联立方程模型
计量经济学之联立方程模型
计量经济学之联立方程模型引言联立方程模型（Simultaneous Equation Model，简称SEM）是计量经济学中的一个重要分析工具，用于研究多个经济变量之间的相互关系。
通过建立一组方程，可以理解变量之间的联动效应，并进行预测和政策分析。
本文将介绍联立方程模型的基本概念、建模步骤和常见的估计方法等内容。
基本概念联立方程模型的定义联立方程模型是指由多个方程组成的一种数学模型，用于描述多个经济变量之间的关系。
每个方程都包含一个因变量和若干个解释变量，以及一个误差项。
联立方程模型的核心思想是通过解方程组，得到各个变量的估计值，进而分析它们之间的关系。
基本假设在建立联立方程模型时，需要对变量之间的关系进行假设。
常见的基本假设有：1.线性关系假设：方程中的变量之间的关系是线性的。
2.独立性假设：各个方程中的误差项是独立的，即它们之间不存在相关性。
3.零条件均值假设：解释变量的条件均值为零，即解释变量的期望与误差项无关。
4.同方差假设：各个方程中的误差项方差相等。
建模步骤建立联立方程模型的步骤如下：步骤一：确定变量根据研究主题和数据可获得的变量，确定需要建立模型的变量集合。
步骤二：构建方程根据经济理论和实际问题，构建联立方程模型的方程形式。
每个方程包含一个因变量和若干个解释变量。
步骤三：参数估计通过收集数据，对联立方程模型进行参数估计。
常用的估计方法有最小二乘估计（Ordinary Least Squares，简称OLS）和广义矩估计（Generalized Method of Moments，简称GMM）等。
步骤四：模型诊断对估计得到的模型进行诊断，检验模型的拟合优度、参数显著性和误差项的假设等。
常见的诊断方法有虚拟变量检验、异方差性检验和序列相关性检验等。
步骤五：模型解释与政策分析根据估计得到的模型结果，解释各个变量之间的关系，并进行政策分析。
可以利用模型进行预测和模拟，评估不同政策对经济变量的影响。
联立方程模型(蓝色)
• 联立方程模型概述 • 联立方程模型的建立 • 联立方程模型的求解方法 • 联立方程模型的应用案例 • 联立方程模型的优缺点 • 联立方程模型的发展趋势与展望
01
联立方程模型概述
定义与特点
01
02
定义：联立方程模型是 特点 一种数学模型，用于描 述一组变量之间的相互 关系。它由多个方程组 成，每个方程描述一个 变量与其他变量的关系。
模型的可解释性和透明度
随着对模型复杂度增加的关注，未来联立方程模 型将更加注重可解释性和透明度。这有助于提高 模型的可靠性和可信度，促进模型在实际决策中 的应用。
人工智能技术的应用
人工智能技术，如深度学习、神经网络等，将在 联立方程模型中发挥越来越重要的作用。这些技 术可以帮助模型更好地处理非线性关系、高维数 据和复杂动态系统。
环境影响评估
联立方程模型可以用于评估各种人类活动对生态环境的影响，为环境决策提供科学依据。
05
联立方程模型的优缺点
优点
01
全面性
联立方程模型能够同时考虑多个经济变量之间的相互影响，从而更全面
地描述经济系统的内在机制。
02
准确性
联立方程模型通过建立多个方程来描述经济现象，可以更准确地估计参
数，提高预测的准确性。
政策效果评估
通过联立方程模型，可 以评估政策变动对经济 的影响，分析政策效果， 为政策制定提供参考。
交通规划
交通流量预测
联立方程模型可以用于预测交通流量，帮助交通管理部门 制定合理的交通规划，优化交通网络布局。
交通需求管理
通过联立方程模型分析交通需求与各种因素之间的关系， 制定有效的交通需求管理策略，缓解城市交通拥堵。
联立方程模型simultaneous
联立方程模型（simultaneous-equations model ）13.1 联立方程模型的概念有时由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。
有时为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。
这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。
从而引出联立方程模型的概念。
联立方程模型：对于实际经济问题，描述变量间联立依存性的方程体系。
联立方程模型的最大问题是E(X 'u ) ≠ 0，当用OLS 法估计模型中的方程参数时会产生联立方程偏倚，即所得参数的OLS 估计量βˆ是有偏的、不一致的。
