【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册：课时作业6.2.4+向量的数量积
高中数学人教A版必修第二册课时作业6.4.3 第2课时 正弦定理
课时作业13正弦定理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．(多选)在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是(ABD)A．若A<B，则sin A<sin BB．若sin A<sin B，则A<BC．若A>B，则1tan2A>1tan2BD．A<B，则cos2A>cos2B解析：A.若A<B，则a<b,2R sin A<2R sin B，所以sin A<sin B，故该选项正确；B.若sin A<sin B，∴a2R<b2R，∴a<b，则A<B，故该选项正确；C.若A>B，设A＝π3，B＝π6，∴1tan2A<0，1tan2B>0，故该选项错误．D.A<B，则sin A<sin B，sin2A<sin2B，∴－sin2A>－sin2B，∴1－sin2A>1－sin2B，所以cos2A>cos2B，故该选项正确．故选ABD.2．已知△ABC外接圆的半径R＝5，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则bsin B＝(C)A．2.5 B．5 C．10 D．不确定解析：根据正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R，得bsin B＝10.3．在△ABC中，∠A＝60°，a＝43，b＝42，则∠B等于(C) A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对解析：∵sin B＝b sin Aa＝42×3243＝22，∴∠B＝45°或135°.但当∠B＝135°时，不符合题意，所以∠B＝45°，故选C.4．若三角形三个内角之比为123，则这个三角形三边之比是(B)A．12 3 B．13 2C．23 1 D.31 2解析：设三角形内角∠A、∠B、∠C分别为x,2x,3x，则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°，由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，可知a b c＝sin A sin B sin C，∴a b c＝sin30°sin60°sin90°＝12321＝13 2.5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝(A)A．30°B．60°C．120°D．150°解析：∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，又A为三角形的内角，∴A＝30°.6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是(B)A．一解B．两解C．无解D．无法确定解析：∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°，∴c ＝30×12＝b sin30°>b sin C ，又b >c ，∴此三角形有两解(如图所示)．二、填空题7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ，则C ＝π3；若c ＝7，△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为5＋7.解析：在△ABC 中，因为2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ， 由正弦定理可得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 又由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 整理得2cos C sin C ＝sin C ， 因为C ∈(0，π)，则sin C >0， 所以cos C ＝12，所以C ＝π3，又由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝7，又因为S △ABC ＝12ab sin π3＝332，解得ab ＝6， 所以(a ＋b )2－18＝7，即a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为5＋7.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为π6.解析：由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，知B ＝π4，由正弦定理易求得sin A ＝12.又a <b ，所以A 为锐角，从而A ＝π6.9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为－14.解析：由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c . 又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c ，由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c23c 2＝－14.三、解答题10．在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，试判断△ABC 的形状．解：令asin A ＝k ，由正弦定理得a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入已知条件，得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ， 又A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3，求c 的值． 解：(1)由a cos C ＋32c ＝b 和正弦定理， 得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B .∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴32sin C ＝cos A sin C .∵sin C ≠0，∴cos A ＝32. ∵0<A <π，∴A ＝π6.(2)由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝3sin π61＝32. ∵b >a ，∴B ＝π3或2π3.①当B ＝π3时， 由A ＝π6，得C ＝π2，∴c ＝2.②当B ＝2π3时， 由A ＝π6，得C ＝π6，∴c ＝a ＝1. 综上可得，c ＝1或c ＝2.——能力提升类——12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( D ) A.19 B.13 C ．1D.72解析：∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B sin A ＝ba . ∵3a ＝2b ，∴b a ＝32. ∴sin B sin A ＝32.∴2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1 ＝92－1＝72.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( C )A.π6，π3B.2π3，π6 C.π3，π6 D.π3，π3解析：因为m ⊥n ，所以3cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝3，则A＝π3.由正弦定理可将a cos B ＋b cos A ＝c sin C 化为sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，所以sin(A ＋B )＝sin 2C ，所以sin C ＝sin 2C .因为0<C <π，sin C ≠0，所以sin C ＝1， 所以C ＝π2，所以A ＝π3，B ＝π6.14．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，角A 的平分线交BC 于D ，AD ＝3，则AC ＝ 6.解析：如图所示，∵B ＝120°，AB ＝2，AD ＝3，∴由正弦定理得sin ∠ADB ＝AB ·sin B AD ＝22，∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝15°，∠BAC ＝30°，∴在△ABC 中，C ＝30°，由正弦定理得AC ＝AB ·sin Bsin C ＝2×3212＝ 6.15．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4. (1)求AB 的长；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.由正弦定理，得AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210. 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.由Ruize收集整理。
高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积同步练习含解析新人教A版必修第二册
