实验二 偏导数的计算及Matlab实现
Matlab-详解导数及偏导数运算ppt课件
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du_dx=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x du_dy =1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y du_dz = 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*z
u
x
x x2y2z2
u
z
z x2y2z2
u
y
y x2y2z2
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例 9 求下列函数的偏导数 z1 arctan( y / x);z2 x y。 解： 输入命令
3
1. 学习Matlab命令
建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式：
x=sym(‘x’) 建立符号变量 x；
syms x y z
建立多个符号变量 x,y,z；
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4
Matlab 求导命令 diff 调用格式：
diff(f(x))，
求 f (x)的一阶导数 f(x)；
diff(f(x),n)， 求 f(x)的 n阶导 f(n)(x 数 );
实验3 导数及偏导数运算
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1
实验目的：
1. 进一步理解导数概念及几何意义； 2. 学习Matlab的求导命令与求导法。
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2
实验内容：
学习 Matlab 命令 导数概念 求一元函数的导数 求多元函数的偏导数 求高阶导数或高阶偏导数 求隐函数所确定函数的导数与偏导数
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dy_dx = sin(t)/(1-cos(t))
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4. 求多元函数的偏导数
例8 设u x2y2z2，求 u的一阶偏导
解：输入命令
用Matlab进行求导运算
y = e sin x
x
y = ln(1 x 2 ) y = sin(2 x ) y = ln(arccos 2 x) y = e x sin x
y = x ln x
x
y=x
x
用matlab求下列二阶导数 求下列二阶导数
y = (1 + x )acr tan x
2
例4：求函数 y = tan x ：
解
的导数
>> syms x
>> diff(tan(x))
ans = 1 + tan(x )^ 2
例5：求函数 y = sin x 的导数 ：
解
>> syms x
>> diff(sin(sqrt(x)))
ans = 1 / 2 * cos(x ^ (1 / 2))/ x ^ (1 / 2)
解
>> syms x >> diff(x ^ 3 + cos(x) + log(2))
ans = 3 * x ^ 2 sin(x )
例3：求函数 y = 2 x sin x ：
解
的导数
>> syms x >> diff(2 * sqrt(x) * sin(x))
ans = 1 / x ^ (1 / 2) * sin(x ) + 2 * x ^ (1 / 2) * cos(x )
解
>> syms x
ห้องสมุดไป่ตู้
>> diff(exp(-x) * cos(x),x,2)
ans = 2 * exp(x ) * sin(x )
matlab中求函数的导数
matlab中求函数的导数MATLAB提供了几种不同的方法来计算函数的导数。
本文将介绍三种常用的方法：符号求导、数值求导和有限差分法。
1.符号求导符号求导是一种利用符号计算来找到函数导数的方法。
MATLAB的Symbolic Math Toolbox提供了符号计算的功能。
使用符号计算，可以求出任意复杂函数的导数。
以下是一个示例，展示了如何使用符号求导计算函数f(x)=x^2的导数：```matlabsyms xf=x^2;diff(f,x)```输出结果为：`2*x`符号求导的优点是可以得到一个精确的导数表达式，适用于数学函数和解析函数。
然而，计算符号导数可能需要大量的计算资源和时间，尤其是对于复杂的函数和高阶导数。
2.数值求导数值求导是一种使用数值方法计算函数导数的方法。
它基于函数在一些点的变化率来近似导数。
在MATLAB中，可以使用函数`diff`或`gradient`来进行数值求导。
以下是一个使用`diff`函数计算函数f(x) = x^2在x=1处的导数的示例：```matlabx=1;f=x^2;h=1e-6;%步长df = (f(x+h)-f(x))/h;```在数值求导中，步长h的选择对结果精度起着重要作用。
通常，较小的步长会导致较高的精度，但也会增加运算时间。
因此，需要在精度和效率之间找到一个平衡。
3.有限差分法有限差分法是一种数值计算方法，用于近似函数的导数。
它通过计算函数在邻近点上的差异来估计导数。
MATLAB中也有一些内置的函数用于计算导数，如`diff`, `gradient`和`diffusehess`等。
以下是一个使用`diff`函数计算函数f(x) = x^2在x=1处的导数的示例：```matlabx=1;f=x^2;h=1e-6;df = diff(f)/h;```有限差分法适用于函数没有解析表达式或难以求解的情况，它的运算速度相对符号求导和数值求导较快。