给出三个定义：内生变量（endogenous variable ）：由模型内变量所决定的变量。
外生变量（exogenous variable ）：由模型外变量所决定的变量。
前定变量（predetermined variable ）：包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。
例如：y t = α0 + α1 y t -1 + β0 x t + β1 x t -1 + u ty t 为内生变量；x t 为外生变量；y t -1, x t , x t -1为前定变量。
联立方程模型必须是完整的。
所谓完整即“方程个数 ≥ 内生变量个数”。
否则联立方程模型是无法估计的。
13.2 联立方程模型的分类（结构模型，简化型模型，递归模型） ⑴结构模型（structural model ）：把内生变量表述为其他内生变量、前定变量与随机误差项的方程体系。
例：如下凯恩斯模型（为简化问题，对数据进行中心化处理，从而不出现截距项） c t = α1 y t + u t 1 消费函数， 行为方程（behavior equation ） I t = β1 y t + β2 y t-1 + u t 2 投资函数， 行为方程 y t = c t + I t + G t国民收入等式，定义方程（definitional equation ） (1)其中，c t 消费；y t 国民收入；I t 投资；G t 政府支出。
第七章联立方程模型
2.内生变量（endogenous variable） 内生变量是其值在模型内确定的变量。内生变 量既由模型使用（如可以作解释变量），又由模 型决定。
由于在求解模型时，通常是需要联立地解出所 有内生变量的值，因而称为联立方程模型。
单方程模型中，内生变量就是因变量，外生变 量是解释变量（滞后内生变量除外）。
这里供给函数与线性组合方程具有不同的统计形式 （包含变量不一样） ， 因而供给函数具有唯一的统计形式，所以是能够识别的，但需求函数与 线性组合方程有相同的统计形式，因而是不能识别的。
例 3. 在例 2 的模型中，供给函数中加上一个外生变量 R（降雨量） ， 则模型变为： Q t = 0 1Pt 2 Yt u 1t
二、不可识别、恰好识别和过度识别
1. 可识别和不可识别方程 定义：如果对于一个方程，我们无法通过取它所 在模型中各方程的线性组合的方法，得到另一个与 该方程统计形式完全相同的方程，则该方程是可识 别的。
例1 ．考虑某农产品供求模型： 0 P u = Q 1 1 t 1 t t 0
Q P t v t
这里的问题是很难找到一种观测需求量和供给 量的有效方法，通常能够观测到的只是市场运行的 结果。因此一般的作法是假设供给量和需求量相等 ，即市场是结清的。这相当于在模型中增加一个方 程:
QS QD
如果只用可观测变量来建立模型，我们可令Q 代表市场结清量，从而有 Qt = α+ βPt + ut Qt = + Pt + vt
（ 1 ）恒等式不包含未知参数，而行为方程含 有未知参数。 （ 2 ）恒等式中没有不确定性，而行为方程包 含不确定性，因而在计量经济分析中需要加进 随机扰动因子。
计量第12章联立方程模型
VS
假设条件
为了使模型具有可解性和可估计性，需要 设定一些假设条件。这些条件可能包括变 量的线性关系、误差项的独立性、同方差 性等。这些假设条件的选择应根据实际问 题和数据的特征来确定。
参数估计方法
最小二乘法（OLS）
最小二乘法是联立方程模型中最常用的参数估计方法之一。它通过最小化残差平方和来估 计模型的参数。这种方法简单易行，但在存在异方差性、自相关等问题时，可能导致估计 结果不准确。
联立方程模型的估计需要使用复 杂的计算方法和软件，对研究者 的计量经济学知识要求较高。
改进方向探讨
模型识别方法的改进
01
通过引入新的识别方法或改进现有数据收集和处理技术的提升
02 利用现代数据收集和处理技术，提高数据的质量和可
获得性，从而扩大联立方程模型的应用范围。
递归模型
模型中某些变量可以由其他变量唯一确定。
非递归模型
模型中所有变量相互依赖，无法由其他变量 唯一确定。
建模目的与意义
分析经济政策变化对经济系统的 影响。
描述经济系统中多个变量之间的 相互关系。
目的
01
03 02
建模目的与意义
• 预测经济变量的未来走势。
建模目的与意义
01
意义
02
提供了一种全面、系统的分析方法，有助于深入了解经济系统的运行 规律。
