河北省衡水中学2018-2019学年高三第一次摸底考试数学(文)试卷

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河北衡水中学2019高三第一次调研考试--数学(文)

河北衡水中学2019高三第一次调研考试--数学（文）高三年级数学试卷〔文科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两部分。

第一卷共2页，第二卷共2页。

共150分。

考试时间120分钟。

第一卷〔选择题共60分〕一、选择题〔每题5分，共60分。

每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕 A 假设q 那么pB 假设⌝p 那么⌝qC 假设q ⌝那么p ⌝D 假设p 那么q ⌝ 2假设集合{}0A x x =≥，且A B B =，那么集合B 可能是〔〕A 、{}1,2 B.{}1x x ≤ C.{}1,0,1- D.R3等差数列}a {n 中，前15项的和90S 15=，那么8a 等于〔〕、A 、245B 、 6C 、445 D 、124()f x 在R 上是奇函数，且)()2(x f x f -=+2(4)),(0,2)()2,(7)f x f x f x x f +=∈==当时，则 ()A.2-B.2C.98-D.98 5函数⎩⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，那么不等式0)(>x f 的解集为〔〕A.}10|{<<x x B }01|{≤<-x x C.}11|{<<-x x D.}1|{->x x 6以下命题错误的选项是()A 命题“假设0m >那么方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为：“假设方程20x x m +-=无实根那么0m ≤”B 假设p q ∧为假命题，那么,p q 均为假命题C “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件D 关于命题:p “R x ∈∃使得210x x ++<”，那么:p ⌝“,R ∀∈均有210x x ++≥” 7.不等式01232<--x x成立的一个必要不充分条件是()8、函数ln x x x xe e y e e---=+的图象大致为〔〕 A.B.C.D.9设函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，关于任意的x R ∈，()2f x '>，那么不等式()24f x x >+的解集为〔〕A 、(1,1)-B 、()1,-+∞C 、(,1)-∞-D 、(,)-∞+∞1010≠>a a 且,ax f x a x x f x则时，均有当,21)()1,1(,)(2<-∈-=的取值范围是〔〕 A.[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛,221,0 B.(]4,11,41 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ C.]2,1(1,21 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D.[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛,441,011设函数=)(x f x x )41(log 4-、x x x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41log )(41的零点分别为21,x x ，那么() A.1021<<x x B.121=x xC.2121<<x xD.221≥x x12.abc x xx x f -+-=96)(23，c b a <<，且0)()()(===c f b f a f .现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④.0)3()0(<f f ；⑤4<abc ；⑥4>abc其中正确结论的序号是()A.①③⑤B.①④⑥C.②③⑤D.②④⑥卷Ⅱ〔非选择题共90分〕【二】填空题〔每题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上〕 13.假设幂函数()f x 的图象过点(8,4)-，那么该幂函数的解析式为 14某同学为研究函数()1)f x x =＃)10<<x 的性质，构造了如下图的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，那么()AP PF f x +=.EFAB C D P请你参考这些信息，推知函数的极值点是；函数()f x 的值域是. 15关于函数12sin sin 2)(2++-=x x x f ，给出以下四个命题： ①)(x f 在区间]85,8[ππ上是减函数；②直线8π=x 是函数图象的一条对称轴；③函数()f x 的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向左平移4π个单位得到；④假设]2,0[π∈x ，那么()f x 的值域是]2,0[⑤函数()f x 关于)0,4(π对称其中正确命题的序号是______ 16函数)0()(23≠+++=a d cx bxax x f 的对称中心为M ),(00y x ，记函数)(x f 的导函数为)(/x f ，)(/x f 的导函数为)(//x f ，那么有0)(0//=x f。

2019届河北省衡水中学高三一摸考试数学(文)试卷含解析

2019届河北省衡水中学高三一摸考试数学（文）试卷★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

河北省衡水中学2018-2019学年高三(上)一调数学试卷(文科)(解析版)