课时素养评价五向量的数量积(15分钟30分)1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)= (A. B.- C.- D.【解析】选A. =2a2-b2+a·b=2-3+1××=.2.(2020·广州高一检测)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则a与b的夹角是( )A.150°B.120C.60D.30°【解析】选B.设a与b的夹角为θ,则cos θ===-,因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.【补偿训练】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为 ( )A. B. C. D.【解析】选A.|a-b|=设向量a与a-b的夹角为θ,则cos θ===,又因为θ∈[0,π],所以θ=.3.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是(A.·B.·C.·D.·【解析】选A.由于⊥,故其数量积是0,可排除C;与的夹角是,故其数量积小于零,可排除D;设正六边形的边长是a,则·=||||c os 30°=a2,·=||||c os 60°=a2.4.如图,AB是圆C的弦,设=a,=b,则向量在向量上的投影向量为(用a或b表示).【解析】如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接CB,则向量在向量上的投影向量为.因为CA=CB,所以D是AB的中点,所以==.答案:5.△ABC三边的长分别为AC=3,BC=4,AB=5,若=,=,则·= __.【解析】由题知·=(+)·=(+)·=·=+·=×42+0=.答案:6.已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角. 【解析】设a与b的夹角为θ,由已知条件得即②-①得23b2-46a·b=0,所以2a·b=b2,代入①得a2=b2,所以|a|=|b|,所以因为θ∈[0,π],所以θ=.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在△ABC中,若·+=0,则在上的投影向量为(A. B. C. D.【解析】选A.因为0=·+=·(+)=·,所以⊥,又与的夹角为锐角,所以在上的投影向量为.2.设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.设a与b的夹角为θ.因为a·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|,所以cos θ=1,即a与b的夹角为0°,故a∥b;而当a∥b时,a与b的夹角为0°或180°,所以a·b=|a|·|b|cos θ=±|a|·|b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件.【补偿训练】若|a|=1,|b|=2,则|a·b|的值不可能是 ( )A.0B.C.2D.3【解析】选D.由向量数量积的性质知|a·b|≤|a||b|=2.3.如图,AB是圆O的直径,P是圆弧AB上的点,M,N是AB上的两个三等分点,且AB=6,则·= ()A.3B.4C.6D.8【解析】选D.·=(+)·(+)=-=8.【补偿训练】已知正三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,那么a·b+b·c+c·a的值是( )A. B. C.- D.-【解析】选C.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以3+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-.4.已知下列说法:①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|;③|a||b|<a·b;④a·a·a=|a|3.其中正确说法的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.对于①,因为a2+b2=0,所以|a|2+|b|2=0,所以|a|=|b|=0,所以a=b=0,故①正确;对于②,因为a+b=0,所以a与b互为相反向量,设a与c的夹角为θ,则b与c的夹角为π-θ,则a·c=|a||c|cos θ,b·c=|b||c|cos(π-θ)=-|b||c|cos θ,所以|a·c|=|b·c|,故②正确;对于③,由于a·b=|a||b|cos θ≤|a||b|,故③错误;对于④,由于a·a·a=|a|2a,其结果为向量,故④错误.【误区警示】解答本题容易将向量数量积与实数运算混淆而出错.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量是单位向量的是(A. B.a-bC.a+bD.a-b【解析】选AD.因为a,b是单位向量,且夹角为60°,所以a·b=,|a|=|b|=1;所以=×3=1,(a-b)2=a2-2a·b+b2=1,所以和a-b是单位向量.6.已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为,则下列结论正确的是(A.e1,e2的夹角是B.e1,e2的夹角是或C.|=1或D.|e1+e2|=1或【解析】选BC.因为e1,e2是两个单位向量,且|e1+λe2|的最小值为,所以(e1+λe2)2的最小值为,所以(e1+λe2)2=λ2+2e1·e2λ+1=+,所以e1与e2的夹角为或,所以|e1+e2|2=1或3,所以|e1+e2|=1或.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,·(2a-3b)=12,则|b|= ;b在a 上的投影向量的模等于.【解析】a·b=|a||b|cos 45°=4|b|cos 45°=2|b|,又·(2a-3b)=|a|2+a·b-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12,解得|b|=或|b|=-(舍去).b在a上的投影向量的模为||b|cos 45°|=cos 45°=1.答案: 18.(2020·浙江高考)设e1,e2为单位向量,满足|2e1-e2|≤,a=e1+e2,b=3e1+e2,设a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值为.【解析】(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ=(e1+e2)2(3e1+e2)2cos2θ=(2+2e1·e2)(10+6e1·e2)cos2θ=[(e1+e2)·(3e1+e2)]2=(3++4e1·e2)2=(4+4e1·e2)2,所以cos2θ=(10+6e1·e2)cos2θ=8(1+e1·e2),(6cos2θ-8)e1·e2=8-10cos2θ,又因为4+-4e1·e2≤2,5-4e1·e2≤2,所以e1·e2≥,所以e1·e2=≥,-≥0,≤0, ≤cos2θ<,所以cos2θ的最小值为.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·株洲高一检测)如图所示,在平行四边形ABCD中,若AB=8,AD=5,=3,(1)若∠BAD=,求||的值;(2)若·=2,求·的值.【解析】(1)在平行四边形ABCD中,AB=8,AD=5,=3,当∠BAD=时,=+=+,所以=+·+=52+×5×8×c os +×82=39,所以||=;(2)=+=+,=+=-,所以·=·=-·-=25-·-×64=2,解得·=22.【补偿训练】已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.【解析】(1)a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,所以|3a-4b|=4.(2)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,所以a·b=-4,所以cos θ===-.又θ∈[0,π],所以θ=.10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2t e1+7e2与e1+t e2的夹角θ为钝角,求实数t的取值范围.【解析】当夹角为π时,也有(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0,但此时夹角不是钝角.设2t e1+7e2=λ(e1+t e2),λ<0,则所以由向量2t e1+7e2与e1+t e2的夹角θ为钝角,得cos θ=<0,所以(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0,化简得2t2+15t+7<0.解得-7<t<-.所以所求实数t的取值范围是∪.【补偿训练】已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为60°,若向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.【解析】由题意得a·b=|a||b|cos 60°=2×3×=3,又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,而向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,又|a|2=4,|b|2=9,a·b=3,所以3λ2+13λ+3>0,解得λ>或λ<.但是当λ=1时,向量a+λb与λa+b共线,其夹角不是锐角,故λ的取值范围是∪∪(1,+∞).1.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则给出下列结论:①·=-;②+=-;③在向量上的投影向量的模为.其中正确结论的个数为(A.3B.2C.1D.0【解析】选B.·=1×1×cos 135°=-,所以①正确;+==-,所以②正确;显然||≠1,在向量上的投影向量的模为≠,所以③错误.2.已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+t b.(1)当|u|取最小值时,求实数t的值;(2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直?【解析】(1)|u|2=|a+t b|2=(a+t b)·(a+t b)=|b|2t2+2(a·b)t+|a|2因为b是非零向量,所以|b|≠0,所以当t=时,|u|=|a+t b|的值最小.(2)垂直.因为b·(a+t b)=a·b+t|b|2=a·b+=a·b-a·b=0,所以b⊥(a+t b),即b⊥u.。
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件4：8.6.3 平面与平面垂直(二)
【规律方法】
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种
关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：
判定定理
判定定理
线线垂直 线面垂直定义 线面垂直 性质定理 面面垂直
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，
解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合
(1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边的中点，则能否在棱上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD？并证明你的结论．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，如图．
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB⊂平面 PGB，∴AD⊥PB.