计量第12章联立方程模型
目录
• 联立方程模型概述 • 联立方程模型的构建 • 联立方程模型的识别与估计 • 联立方程模型的应用举例 • 联立方程模型与其他模型的关系 • 联立方程模型的优缺点及改进方向
01
联立方程模型概述
定义与特点
定义
联立方程模型（Simultaneous Equation Models）是一组 相互依赖的线性方程，用于描述经济系统中多个变量之间的 相互关系。
联立方程模型 make system
联立方程模型是一种数学方法，通过联立多个方程来描述和解决复杂的问题。
这种模型在经济学、物理学、工程学等领域中得到了广泛的应用，能够帮助研究人员理解和预测各种变量之间的关系。
本文将介绍联立方程模型的基本概念和应用，以及如何构建和求解联立方程模型。
一、联立方程模型的基本概念联立方程模型是一种描述多个变量之间关系的数学模型。
我们可以用一组方程组来表示这些变量之间的相互影响。
一般来说，联立方程模型可以写成如下形式：1. 假设我们有n个变量和m个方程，我们可以用矩阵和向量的形式来表示联立方程模型：其中，Y是一个n维向量，代表因变量；X是一个n×k维矩阵，代表自变量；β是一个k维向量，代表自变量的系数；ε是一个n维向量，代表误差项。
2. 联立方程模型的基本假设包括：（1）线性关系假设：假设因变量和自变量之间的关系是线性的；（2）随机抽样：样本必须是随机抽样的，以保证估计结果的一致性；（3）独立同分布假设：误差项之间是相互独立的，并且服从相同的分布；（4）方差齐性假设：误差项的方差是相同的。
二、构建联立方程模型构建联立方程模型的基本步骤包括：1. 确定研究的目标和问题：首先需要明确研究的目的，确定需要研究的变量和它们之间的关系。
2. 收集数据：根据研究目标，需要收集相关的数据样本。
3. 设定模型：选择合适的自变量和因变量，并设计出联立方程模型的形式。
4. 估计参数：通过最小二乘法或其他方法，估计模型的参数。
5. 检验模型：对模型的拟合度和估计结果进行检验，检验模型是否符合现实情况。
6. 修正模型：根据检验结果对模型进行修正，直至得到较为合理的模型。
三、求解联立方程模型求解联立方程模型的常用方法有：1. 最小二乘法：通过最小化因变量的观测值和模型估计值之间的差异来估计参数。
2. 极大似然估计：通过最大化样本数据出现的概率来估计参数。
3. 广义最小二乘法：当误差项不满足方差齐性和独立同分布假设时，可以使用广义最小二乘法进行参数估计。
计量经济学-第六章：联立方程计量经济模型
It
2122Yt1
23Gt
v2t
Yt 3132Yt133Gtv3t
3.简化式模型的矩阵表示
Ct 1112Yt113Gtv1t
It
2122Yt1
23Gt
v2t
Yt 3132Yt133Gtv3t
C t
Y It Yt11 Nhomakorabea12
13
21
22
23
31
32
33
1
X
Y G
t
结构式模型的导出的结果：
C Itt001100 1 1001111112( 111 1 21)11YYt t1111111 111G Gttu11ut111t 1uu1212tt111u2u21tt Yt 10 1011121Yt11111Gt 1u1 t 1 u2t1
而简化式模型的一般表示：
Ct 1112Yt113Gtv1t
Ct 0 1Yt u1t It 0 1Yt 2Yt1 u2t
Yt Ct It Gt
◇联立方程模型中方程、变量及其属性 方程包括：随机方程、确定性方程 按变量性质：内生变量、外生变量 按因果关系：解释变量、被解释变量 内生变量：是随机变量，内生变量之间相互影响， 内生变量还受到外生变量的影响 外生变量：是确定性变量，对内生变量产生影响 先决变量：外生变量、滞后内生变量
2.模型的一般表示方法 对于联立方程模型，可描述为： g个内生变量（g个方程），内生变量用向量Y表示； k个先决变量，先决变量用向量X表示； 则结构式模型矩阵表示为：
参数矩阵为：
U
◇写出下列简单宏观计量经济模型的矩阵形式：
Ct 0 1Yt u1t It 0 1Yt 2Yt1 u2t
第九章 联立方程模型(计量经济学,南开大学)
D a0 a1P a2Y u1 S a0 a1P a2W u2 DS Q
这里讨论的局部均衡模型，需要多个单一方程和在一起的联立方程组 来描述。这个方程组就是描述这以经济系统的联立方程模型。 二、联立方程模型中的变量分类 联立方程模型中的变量，可分为内生变量、外生变量和预定变量。
