
答：要使月利润最大，需要组装P 、Q 产品2000件、1000件，此时最大利润为400万元…13分
20．（14分）在△ABC 中，,,a b c 分别为角A,B ，C 的对边，且sin ,sin ,sin A B C
成等比数列．
(I ）求∠B 的范围； (II ）求22sin sin 26y B B π⎛
⎫=++ ⎪
⎝
⎭的取值范围．
20（14分).解:（I ）因为sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，所以2
sin sin sin B A C =⋅………
1分
即b2＝ac ．………2分
根据余弦定理，得cosB ＝＝≥＝．………5分 又因为0＜B ＜π,所以0＜B ≤………6分 所以∠B 的范围是（0,］．………7分
（II)y ＝2sin2B ＋sin(2B ＋）＝1－cos2B ＋sin2Bcos ＋cos2Bsin ＝1＋sin2Bcos －cos2Bsin ＝1＋sin(2B －)．………10分 因为0＜B ≤，所以－＜2B －≤,………11分 所以－＜sin(2B －)≤1………12分 所以＜y ≤2．………13分
所以y ＝2sin2B ＋sin(2B ＋）的取值范围是（，2]．………14分 21．（14分）已知正项数列{},{}n
n
a b 满足:对任意正整数n ，都有1
,,n
n
n a b a +成
等差数列，1
1,,n
n n b a
b ++成等比数列，且1210,15.a a ==（Ⅰ）求证:
数列}是
等差数列；
(Ⅱ）求数列{}n
a 的通项公式；(Ⅲ) 设
12
111,
n n S a a a =
+++
如果对任意正整
数n ,不等式22n
n n
b aS a <-
恒成立，求实数a 的取值范围．
21．（14分)解：(1）由已知,得12n n n b a a +=+
①；
211n n n a b b ++=⋅
② (1)
分 由②得1
n a
+= ③。

………2分
将③代入①得，对任意*
2,n n N ≥∈
，有2n
b
=
即= ………3分
∴是等差数列。

………4分
(Ⅱ)
设数列的公差为d ，
由1
210,15.a
a ==经计算，得1225
,18.2b b =
= (5)
分
d =
===………6分
(1)(4).22n n =
-⋅=+ (7)
分
2
(4),2n n b +∴=(3)(4).2n n n a ++=
………8分
(Ⅲ）由（1）得1211
2().
(3)(4)34n a n n n n ==-++++
1111
1111
2[()()(
)]2().4556
3444n S n n n ∴=-+-+
+-=-+++ (9)
分
不等式22n
n n
b aS a <-
化为1144()2.
44
3n a n n +-<-++ 即2
(1)(36)80.a n a n -+--<………10分
设
()f n =2(1)(36)8a n a n -+--,则()0f n <对任意正整数n 恒成立．
当10a ->，即1a >时,不满足条件；………11分 当10a -=，即1a =时,满足条件;………12分 当10a -<，即1a <时，()f n 的对称轴为3(2)
2(1)a x a -=-
<-，()f n 关于n 递减，
因此,只需(1)4150.f a =-< 解得15
, 1.4a a <
∴< (13)
分
综上, 1.a ≤………14分。