但是，有限差分法的精度受到步长h的约束，需要进行适当的调整以获得更精确的结果。
用Matlab软件求多元函数的偏导数和极值
数学实验五 用Matlab 软件求多元函数的偏导数和极值一、多元函数的偏导数1．调用格式一：diff('多元函数','自变量',n)其中，n 为所求偏导数的阶数．例1 已知y x z 2cos 2=，求x z ∂∂、x y z ∂∂∂2和22y z ∂∂． 解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：pzpx=diff('x^2*cos(2*y)','x')p2zpypx=diff(pzpx,'y')p2zpy2=diff('x^2*cos(2*y)','y',2)取名为exa9保存，再在命令窗口中输入命令exa9，程序运行结果如下：pzpx =2*x*cos(2*y)p2zpypx =-4*x*sin(2*y)p2zpy2 =-4*x^2*cos(2*y)即y x x z 2cos 2=∂∂，y x x y z 2sin 42−=∂∂∂，y x yz 2cos 4222−=∂∂． 2．调用格式二：syms x y z …diff(f,自变量,n)例2 已知)5sin(32z y x u +−=，求x u ∂∂、x y z u ∂∂∂∂3和33z u ∂∂． 解 在命令行中依次输入：syms x y zu=sin(x^2-y^3+5*z);ux=diff(u,x);uxy=diff(ux,y);uxyz=diff(uxy,z);uz3=diff(u,z,3);ux,uxyz,uz3运行结果如下：ux =2*cos(x^2-y^3+5*z)*xuxyz =30*cos(x^2-y^3+5*z)*y^2*xuz3 =-125*cos(x^2-y^3+5*z)即)5cos(232z y x x xu +−=∂∂，)5cos(303223z y x xy x y z u +−=∂∂∂∂， )5cos(1253233z y x zu +−−=∂∂． 二、隐函数的导数在Matlab 中没有直接求隐函数导数的命令，但可调用Maple 中求隐函数导数的命令，调用格式如下：maple('implicitdiff(f(u,x,y,z,…，)=0,u,x)')例3 求由多元方程xyz z y x =++222所确定的隐函数dxz ∂． 解 在命令行中输入：pzpx=maple('implicitdiff(x^2+y^2+z^2-x*y*z=0,z,x)')运行结果是：pzpx =(2*x-y*z)/(-2*z+x*y)即 zxy yz x x z 22−−=∂∂． 三、多元函数的极（或最）值在Matlab 中同样有求多元函数的极（或最）小值的函数，但由于多元函数的形式比较复杂，不同情况用到不同的Matlab 函数．若要求多元函数u 在某一区域的极（或最）大值，可转化为求u −在该区域内的极（或最）小值．1．非线性无约束情形求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式是：[x,fval]=fminsearch(‘f ’,x0)f 是被最小化的目标函数名，x0是求解的初始值向量．例４ 求二元函数2331042),(y xy xy x y x f +−+=的最值点和最值．解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：%必须对自变量进行转化x=x(1)，y=x(2)[Xmin,fmin]=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',[0,0]);[Xmax,Fmin]=fminsearch('-2*x(1)^3-4*x(1)*x(2)^3+10*x(1)*x(2)-x(2)^2',[0,0]);fmax=-Fmin;Xmin,fminXmax,fmax取名为exa10保存，再在命令窗口中输入命令exa10，程序运行结果如下：Xmin =1.0016 0.8335fmin =-3.3241Xmax =-1.0000 1.0000fmax =2．非线性有约束情形非线性有约束优化问题的数学模型如下：式中，x,b,beq,lb 和ub 是向量，A 和Aeq 是矩阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回标量．f(x)，c(x)和ceq(x)可以是非线性函数．求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式如下：[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)nonlcon 参数计算非线性不等式约束c(x)<=0和非线性等式约束ceq(x)=0．例5 求表面积为6m 2的体积最大的长方体体积．解 设长方体的长、宽、高分别为x1、x2、x3，则f(x)=-x(1)*x(2)*x(3)，S.t x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3=0，x(i)>0,i=1,2,3．⑴ 建立函数文件fun1打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：function F=fun1(x) %函数文件必须是function 开头F=-x(1)*x(2)*x(3);单击“保存”按钮，自动取名为fun1，再击保存．⑵ 建立非线性约束函数文件yceqfunction [c,ceq]=yceq(x)c=x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3;ceq=[];保存方法同上，自动取名为yceq ，再击保存．⑶ 编制主程序：打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：x0=[3;3;3]; %给长宽高一个初值A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];lb=[0,0,0];ub=[];[xmax,fmin]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'yceq'); %函数要加单引号Vmax=-fmin;xmax,Vmax取名为exa11保存，再在命令窗口中输入命令exa11，程序运行结果如下：xmax =1.00001.00001.0000Vmax =ubx lb beqx Aeq bx A x ceq x c x f Min ≤≤≤⋅≤⋅=≤0)(0)()(四、上机实验1．用help命令查看函数diff，fminsearch和fmincon等的用法．2．上机验证上面各例．3．作相关小节练习中多元函数的偏导数，极（或最）值．。