(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明如下： 在△PBC 中，FE∥PB，在菱形 ABCD 中，GB∥DE. 又 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E， PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， ∴平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
答案 (1)C (2)5
【题型探究】
题型一 面面垂直性质的应用 例 1 如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平 面垂直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB.
【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册：课时作业6.2.3 向量的数乘运算
13．已知点 P 在正三角形 ABC 所确定的平面上，且满足P→A＋ P→B＋P→C＝A→B，则△ABP 的面积与△BCP 的面积之比为( B )
A．1 1
B．1 2
C．1 3
D．1 4
解析：∵P→A＋P→B＋P→C＝A→B，∴P→A＋P→C＝A→B－P→B＝A→P，∴P→C ＝2A→P，即点 P 为线段 AC 的靠近点 A 的三等分点，∴△ABP 的
(2)证明：因为A→D＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2B→C，所以A→D与B→C 同向，且A→D的模为B→C的模的 2 倍，所以在四边形 ABCD 中，AD ∥BC，且 AD≠BC，所以四边形 ABCD 为梯形．
2．若 5A→B＋3C→D＝0，且|A→D|＝|B→C|，则四边形 ABCD 是( D )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形
D．等腰梯形
解析：由 5A→B＋3C→D＝0 知，A→B∥C→D且|A→B|≠|C→D|，∴此四边 形为梯形．又|A→D|＝|B→C|，∴梯形 ABCD 为等腰梯形．
3．已知点 D 是△ABC 所在平面上一点，满足B→D＝14D→C，则A→D
③若 W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是 极大向量，且 W1，W2 中无公共元素，则 W1∪W2 中的每一个元素 也都是极大向量．
其中真命题的序号是 ②③ .
解析：①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量， 故不正确；②由于 c＝－a－b 成立，故 a，b，c 围成闭合三角形， 则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3 个向量都是极大向量，等价于 3 个向量之和为 0，故 W1＝{a1， a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪ W2 中的每一个元素也都是极大向量，故正确，故答案为②③.
新教材人教A版高中数学必修第二册全册课时练习(一课一练,含解析)
人教A版高中数学必修第二册全册课时练习6.1 平面向量的概念 .............................................................................................................. - 2 - 6.2.1 向量的加法运算........................................................................................................ - 5 - 6.2.2 向量的减法运算........................................................................................................ - 8 - 6.2.3 向量的数乘运算...................................................................................................... - 11 - 6.2.4 向量的数量积............................................................................................................ - 14 - 6.3.1 平面向量基本定理.................................................................................................... - 18 - 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示.............................................................................. - 24 - 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示.................................................................................. - 27 - 6．4 平面向量的应用........................................................................................................ - 30 -7.1.1 数系的扩充和复数的概念...................................................................................... - 34 - 7.1.2 复数的几何意义...................................................................................................... - 37 - 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义.......................................................................... - 39 -7.2.2 复数的乘、除运算.................................................................................................. - 43 -8.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 46 - 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征................................................ - 49 - 8.2 立体图形的直观图........................................................................................................ - 51 - 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 55 - 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.............................................................. - 59 - 8.4.1 平面 ......................................................................................................................... - 62 - 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 66 - 8.5.1 直线与直线平行...................................................................................................... - 69 - 8.5.2 直线与平面平行...................................................................................................... - 73 - 8.5.3 平面与平面平行...................................................................................................... - 76 - 8.6.1 直线与直线垂直...................................................................................................... - 80 - 8.6.2 直线与平面垂直...................................................................................................... - 85 -8.6.3平面与平面垂直 ....................................................................................................... - 89 -9.1.1简单随机抽样 ........................................................................................................... - 94 - 9.1.2 分层随机抽样 ............................................................................................................. - 96 - 9.1.3 获取数据的途径 ......................................................................................................... - 96 - 9.2.1总体取值规律的估计 ............................................................................................. - 100 - 9.2.2 总体百分位数的估计 ............................................................................................... - 105 - 9.2.3 总体集中趋势的估计 ............................................................................................... - 105 -9.2.4 总体离散程度的估计 ............................................................................................... - 105 -10.1.1有限样本空间与随机事件.................................................................................... - 110 - 10.1.2事件的关系和运算 ............................................................................................... - 112 - 10.1.3古典概型 ............................................................................................................... - 115 - 10.1.4概率的基本性质 ................................................................................................... - 118 - 10.2事件的相互独立性 .................................................................................................. - 121 - 10.3频率与概率 .............................................................................................................. - 126 -6.1 平面向量的概念一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量． 【答案】D2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |.A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．【答案】D3．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同， 故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →； PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →. EP →与PF →的模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.【答案】D4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形【解析】由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形． 【答案】C 二、填空题5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.【解析】因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 【答案】 2 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解析】因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →. 【答案】BA →，CD →7．给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确；对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④不正确． 【答案】②③ 三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如下图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解析】(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．10．如图，在△ABC 中，已知向量AD →＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF →.证明：由DF →＝EC →，可得DF ＝EC 且DF ∥EC ， 故四边形CEDF 是平行四边形，从而DE ∥FC . ∵AD →＝DB →，∴D 为AB 的中点． ∴AE →＝EC →，∴AE →＝DF →.6.2.1 向量的加法运算一、选择题1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →【解析】因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A. 【答案】A2．设a 表示“向东走5 km”，b 表示“向南走5 km”，则a ＋b 表示( ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2 km 【解析】如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°. 【答案】D3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同． 【答案】A4．