云南省民族中学高三适应性考试(一)文数试题 Word版含答案

数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 设集合{42}A x x x =≤-≥或，{13}B x x =-≤，则等于()R C A B （ ）A ．[2,4]B ．[2,2)-C ．D ．2. 若复数z 满足(13)3i z i +=-，则z 等于（ ） A ．i B ．435i - C ．i - D ．52i 3. 已知命题2:20p x x +->，命题:{()lg(23)}q x f x x =-，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设各项均为正的等比数列{}n a 满足4873a a a =，则312log (a a …9)a 等于（ ） A ．83 B ．93 C ．9 D ．75.已知向量 A ．23π B ．6π C ．4π D ．3π 6.如图1，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的表面积是（ ）A ．2+B ．2++C ．2+D ．437.已知抛物线22y px =(0)p >，过点(4,0)K -作抛物线的两条切线,,,KA KB A B 为切点，若AB 过抛物线的焦点，KAB ∆的面积为24，则p 的值是（ ） A ．12 B ．-12 C ．8 D ．4 8.已知tan 2α=，则22sin 1cos 2()4απα+-的值是（ ）A ．53 B ．134- C ．135 D ．1349.如图2所示的程序框图，如果输出的是30，那么判断框中应填写（ ） A ．3?i > B ．5?i ≤ C ．4?i < D ．4?i ≤10.已知双曲线22221y x a b-= (0,0)a b >>，点(4,2)-在它的一条渐近线上，则离心率等于（ ）ABCD11.已知底面边长为O ABC -，且,,A B C 在球O 上，则球的体积是（ ） AB ．8πC ．20π D． 12.已知函数1ln ,1()2,1x x x f x x -+>⎧=⎨≤⎩，若方程5()2f x ax -=有3个不同的解，则a 的取值范围是（ ）A ．5(,]2-∞- B ．53(,]22-- C ．53[,]22-- D ．3(,)2-+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.函数()xf x xe =在(1,())f x 处的切线方程是__________.14. 若实数,x y 满足不等式组11210x x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪-+≤⎩，则x y +的最小值是___________.15. 定义在2[1,]e 上的函数ln ()x f x x=，则对任意的2[1,]x e ∈，使()f x 单调递减的概率为_________.16.已知函数(1)f x +的图象关于1x =-对称，当0x ≥时，()3xf x -=，(2)(21)0f f x =--<的解为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知向量(3sin ,1)m x x =-，(2cos ,1)n x x =. （1）若函数()f x m n =∙，当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c 且满足ba=sin cos 2cos sin B AB A=-，求()f B 的值.18.（本小题满分12分）如图3，边长为2的正方形11A ABB 所在平面与矩形ABCD 所在平面相互垂直，且12AB BC =，,E F 分别是1AA 和BC 的中点. （1）证明：DF ⊥平面1A AF ； （2）求三棱锥C BDE -的体积.19.（本小题满分12分）某中学高三年级有400名学生参加月考，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图4所示. （1）求第四个小矩形的高；（2）估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数；（3）已知样本中，成绩在[140,150]内的有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机选取2人做学习交流，求恰好男生女生各有一名的概率.20.（本小题满分12分）已知各项都不相等的数列{}n a 满足2n ≥，2211120n n n n n n a a a a a a ---+--+=，13a =.（1）求数列的通项公式n a ； （2）若1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）证明：13n S ≥. 21.（本小题满分12分） 设函数323()(21)6(0)2f x bx b x x a b =-+++>. （1）求()f x 的单调区间；（2）设1b =，若方程()0f x =有且只有一个实根，求a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图5所示，已知PA 与圆O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于,B C 两点，弦//CD AP ，AD ，BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且2DE EF EC =∙.（1）求证：EDF P ∠=∠；（2）若:3:2CE BE =，3DE =，2EF =，求PA 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=，直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）点P 在曲线C 上，Q 在直线l 上，若34απ=，求线段PQ 的最小值； （2）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率k 的范围. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2123f x x x =++-.（1）若0x R ∃∈，使得不等式0()f x m ≤成立，求实数m 的最小值M ； （2）在（1）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=，证明：313b a+≥.云南民族中学2017届高考适应性月考卷（一）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．B 集合的不等式|1|3x -≤解得24x -≤≤，在数轴上表示出A ，B 的范围可知选C ，故选C ． 