MATLAB求参数方程2阶偏导数
例2
text_diff2(x,y,t)
参数方程的1阶导数的简化符号表达式： s_dydx1 = -cos(t)/sin(t) 参数方程的2阶导数的简化符号表达式： s_dydx2 = sin(t)/cos(t) s_dydx_2 =-1/sin(t)^3 参数方程的1阶导数的简化符号表达式： s_dydx1 = (cos(t)*(cos(t) + sin(t)))/sin(t) 参数方程的2阶导数的简化符号表达式： s_dydx2 = cos(t)^2*(cos(t) - sin(t)) s_dydx_2 = (cos(t)*(2*cos(t)*sin(t) - 2*cos(t)^2 + cos(t)^4 - cos(t)^3*sin(t) + 1))/(cos(t)^2 - 1)^2
MATLAB求参数方程2阶偏导数时的 问题
制作人：倪亮军
已知MATLAB参数方程偏导数求解方法
设参数方程为x=g(t)和y=h(t)所确定的函数y=f(x),
则y=f(x)的导数为 dy y '(t ) dx x '(t ) 计算参数方程k阶导数
diff (h, t , k ) / diff ( g , t , k )
参数方程输入
例1 参数方程
x cos t t ) y cos t sin t
参数方程MATLAB输入
例1
syms t >> x=cos(t); >> y=sin(t); syms t >>x=log(cos(t)); >>y=cos(t)-sin(t);
绘制例1二阶导数图像
例2二阶导数图形
结论
使用
MATLAB导数的计算
MATLAB导数的计算1.符号求导法符号求导是使用MATLAB中的符号计算工具箱进行求导的一种方法。
首先，需要定义符号变量，然后再使用diff函数对符号表达式进行求导。
例如，假设要求函数f(x) = x^2的导数，可以按照以下步骤进行：```matlabsyms xf=x^2;df = diff(f, x);disp(df);```上述代码中，首先使用syms命令定义了一个符号变量x，然后定义了函数f(x) = x^2，最后使用diff函数对f进行求导，并将结果保存在df变量中。
最后，使用disp函数输出导数df的值。
2.数值求导法数值求导是一种通过计算函数在其中一点的左右两个邻近点的函数值来估计导数的方法。
在MATLAB中，可以使用diff函数来实现数值求导。
例如，假设要计算函数f(x) = x^2在x = 1处的导数，可以按照以下步骤进行：```matlabx=1;h=0.001;df = (f(x+h)-f(x-h))/(2*h);disp(df);```上述代码中，首先定义了要计算导数的点x = 1，然后定义了一个小的步长h，在此示例中，h的值为0.001、然后通过定义一个匿名函数f来表示要计算的函数f(x)，最后使用数值求导公式计算导数df的近似值，并使用disp函数输出导数的值。
3.数值微分法数值微分是使用数值方法估计离散数据集的导数。
在MATLAB中，可以使用gradient函数来实现数值微分。
例如，假设有一组数据点(x, y)，要计算y关于x的导数，可以按照以下步骤进行：```matlabx=[1,2,3,4,5];y=[1,4,9,16,25];dy = gradient(y, x);disp(dy);```上述代码中，首先定义了一组数据点x和y，然后使用gradient函数对y关于x进行数值微分，并将结果保存在dy变量中。
最后，使用disp函数输出导数的值。
4.使用符号求导的数值计算方法在MATLAB中，还可以将符号计算与数值计算相结合，使用符号求导的结果计算数值导数。
matlab求函数在指定点的数值导数
matlab求函数在指定点的数值导数在数学和科学计算中，函数的导数是指函数在给定点上的变化率。
求函数在指定点的数值导数是让我们能够快速而准确地计算函数的变化率，从而帮助我们分析函数的性质和优化问题。
在MATLAB中，我们可以使用符号计算工具箱来求解函数在指定点的数值导数。
首先，我们需要确保已经安装了符号计算工具箱。
如果没有安装，可以在MATLAB的主界面上选择“添加-Ons”并进行安装。
安装完成后，我们可以使用符号计算工具箱中的函数`diff`来求函数的导数。
在MATLAB中，我们首先需要定义函数和变量。
假设我们要求函数f(x)在指定点x=a处的导数。
我们可以通过以下步骤来实现：1. 定义函数f(x)：在MATLAB中，我们可以使用`syms`命令定义一个符号变量。
例如，如果我们要定义一个函数f(x)=x^2+3x+2，我们可以这样写：```matlabsyms x;f(x) = x^2 + 3*x + 2;```2. 求导数：使用`diff`函数来计算函数的导数。
通过指定第二个参数为变量x，并将其设置为指定点a，我们可以计算函数在该点的导数。
例如，我们要求f(x)在x=a处的导数，可以这样写：```matlaba = 1; % 指定的点adf = diff(f, x);df_a = subs(df, x, a);```这样，我们就求得了函数f(x)在x=a处的导数df_a。