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →【解析】设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则OP 与OQ 之间的对角线对应的向量即向量a ＝OP →＋OQ →，由a 和FO →长度相等，方向相同，得a ＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →. 【答案】C 二、填空题5．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________.【解析】由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 【答案】06．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.【解析】原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 【答案】AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 【解析】在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形， 又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 【答案】1 三、解答题8．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .【解析】(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)； (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)； (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．9.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.【解析】(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →，所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．【解析】如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°， 则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N. 所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150 (N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6.2.2 向量的减法运算一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA → D.AB →－AB →＝0【解析】根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.【答案】C2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D.PA →＋AB →－BQ →【解析】D 中，PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →＝PB →＋QB →不能化简为PQ →，其余选项皆可． 【答案】D3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD → D.DC →【解析】在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 【答案】C4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c【解析】DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 【答案】A 二、填空题5.EF →＋DE →－DB →＝________.【解析】EF →＋DE →－DB →＝EF →＋BE →＝BF →. 【答案】BF →6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线同向，所以|a －b |＝2. 【答案】0 27．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.【解析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平行四边形ABCD 为矩形，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点， ∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.【答案】2 三、解答题8．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解析】方法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .9．化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解析】(1)方法一 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 方法二 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →. (2)方法一 原式＝DB →－DC →＝CB →.方法二 原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →. 10．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解析】由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .6.2.3 向量的数乘运算一、选择题1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b【解析】原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →【解析】如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →. 【答案】D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4【解析】因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m ，解得m ＝－1或m ＝3. 【答案】A 4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 【解析】AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .【答案】D5．已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 【解析】由于|a |＝4，b ＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a . 【答案】26．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.【解析】因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB ＝35，BC AB ＝25，所以AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 【答案】35 －257．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________． 【解析】由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5， ∴|λ|＝35，即λ＝±35.【答案】±35三、解答题 8．计算(1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 【解析】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 9．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.【解析】如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线， 所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．10．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．【解析】(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →， 所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍， 即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ， 所以四边形ABCD 是梯形．6.2.4 向量的数量积一、选择题1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为45°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2 D ．－12【解析】m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝24×22＝12 2. 【答案】B2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3【解析】a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 【答案】C3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【解析】因为|a |＝2，a ·(b －a )＝－1， 所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1， 所以a ·b ＝3.又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】C4．若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 【解析】因为a ·b ＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.【答案】A 二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是________．【解析】方法一 AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠B )＝－|AB →||BC →|cos∠B ＝－|AB →||BC→|·|AB →||BC →|＝－|AB →|2＝－1.方法二 |BA →|＝1，即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos∠B ，而|BC →|·cos∠B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1. 【答案】－16．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．【解析】设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】π37．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________．【解析】向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.【答案】32三、解答题8．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2；(2)(2a －b )·(a ＋3b )．【解析】(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.(2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3×42＝－60. 9．(1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |；(2)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值；(3)如图，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．【解析】(1)a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝53，|a －b |＝a －b2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝25＝5， |3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝325＝513.(2)∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ，又|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25，则a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a ＋b |＝20. (3)设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC →2＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，|DB →|＝DB →2＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，BD ＝7.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 【解析】(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1. 又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， ∴λ＝47.6.3.1 平面向量基本定理一、选择题1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．不确定 【解析】∵a ＋b ＝3e 1－e 2， ∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 【答案】B2．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a【解析】如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD→－AB →＝2b －a . 【答案】B3．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 【解析】如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 【答案】D4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45【解析】∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.【答案】C 二、填空题5．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．【解析】因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【答案】36．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.【解析】AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . 【答案】2a －b7．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.【解析】BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .【答案】b －12a三、解答题8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .【解析】因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来． 