2．i 3i(13i)i 13i 13iz -+===++，故选A ． 3．P ：(2)(1)0x x +->得2x <-或1x >，q ：定义域230x ->解得32x >，q 的解是p 的解的一部分，故选B ．4．4857a a a a =，5773a a a =，a 5=3，993129353log ()log log 39a a a a ===…，故选C ． 5．因(1,1)BC AC AB x =-=-，22||(1)15BC x =-+=，2230x x --=即(3)(1)0x x -+=，解得3x =或1x =-(舍)，设AB ，AC 的夹角为θ，2cos 2||||a b a b θ==，故选C ． 6．该多面体为一个三棱锥D ABC -，如图1所示，其中3个面是直角三角形，1个面是等边三角形，ABC ABD ACD BCDS S S S S =+++△△△△表面积11112222602222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯︒2=++，故选A ．7．由抛物线的对称性知，AB x ⊥轴，且AB 是焦点弦，故2AB p =，1242422KAB p S p ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭△，解得4p =，故选D ．8．2222222sin 12sin sin cos 3sin cos ππsin 2cos 2cos 242ααααααααα++++===⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223tan 1321132tan 224αα+⨯+==⨯，故选D ．9．①2S =，2i =，②2226S =+=，3i =，③36214S =+=，4i =，④414230S =+=，54i =>，故选D ．10．渐近线方程为a y x b =-，(4,2)-满足方程：24a b -=-⨯，所以12a b =，又c e a ====，故选B ．11．正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，因正△ABC的边长为，所以小圆半径2r =，又因O ABC V -=所以三棱锥的高1h =，设球半径为R ，则R ==，3344ππ33V R ==⨯=球，故选A ． 12．()f x 的图象如图2所示，方程5()2f x ax -=有3个不同的解，即5()2f x ax =+有3个不同的解，等价于()y f x =与52y ax =+的图象有3个不同的交点，因为直线52y ax =+恒过50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以满足条件的直线应在图中的l 1与l 2之间，斜率分别是15132012k -==--，2552012k -==--，故5322a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．(1)e f =，()e (1)x f x x '=+，(1)2e f '=，所以切线方程e 2e(1)y x -=-，即2e e y x =-． 14．作出平面区域，不等式组表示的是一个开放区域（如图3），当x ，y 为1x y -=和210x y -+=的交点A (3，2)时，x y +有最小值，所以min ()5x y +=．15．221ln ()(e 1)x f x x x -'=≥≥，由()0f x '≥，解得函数在区间[1，e]上 单调递增，由()0f x '<，解得函数在区间(e ，e 2]上单调递减，所以函数()f x 单调递减的概率22e e ee 1e 1P -==-+． 16．(1)f x +的图象关于1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，即()f x 是偶函数，由0x ≥时，()3x f x -=知，()f x 在0x ≥时递减，在0x <时递增，(2)(21)0f f x --<，(2)(21)f f x <-，|21|2x -<,（可两边同时平方求解）解得1322x -<<．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()23sin cos 12sin f x m n x x x ==+-2cos 2x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，……………………………………………（3分）因为π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以ππ7π2666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，π1sin 2162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，， 所以()[1,2]f x ∈-． ………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由已知sin cos 2cos sin B AB A=-，sin cos 2sin sin cos B A A A B =-， sin cos sin cos 2sin B A A B A +=，sin()2sin A B A +=，即sin 2sin C A =， 由正弦定理得2c a =，…………………………………………………………（9分）因为b =，由余弦定理：222222431cos 2222a cb a a a B ac a a +-+-===，因0πB <<，故π3B =，求得()1f B =． ………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，∵平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，A 1A ⊥AB ， ∴A 1A ⊥平面ABCD ，∴A 1A ⊥DF ， ………………………………………（3分） 12AB BC =∵， 4AD BC ==∴，2BF FC ==，2AB BF DC ===∵，AF DF ==∴，222AD AF DF =+∵，AF DF ∴⊥．1DF A AF ∴⊥平面．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：∵E 为A 1A 的中点，1AE =∴，1111424132323C BDE E BCDE ABD V V V AB AD AE ---===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图，第四个矩形的高是 [1(0.0100.0120.0200.030)10]100.028-+++⨯÷=．