现在让我们来看一个具体的例子。
假设我们要求函数f(x) = sin(x)在x=π/4处的导数。
我们可以按照上述步骤在MATLAB中实现：```matlabsyms x;f(x) = sin(x);a = pi/4; % 指定的点adf = diff(f, x);df_a = subs(df, x, a);```运行以上代码后，MATLAB会计算出f(x) = sin(x)在x=π/4处的导数df_a。
MATLAB还提供了其他一些函数来处理更复杂的导数计算，例如高阶导数、偏导数和隐式函数的导数。
matlab导数及应用 实验
实验三 导数及应用实验目的1. 深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义。
掌握MATLAB 求导数与高阶导数的方法。
深入理解和掌握求隐函数的导数及由参数方程定义的函数的导数的方法。
2. 掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法。
掌握用MATLAB 求方程的根和求函数的极值的方法。
实验内容● 求导数的命令为：diff ，常用格式为 >> syms x>> diff('f(x)',x)diff(f,x)给出f 关于x 的导数，而表达式f 中的其它字母看作常量。
因此如果表达式是多元函数，则给出的是偏导数。
>> diff('f(x)',x,n) 给出f 关于x 的n 阶导数或者偏导数。
● 多项式方程00111=+++--a x a xa x a n n n n 求根命令是：roots具体格式：roots (c)● 求一般方程0)(=x f 近似根的命令，一般形式为：⑴ 建立函数：f=inline('表达 式 ')⑵ 求函数零点：c=fzero(f, [a, b]) % 求函数f(x) 在区间[a, b] 内的零点c ； c=fzero(f, x0) % 求函数f(x) 在x0 附近的零点c ； fsolve 非线性方程求解fzero 标量非线性方程求解● 求非线性函数f(x) 的极小值，求一元函数极小值命令是 fminbnd,常用格式为： x=fminbnd(fun,x1,x2);[x,fav1]=fminbnd(fun,x1,x2);[x,fav1,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2);其中：x=fminbnd(fun,x1,x2) 是求(x1,x2)上fun 函数的最小值x 。
[x,fav1]=fminbnd(fun,x1,x2)返回解x 处目标函数的值。
matlab中求导数的命令
Matlab中求导数的命令1. 简介求导数是数学中一项重要的运算，它用于确定函数在某一点的变化率。
在科学计算和数据分析中，求导数也是一项常见的操作。
Matlab作为一种强大的数值计算和可视化工具，提供了多种用于求导数的命令和函数。
本文将介绍Matlab中常用的求导数命令，以及如何使用它们进行求导数操作。
2. diff函数：求导数在Matlab中，diff函数是常用的求导数命令。
它可以计算一个函数的符号导数、数值导数和复合函数的导数。
diff函数的语法如下：dy = diff(y)dy = diff(y,n)dy = diff(y,x)dy = diff(y,x,n)其中，y表示输入的函数，x表示自变量，n表示求导的阶数。
下面我们将分别介绍这几种用法。
2.1. 符号导数符号导数是指根据函数的解析表达式，求得其导数的表达式。
符号导数不需要数值计算，可以保持高精度。
示例1：求函数 y = x^2 的导数。
syms xy = x^2;dy = diff(y)上述代码中，通过syms函数声明了一个符号变量x，然后定义了函数y = x^2。
最后使用diff函数求y的导数，得到结果dy = 2*x。
2.2. 数值导数数值导数是指通过有限差分方法，利用离散的函数值来近似计算函数的导数。
数值导数适用于无法通过解析表达式求得导数的情况。
示例2：求函数 y = sin(x) 在 x = pi/4 处的导数。
x = pi/4;y = sin(x);dy = diff(y)上述代码中，直接将x赋值为pi/4，然后计算y = sin(x)在x = pi/4处的导数。
最后得到结果dy ≈ 0.7071。
2.3. 复合函数的导数复合函数是由两个或多个函数组成的函数。
在Matlab中，我们可以使用符号导数和chainrule函数来求解复合函数的导数。
示例3：求复合函数 y = sin(x^2) 的导数。
syms xy = sin(x^2);dy = diff(y)上述代码中，通过syms函数声明了一个符号变量x，然后定义了函数y =sin(x^2)。
matlab偏导数运算
Matlab偏导数运算
1. 什么是偏导数？
偏导数是多元函数求导的一种形式。
在数学中，如果一个函数有多个变量，则
可以对其中一个变量求偏导数，而将其他变量视为常数。
偏导数衡量了函数在
某个特定点上的变化率。
2. Matlab中的偏导数计算方法
在Matlab中，可以使用符号工具箱来计算偏导数。
符号工具箱允许我们将符
号表达式定义为符号变量，并进行符号运算，包括求导。
要计算一个函数的偏导数，首先需要定义符号变量。
通过使用syms命令来实现：syms x y
然后，可以定义函数并使用符号变量进行表达：
f = x^2 + 2*x*y + y^2;
要计算f关于x的偏导数，可以使用diff函数：
df_dx = diff(f, x);
类似地，要计算f关于y的偏导数，可以使用：
df_dy = diff(f, y);
3. 示例
让我们通过一个示例来说明如何在Matlab中计算偏导数。
假设我们有以下函数：
f = sin(x) + cos(y);
我们需要计算f关于x和y的偏导数。
syms x y
df_dx = diff(f, x);
df_dy = diff(f, y);
输出结果为：
df_dx = cos(x)