【解析】NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 【解析】(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1 4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示一、选择题1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8)【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)， 所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 【答案】D2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)【解析】3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．【答案】D3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)【解析】b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 【答案】A4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．【答案】A 二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.【解析】由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)． 【答案】(1，－2)6．如右图所示，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．【解析】设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|·sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)． 【答案】(23，6)7．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.【解析】易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.【答案】－1 三、解答题8．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．【解析】由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．9．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标 ；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．【解析】(1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15b .10．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b|＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .【解析】如图，以O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B (cos 150°，sin 150°)，C (3cos 240°，3sin 240°)． 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，又∵A (2,0)， 故a ＝(2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎪⎫2λ1－32λ2，12λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，∴⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－33，∴c ＝－3a －33b .6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)【解析】由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 【答案】C2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2【解析】a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A.【答案】A3．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1) C ．(9,1) D ．(－9，－1) 【解析】设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C. 【答案】C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3【解析】向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， ∴AB →＝(3,1)，∵OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →， ∴3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3，故选D.【答案】D 二、填空题5．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．【解析】因为向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 【答案】16．已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．【解析】①因为OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确． 【答案】①③④7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，c ＝(3,4)．若a ＋b 与c 共线，则实数λ＝________. 【解析】因为a ＋b ＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a ＋b 与c 共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝23.【答案】23三、解答题8．已知a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a 与b 共线且方向相同，求x . 【解析】∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a ∥b . ∴x 2－4＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，a 与b 共线且方向相同； 当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，a 与b 共线且方向相反． ∴x ＝2.9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∵BF →＝13BC →，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∵AE →＝(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，∵BF →＝(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF →∥AB →. 10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 【解析】(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6【解析】依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D. 【答案】D2．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 【答案】C3．已知a ，b 为平面向量，且a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13， ∴cos〈a ，b 〉＝165×13＝1665.【答案】C4．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(k,4)，且(a －b )⊥c ，则k ＝( ) A ．－6 B ．－1 C ．1 D ．6【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，∴a －b ＝(－4,1)，∵(a －b )⊥c ，∴－4k ＋4＝0，解得k ＝1. 【答案】C 二、填空题5．a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________. 【解析】因为a ＝(－4,3)，所以2|a |2＝2×(－42＋32)2＝50.a ·b ＝－4×1＋3×2＝2.所以2|a |2－3a ·b ＝50－3×2＝44. 【答案】446．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.【解析】由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.【答案】－17．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.【解析】c ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25， 设c ，a 的夹角为α，c ，b 的夹角为θ，又因为cos α＝c ·a |c ||a |，cos θ＝c ·b |c ||b |，由题意知c ·a |a |＝c ·b |b |，即5m ＋85＝8m ＋2025. 解得m ＝2. 【答案】2 三、解答题8．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解析】(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， |a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， |a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 5.9．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)． (1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.【解析】(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3,3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，∴a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π4.10．在△PQR 中，PQ →＝(2,3)，PR →＝(1，k )，且△PQR 的一个内角为直角，求k 的值． 【解析】(1)当∠P 为直角时，PQ ⊥PR ， ∴PQ →·PR →＝0，即2＋3k ＝0，∴k ＝－23.(2)当∠Q 为直角时，QP ⊥QR ，易知QP →＝(－2，－3)，QR →＝PR →－PQ →＝(－1，k －3)． 由QP →·QR →＝0，得2－3(k －3)＝0，∴k ＝113.(3)当∠R 为直角时，RP ⊥RQ ，易知RP →＝(－1，－k )，RQ →＝PQ →－PR →＝(1,3－k )． 由RP →·RQ →＝0，得－1－k (3－k )＝0，∴k ＝3±132.综上所述，k 的值为－23或113或3＋132或3－132.6．4 平面向量的应用一、选择题1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2)【解析】F 4＝－(F 1＋F 2＋F 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)． 【答案】D2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24 B ．－24C.34 D ．－34【解析】由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.【答案】B3．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．10 m/s B ．226 m/s C ．4 6 m/s D ．12 m/s【解析】由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如右图． ∴小船在静水中的速度大小|v |＝102＋22＝104＝226 (m/s)． 【答案】B4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】因为BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB →，所以BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2，即14AC →2＝1，所以|AC →|＝2，即AC ＝2. 【答案】B 二、填空题5．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F 做的功为________焦耳． 【解析】设小车位移为s ，则|s |＝10米，W F ＝F ·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)．【答案】506．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________． 【解析】由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →，AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形，所以AB ∥DC ，AB ≠DC . 又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形． 【答案】等腰梯形7．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________ km.【解析】如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)． 【答案】3 2 三、解答题 8.如图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连接DP ，EF ，求证：DP ⊥EF .证明：方法一 设正方形ABCD 的边长为1，。
2021新教材高中数学第6章6.2.1向量的加法运算课件新人教A版必修第二册
[归纳提升] 应用向量解决平面几何问题的基本步骤
【对点练习】❸ 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆 子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳 子的重量忽略不计).
[解析] 如图，设C→E、C→F分别表示 A，B 所受的力，10 N 的重力用C→G 表示，则C→E＋C→F＝C→G.
[归纳提升] 向量运算中化简的两种方法： (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾 相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量. 有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量. (2)几何法：通过作图，根据三角BC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点， F 为线段 DE 延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接 CD，那么(在横线 上只填上一个向量)：
则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|；两次飞行的位移的和指的是A→B ＋B→C＝A→C.
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km). 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km). 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80°.
运算律
结合律 交换律
a＋b＝_b_＋__a___ (a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_) __
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 向量的加法及几何意义
典例 1 (1)如图，已知a、b，求作a＋b.
(2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c. [分析] 用三角形法则或平行四边形法则画图.