时，由对数函数的性质可得当时, 2018-20佃学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集，集合集合或，那么集合等于A. B.或 C. D.【答案】D【解析】解：全集集合 ,集口或，的最小值为，由题意可得，设，在递增,故选：D.利用补集的定义求出，再利用两个集合的交集的定义，求出本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出可得，故选：B.由题意可得时的最小值不为8；，由复合函数的单调性可得取得最小值，再由函数零点存在定理，即可得到所求值.本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的最值和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题.是解题的关键.2.设复数z满足，则A. -B. -C. -D. 2【答案】C【解析】解：，，^则一.故选：C.利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5.设：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：:-，解得且，q：，解得：3. 已知点在幕函数的图象上，设一，贝U a, b, c 的大小关系为A. B. 【答案】A【解析】解：点在幕函数f可得，即，，可得，则，且在R上递增,C.的图象上,D.若p是q的必要不充分条件，则或，解得或故选：D.:——, , ，解得x范围：，解得:根据p是q的必要不充分条件，即可得出.本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6.已知等比数列的前n项和为，且-，-，则一A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设等比数列的公比为q,可得，故选：A.由幕函数的定义可得，且在R上递增，结合对数函数和幕函数的性质，即可得到a, b, c的大小关系.本题考查幕函数的解析式和性质以及运用：比较大小，考查运算能力，属于中档题.4. 已知函数的最小值为8，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】解：函数的最小值为8，可得，故选：D 显然时的最小值不为8；第1页，共6页设等比数列的公比为q,可得—— -，进而可得，可得和，相除化简即可. 本题考查等比数列的性质和求和公式，属基础题.7.已知函数，且，则实数m的取值范围为A. B. - C. - D.-【答案】D【解析】解：，，则函数是偶函数，当时，，为增函数，则不等式，等价为，即，或，即或-，即实数m的取值范围是- ，故选：D.根据条件判断函数的奇偶性和单调性，然后将不等式进行转化即可.本题主要考查不等式的求解，结合函数的性质，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键. 可得答案.本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.9.若函数存在唯一的极值，且此极值不小于A. -B.-C. -D.【答案】B【解析】解：- ，，1,贝U a的取值范围为8.运行如图所示的程序框图，若输出的s值为，则判断框内的条件应该是A.?B.?C.?D.? 令，解得或，函数-存在唯一的极值,，此时当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，极小值一，极小值，解得-，故选：B.先求导，再根据函数- 存在唯一的极值，可得值不小于1，即可求出a的范围本题考查了导数和函数的极值的关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为时函数的极值点，再根据极【答案】C 【解析】解：当，时，应满足继续循环的条件，故当，时，应满足继续循环的条件，故，当，时，应满足继续循环的条件，故，当，时，应满足继续循环的条件，故当，时，应不满足继续循环的条件，故判断框内的条件应该是？，故选：C. A.B.C.D.正视图俯视图侧视图由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程,第2页，共6页【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥.该几何体的体积 - -故选：D.由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥.本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 当时，—当时，的最小值为又函数满足当时，的最小值为 -当时，的最小值为 - 若时，--恒成立，11.已知定义在R上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是A. -B. -C. "D. "【答案】A【解析】解：当时，当时，，又为定义在R上的奇函数,综合知，，又，为R上的增函数，不等式对任意实数t恒成立对任意实数t恒成立，即对任意实数t恒成立，，解得：—故选：A.依题意，可求得奇函数，且为R上的增函数，故可将不等式对任意实数t恒成立转化为对任意实数t恒成立，即对对任意实数t恒成立，解之即可.本题考查函数恒成立问题，将不等式对任意实数t恒成立转化为对任意实数t恒成立是关键，考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属于难题.12.定义域为R的函数满足，当时，，若即--------即解得：故选：D.由时，且-—恒成立，则-一不大于时的最小值，根据满足，当时, ，求出时的最小值，构造分式不等式，解不等式可得答案.本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，分式不等式的解法，高次不等式的解法，是函数、不等式的综合应用，难度较大.二、填空题（本大题共4小题，共20.0 分）13.已知命题P: 恒成立，命题Q：，使得，若命题真命题，则实数a的取值范围为 ________【答案】-【解析】解：当P为真命题时，恒成立，即恒成立,所以，即-，当Q为假命题时，「为真命题，即，使得，所以，则Q：，又命题为真命题，所以命题P，Q都为真命题，则_，即一根据条件求出命题为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系得到命题解即可.【解析】解：当时,时,A.【答案】D -一恒成立，则实数t的取值范围是B. ,C.D.故实数a的取值范围是-故答案为：-P, Q都为真命题，然后进行求第3页，共6页。

2019年河北省衡水中学高考数学一模试卷(文科)

