曲线运动练习

曲线运动
1．如图所示，一质量为M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m 的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g ，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )
A ．Mg －5mg
B ．Mg ＋mg
C ．Mg ＋5mg
D ．Mg ＋10mg
解析：选C ．设大环半径为R ，质量为m 的小环下滑过程中遵守机械能守恒定律，所以1
2
m v 2＝mg ·2R .
小环滑到大环的最低点时的速度为v ＝2gR ，根据牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 2
R
，所以在最低点时大环
对小环的支持力F N ＝mg ＋m v 2
R ＝5mg .根据牛顿第三定律知，小环对大环的压力F N ′＝F N ＝5mg ，方向向
下．对大环，据平衡条件，轻杆对大环的拉力F T ＝Mg ＋F N ′＝Mg ＋5mg .根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为F T ′＝F T ＝Mg ＋5mg ，故选项C 正确，选项A 、B 、D 错误．
2．(多选)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆．设卫星、月球绕地球运行周期分别为T 卫、T 月，地球自转周期为T 地，则( )
A ．T 卫＜T 月
B ．T 卫＞T 月
C ．T 卫＜T 地
D ．T 卫＝T 地
解析：选AC ．因r 月＞r 同＞r 卫，由开普勒第三定律r 3
T 2＝k 可知，T 月＞T 同＞T 卫，又同步卫星的周期
T 同＝T 地，故有T 月＞T 地＞T 卫，选项A 、C 正确．
3．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h 变化关系的图象是( )
解析：选D ．由万有引力公式F ＝G Mm
(R ＋h )2
可知，探测器与地球表面距离h 越大，F 越小，排除B 、C ；而F 与h 不是一次函数关系，排除A ．
4．有一星球的密度跟地球的密度相同，但它表面的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转的影响)( )
A ．14
倍 B ．4倍
C ．16倍
D ．64倍
解析：选D ．由g ＝GM R 2，ρ＝3M 4πR 3知M ＝9g 316π2ρ2G 3，故M 星M 地＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫g 星g 地
3＝64.
5．宇航员站在某一星球距其表面h 高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t 后小球落到星球表面．已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，则该星球的质量为( )
A ．2hR 2Gt
2 B ．2hR 2Gt
C ．2hR Gt 2
D ．Gt 22hR 2
解析：选A ．设该星球表面的重力加速度为g ，小球在星球表面做平抛运动，h ＝1
2
gt 2.设该星球的质量
为M ，在星球表面有mg ＝G Mm R 2.由以上两式得，该星球的质量为M ＝2hR
2Gt
2，A 正确．
6．(2019·江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2，近地点到地心的距离为r ，地球质量为M ，引力常量为G .则( )
A ．v 1>v 2，v 1＝ GM
r B ．v 1>v 2，v 1> GM
r C ．v 1<v 2，v 1＝
GM
r
D ．v 1<v 2，v 1>
GM
r
解析：选B ．卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v 1>v 2.若
卫星以近地点时的半径做圆周运动，则有GmM r
2＝m v 2近r ，得运行速度v 近＝ GM
r ，由于卫星在近地点做
离心运动，则v 1>v 近，即v 1> GM
r
，选项B 正确．
7．图甲中表演的水流星是一项中国传统民间杂技艺术，在一根绳子上系着两个装满水的桶，表演者把它甩动转起来，犹如流星般，而水不会流出来．图乙为水流星的简化示意图，在某次表演中，当桶A 在最高点时，桶B 恰好在最低点，若演员仅控制住绳的中点O 不动，而水桶A 、B (均可视为质点)都恰好能通过最高点，已知绳长l ＝1.6 m ，两水桶(含水)的质量均为m ＝0.5 kg ，不计空气阻力及绳重，g 取10 m/s 2.求：
(1)水桶在最高点和最低点的速度大小； (2)图示位置时，手对绳子的力的大小．
解析：(1)设最高点的速度为v 1，最低点的速度为v 2，
水桶做圆周运动的半径R ＝l
2＝0.8 m
水桶恰通过最高点时绳上的拉力为零，
有mg ＝m v 21
R
解得v 1＝2 2 m/s
水桶从最高点运动到最低点有mgl ＋12m v 21＝12m v 2
2
解得v 2＝210 m/s.
(2)绳OA 对水桶A 的拉力为零，对最低点的桶B 受力分析可得F OB －mg ＝m v 22
R
解得F OB ＝30 N
所以，手对绳子的力的大小为30 N.
答案：(1)2 2 m/s210 m/s(2)30 N
8．如图所示，AB是长为L＝1.2 m、倾角为53°的斜面，其上端与一段光滑的圆弧BC相切于B点．C 是圆弧的最高点，圆弧的半径为R，A、C两点与圆弧的圆心O在同一竖直线上．物体受到与斜面平行的恒力作用，从A点开始沿斜面向上运动，到达B点时撤去该力，物体将沿圆弧运动，通过C点后落回到水平地面上．已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，恒力F＝28 N，物体可看成质点且m＝1 kg.重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
(1)物体通过C点时对轨道的压力大小；(结果保留一位小数)
(2)物体在水平地面上的落点到A点的距离．
解析：(1)根据题图，由几何知识得，OA的高度H＝L
sin 53°
＝1.5 m
圆轨道半径R＝L
tan 53°
＝0.9 m
物体从A到C的过程，由动能定理得(F－μmg cos 53°)L－mg(H＋R)＝1
2m v
2 解得v＝2
3 m/s
物体在C点，由牛顿第二定律得F N＋mg＝m v2
R
由牛顿第三定律得物体通过C点时对轨道的压力大小F N′＝F N＝3.3 N. (2)物体离开C点后做平抛运动
在竖直方向：H＋R＝1
2gt
2
在水平方向：x＝v t
解得x＝2.4 m.
答案：(1)3.3 N(2)2.4 m。