【新教材】6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的向量积 教学设计-人教A版高中数学必修第二册
6.2.4 向量的数量积第2课时向量的向量积本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。
向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。
包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。
但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。
A.掌握数量积的运算律；B.利用数量积的运算律进行化简、求值；1.教学重点：数量积的运算律；2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。
多媒体一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的运算律【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）a a )()(λμμλ=（2）a a a μλμλ+=+)(（3）b a b a λλλ+=+)(2.平面向量的数量积定义：θcos ||||b a b a =⋅平面向量的数量积的结果是数量。
二、探索新知1.平面向量数量积的运算律探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？ 平面向量数量积的运算律证明：（1）因为θcos ||||b a b a =⋅，θcos ||||a b a b =⋅所以，a b b a ⋅=⋅。
（2）当的夹角与的夹角、与时，b a b a λλ0>一样。
因为)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ，)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ同理，当)()()(0b a b a b a λλλλ⋅=⋅=⋅<时，成立。
6.2.4向量的数量积(2)课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
6 6 4 cos 60 6 4
2
2
2
72 .
11
例13 已知||=3, ||=4, 且与不共线, 当k为何值时, 向量
+ 与 − 互相垂直？
解： a k b 与 a k b 互相垂直
(a k b) (a k b) 0
∴ 等式成立.
另证： ∵ ( + ) −( − )
= [( + ) + ( − )] ⋅ [( + ) − ( − )]
= ⋅
= · .
∴ 等式成立.
20
2. 已知||= , ||=1, 且 − 与 + 互相垂直, 求证 ⊥ .
分析：欲证 ⊥ ，只需证 ⋅ =0.
注意：
1. (a b)c a (b c )不一定成立
2.数量积不满足消去律
a bb cac
3. 求证：( + ) −( − ) = ⋅ .
证明：∵ ( + ) −( − )
= 2+2 ∙ +2 -(2-2 ∙ +2)
= · .
(2) (·) = ·(||||cos ) =×2×3×
= .
设, , 是向量, (·) =(·)一定成立吗？为什么？
不一定成立, 因为(·)是与向量共线的向量, 而(·)是
与向量共线的向量, 由于与不一定共线, 所以等式不一
定成立.
2
2
a b .
因此，结论是成立的.
例12 已知||=6, ||=4, 与的夹角为60o, 求(+2)·(-3).
解 ：(1) (a 2b) (a 3b)
6.2.4向量的数量积2020-2021学年高一下学期(人教A版2019)数学必修第二册课时作业
向量的数量积1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b 等于( )A ．12B ．32C ．1＋32D ．22．已知单位向量a ，b 的夹角为π3，那么|a ＋2b |＝( )A ．2 3B ．7C ．27D ．4 33．若向量a ，b ，c ，满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．04．如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB →·BC →等于( )A ．－32B ．32C ．－32D ．325．已知非零向量a ，b 满足2|a |＝3|b |，|a －2b |＝|a ＋b |，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A ．23B ．34C ．13D ．146．已知|a |＝3，|b |＝5，a·b ＝－12，且e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b 上的投影向量为________．7．已知向量|a |＝5，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.8．若a ，b 均为非零向量，且(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________．9．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是60°，计算：(1)(2a ＋b )·(2a －b )；(2)|4a －2b |.10．已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝34.(1)求|b |；(2)当a·b ＝－14时，求向量a 与a ＋2b 的夹角θ的值．11．(多选题)设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是( )A ．a·c －b·c ＝(a －b )·cB ．(b·c )·a －(c·a )·b 不与c 垂直C ．|a |－|b |＜|a －b |D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |212．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →等于( )A ．2 3B ．32C ．33D ． 313．已知|a |＝|b |＝|c |＝1且满足3a ＋m b ＋7c ＝0，其中a ，b 的夹角为60°，则实数m ＝________.14．(一题两空)已知|a |＝2|b |＝2，e 是与b 方向相同的单位向量，且向量a 在向量b 方向上的投影向量为－e .(1)a 与b 的夹角θ＝________；(2)若向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直，则λ＝________.15．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →.(1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值．解析1．解析B a ·a ＋a·b ＝|a |2＋|a ||b |cos 60°＝1＋12＝32. 2．解析B |a |＝|b |＝1，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝1＋4×1×1×12＋4×1＝7，∴|a ＋2b |＝7.3．解析D ∵a ∥b ，a ⊥c ，∴b ⊥c ，∴a·c ＝0，b·c ＝0，c ·(a ＋2b )＝a·c ＋2b·c ＝0＋0＝0.4．解析C 因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝3，所以AB →·BC→＝1×3×cos 150°＝－32.5．解析C |a －2b |＝|a ＋b |⇒(a －2b )2＝(a ＋b )2⇒a ·b ＝12b 2⇒cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12b 232b 2＝13.6．解析－125e 设a 与b 的夹角θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－123×5＝－45，所以a 在b 上的投影向量为|a |cos θ·e ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45e ＝－125e . 7．解析5 |a |2＝5，|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝50，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝50，∴5＋|b |2＋20＝50，∴|b |＝5.8．