（2019年河北省衡水中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B的元素个数为（）A．6B．5C．3D．22．（5分）设i为虚数单位，z＝2+，则复数z的模|z|为（）A．1B．C．2D．3．（5分）已知双曲线A．＝1（m＞0）的渐近线为y＝±B．C．6，则m等于（）D．94．（5分）为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.75．（5分）若实数x，y满足不等式组A．[，2]B．[0，2]则x2+y2的取值范围是（）C．[，]D．[0，]6．（5分）设函数f（x）＝则“m＞1”是“f[f（﹣1）]＞4”的（）A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不允分又不必要条件7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输入P＝10，则输出的结果为（）A．B．C．D．8．（5分）若sin（A．2+2α）＝﹣，α∈（B．，π），则tan（α+C．﹣2）的值为（）D．﹣9．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+1，记a＝f（log0.56），b＝f（log27），c＝f（8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），若则该常数构成的集合为（）是一个与n无关的常数，A．{2} 11．（5分）对∀x∈（B．{4}），C．{2，4}D．{1，2，4}∈（m，n）（m＜n），则n﹣m的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为（）A．B．C．D．14．5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3a11＝2a，且S4+S12＝λS8，则λ＝．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知向量与的夹角为，||＝||＝1，则|3+|＝．（15．（5分）某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为为．的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积16．（5分）若函数f（x）＝ax2+xlnx有两个极值点，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知函数g（x）＝4sin（x﹣）cosx，将函数y＝g（x）的图象向左平移个单位得到y＝f（x）的图象．（1）求函数g（x）的最小正周期；（△2）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝3，且f（B）＝﹣3，求△ABC面积的最大值．18．在甲地，随着人们生活水平的不断提高，进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式．我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人，否则称为“无习惯的人”．某电影院在甲地随机调查了100位年龄在15岁到75岁的市民，他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]调查人数“有习惯的1010201930232013104101人数”（1）以年龄45岁为分界点，请根据100个样本数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“有习惯”的人与年龄有关；小于45岁不小于45岁合计“有习惯”的人数“无习惯”的人数合计100（2）已知甲地从15岁到75岁的市民大约有11万人，以频率估计概率，若每张电影票定价为x元（20≤x≤50），则在“有习惯”的人中约有的人会买票看电影（m为常数）．已知票价定为30元的某电影，票房达到了69.3万元．某新影片要上映，电影院若将电影票定价为25元，那么该影片票房估计能达到多少万元？参考公式：K2＝参考临界值，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k00.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.82819．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，AB＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，M，N分別为AB，A1C1的中点．（1）证明：MN∥平面BCC1B1；（2）若MN＝，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．20．已知抛物线y2＝4x的焦点为△F，ABC的三个顶点都在抛物线上，且（1）证明：B，C两点的纵坐标之积为定值；+＝．P（2）设 λ＝，求 λ 的取值范围．21．设函数 f （x ）＝x ﹣（1）求函数 y ＝，a ∈R 且 a ≠0，e 为自然对数的底数．的单调区间；（2）若 a ＝，当 0＜x 1＜x 2 时，不等式 f （x 1）﹣f （x 2）＞恒成立，求实数 m 的取值范围．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知平面直角坐标系 xOy 中，过点（﹣1，﹣2）的直线 l 的参数方程为（t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ•sin θ•tan θ＝2a （a ＞0），直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M 、N ．（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）若|PM|＝|MN |，求实数 a 的值．[选修 4-5：不等式选讲]23．设函数 f （x ）＝| |（a ∈R 且 a ≠0）（1）证明：f （a 2）+f （a +a 2）≥1；（2）若关于 x 的不等式 f （x ）≤3 的解集为 A ，且 A ⊆[﹣2，10]，求实数 a 的取值范围．（2019 年河北省衡水中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1． 5 分）设集合 A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x|x 2＜4}，则 A ∩B 的元素个数为（）A ．6B ．5C ．3D ．2【分析】首先求得集合 B ，然后结合交集的定义即可求得最终结果．【解答】解：由题意可得 B ＝{x|﹣2＜x ＜2}，则 A ∩B ＝{﹣1，0，1}，即 A ∩B 的元素个数为 3．故选：C ．【点评】本题主要考查集合的表示方法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．2．（5 分）设 i 为虚数单位，z ＝2+A ．1B ．，则复数 z 的模|z|为（）C ．2D ．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z ＝2+＝，∴|z|＝．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（5 分）已知双曲线A ．＝1（m ＞0）的渐近线为 y ＝±B ．C ．6，则 m 等于（）D ．9【分析】根据题意，由双曲线的方程分析其渐近线方程为 y ＝±x ，据此可得＝，解可得 m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为＝1（m ＞0），则其渐近线方程为 y ＝±x，又由双曲线＝1（m＞0）的渐近线为y＝±，则有＝，解可得m＝9；故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．4．