df_dy = -sin(y)
这样，我们就得到了f关于x和y的偏导数。
4. 总结
Matlab提供了符号工具箱来计算函数的偏导数。
通过定义符号变量，并使用diff函数，可以计算函数关于指定变量的偏导数。
这对于需要进行数学分析和优化的问题非常有用。
matlab中对积分上限函数求偏导
MATLAB中对积分上限函数求偏导在MATLAB中，对积分上限函数求偏导是一个常见的问题。
这个问题涉及到了微积分和MATLAB编程的结合，需要综合运用符号计算工具箱和数值计算方法来解决。
在本文中，我将以从简到繁、由浅入深的方式来探讨MATLAB中对积分上限函数求偏导的问题，并共享我对这个问题的个人观点和理解。
1. 求偏导的基本概念在开始讨论MATLAB中对积分上限函数求偏导的问题之前，我们首先需要了解偏导数的基本概念。
偏导数是多元函数在某一点沿着坐标轴的方向导数，表示了函数在该点沿着坐标轴正方向的变化率。
对于函数f(x, y)，其偏导数可以分别表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
在MATLAB中，可以使用syms工具定义符号变量，并使用diff函数来计算函数的偏导数。
2. 积分上限函数的表达积分上限函数是指积分的上限是另一个函数的情况，通常表示为∫f(x, g(x))dx，其中g(x)是积分上限函数。
在MATLAB中，可以使用符号计算工具箱中的int函数来表示并求解积分上限函数。
3. MATLAB中对积分上限函数求偏导的方法在MATLAB中，对积分上限函数求偏导涉及到了符号计算和数值计算的结合。
我们需要使用syms工具定义符号变量，并使用int函数对积分上限函数进行积分。
可以使用diff函数对得到的积分结果进行偏导数计算。
在实际编程中，需要注意处理符号变量和数值计算的转换，以及对复杂函数的求导规则。
4. 个人观点和理解对于MATLAB中对积分上限函数求偏导的问题，我认为这是一个涉及到数学理论和编程实践的综合性问题。
在解决这个问题的过程中，我们需要深入理解偏导数的概念和积分上限函数的表达，同时需要熟练运用MATLAB中的符号计算工具箱和数值计算方法。
这个问题对于提高数学建模和编程能力有着重要的意义，也能够拓展对MATLAB的应用范围。
总结通过本文的讨论，我们全面介绍了MATLAB中对积分上限函数求偏导的方法和技巧。
matlab中多元函数求偏导
matlab中多元函数求偏导在Matlab中，求多元函数的偏导数是一个非常常见的操作。
偏导数是指在多元函数中，对于某一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数，所得到的导数。
下面将介绍在Matlab中如何求解多元函数的偏导数。
首先，我们需要定义多元函数。
在Matlab中，可以使用符号变量来定义多元函数。
例如，我们可以定义一个二元函数f(x,y) = x^2 +y^2：syms x yf = x^2 + y^2;接下来，我们可以使用diff函数来求解偏导数。
diff函数的第一个参数是要求导的函数，第二个参数是要对哪个自变量求导。
例如，我们可以求解f对x的偏导数：df_dx = diff(f, x)这将得到一个新的符号变量df_dx，它表示f对x的偏导数。
我们可以使用subs函数来将x和y的值代入df_dx中，从而得到具体的数值。
例如，我们可以将x=1，y=2代入df_dx中：df_dx_value = subs(df_dx, [x y], [1 2])这将得到一个数值4，表示f在x=1，y=2处对x的偏导数为4。
同样地，我们也可以求解f对y的偏导数：df_dy = diff(f, y)df_dy_value = subs(df_dy, [x y], [1 2])这将得到一个数值4，表示f在x=1，y=2处对y的偏导数也为4。
除了求解一阶偏导数，我们也可以使用diff函数来求解高阶偏导数。
例如，我们可以求解f对x的二阶偏导数：d2f_dx2 = diff(f, x, 2)d2f_dx2_value = subs(d2f_dx2, [x y], [1 2])这将得到一个数值2，表示f在x=1，y=2处对x的二阶偏导数为2。
总之，在Matlab中求解多元函数的偏导数非常简单。
我们只需要使用diff函数来求解一阶或高阶偏导数，然后使用subs函数将自变量的值代入，即可得到具体的数值。
数学实验与模型课件 实验2 MATLAB导数计算中的应用
eg3：利用matlab求下列函数的导数.
(1) y ln(ln2 x) (2) y tan x
1 cos x (3) y (x x2 )x (4) y x x2 1
x x2 1 (5) y ex (cos x sin x), 求y, y.
eg1：利用matlab求函数y 2 sin x ln x x2的导数.
解：输入
>>syms x;
%定义变量
>>y=2+sin(x)+log(x)-x^2; %输入函数（输入“；”可不%求y的一阶导数（可省略1）
显示结果： dy1 =
cos(x)+1/x-2*x
解 输入 >> clear >> syms x y;f=y^5+2*y-x-3*x^7; >> g=-diff(f,x)/diff(f,y) 结果显示 g=
(1+21*x^6)/(5*y^4+2)
eg5 : 求由方程x y tan(1 y)所确定的隐函数的导数.
数学实验2 MATLAB在 导数计算中的应用
1.应用MATLAB进行函数求导运算 2.应用MATLAB对隐函数求导
1.应用MATLAB进行函数求导运算
在MATLAB里由命令函数diff( )来完成求 导运算，其具体形式为：
diff(function,’variable’,n)
参数function为需要进行求导运算的函 数，variable为求导运算的独立变量，n为求 导的阶次.命令函数diff()默认求导的阶次为1 阶；如果表达式里有多个符号变量，并且没 有在参数里说明，则按人们习惯的独立变量 顺序确定进行求导的变量.