解析π3 由题知(a －2b )·a ＝0，(b －2a )·b ＝0，即|a |2－2b ·a ＝|a |2－2|a ||b |cos θ＝0，|b |2－2b ·a ＝|b |2－2|a ||b |cos θ＝0，故|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，所以|a |2－2|a ||a |cos θ＝0，故cos θ＝12，因为 0≤θ≤π，故θ＝π3.9．解析(1)(2a ＋b )·(2a －b )＝(2a )2－b 2＝4|a |2－|b |2＝4×42－82＝0.(2)∵|4a －2b |2＝(4a －2b )2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256.∴|4a －2b |＝16.10．解析 (1)因为(a －b )·(a ＋b )＝34，即a 2－b 2＝34，即|a |2－|b |2＝34，所以|b |2＝|a |2－34＝1－34＝14，故|b |＝12.(2)因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋|2b |2＝1－1＋1＝1，故|a ＋2b |＝1.又因为a ·(a ＋2b )＝|a |2＋2a·b ＝1－12＝12，所以cos θ＝a ·(a ＋2b )|a |·|a ＋2b |＝12， 又θ∈0，π，故θ＝π3.11．解析ACD 根据向量积的分配律知A 正确；因为(b·c )·a －(c·a )·b ·c＝(b·c )·(a·c )－(c·a )·(b·c )＝0，所以(b·c )·a －(c·a )·b 与c 垂直，B 错误；因为a ，b 不共线，所以|a |，|b |，|a －b |组成三角形三边，所以|a |－|b |＜|a －b |成立，C 正确；D 正确．12．解析D AC →·AD →＝|AC →||AD →|cos ∠DAC＝|AC →|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BAC －π2 ＝|AC →|sin ∠BAC ＝|BC →|sin B ＝3|BD →|sin B ＝3|AD →|＝ 3.13．解析5或－8 因为3a ＋m b ＋7c ＝0，所以3a ＋m b ＝－7c ，所以(3a ＋m b )2＝(－7c )2，即9＋m 2＋6m a ·b ＝49，又a·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，所以m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8.14．解析(1)23π (2)47 (1)由题意知|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影向量为|a |cos θ e ＝－e ，所以cos θ＝－12，所以θ＝2π3.(2)因为λa ＋b 与a －3b 互相垂直．所以(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，所以λ＝47.15．解析 (1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0，由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝(AD →＋DP →)·(BC →＋CP →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋13DC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23DC → ＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →， 所以AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6，所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36.设AB →与AD →的夹角为θ，又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.。
(新教材)人教A版高中数学必修第二册课件：6.4.3 第4课时 三角形中的几何计算
【解析】 (1)在△ABC 中，由正弦定理，得siAnCB＝siBnCA，所以 AC ＝BCs·insAin B＝6×sisnin301°20°＝6 3. 又因为 C＝180°－120°－30°＝30°， 所以 S△ABC＝12×6 3×6×12＝9 3.
(2)由余弦定理，得 a2＋b2－ab＝4，又△ABC 的面积等于 3，所以
三角形的面积公式 (1)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha，hb，hc 分别表示边 a，b，c 上的高)． (2)S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B. (3)S＝12(a＋b＋c)·r(r 为△ABC 内切圆的半径)．
■名师点拨 三角形的面积公式 S＝12absin C 与原来的面积公式 S＝12a·h(h 为 a 边上的高)的关系为 h＝bsin C，实质上 bsin C 就是△ABC 中 a 边上 的高．
解：(1)由正弦定理sinb B＝sinc C， 得 sin B＝bsicn C＝12， 因为在△ABC 中，b<c 且 C＝120°，所以 B＝30°. (2)因为 A＋B＋C＝180°， 所以 A＝180°－120°－30°＝30°， 所以 S＝12bcsin A＝ 43.
本部分内容讲解结束
第六章 平面向量及其应用
第 4 课时 三角形中的几何计算
第六章 平面向量及其应用
考点 有关三角形 面积的计算
三角形的 综合问题
学习目标 掌握三角形的面积公式的 简单推导和应用 能够运用正、余弦定理解决 三角形中的一些综合问题
核心素养 逻辑推理、
数学运算
数学运算
问题导学 预习教材 P53 T10 和 P54 T18 两个题目，思考以下问题： 如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？
【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册：课时作业6.2.4+向量的数量积
∴b2＝2a·b， 代入①得 7a2＋16a·b－30a·b＝0， ∴a2＝2a·b， 从而 a2＝b2，∴|a|＝|b|. ∴cosθ＝|aa|··|bb|＝12|bb|22＝12， ∴θ＝60°，故 a 与 b 的夹角为 60°.
11．已知 e1、e2 是夹角为 120°的两个单位向量，a＝3e1－2e2， b＝2e1－3e2.
2－2b2＝23b2，所以
cosθ＝|aa|·|bb|＝2
23b2 ＝ 3 2b2
22，所以
θ＝π4.
6．已知△ABC 中，若A→B2＝A→B·A→C＋B→A·B→C＋C→A·C→B，则△ABC
是( C )
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析：由A→B2－A→B·A→C＝B→A·B→C＋C→A·C→B， 得A→B·(A→B－A→C)＝B→C·(B→A－C→A)，即A→B·C→B＝B→C·B→C， ∴A→B·B→C＋B→C·B→C＝0，∴B→C·(A→B＋B→C)＝0， 则B→C·A→C＝0，即B→C⊥A→C， 所以△ABC 是直角三角形，故选 C．
课时作业5 向量的数量积
时间：45 分钟 ——基础巩固类—— 一、选择题
1．(多选)以下命题不正确的是( ABD )
A．若 a≠0，则对任一非零向量 b 都有 a·b≠0 B．若 a·b＝0，则 a 与 b 中至少有一个为 0 C．a 与 b 是两个单位向量，则 a2＝b2 D．若△ABC 是等边三角形，则A→B，B→C的夹角为 60°
——能力提升类——
12．O 为平面内的定点，A，B，C 是平面内不共线的三点，
若(O→B－O→C)·(O→B＋O→C－2O→A)＝0，则△ABC 是( B )
A．以 AB 为底边的等腰三角形 B．以 BC 为底边的等腰三角形 C．以 AB 为斜边的直角三角形 D．以 BC 为斜边的直角三角形
2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法
第十一页，共34页。
2
又| AC |2＝|a+b|2＝a2+2a·b+b2＝1+4+2a·b＝6， ∴ | AC |＝ 6 ，即AC＝ 6 .