（5分）为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【分析】可以从反面考虑，春节和端午节至少有一个被选中的反面为两个节日都没被选中，用1减去两个节日都没被选中的概率即可得到春节和端午节至少有一个被选中的概率．【解答】解：设事件A＝{春节和端午节至少有一个被选中}，则＝{两个节日都没被选中}，所以P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝0.7．故选：D．【点评】本题考查了古典概型的概率、考查事件与其对立事件的概率关系、计算原理等知识，属于基础题．5．（5分）若实数x，y满足不等式组则x2+y2的取值范围是（）A．[，2]B．[0，2]C．[，]D．[0，]【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝x2+y2的几何意义，即原点（0，0）到阴影区域的距离的平方求解．【解答】解：由实数x，y满足不等式组作出可行域如图，z＝x2+y2表示原点（0，0）到阴影区域的距离的平方，f∴z min 是 0，z max 是原点（0，0）到点（1，1）的距离的平方，则 z max ＝2，∴z 的取值范围是[0，2]．故选：B ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5 分）设函数 f （x ）＝则“m ＞1”是“f[f （﹣1）]＞4”的（）A ．充分不必要条件C ．充要条件B ．必要不充分条件D ．既不允分又不必要条件【分析】由“m ＞1”可以得到“ [（﹣1）]＞4，”，但由 f[（﹣1）]＞4，”“不一定得到“m ＞1”，故“m ＞1”是“f[（﹣1）]＞4，”的充分不必要条件．【解答】解：当“m ＞1”时，f[（﹣1）]＝f （2）＝22m +1＞4但当“f[f （﹣1）]＞4”时，f[（﹣1）]＝f （2）＝22m +1＞4＝222m +1＞2；m ＞；故“m ＞1”是“f[（﹣1）]＞4，”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分不必要条件的判定，比较基础．7．（5 分）阅读如图所示的程序框图，如果输入 P ＝10，则输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝++…+由于S＝的值，++…+＝1﹣+…+﹣＝1﹣＝．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．（5分）若sin（A．2+2α）＝﹣，α∈（B．，π），则tan（α+C．﹣2）的值为（）D．﹣【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角和的正切公式化简要求的式子可得结果．【解答】解：sin（+2α）＝cos2α＝＝＝﹣，∴tanα＝±3．又α∈（，π），∴tanα＝﹣3，则tan（α+）＝＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查应用诱导公式、两角和的正切公式化简三角函数式，属于基础题9．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+1，记a＝f（log0.56），b＝f（log27），c＝f（8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据f（x）的周期性和单调性进行判断．【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+1，则f（x）在[0，1]上是增函数，且当x∈[0，1]时，1≤f（x）≤2，∵f（x+2）＝f（x），∴f（x）的周期为2．∵a＝f（log0.56）＝f（﹣log26）＝f（2+）＝f（）＝f（﹣）＝f （），b＝f（log27）＝f（），c＝f（8）＝f（0）＝f（log21）∵，∴，∴f（log21），c＜a＜b故选：D．【点评】本题考查了函数的周期性，单调性，以及利用单调性比较大小，是基础题．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），若是一个与n无关的常数，则该常数构成的集合为（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{1，2，4}【分析】先根据等差数列的前n项和公式计算出S2n与S4n，进而表达，再结合题中的条件以及分式的特征可得答案．【解答】解：由题意可得数列{a n}是等差数列，∀ ∈ ∈ n （ f ∈ 则，，∴＝＝＝，由题是一个与 n 无关的常数，则 a 1＝或 d ＝0，当 a 1＝时，＝＝＝4，当 d ＝0 时，＝＝＝2．∴该常数构成的集合为{2，4}．故选：C ．【点评】本题考查集合的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的前 n 项和公式，以及熟练掌握分式的性质，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．11．（5 分）对∀x ∈（A ．B ．）， ∈（m ，n ）（m ＜n ），则 n ﹣m 的最小值为（）C ．D ．【分析】求导，利用讨论函数的单调性，可得 n ﹣m 的最小值．【解答】解： x （则 f ′（x ）＝），，x ∈（（m ，） m ＜n ），设（x ）＝）x （）设 g （x ）＝sinx ﹣xcosx ，g ′（x ）＝cosx ﹣（cosx ﹣xsinx ）＝xsinx ，则：g ′（x ）＝cosx ﹣（cosx ﹣xsinx ）＝xsinx ＞0，在 x ∈（函数 g （x ）＝sinx ﹣xcosx ，）上恒成立，在 x ∈（g （x ）＞g （）上单调递增，）＝sin ﹣ cos ≈0.05＞0所以：f ′（x ）＝即函数设 f （x ）＝＞0，x ∈（在 x ∈（）上恒成立，）上单调递增，所以：f（）＜f（x）＜f（）；即：＜f（x）＜；则n﹣m的最小值为，故选：C．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和值域，属中档题12．（5分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理计算R，得出r，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据余弦定理计算mn，再根据面积公式列方程得出a，c的关系，从而可求出椭圆的离心率．【解答】解：椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c，根据正弦定理可得2R＝＝＝，∴R＝，r＝R＝．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a，由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mn cos＝（m+n）2﹣3mn＝4a2﹣3mn，∴mn＝，∴S＝sin＝，又S＝（m+n+2c）•r＝，∴＝，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0，解得：e＝或e＝﹣1（舍）．故选：B．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和三角形的内切圆的半径的求法，以及正弦定理，余弦定理的应用，考查化简整理的运算能力，是中档题．14． 5分）设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 3a 11＝2a ，且 S 4+S 12＝λS 8，则 λ＝．二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．（5 分）已知向量与的夹角为，| |＝| |＝1，则|3 + |＝．【分析】由向量的模的运算可得||＝＝，得解．【解答】解：因为向量与的夹角为，| |＝| |＝1，所以所以|＝﹣ ，|＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了向量的运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量模的运算，以及向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．