matlab符号求偏导和全微分及其实验
功能
zx=diff(f(x,y),x)
求x的一阶偏导
Zy=diff(f(x,y),y)
求y的一阶偏导
Dz=zx*dx+zy*dy
Байду номын сангаас求z的全微分
Zxx=diff(zx,x)
求x的二阶偏导
Zxy=diff(z,x,y)
求z的xy混合二阶偏导
Zxn=diff(f(x,y),x,n)
求x的n阶偏导
Zyn=diff(f(x,y),y,n)
求y的n阶偏导
Ux=diff(f(x,y,z),x)
求三元u的x的偏导
Uy=diff(f(x,y,z),y)
求三元u的y的偏导
Uz=diff(f(x,y,z),z)
求三元u的z的偏导
Du=ux*dx+uy*dy+uz*dz
求u的全微分
Uyx=diff(u,y,x)
举例
求u的xy二阶混合偏微分
Uyxy=diff(u,y,x,y)
求u的xyx的三阶混合偏微分
Zx=-diff(F,x)/diff(F,z)
Zy=-diff(F,y)/diff(F,z)
求隐函数的xy的偏微分
Pretty(diff(f(x,y,z),x))
输出一个符合日常书写习惯的表达式
举例
拉格朗日插值多项式数值计算高阶导数MATLAB程序
end
C=Y*L1;L=Y*1;
syms x dyk
for k=1:n1
k
dyk=diff(L,x,k)
end
计算梯度和方向导数的MATLAB程序及其实验
符号求导命令
功能
[FX,FY]=gradient(F)
高等数学MATLAB实验二 导数与微分中值定理及应用
• 熟悉MATLAB求函数的导数与微分的命令 • 理解导数概念及其几何意义
• 一、常用命令
• 1. diff(函数f(x)) ， 求f(x)的一阶导数；
• 2. diff(函数f(x)，n) ， 求f(x)的n阶导数 (n 是具体整数)；
• 3. diff(函数f(x,y)，变量名x)，求f(x,y)对的 偏导数；
• 4. diff(函数f(x,y)，变量名x，n) ，求f(x,y) 对x的n阶偏导数；
• 5. subs(f(x),x,x0)， 将x=x0代入f(x)中 • 6. solve（方程,变量）：求解方程或方程组。
• 7. sqrt(x) 或 x^(1/2) ， x的平方根 • 8. plot(x,y)， 平面图形的绘图命令 • 9. log， 以e为底的对数函数 • 10. atan, 反正切函数
二、二维曲线的简捷绘制： ezplot
ezplot(f(x,y),[a,b,c,d]) 绘f(x,y)=0在区间 a<x<b,c<y<d 上的图形
ezplot(f(x,y),[a,b]) 缺省的绘图区间为 [-2, 2] 绘f(x,y)=0在区间 a<x,y<b 上的图形
ezplot(f,g,[a,b]) 缺省的绘图区间为 [0, 2] 绘x=f(t),y=g(t)在区间 a<t<b 上的图形
在指定的坐标轴范围lims内用指定的相对误差值tol画出函 数名为fname的一元函数图形.
fnamen必须是一个m文件函数名 或 一个包含变量x，且能用函数eval计算的字符串。 例如：’sin(x)*exp(2*x)’，’[sin(x),cos(x)]’
例 用fplot函数绘制f(x)=cos(tan(πx))的曲线。 先建立函数文件myf.m： function y=myf(x) y=cos(tan(pi*x)); 再用fplot函数绘制myf.m函数的曲线： fplot('myf',[-0.4,1.4],1
MATLAB计算方法和技巧 导数的计算
MATLAB求导数的方法1．数值导数的计算[问题]求正弦函数的一阶导数和二阶导数y = sin x[数学模型]函数的一阶导数为y' = cos x函数的二阶导数为y'' = -sin x[算法]求差分函数为diff，对于数值向量，其功能是求后一元素与前一元素之差，如果数值间隔取得足够小，就能表示导数的近似值。
对于符号函数，可用同样的函数diff计算符号导数。
[程序]zyq3_1diff.m如下。
%正弦函数的导数clear %清除变量a=0:5:360; %度数向量x=a*pi/180; %弧度向量dx=x(2); %间隔(第1个值为零)y=sin(x); %正弦曲线dy=diff(y)/dx; %用差分求导数的近似值dy=[dy(1),(dy(1:end-1)+dy(2:end))/2,dy(end)];%求平均值figure %创建图形窗口%plot(x,cos(x),x(1:end-1),dy,'.') %画导数曲线(数值导数偏左)%plot(x,cos(x),x(2:end),dy,'.') %画导数曲线(数值导数偏右)plot(x,cos(x),x,dy,'.') %画导数曲线(数值导数适中)s=sym('sin(x)'); %定义符号函数sdy=diff(s); %符号导数ssdy=subs(sdy,'x',x); %替换数值hold on%保持图像plot(x,ssdy,'ro') %画导数曲线legend('公式解','数值解','符号解',4) %加图例title('正弦函数的一阶导数') %标题d2y=diff(dy)/dx; %用差分求导数的近似值d2y=[d2y(1),(d2y(1:end-1)+d2y(2:end))/2,d2y(end)];%求平均值figure %创建图形窗口plot(x,-sin(x),x,d2y,'.') %画导数曲线(数值导数适中)sd2y=diff(s,2); %符号二阶导数ssd2y=subs(sd2y,'x',x); %替换数值hold on%保持图像plot(x,ssd2y,'ro') %画导数曲线legend('公式解','数值解','符号解',4) %加图例title('正弦函数的二阶导数') %标题[图示]2．函数极值的计算[问题]求如下函数的极值y = x3– 3x2 + x(1) [数学模型]求导数y' = 3x2– 6x + 1 (2) 令y' = 0，解得1(3x=±=1.8165，0.1835 (3)3[算法]将自变量设计为向量，函数设计为内线函数，用max函数和min函数求极大值和极小值。
matlab中多元函数求偏导