第十七页，共34页。
◆利用向量法解决长度问题的方法 （1）基向量法：利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用 公式|a|2＝a2求解； （2）坐标法：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公 式，若a＝（x，y），则|a|＝ x2 y2 .
第五页，共34页。
◆用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问 题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. ◆用向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角）， 将题中涉及的向量用基底表示出来，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问 题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用 向量 表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题 ； (2)通过 向量运算 ，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与位移 s 的数量积．
人教A版新教材高中数学第二册课时作业1：6.2.1向量的加法运算
6.2.1 向量的加法运算『A 基础达标』1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →2．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB→＋DO →＝( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO →3．若向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向北航行 3 km ”，则向量a ＋b 表示( )A ．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)km4.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 35．(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( )A ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向B ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与b 同向C ．若a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向D ．若a 与b 同向，则a ＋b 与b 同向6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________．8．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，且b 是一非零向量，给出下列结论：①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |.其中正确的是________．9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD 的形状：(1)AD →＝BC →；(2)AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|.10．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |.『B 能力提升』11．已知有向线段AB →，CD →不平行，则( )A ．|AB →＋CD →|>|AB →|B ．|AB →＋CD →|≥|CD →|C ．|AB →＋CD →|≥|AB →|＋|CD →|D ．|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|12．若P 为△ABC 的外心，且P A →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝______.13．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|；②|AB →＋CA →|＝|BC →|；③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.14．如图，已知向量a ，b ，c ，d .(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a|＝2，e 为单位向量，求|a ＋e|的最大值．『C 拓展探究』15．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？——★ 参*考*答*案 ★——『A 基础达标』1．『『解 析』』选A.因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A.2．『『解 析』』选B.OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →.3．『『解 析』』选B.如图，易知tan α＝13，所以α＝30°.故a ＋b 的方向是北偏东30°.又|a ＋b |＝2 km ，故选B.4.『『解 析』』选B.由正六边形知FE →＝BC →，所以AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.故选B.5．『『解 析』』选B.a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向，所以B 错；a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向，也与b 同向．6．『『解 析』』原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.『『答 案』』AC →7．『『解 析』』在菱形ABCD 中，连接BD ，因为∠DAB ＝60°，所以△BAD 为等边三角形，又因为|AB →|＝1，所以|BD →|＝1，所以|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.『『答 案』』18．『『解 析』』因为在平行四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．『『答 案』』①③9．解：(1)因为AD →＝BC →，所以AD ∥BC ，AD ＝BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．(2)因为AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD 是菱形．10．解：如图，因为|OA →|＝|OB →|＝3，所以四边形OACB 为菱形，连接OC ，AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D .因为∠AOB ＝60°，所以AB ＝|OA →|＝3.所以在Rt △BDC 中，CD ＝332. 所以|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3. 『B 能力提升』11．『『解 析』』选D.由向量加法的几何意义得||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，等号当且仅当a ，b共线的时候取到，所以本题中，|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|.12．『『解 析』』因为P A →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形．又P 为△ABC 的外心，所以|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.因此∠ACB ＝120°.『『答 案』』120°13．『『解 析』』①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.『『答 案』』①②③14．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →，因为e 为单位向量，所以点B 在以点A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线，|OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.『C 拓展探究』15．解：如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N.所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝150 3(N)，|OB →|＝|OC →|cos 60°＝150(N)． 所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.。
【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册：课时作业6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
则xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ， 解得xy＝＝54＋＋57λλ，， ∴点 P 的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)． (1)令 5＋5λ＝4＋7λ，得 λ＝12， ∴当 λ＝12时，点 P 在函数 y＝x 的图象上． (2)∵点 P 在第三象限， ∴54＋ ＋57λλ<<00， ， 解得 λ<－1， ∴λ 的取值范围是{λ|λ<－1}．
课时作业8 平面向量数乘运算的坐标表示
时间：45 分钟
——基础巩固类——
一、选择题
Байду номын сангаас
1．若 A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则 y＝( D )
A．13
B．－13
C．9
D．－9
解析：∵A，B，C 三点共线，∴A→B∥A→C，而A→B＝(－8,8).A→C
＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即 y＝－9.
可求得A→B＝(－2,10)，B→C＝(－8,4)，A→C＝(－10,14)， 则A→B＋2B→C＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)． B→C－12A→C＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)．
9．平面上有 A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点 C 在直 线 AB 上，且A→C＝12B→C，连接 DC 延长至 E，使|C→E|＝14|E→D|，则点
15．设向量 a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，m2 ＋sinα)，其中 λ， m，α 为实数．若 a＝2b，求mλ 的取值范围．
解：由 a＝2b，知λλ＋ 2－2c＝os22mα＝，m＋2sinα， ∴λλ＝ 2－2mm＝－c2o，s2α＋2sinα. 又 cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sinα－1)2＋2，