（【分析】等比数列{a n }的首项为 a 1，公比为 q ，由 a 3a 11＝2a ，结合等比数列的通项公式可求 q ，然后利用等比数列的前 n 项和公式，即可求解，得到答案．【解答】解：由题意，设等比数列{a n }的首项为 a 1，公比为 q ，因为 a 3a 11＝2a ，所以＝2，解得 q 4＝2，因为 S 4+S 12＝λS 8，所以＝，即，解得 λ＝．故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前 n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．（ f15．（5 分）某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为为．的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为 36π，则该几何体的体积【分析】利用三视图对应几何体的外接球的体积，求解半径，然后求解三棱锥的高，然后求解体积．【解答】解：三视图的直观图为：该几何体的外接球的体积为 36π，可得：，解得 R ＝3，由题意可得 AD ＝所以 P A ＝2＝4，＝1，几何体的体积可得：故答案为：．＝．【点评】本题考查几何体的体积的求法，三视图的应用，考查转化思想以及计算能力．16． 5 分）若函数（x ）＝ax 2+xlnx 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是．【分析】将题目等价转化为导函数方程有两个不同的正实根后，既可以采用不完全分离参数法数形结合求解（如法 1），也可以采用常规的完全分离参数法，数形结合求解（如法 2），相比较而言，法 2 更容易理解．【解答】解：法1：函数f（x）＝ax2+xlnx有两个极值点，即导函数f'（x）＝2ax+lnx+1在（0，+∞）上有两个变号零点，即方程lnx＝﹣2ax﹣1有两个不同正实数根，即函数y＝lnx与函数y＝﹣2ax﹣1有两个不同的交点，作出图象如右图；设恒过定点的函数y＝﹣2ax﹣1与函数y＝lnx相切于点（x0，y0），则有，解得x0＝1，y0＝0，即切点为（1，0），此时直线的斜率为k＝1，由图象可知，要使函数y＝lnx与函数y＝﹣2ax﹣1有两个不同的交点，则0＜﹣2a＜1，即a∈（﹣，0），法2：转化为导函数f'（x）＝2ax+lnx+1在（0，+∞）上有两个变号零点，分离参数得到，方程﹣2a＝在（0，+∞）上有两个不同的实根，令g（x）＝，定义域为x＞0，g′（x）＝，则x∈（0，1）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，（ f fx ∈（1，+∞）时，g '（x ）＜0，函数 g （x ）单调递减，故 g （x ）max ＝g （1）＝1，＜/br ＞作出函数 y ＝g （x ）和 y ＝﹣2a 的图象于同一个坐标系中，则得到 0＜﹣2a ＜1，即 a ∈（﹣ ，0），故答案为：（﹣ ，0）．【点评】这类题目往往需要在函数和方程之间多次转化，需要我们对相关的知识要很清楚，另外需要了解常见的分离参数法的不同类型．三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知函数 g （x ）＝4sin （x ﹣）cosx ，将函数 y ＝g （x ）的图象向左平移个单位得到 y ＝f （x ）的图象．（1）求函数 g （x ）的最小正周期；（△2）在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 b ＝3，且 f （B ）＝﹣3，求△ABC 面积的最大值．【分析】 1）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角差的正弦公式化简解析式，得到 g （x ）＝（2）由题（x ）＝，由周期公式求出 f （x ）的最小正周期；，（B ）＝，得 sin （2B + ）＝﹣1，根据 f （B ）＝﹣3，可得 B ＝．由余弦定理得 32＝a 2+c 2，则a 2+c 2+ac ＝9，由此得到 ac ≤3，即可求出△ABC 面积的最大值．【解答】解：（1）∵g （x ）＝4sin （x ﹣＝＝＝．）cosx∴g （x ）的最小正周期为 T ＝；（2）f （x ）＝2sin[2（x +由 f （B ）＝）﹣ ]﹣1＝，得 sin （2B + ，）＝﹣1，∵2B+∈（），∴，则B＝．由余弦定理得，即a2+c2+ac＝9，9＝a2+c2+ac≥2ac+ac＝3ac，即ac≤3，当且仅当a＝c时取等号．∴△ABC的面积，∴△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，正弦定理，余弦定理，以及基本不等式等知识，属中档题．18．在甲地，随着人们生活水平的不断提高，进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式．我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人，否则称为“无习惯的人”．某电影院在甲地随机调查了100位年龄在15岁到75岁的市民，他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]调查人数“有习惯的1010201930232013104101人数”（1）以年龄45岁为分界点，请根据100个样本数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“有习惯”的人与年龄有关；小于45岁不小于45岁合计“有习惯”的人数“无习惯”的人数合计100（2）已知甲地从15岁到75岁的市民大约有11万人，以频率估计概率，若每张电影票定价为x元（20≤x≤50），则在“有习惯”的人中约有的人会买票看电影（m为常数）．已知票价定为30元的某电影，票房达到了69.3万元．某新影片要上映，电影院若将电影票定价为25元，那么该影片票房估计能达到多少万元？（参考公式：K 2＝参考临界值，其中 n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）k 00.0255.024 0.0106.635 0.0057.8790.00110.828【分析】 1）根据统计数据，可得 2×2 列联表，根据列联表中的数据，计算 K 2 的值，即可得到结论；（2）依题意有 11×× ×30＝69.3，求出 m 的值，由此得到该影片票房．【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下，“有习惯”的人数“无习惯”的人数合计由表中数据，计算 K 2＝小于 45 岁52860 不小于 45 岁182240≈19.84＞10.828，合计7030100所以有 99.9%的把握认为“有习惯”的人与年龄有关；（2）依题意，有 10×× ×30＝69.3，解得 m ＝6，所以 11×× ×25＝77（万元），估计新影片上映票房能达到 77 万元．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了理解与计算能力，是基础题．19．如图所示，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，底面 ABC 为等边三角形，AB ＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，M ，N 分別为 AB ，A 1C 1 的中点．（1）证明：MN ∥平面 BCC 1B 1；（2）若 MN ＝，求三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 的侧面积．【分析】1）取BC中点P，连接MP，C1P，推导出四边形MNC1P为平行四边形，从而（NM∥PC1．由此能证明MN∥平面BCC1B1．（2）作BH⊥A1A，交AA1于H，连接△CH．推导出ABH≌△ACH，从而∠CHA＝∠BHA，进而BH⊥AA1，⊥AA1．推导出A1A⊥平面BCH，A1A⊥BC．