………………………（4分）（Ⅱ）成绩不低于120分的频率是1(0.0100.020)100.7-+⨯=，可估计高三年级不低于120分的人数为4000.7280⨯=人． ……………………（7分） （Ⅲ）由直方图知，成绩在[140150]，的人数是0.01210506⨯⨯=， 记女生为A ，B ，男生为c ，d ，e ，f ，这6人中抽取2人的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15种．……………………………………………………………………………（9分）其中男生女生各一名的有8种，概率为815=． …………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由2211120n n n n n n a a a a a a ---+--+=，得211()()0n n n n a a a a -----=， 11()(1)0n n n n a a a a -----=，解得10n n a a --=（舍）或110n n a a ---=，即11n n a a --=， 因此数列{a n }是公差为1的等差数列， 2n a n =+．………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：11111(2)22n n b na n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭． 12n n S b b b =+++∴…1111111112324352n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 32342(1)(2)n n n +=-++． ……………………………………………………………（9分） （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，11113111122124212n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭单调递增，min 131111()42233n S S ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，所以13n S ≥． ………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()33(21)63(2)(1)f x bx b x x bx '=-++=--， ()0f x '=得2x =或1x b=, ①当12b <即12b >时，()f x 在1b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和(2,)+∞上递增，在12b ⎛⎫⎪⎝⎭，上递减．…………………………………………………………………………（2分）②当12b >即102b <<时，()f x 在(,2)-∞和1+b ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上递增，在12b ⎛⎫⎪⎝⎭，上递减． …………………………………………………………………………………（4分） ③当12b =即12b =时，()f x 在R 上递增． ………………………………………（6分）（Ⅱ）1b =时，329()62f x x x x a =-++， 2()3963(2)(1)f x x x x x '=-+=--，可知()f x 在(1)-∞，和(2)+∞，上递增，在(1，2)上递减， 在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值， ………………………………（8分）依题意只需(2)0f >或(1)0f <即可， …………………………………………（10分）(2)20f a =+>，或5(1)02f a =+<， 得到2a >-或52a <-．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】解：（Ⅰ）2DE EF EC =∵，DEF DEF ∠=∠， DEF CED ∴△∽△， EDF C ∠=∠∴，………………………………………………………………（2分）EDF EPA ∴△∽△，EA EPEF ED=∴， EA ED EF EP =∴， …………………………………………………………（6分）又EA ED CE EB =∵， CE EB EF EP =∴．2DE EF EC =∵，32DE EF ==，，92EC =∴， 32CE BE =∵∶∶， 3BE =∴，解得274EP =． ………………………………………………………（8分）154BP EP EB =-=∴， ∵PA 是⊙O 的切线，2PA PB PC =∴，215279442PA ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭∴，解得PA =……………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）3π4α=时，易知直线l 的方程为40x y +-=， ……………………（2分）曲线C ：ρ=的普通方程为222x y +=． ………………………………………（3分） 由图分析知||PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去半径，所以min ||PQ ===． ………………………………（5分）（Ⅱ）因为90α=︒时，直线l 与C 没有交点，所以直线l 可化为普通方程为2tan (2)y x α-=-， ………………………………（7分） 令tan k α=，即220kx y k -+-=，=，解得2k =±，此时它们相切， ………………………………………………（9分）所以(22k ∈+．………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由题意，不等式|21||23|x x m ++-≤有解， 又因为|21||23|21(23)4x x x x ++-+--=≥||， ………………………………（2分）由题意只需min (|21||23|)4m x x ++-=≥， 所以实数m 的最小值4M =． ……………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得34a b +=，所以3113119(3)3344ab a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1634a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭≥， 当且仅当9a bb a=，即32a b ==时等号成立． ……………………………………（10分）。