0 1 1 It u 1 1 1 1 1 1
t
E (Yt )
0 1 ut I Yt E (Yt ) 1 1 1 1 1 1
u2 t
2 cov(Yt , u D ) E{[Yt E (Yt )][ut E (ut )]} E ( ) 1 1 1 1
(截距项视为观测值为1的预定变量) Y X U
Ct 0 1Yt u 1t
2、简化式模型 根据结构式模型推导得到，把内生变量表示为预定变量和随机项的函数 形式的方程组，这种模型称为简化式模型，其中的每个方程称为简化式方程： Y X U Y B1X B1U X V
1、内生变量
指由模型系统内决定的变量，取值在系统内决定，如D、S、P。 2、外生变量 指不由模型系统范围内决定的变量。如Y、W。政策变量属于外生变量。 3、预定变量 指变量的滞后值。内生变量的滞后值称预定内生变量，外生变量的滞 后值称预定外内生变量。 三、联立方程模型中方程式的分类 1、行为方程式 描述经济系统中个体经济行为的方程。如消费需求方程。 2、技术方程式 指基于生产技术关系而建立的函数关系。如生产函数。 3、制度方程式 与法律、制度有直接关系的经济数量关系式，如税收方程。 4、衡等式 有两种。一种是定义方程式，有经济变量的定义所构成的方程；另一种 是平衡方程，表示经济变量之间的平衡关系。
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Econometrics
王维国
东北财经大学
第十讲 联立方程模型
第一节 联立方程模型概述 第二节 联立方程模型的识别问题 第三节 联立方程模型参数的估计问题
东北财经大学数学与数量经济学院
第一节 联立方程模型概述
一、联立方程模型的性质
（一）为什么要建立联立方程模型 单一方程模型是用一个方程描述一个经济变量
一、联立方程模型的性质
（二）联立方程模型的基本概念 1.联立方程模型：由多个方程所组成的模型。 Y1i=β10 + β12Y2i + γ11X1i+ u1i Y2i=β20 + β22Y1i + γ21X1i+ u2i 2.内生变量与外生变量 内生变量是模型中本身决定的变量，也就是 说它的取值是模型系统内决定的。 外生变量不是由模型系统内决定的变量，也 就是说它的取值是由模型系统外部决定的。
Yt=β0 +β1Yt+ut +It Yt=β0 /(1- β1) +1 /(1- β1) It + 1 /(1- β1) ut
E(Yt)=β0 /(1- β1) +1 /(1- β1) It
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三、联立方程偏误：OLS估计量的非一致性（2）
Yt-E(Yt ) = ut/(1- β1) cov(Yt,ut )=E[Yt-E(Yt ) ][ut-E(ut)]
货币市场均衡方程：
Yt= l0+l1M ’+l2rt l0= -a/b l1= -1/b l2= -c/b
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三、联立方程偏误：OLS估计量的非一致性（1）
消费函数：Ct= β0 + β1Yt+ut 收入恒等式：Yt=Ct+It 将(12.4)代入(12.5)中，则
(10.4) (10.5)
（一）需求和供给模型（3）
由于影响需求的其 P
他因素的改变，使得需
求函数中的随机干扰项
P1
为正，所以导致需求曲 P0
线向上迁移。
S
D0 D1
Q0 Q1
Q
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（一）需求和供给模型（4）
P 由于影响需求的其
他因素的改变，使得需 P0 求函数中的随机干扰项 P1 为负，所以导致需求曲
s
2 Y
所以，OLS是有偏误的，且不一致。
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第二节 联立方程模型的识别问题
本节主要说明如何解决识别问题。包括： 一、模型类别 二、识别状况分类 三、识别准则 四、联立性检验
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一、模型的类型
（一）模型的结构型 依据经济理论设定模型所采取的形式，它直接
线向下迁移。
S
D1 D0
Q1 Q0
Q