则C1C⊥BC．由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】证明：（1）如图，取BC中点P，连接MP，C1P．∵M为AB的中点，∴MP∥AC，且MP＝AC．又AC∥A1C1，AC＝A1C1，且NC1＝，∴NC1∥MP，且NC1＝MP．∴四边形MNC1P为平行四边形，∴NM∥PC1．又PC1⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．…………（4分）解：（2）如图，作BH⊥A1A，交AA1于H，连接CH．∵AC＝AB，∠A1AB＝∠A1AC，AH为公共边，∴△ABH≌△ACH，∴∠CHA＝∠BHA．∴BH⊥AA1，⊥AA1．而BH∩CH＝H，∴A1A⊥平面BCH，A1A⊥BC．又A1A∥C1C，∴C1C⊥BC．在直角△C1CP中，CP＝＝1，C1P＝MN＝，∴C1C＝．在直角△ABH中，BH＝ABsin60°＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积S＝4×．……（12分）（【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知抛物线 y 2＝4x 的焦点为 △F ，ABC 的三个顶点都在抛物线上，且 + ＝．（1）证明：B ，C 两点的纵坐标之积为定值；（2）设 λ＝，求 λ 的取值范围．【分析】 1）设 A ，B ，C 的坐标，根据向量的运算，由此可证明 y 1y 2＝﹣2 为定值；（2）由+ ＝得四边形 ABFC 为平行四边形，故 λ＝ • ＝ • ，即可求出．【解答】证明：（1）设 A （，y 0），B （，y 1），C （，y 2），F （1，0），∴ ＝（ ﹣1，y 0），＝（ ﹣1，y 1），＝（ ﹣1，y 2），∵+＝，∴﹣1+ ﹣1＝﹣1，y 1+y 2＝y 0，即 y 12+y 22＝y 02+4，∴（y 1+y 2）2＝y 02， ∴y 02+4+2y 1y 2＝y 02，∴y 1y 2＝﹣2，解：（2）由+ ＝得四边形 ABFC 为平行四边形，（故 λ＝• ＝ • ＝（1﹣ ）（1﹣ ）+（﹣y 1）（﹣y 2）＝1﹣（ + ）+ +y 1y 2＝1﹣ + ﹣2＝﹣ y 02﹣ ≤﹣ ，故 λ 的取值范围是（﹣∞，﹣ ]．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，同时考查向量共线和坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21．设函数 f （x ）＝x ﹣（1）求函数 y ＝，a ∈R 且 a ≠0，e 为自然对数的底数．的单调区间；（2）若 a ＝，当 0＜x 1＜x 2 时，不等式 f （x 1）﹣f （x 2）＞恒成立，求实数 m 的取值范围．【分析】 1）求出函数 y 的导数 y ′，利用导数判断函数 y 的单调性与单调区间；（（2）0＜x 1＜x 2 时，f （x 1）﹣f （x 2）＞等价于 f （x 1）﹣ ＞f （x 2）﹣ ；构造函数 g （x ）＝f （x ）﹣ ，由 g （x ）在（0，+∞）上为减函数，得出 g ′（x ）≤0，再利用构造函数求最值法求出 m 的取值范围．【解答】解：（1）函数 y ＝＝1﹣ ，∴y ′＝＝﹣ ，不等式﹣＞0 等价于＜0；①当 a ＞0 时，由②当 a ＜0 时，由＜0，得＜0，得＜0，解得 0＜x ＜2；＞0，解得 x ＜0 或 x ＞2；综上：①当 a ＞0 时，函数 y ＝∞）；的增区间为（0，2），减区间为（﹣∞，0），（2，+②当 a ＜0 时，函数 y ＝（6 分）（2）当 0＜x 1＜x 2 时，的增区间为（﹣∞，0）， 2，+∞），减区间为（0，2）；……f （x 1）﹣f （x 2）＞等价于 f （x 1）﹣等价于 f （x 1）﹣f （x 2）＞＞f （x 2）﹣ ；﹣ ，即函数 g （x ）＝f （x ）﹣ ＝x ﹣ •﹣ 在（0，+∞）上为减函数，则 g ′（x ）＝1﹣+ ＝ ≤0，∴em ≤（x ﹣1）e x ﹣ex 2；令 h （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣ex 2，则 h ′（x ）＝e x +（x ﹣1）e x ﹣2ex ＝xe x ﹣2ex ＝x （e x ﹣2e ）＝0，解得 e x ＝2e ，即 x ＝ln2e ；P （当 x ∈（0，ln2e ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）为减函数；当 x ∈（ln2e ，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）为增函数；∴h （x ）的最小值为 h （ln2e ）＝（ln2e ﹣1）•e ln2e ﹣eln 22e ＝2eln2﹣e （ln 2+1）2＝﹣eln 22﹣e ；∴em ≤﹣eln 22﹣e ，解得 m ≤﹣1﹣ln 22，∴m 的取值范围是（﹣∞，﹣1﹣ln 22]．……（12 分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知平面直角坐标系 xOy 中，过点（﹣1，﹣2）的直线 l 的参数方程为（t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ•sin θ•tan θ＝2a （a ＞0），直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M 、N ．（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）若|PM|＝|MN |，求实数 a 的值．【分析】 1）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；（2）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可．【解答】解：（1）∵直线 l 的参数方程为（t 为参数），∴直线 l 的普通方程：x ﹣y ﹣1＝0，∵曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θtan θ＝2a （a ＞0），∴ρ2sin 2θ＝2a ρcos θ（a ＞0），∴曲线 C 的普通方程：y 2＝2ax ；（2）∵y 2＝2ax ；∴x ≥0，设直线 l 上点 M 、N 对应的参数分别为 t 1，t 2，（t 1＞0，t 2＞0），则|PM|＝t 1，|PN|＝t 2，∵|PM|＝|MN |，∴|PM|＝ |PN|，∴t 2＝2t 1，（将t 2﹣2 （t 为参数），代入 y 2＝2ax 得（a +2）t +4（a +2）＝0，∴t 1+t 2＝2（a +2）， t 1t 2＝4（a +2），∵t 2＝2t 1，∴a ＝．【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．[选修 4-5：不等式选讲]23．设函数 f （x ）＝| |（a ∈R 且 a ≠0）（1）证明：f （a 2）+f （a +a 2）≥1；（2）若关于 x 的不等式 f （x ）≤3 的解集为 A ，且 A ⊆[﹣2，10]，求实数 a 的取值范围．【分析】 1）利用绝对值不等式的性质证明即可；（2）由 f （x ）≤3 可得．由 A ⊆[﹣2，10]，对 a 进行分类讨论，即可求出实数的取值范围．【解答】解：（1）f （a 2）+f （a +a 2）≥|a ﹣2|+|a ﹣1|≥|（a ﹣2）﹣（a ﹣1）|＝1当且仅当（a ﹣2）（a ﹣1）≤0，即 1≤a ≤2 时取等号，∴f （a 2）+f （a +a 2）≥1；（2）∵| x ﹣2|≤3∴﹣3≤ x ﹣2≤3，∴﹣1≤ x ≤5，∵A ⊆[﹣2，10]，∴当 a ＞0 时，A ＝{x|﹣a ≤x ≤5a }，则∴a ≤2．即 0＜a ≤2．当 a ＜0 时，A ＝{x|5a ≤x ≤﹣a }，则，∴a ≥﹣ ，即﹣ ≤a ＜0．综上可知，实数 a 的取值范围是．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，考查分类讨论和等价转化的数学思想，属中档题．。

