高考总复习一轮数学精品课件 第11章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第6节 二项分布与超几何分布

方法抽出7名学生,再从这7名学生中随机抽出3人,记3人中锻炼时长超过40
分钟的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
解 (1)由题意可得,(0.006+0.010+2a+0.024+0.036)×10=1,解得a=0.012.
样本数据在[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)的频率分别为
C7
C7
C14 ×C23
P(X=2)=
C37
=
12
C33
,P(X=3)=
35
C37
=
1
,
35
所以 X 的分布列为
X
P
故 E(X)=0×
0
1
2
3
4
18
12
1
35
35
35
35
4
18
12
1
+1×
+2×
+3×
35
35
35
35
=
9
.
7
本 课 结 束
本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组,
绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值:
(2)为进一步了解这1 000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的
分配情况,从日平均阅读时间在(8,10],(10,12]两组上的学生中,采用分层随
记作__________.
X~B(n,p)
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
p(1-p)
p
若随机变量X服从两点分布,则E(X)= __________,D(X)=__________.
np
np(1-p)
若X~B(n,p),则E(X)=__________,D(X)=__________.
微点拨判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:
机抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人,记日平均阅读时间
在(10,12]上的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
解 (1)由频率分布直方图得,
2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10.
(2)由频率分布直方图得,这 1 000 名学生中日平均阅读时间在(8,10],(10,12]两
6
.
5
0
1
27
125
2
54
125
3
36
125
8
125
2
X~B(3, ),
5
考点二
超几何分布及其应用
例2每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”,为了解某地
区高一学生阅读时间的分配情况,从该地区随机抽取了1 000名高一学生进
行在线调查,得到了这1 000名学生的日平均阅读时间(单位:小时),并将样
若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概
1
率均为 3 ,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求:
(1)随机变量ξ的分布列;
(2)随机变量ξ的期望.
解 (1)一位乘客是否在第 20 层下电梯视为一次试验,进行 5 次独立重复试验,
故 ξ~B
1
5, 3
,即
P(ξ=k)=C5
6
C310
1
,
30
=
[对点训练2](2024·河南洛阳模拟)某校为了调查假期学生在家锻炼身体的
情况,随机抽查了150名学生,并统计出他们在家的锻炼时长,得到频率分布
平均数(同组数据用该组区间的中点值代替);
(2)从锻炼时长分布在[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]的学生中按分层抽样的
7
= 7,
1
解析 由题意,得
解得 p=7.
(1-) = 6,
题组三 连线高考
7.(2005·辽宁,3)设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中
恰有6个红球的概率为( D )
4 ·
6
80
10
A. 10
100
6 ·
4
80
10
B. 10
100
4 ·
6
80
个作为样本,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果制成如图所示的
频率分布直方图.
(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数(同一组数据用该区间的中点
值作代表)和中位数;
(2)已知某用户从该企业购买了3件该产品,用X表示这3件产品中质量指标
值位于[15,25)内的产品件数,用频率代替概率,求X的分布列和数学期望.
(2)用ξ表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数,求随机变量ξ的分布
列、期望和方差.
解 (1)根据频数分布表知,日销售量不低于 100
日销售量低于 50
15
个的概率为100=0.15.
30+20+10
个的概率为
=0.6,
100
设事件A:“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一
×
1
3
×
2 5-
,k=0,1,2,3,4,5.
3
由此可得 ξ 的分布列为
ξ
0
P
(2)因为 ξ~B
1
5,
3
1
32
243
2
80
243
3
80
243
1
3
,所以 E(ξ)=5× =
5
.
3
4
40
243
5
10
243
1
243
研考点
精准突破
考点一
二项分布及其应用
例1(2024·安徽蚌埠模拟)某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在100
C10
=
36
120
=
20
120
3 =
C10
3
C34
4
,P(X=3)= 3 = 120
10
C10
超几何分布,其可能取值为 0,1,2,3,P(X=0)=
60
120
C36
=
所以 X 的分布列为
X
0
P
E(X)=0×
1
1
3
1
+1×
+2×
+3×
6
2
10
30
1
1
6
=
2
1
2
6
.
5
3
3
10
1
30
=
1
C14 C26
,P(X=1)=
天的日销售量低于50个”,则P(A)=0.62×0.15+0.15×0.62=0.108.
(2)由频数分布表知,日销售量不低于 150
20+10
个的概率为
=0.3,
100
ξ 可取 0,1,2,3,依题意知 ξ~B(3,0.3).
P(ξ=0)=C30 ×(1-0.3)3=0.343,
P(ξ=1)=C31 ×0.3×(1-0.3)2=0.441,
解 (1)由已知得
=10×0.015×10+20×0.040×10+30×0.025×10+40×0.020×10=25.