matlab中多元函数求偏导在Matlab中，多元函数求偏导是一项常见的任务。
通过求取函数在不同自变量方向上的偏导数，可以获得函数在该点的斜率或变化率。
这在优化、最小二乘法、机器学习等领域中都有广泛的应用。
要求多元函数求偏导，首先需要了解什么是偏导数。
偏导数指的是在多元函数中，将函数关于某个自变量求导，而将其他自变量视为常数的过程。
通过求取各个自变量的偏导数，可以获得函数在不同自变量方向上的变化率。
在Matlab中，多元函数求偏导可以使用符号计算工具箱来实现。
符号计算工具箱可以将变量定义为符号对象，并进行符号运算，从而得到精确的结果。
下面将介绍一些常用的符号计算函数来实现多元函数求偏导。
1. `syms`函数：用于定义符号变量。
例如，`syms x y`可以定义`x`和`y`为符号变量。
2. `diff`函数：用于求导数。
例如，`diff(f, x)`表示对函数`f`关于变量`x`求导。
可以通过连续调用`diff`函数来求取高阶导数。
3. `subs`函数：用于替换符号变量的值。
例如，`subs(f, x, a)`表示将函数`f`中的变量`x`替换为值`a`。
下面通过一个具体的例子来说明如何在Matlab中进行多元函数求偏导。
假设我们有一个二元函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，并需要求取其关于x和y的偏导数。
我们使用`syms`函数定义符号变量x和y：```matlabsyms x y```然后，我们定义函数f并求取其关于x和y的偏导数：```matlabf = x^2 + 2*x*y + y^2;df_dx = diff(f, x);df_dy = diff(f, y);```我们可以通过`subs`函数将x和y替换为具体的值，并计算偏导数的数值结果：```matlaba = 1;b = 2;df_dx_value = subs(df_dx, [x, y], [a, b]);df_dy_value = subs(df_dy, [x, y], [a, b]);```在这个例子中，我们得到了函数f关于x和y的偏导数分别为2x + 2y和2x + 2y。
高等数学MATLAB实验二 导数与微分中值定理及应用 实验指导书
实验二 导数与微分中值定理及应用【实验类型】验证性 【实验学时】2学时 【实验目的】1．掌握用MA TLAB 求函数的导数与微分的方法；2．学会用MA TLAB 求各种形式函数的微分、导数及高阶导数； 3．进一步理解导数概念及其几何意义； 4．理解中值定理的条件和结论。
【实验内容】1．熟悉MATLAB 求函数的导数与微分的命令； 2．理解导数概念及其几何意义； 3．理解中值定理的条件和结论。
【实验前的预备知识】1．熟悉导数的概念和各种函数的基本求导方法； 2．知道拉格朗日中值定理的内容；3．MATLAB 中创建符号变量的方法和符号运算命令的用法； 4．MA TLAB 中平面图形的作图方法。
【实验方法或步骤】 一、实验的基本理论与方法1. 导数的定义：若函数()f x 在0x 点可导，则0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆；2. 函数的微分：若函数()f x 可微分，则()dy f x dx '=；3. 参数方程的导数：若(),()t t ϕψ二阶可导，并且()0t ϕ'≠，则由方程()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩所确定的隐函数()y y x =二阶可导，且22()()d dy dy t d y dt dx dx dx t dxdtψϕ⎛⎫⎪'⎝⎭=='，； 4. 由方程所确定的隐函数的求导方法。
二、实验使用的MATLAB 命令1. diff(())f x ， 求()f x 的一阶导数()f x '；2. diff((),)f x n ，求()f x 的n 阶导数()()n fx (n 是具体整数)；3. subs(,[],[])f x u ，将()f x 中的自变量x 替换为变量u ；4. solve （方程,变量）：求解方程或方程组。
三、实验指导例1 设()e xf x =，用定义计算(0)f '.()f x 在某一点0x 的导数定义为极限:000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，记h x =∆，输入命令:syms h;limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0) 运行结果:ans= １因此 (0)1f '=.例2 画出()e xf x =在0x =处(0,1)P 的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.解: 在曲线()e xf x =上另取一点(,e )hM h ，则PM 的方程是:e 11h y x h-=+取h =3,2,1,0.1,0.01，分别作出几条割线，参考程序如下： 输入命令：h=[3,2,1,0.1,0.01],a=(exp(h)-1)./h,x=-1:0.1:3, plot(x,exp(x),'r');hold on for i=1:5;plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1) endaxis squareplot(x,x+1,'r') % 作出()e xf x =在0x =处的切线1y x =+ 运行结果：（图2.1）图2.1从图上看，随着M 与F 越来越接近，割线PM 越来越接近曲线的切线。
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dz_dy= (-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)．
3
分析实验 mage
练习
1.求下列隐函数的导数：
(1) arctg y = ln x 2 + y 2 ； x
2Байду номын сангаас求下列函数的偏导数：
(2) x y = y x ．
ans=30*x^4+4*y^2.