2019 年河北省衡水中学高考数学一模试卷(文科)

．
15．（5 分）某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯
视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为 36π，则该几何体的体积
为
．
16．（5 分）若函数 f（x）＝ax2+xlnx 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是
．
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
5.024
6.635
7.879
10.828
19．如图所示，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，底面 ABC 为等边三角形，AB＝2，∠A1AB＝∠
A1AC＝60°，M，N 分別为 AB，A1C1 的中点．
（1）证明：MN∥平面 BCC1B1；
（2）若 MN＝，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面积．
人”．某电影院在甲地随机调查了 100 位年龄在 15 岁到 75 岁的市民，他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如表：
年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75]
调查人数
10
20
30
20
10
10
“有习惯的 10
19
23
13
4
1
人数”
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A．
B．
C．
D．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运
行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出 S＝

2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(文)试题(解析版)

2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】化简集合，直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，所以.故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】复数分子分母同乘以化简可得，求出对应坐标即可得结果.【详解】复数，则对应的点为，位于第三象限.故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是（）A．一本达线人数减少B．二本达线人数增加了0.5倍C．艺体达线人数相同D．不上线的人数有所增加【答案】D【解析】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.分别根据扇形图算出2015和2018年一本、二本、艺术生上线人数以及落榜生人数，再进行比较即可.【详解】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.2015年一本达线人数为28,2018年一本达线人数为36，可见一本达线人数增加了，故选项错误；2015年二本达线人数为32，2018年二本达线人数为60，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项错误；艺体达线比例没变，但是高考人数是不相同的，所以艺体达线人数不相同，故选项错误；2015年不上线人数为32,2018年不上线人数为42，不上线人数有所增加，选项正确. 故选D.【点睛】本题主要考查了对扇形图的理解与应用，意在考查灵活应用所学知识解答实际问题的能力，属于简单题.4．如图，在等腰梯形中，，于点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质可得是的中点，由平面向量的加法运算法则结合向量平行的性质可得结果.【详解】因为，所以是的中点，可得，故选.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及向量平行的性质，属于简单题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）5．将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的体积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当正方体为圆柱的内接正方体，且正方体的两个面位于圆柱体上、下底面时，圆柱形钢锭体积最小，根据正方体的棱长可求得圆柱的底面半径与高，利用圆柱的体积公式可得结果.【详解】由题意知，当正方体为圆柱的内接正方体，且正方体的两个面位于圆柱体上、下底面时，圆柱形钢锭体积最小，此时圆柱的底面半径是正方体面对角线的一半，即，圆柱的高为正方体的棱长，即为4，故圆柱形钢锭的体积为. 故选B.【点睛】本题主要考查正方体与圆柱的几何性质，以及圆柱的体积公式，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的图像在点处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据奇偶性求出当时，的解析式，根据导数的几何意义求得切线斜率，然后利用点斜式可得结果.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，，，，则.因为，所以函数的图象在点处的切线方程是化为. 故选C.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及函数奇偶性的应用，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.7．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据等腰直角三角形的性质可得，将代入椭圆方程，结合离心率为以及性质列方程组求得与的值，从而可得结果.【详解】设直线与椭圆在第一象限的交点为，因为，所以，即，由可得，，故所求椭圆的方程为. 故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及椭圆离心率的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点为下底面半圆弧上一点（异于点），则关于该几何体的说法正确的是（）A．B．C．平面D．平面【答案】C【解析】用反证法可判断选项错误；根据圆直径所对圆周角为直角、圆柱母线与底面垂直，利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可判断选项正确.【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，若，因为，，所以平面，又因为平面，所以，不成立，所以不正确；因为，因此，即与不垂直，所以不正确；因为为半圆的直径，所以，又因为，，所以平面，所以正确；假设平面，则，又，，所以平面，所以，与矛盾，所以不正确. 故选C.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查圆柱的性质以及空间想象能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．若将函数的图象向左平移个单位长度后的图象关于轴对称，则当取最小整数时，函数的图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用两角和的余弦公式以及两角和的正弦公式将化为，向左平移个单位长度后的图象解析式为，根据函数图象关于轴对称，可求得，令即可得结果.【详解】因为，将函数的图象向左平移个单位长度后的图象解析式为，因为图象关于轴对称，所以，即.因为，所以，此时，令，得，时，对称中心为. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由可求得函数的对称轴方程；由可求得对称中心横坐标. 10．如图所示，在长方体中，，，为底面两条对角线的交点，与平面所成的角为，则该长方体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】与平面所成的角等于与平面所成的角，均为. 过底面的对角线交点作交于点，则，求得，从而可得，进而可得结果.【详解】因为平面平面，所以与平面所成的角等于与平面所成的角，均为.如图，过底面的对角线交点作交于点，则，又因为平面，平面平面，所以平面.连结，则.在中，，，所以.在中，，所以，故长方体的表面积为. 故选A.【点睛】本题主要考查长方体的性质，直线与平面所成的角，长方体的表面积，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，在的始边上有点，终边上有点，满足，若，则（）A．B．2 C．4 D．1【答案】D【解析】由三角函数的定义可得，由三角形内角和定理得，可得，利用二倍角的正切公式化简得，利用二倍角的正弦、余弦公式结合同角三角函数的关系，化简可得结果.【详解】因为的终边上有点，所以，由三角形内角和定理得所以，即.整理得，所以. 故选D.【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.12．已知函数数列满足：，且是单调递增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用指数函数递增、一次函数递增，以及数列的增减性列不等式组求解即可.