因为0.15+0.4>0.5,
设中位数为x,则x∈(15,25),则0.015×10+0.04×(x-15)=0.5,解得x=23.75.
2
(2)因为购买一件产品,其质量指标值位于[15,25)内的概率为 ,所以
组内的学生人数之比为 0.15∶0.1=3∶2,若采用分层随机抽样的方法抽取了
10
3
人,则从日平均阅读时间在(8,10]上的学生中抽取 ×10=6(人),在日平均阅
5
读时间在(10,12]上的学生中抽取 4 人,现从这 10 人中随机抽取 3 人,则 X 服从
=
1
C24 C16
,P(X=2)= 3
2
伯努利试验
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利
试验.
(2)二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),
用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为 P(X=k)=k pk(1-p)n-k, k=0,1,2,…,
n,如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,
20
C. 10
100
6 ·
4
80
20
D. 10
100
10
解析 袋中有 80 个红球,20 个白球,若从袋中任取 10 个球,共有C100
种取法.
6
4
若其中恰好有 6 个红球,则有 4 个白球,故有C80
·C20
种取法.由古典概型的概
C680 ·C420
率公式得概率为
C10
100
.
8.(2006·重庆,18)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.
天里的销售记录,绘制了以下频数分布表:
日销售量/个
频数
[0,50)
15
[50,100)
25
[100,150) [150,200) [200,250]
30
20
10
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的
日销售量低于50个的概率;
N+M},r=min{n,M}.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分
布.
微点拨超几何分布与二项分布的关系
不同点
假设一批产品共有N件,其中有M件
次品.从N件产品中随机抽取n件,用X
表示抽取的n件产品中的次品数,若
采用有放回抽样的方法抽取,则随机
变量X服从二项分布,即X~B(n,p)(其
0.06,0.10,0.12,0.36,0.24,0.12,
则0.06×5+0.10×15+0.12×25+0.36×35+0.24×45+0.12×55=34.8,
所以估计锻炼时长的平均数为34.8.
(2)由题得,各组锻炼时长的频率比为 0.12∶0.36∶0.24∶0.12=1∶3∶2∶1,
1
256
解析 用 X 表示硬币正面朝上的次数,则 X~B
恰好出现 5 次正面朝上等价于 X=5,于是
1
10, 2
.
5
P(X=5)=C10
×0.5
252
=
1 024
10
=
63
.
256
6.(人教B版选择性必修第二册4.2.4节练习B第1题)已知随机变量X服从参
1
数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,则p的值为__________.
P(ξ=2)=C32 ×0.32×(1-0.3)=0.189,
P(ξ=3)=C33 ×0.33=0.027.
ξ 的分布列为
ξ
P
0
0.343
1
0.441
E(ξ)=3×0.3=0.9,D(ξ)=3×0.3×0.7=0.63.
2
0.189
3
0.027
[对点训练1](2024·四川攀枝花模拟)某企业从生产的一批产品中抽取100
5
2 3 27
0
P(X=0)=C3 ×(1- ) = ,
5
125
2
2 2 54
1
P(X=1)=C3 × 5 ×(1-5) =125,
2 2
2
36
2
P(X=2)=C3 ×( ) ×(1- )= ,
5
5 125
2 3 8
P(X=3)=(5) =125.
所以 X 的分布列为
X
P
2
5
所以 E(X)=3× =
布.( √ )
3.两点分布是二项分布当n=1时的特殊情况.( √ )
4.若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项
分布.( √ )
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第三册7.4.1节例1改编)将一枚质地均匀的硬币重复
63
抛掷10次,则恰好出现5次正面朝上的概率是__________.
所以时长在[20,30)的学生中抽取的人数为 ×7=1,时长在[30,40)的学生中抽
7
3
2
取的人数为7 ×7=3,时长在[40,50)的学生中抽取的人数为7 ×7=2,时长在
1
[50,60)的学生中抽取的人数为7 ×7=1.所以 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.
C34
4
C24 ×C13
18
P(X=0)= 3 = 35,P(X=1)= 3 = 35,

中p= );若采用不放回抽样的方法随
机抽取则随机变量X服从超几何分布
联系
二项分布和超几何分布都可以描
述随机抽取n件产品中次品的分布
规律,并且二者的均值相同.对于不
放回抽样,当n远远小于N时,每抽
取一次后,对N的影响很小,超几何
分布可以用二项分布近似
常用结论

超几何分布有时也记为 X~H(n,M,N),其均值 E(X)= ,方差
第6节 二项分布与超几何分布
课标解读
1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单
的实际问题.
2.了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题.
目录索引
1
2
强基础
固本增分
知识梳理
1.n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做__________.
(1)在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变;
(2)试验可以独立重复进行n次.
2.超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件
(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
k -k

-
P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n


-1
D(X)= (1- )(1--1).
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项,其中
a=p,b=1-p.( × )
2.从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分