三角函数应用举例

练习
. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的 另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一 直线（精确到0.1m）
【解析】要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是
△BDE 的一个外角，
∴∠BED=∠ABD－∠D=90° cos BDE DE
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277(m)
C
答：这栋楼高约为277m.
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰 角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°, 那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 要解决这问题,我们仍需将其数学化.
BD DE COSBDE BD
AB 140°
C
E
cos 50 520 0.64 520 332.8m
50°
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
D
【例】如图，一艘海轮位于灯塔P的北
偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处， 65° A
它沿正南方向航行一段时间后，到达
仰角
B
水平线
αD Aβ
俯角
C
【解析】如图，a = 30°,β= 60°，AD＝120．
tan a BD , tan CD
AD
AD
BD AD tan a 120 tan 30
B
120 3 40 3(m) 3
CD AD tan 120 tan 60
αD Aβ
120 3 120 3(m)
x
50
50 25 3 43m.
tan 60 tanห้องสมุดไป่ตู้30 3 3
3
答:该塔约有43m高. 30°
A 50
m
D 6┌0° BC
P α β
归纳与提高
P
450 O P
O
45° B
30° A
C
30°60° A
45°45°220000米 B
30° B
450
45°
O
A
P 4455°° 3300°°
28.2.2 应用举例
第1课时
1、了解仰角、俯角的概念，能应用锐角三角函数的知识 解决有关实际问题；
2、培养学生分析问题、解决问题的能力.
A
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2 b
c
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
Ca
B
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
30°
60°
【解析】如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,
AB=50m.设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
tan ADC AC , tan BDC BC ,
x
x
AC x tan 60, BC x tan 30.
x tan 60 x tan 30 50.
b c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
【例3】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与 “天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号 与“天宫”一号的组合体当在离地球表面343km的圆形轨道 上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时， 从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置? 最远点与P点的距离是多少? (地球半径约为6 400 km， π取3.142，结果取整数)？
Q cos a OQ 6400 0.9491
OF 6400 343
a 18.36o
∴弧PQ的长为
F PQ
α
O·
18.36 6400 18.36 3.142 6400 2051(km)
180
180
当组合体在P点正上方时，从组合体观测地球时的最远
点距离P点约2051km.
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角 叫做仰角；从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
P
C
位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处， 这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多
34°
远？（结果取整数）
B
【解析】如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
脚出发，沿与地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年
春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从到
上升的高度是
米．
【解析】依题意得，∠ACB=90°.所以 sin∠ACB=sin30°= BC BC 1 .
AB 80 2
所以BC=40（米）. 【答案】40
3. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶 部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度 （精确到0.1m）
220000米 D
O
B
1.（2010·青海中考）如图，从热气球C上测定建筑物A、B 底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为 150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离 为（ C ）
A.150 3 米
B.180 3 米
C.200 3 米
D.220 3 米
2.（2011·株洲中考）如图，孔明同学背着一桶水，从山
【分析】从组合体上能直接看到的地球表面最远的点， 应是视线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线， 切点Q是从飞船观测地球时的最远点．弧PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ
（即a）.
F
P Q
α O·
【解析】在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
视线
铅
仰角
直
线 俯角
水平线
视线
【例4】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高 楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数）.
仰角
B
水平线
αD Aβ
俯角
C
Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角 形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，
在Rt△ACD中：
A
tan ADC AC DC
B
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2m
所以AB=AC－BC=55.2－ 答40：=棋15杆.2的m高度为15.2m.
54° 45° D 40m C