常见递推数列通项的九种求解方法

常见递推数列通项的九种求解方法

高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：1()n n

a a f n +=+（()f n 可以求和）

−−−−→解决方法累加法 例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥Q

∴21324311

3

521

n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪

-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩M 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴=

评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。 【类型一专项练习题】

1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。

2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。

3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

4、已知}{n a 中，n

n n a a a 2,311+==+，求n a 。

5、已知112a =,112n

n n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

*

()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.

6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1

132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？

7、若数列的递推公式为1*

113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式

8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 9、已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。 10、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式．

11、设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示

这n 条直线交点的个数，则(4)f = ； 当4n >时，()f n = （用n 表示）．

答案:1. (12n n n a +=） 2. (31)2n n n a += 3.21n a n =+ 4. 21n n a =+ 5. 1

3122n n a -⎛⎫=- ⎪

⎝⎭

6. 312n n a -=

7. 1123n n a +=-

8. 31n n a n =+-

9. 312n a n

=- 10.(1)2 (2) 2

2n a n n =-+

11.(1)5 (2) 22

2

n n -+

类型二：1

()n n

a f n a +=⋅ （()f n 可以求积）

−−−−→解决方法累积法 例1、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。 解析：1232

112321

n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=

⋅⋅⋅⋅L 123211143n n n n n n --=

⋅⋅⋅⋅+-L 2

1

n =

+ 又1a Q 也满足上式；21n a n ∴=+ *

()n N ∈

评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。 【类型二专项练习题】

1、 已知11a =，11

1

n n n a a n --=

+(2n ≥)，求n a 。 2、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 11+=+，求n a 。

3、已知}{n a 中，12n n n

a a n +=+，且12a =，求数列}{n a 的通项公式.

4、已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=+ )1(≥n ，求n a 。

5、已知11a =,1()n n n a n a a +=-*

()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 6、已知数列{}n a 满足11,a =12n

n n a a +=，求通项公式n a ？

7、已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

8、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项

9、设{a n }是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a 21+n - na 2

n +a n +1·a n = 0 (n = 1, 2, 3, …)，求它的通项公式. 10、数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n S ＝*)(2

N n a n n ∈，求数列}{n a 的通项公式.

答案：1. 22n a n n =

+ 2. 23n a n = 3. ()41n a n n =⋅+ 4. 6

31

n

a n =- 5. n a n = 6. 22

2n n n a -=

7. 212

3!25

n n

n n a n --=⨯⨯⨯ 8. 1

!2

n a n ⎧⎪

=⎨⎪⎩ 12n n =≥ 9. 1n a n =

10. 22n a n n =+

类型三：1(n n

a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）

−−−−→解决方法待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1

B t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。

例1 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。 解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+

1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。

1231n n a -∴=⋅-

【类型三专项练习题】

1、 在数列{}n a 中， 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。

2、若数列的递推公式为*

111,22()n n a a a n N +==-∈，则求这个数列的通项公式

3、已知数列{a n }中，a 1=1，a n =

2

1

a 1-n + 1(2)n ≥求通项a n ． 4、在数列{}n a (不是常数数列)中,1122n n a a +=+且11

3

a =,求数列{}n a 的通项公式.

5、在数列{a n }中，,13,111-⋅==+n n a a a 求n a .

6、已知数列{}n a 满足*

111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.

7、设二次方程n a x 2

- 1.＋n a x+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试用n a 表示a 1n +； （2）求证：数列23n a ⎧⎫

-⎨⎬⎩⎭

是等比数列； （3）当17

6

a =

时，求数列{}n a 的通项公式 8、在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若132

a =，22a =，并且113210(2)n n n S S S n +--++=≥，试判断{}1()n a n *-∈N 是不是等比数列？