将命令中最后一个 x 换为 y 得 ∂2 z ∂y 2
ans=-36*y^2+4*x^2. 输入命令
diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x),y)
可得 ∂ 2 z ∂x∂y
ans=8*x*y.
同学们可自己计算 ∂ 2 z 比较它们的结果. ∂y∂x
实验内容：
⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞
⎜ ⎜
∂x
∂y
∂z
⎟ ⎟
⎜ ∂g ∂g ∂g ⎟ ．
⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟
⎜ ∂h ∂h ∂h ⎟
⎜ ⎝
∂x
∂y
∂z
⎟ ⎠
一、求多元函数的偏导数
例１ 设 u= x2 + y2 + z 2 求 u 的一阶偏导数.
解 输入命令 diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2), x).
给出矩阵
⎜⎛ ⎝
∂u ∂x
,
∂u ∂y
⎟⎞ ⎠
.
例２ 求下列函数的偏导数:
解 输入命令
z1
=
arctg (
y)； x
diff(atan(y/x)，
z2 = x y .
1
分析实验 mage
得结果 ans=-y/x^2/(1+y^2/x^2)；
输入命令 diff(atan(y/x), y)，
得结果 ans=1/x/(1+y^2/x^2)；
注意命令 diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x,y),是对 y 求偏导数,不是求 ∂ 2 z . ∂x∂y
2
分析实验 mage
三、求隐函数所确定函数的导数或偏导数
例４
y
设 ln x + e x
= e,求
dy
.
dx
y −
解 F (x, y) = ln x + e x − e ,先求 Fx′ ,再求 Fy′ .
diff(函数 f (x, y) , 变量名 x ,n) ,求 f (x, y) 对 x 的 n 阶偏导数 ∂ n f ． ∂x n
matlab 求雅可比矩阵命令 jacobian,调用格式:
jacobian([函数 f (x, y, z) ;函数 g(x, y, z) ; 函数 h(x, y, z) ], [ x, y, z ])给出矩阵
dy_dx=-(-1/x-y/x^2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x).
例５ 设 sin( xy) + cos( yz) + tg(xz) = 0 ,求 ∂z , ∂z ． ∂x ∂y
解 记 F (x) = sin( xy) + cos( yz) + tg (xz) ．
输入命令 a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x),[x,y,z])
输入命令 df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),x)
得到 Fx′
df_dx=1/x+y/x^2*exp(-y/x)； 输入命令
df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),y)
得到 Fy′
df_dy=-1/x*exp(-y/x)． 输入命令
dy_dx=-df_dx/df_dy 可得所求结果
(1) z = x 2 sin( xy) ；
z
(2) u
=
⎜⎛ ⎝
x y
⎟⎞ ⎠
．
3.设 u
=
x ln(x
+
y) ,求
∂ 2u ∂x 2
, ∂2u ∂y 2
,
∂ 2u ∂x∂y
.
4.求下列多元隐函数的偏导数 ∂z , ∂z . ∂x ∂y
(1) cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z = 1 ；
得结果 ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x.
在命令中将末尾的 x 换成 y 将给出 y 的偏导数 ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y.
也可以输入命令 jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2),[x y]).
得结果 ans=[1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x, 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]．
输入命令 diff(x^y, x)，
得结果 ans=x^y*y/x；
输入命令 diff(x^y, y)，
得结果 ans=x^y*log(x).
使用 jacobian 命令求偏导数更为方便.
输入命令
jacobian([atan(y/x),x^y],[x,y])，
得结果
ans=[ -y/x^2/(1+y^2/x^2), 1/x/(1+y^2/x^2)]
( ) 可得矩阵 Fx′, Fy′ , Fz′
a= [cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)^2)*z,cos(x*y)*x-sin(y*z)*z,
-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x]； 输入命令
dz_dx=-a(1)/a(3) 得
dz_dx= (-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)^2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)； 输入命令
[
x^y*y/x,
x^y*log(x)].
二、求高阶偏导数
例３ 设 z = x 6 − 3y 4 + 2x2 y 2 ,求 ∂ 2 z , ∂ 2 z , ∂ 2 z . ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
解 输入命令 diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x,2)
可得到 ∂ 2 z ∂x 2
分析实验 mage
实验二 偏导数的计算
实验目的： 1.了解函数求导的 matlab 相关命令。
2. 会求多元函数的偏导数。 3. 会求隐函数所确定函数的导数或偏导数
常用命令
matlab 求偏导命令 diff 调用格式:
diff(函数 f (x, y) ,变量名 x ), 求 f (x, y) 对 x 的偏导数 ∂f ； ∂x
(2) e z = xyz ．
5.证明函数 u = ln (x − a)2 + ( y − b)2 ( a, b 为常数)满足拉普拉斯方程
∂2u + ∂2u = 0． ∂x 2 ∂y 2
(提示:对结果用 simplify 化简)
4