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（二）凯恩斯收入决定模型
消费函数：Ct= β0 + β1Yt+ut 收入恒等式：Yt=Ct+It
(10.4) (10.5)
将(12.4)代入（12.5）中，则 Yt=β0 +β1Yt+ut +It Yt=β0 /(1- β1) +1 /(1- β1) It + 1 /(1- β1) ut
Plim(β^1) Plim(β^1)
∑Ct yt
∑(β0 +β1Yt+ut) yt
∑ut yt
=
=
∑yt2
∑yt2
= b1+
∑yt2
∑ut yt
= plim(b1)+plim (
∑yt2
plim ( ∑ut yt/n)
) = plim(b1)+
plim ( ∑yt2/n)
s 2/(1- β1)
= b1 +
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二、联立方程模型举例
（一）需求与供给模型 （二）凯恩斯收入决定模型 （三）工资—价格模型 （四）宏观经济中的IS模型 （五）LM模型
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（一）需求和供给模型（1）
根据经济学原理，商品的价格与需求量是由需求
曲线和价格曲线的交点决定的。为简化问题，我们假 定需求曲线和供给曲线为直线，同时考虑到影响需求 量和供给量的其他因素，得到需求和供给模型。
=E( ut2)/(1- β1)
=s 2/(1- β1)
因此，Yt和 ut是相关的。这就违背了OLS假定之一。
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三、联立方程偏误：OLS估计量的非一致性（3）
消费函数：Ct=β0 +β1Yt+ut
(10.4)
β^1
=
∑( Ct - C ) ( Yt-Y ) ∑ ( Yt-Y )2
与引起这个变量变化的各个因素之间的关系。解释 变量X是因变量Y发生变化的原因，其因果关系是单 向的。然而，经济现象是复杂的，因果关系可能是 双向的，或者一果多因，或者一因多果。这时用一 个单一方程很难完整地表达，需要用多个相互联系 的方程，才能正确反映复杂的现实经济系统状况。
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需求函数：Qtd= α0 +α1Pt+u1t 供给函数：Qts=β0+β1Pt+u2t
(10.1) (10.2)
均衡条件： Qtd=Qts
(10.3)
Qd表示需求量， Qs 表示供给量，t表示时间。
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（一）需求和供给模型（2）
P S
P0
D
Q0
Q
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ห้องสมุดไป่ตู้商品市场均衡方程：
Yt= π0+π1 rt
π0 =
b0-α0 b1+g0+G’ 1- b1(1-a1)
π1 =
g1 1- b1(1-a1)
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（五）宏观经济学中的LM模型
货币需求函数：Mtd= a +bYt-crt 货币供给函数：Mts= M ’ 均衡条件： Mtd= Mts
反映出经济变量之间各种关系的完整结构。它可以 是描述某一经济结构，也可以是描述某一经济体的 行为。一般来说结构模型包含两类方程，一类是包 含随机误差项和参数的随机方程，另一类是不含随 机干扰项和参数的恒等式。
可见在(12.4) 中，则Yt与随机干扰项是相关的。
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（三）工资价格模型
Wt= α0 +α1UNt+α2Pt +u1t Pt=β0+β1Wt +β2Rt +β3Mt + u2t
(10.6) (10.7)
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（四）宏观经济学中的IS模型
消费函数：Ct= β0 + β1Y dt 税收函数：Tt= α0 +α1Yt 投资函数：It= γ0 +γ1rt 定义：Y dt= Yt -Tt 政府支出：Gt=G’ 国民收入恒等式：Yt= Ct+It +G’