【详解】因为且是单调递增数列，所以根据指数函数的单调性可得，根据一次函数的单调性可得，由分段函数的单调性结合数列的单调性可得，，综合三种情况解得. 故选C.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，以及数列的增减性，属于难题. 分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.二、填空题13．________.【答案】0【解析】直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.【详解】化简.故答案为0.【点睛】本题主要考查对数的运算与性质、以及换底公式的应用，意在考查对基本运算与公式掌握的熟练程度，属于中档题.14．已知实数满足约束条件，则的最大值为________.【答案】5【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，所以的最大值为. 故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．已知直线被圆截得的弦长为2，则________.【答案】-3【解析】将圆的一般方程化为标准方程可求得圆心，利用点到直线距离公式、结合弦长为2，利用勾股定理列方程可求得的值.【详解】圆化为标准方程为，圆心坐标为，，圆心到直线的距离.所以，即，解得. 故答案为-3.【点睛】本题主要考查圆的方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.16．在中，角的对边分别为，，，且为锐角，则面积的最大值为________.【答案】【解析】由，，利用正弦定理求得.，再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，从而利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为，又，所以，又为锐角，可得.因为，所以，当且仅当时等号成立，即，即当时，面积的最大值为. 故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题17．已知数列满足，，设.（1）求；（2）证明：数列为等比数列；（3）求的通项公式.【答案】（1），，；（2）见解析；（3）.【解析】（1）根据递推公式求出的值，利用可得结果；（2）由即可得结论；（3）由（2），利用等比数列的通项公式可得，结合，即可得结果.【详解】（1）由，得.因为，所以.所以，，.（2）因为，所以是首项为2，公比为3的等比数列.（3）由（2）得，而，所以.【点睛】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.18．在平行四边形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点，.连结，交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置，如图2.（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）先求得，，可得，结合，可得，，，可证明平面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）由面面垂直的性质可得平面，取的中点为，连结，则，可证明平面，由此利用棱锥的体积公式可得三棱锥的体积.【详解】（1）如题图1，在中，，，所以.在中，，所以.所以.如题图2，，.又因为，所以，，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解法一：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.取的中点为，连结，则，所以平面.即为三棱锥的高.且.因为，三棱锥的体积为.解法二：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.因为为的中点.所以三棱锥的高等于.因为为的中点，所以的面积是四边形的面积的，从而三棱锥的体积是四棱锥的体积的.面，所以三棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明平面和平面垂直，本质上是证明线面垂直.19．某高校数学学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数分布在内.当时，其频率.（1）求的值；（2）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）.（3）若高考数学分数不低于120分的为优秀，低于120分的为不优秀，则按高考成绩优秀与否从这40名新生中用分层抽样的方法抽取4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名，求这2名学生的高考成绩均为优秀的概率.【答案】（1）；（2）直方图见解析，；（3）.【解析】（1）的取值为10,11,12,13,14，把的取值分别代入，根据频率的和为1，列方程求解即可；（2）利用频率除以组距可得纵坐标，从而可得直方图，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标及组距相乘后求和可得平均值；（3）利用列举法，列举出从这4名学生中随机抽取2名的事件，以及其中这2名学生的高考成绩均为优秀的事件，由古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）由题意知，的取值为10,11,12,13,14.把的取值分别代入，可得.解得.（2）频率分布直方图如图，这40名新生的高考数学分数的平均数为.（3）这40名新生的高考数学分数在的频率为，所以高考数学成绩不优秀和优秀的频率比.按高考数学成绩优秀与否分层抽样的方法从40名学生中抽取的4名学生中有3名学生高考成绩优秀，记为4名学生，其中为3名高考数学成绩优秀的学生.从4名学生中随机抽取2名学生的基本事件为，共6个，2名学生高考数学成绩均优秀的事件为，共3个，故所求的概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标及组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.20．已知直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的切线，若两条切线互相垂直且交于点.（1）证明：直线恒过定点；（2）若直线的斜率为1，求点的坐标.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由得，利用导数可得直线的斜率为，直线的斜率为，结合，可得，即，从而利用韦达定理可得，则直线恒过定点；（2）求出直线的方程为，直线的方程为，解得点的坐标为，结合（1）利用韦达定理可得结果.【详解】（1）证明：易知直线的斜率存在，设直线，，.由得，所以，.由，得，所以，所以直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以，即，所以，得，所以直线，故直线恒过定点.（2）由（1）得直线的斜率为1时，，.直线的方程为，即，同理直线的方程为，即，上面两式联立得，，所以点的坐标为，即.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数的几何意义以及直线过定点问题，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.21．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当,为两个不相等的正数，证明：.【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数；（2）见解析.【解析】(1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.【详解】（1）函数的定义域为，.若，，则在区间内为增函数；若，令，得.则当时，，在区间内为增函数；当时，，在区间内为减函数.（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即..下面证明当时，恒成立.设，则，故在区间内为增函数，，即，所以.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，，求的值.【答案】（1）曲线的直角坐标方程为：，直线的普通方程为.（2）【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.【详解】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，得. 因为直线与曲线交于，两点。

2019年河北省衡水中学上学期高三数学(文)第一次调研考试试卷参考答案

高考数学精品复习资料2019.5高三年级数学试卷(文科)答案一、选择：DABAC BDDBC AC 二、填空：32x y =21；]12,5[+ ①② －8046 三、解答： 17．解：A ＝{1,4},()1,1012-==⇒=-+-a x x a ax x ，由A ∪B ＝A ⇒B ⊆A∅≠B ,∴B ＝{1}，或B ＝{1,4}，从而a －1＝1,或a －1＝4,故a ＝2，或a ＝5．又A ∩C ＝C ⇒C ⊆A ．考虑042=+-mx x ．当440162＜＜＜m m -⇒-=∆时， C ＝∅⊆A ；当440162≥-≤⇒≥-=∆m m m 或时,∅≠C ，此时由C ⊆A 只能有C ＝{1,4}．此时m ＝5．综上可得：a ＝2，或a ＝5．－4＜m ＜4，或m ＝5． 18．解：(1)因为函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，所以当0=x 时，()f x ＝0；当－1＜x ＜0时，0＜－x ＜1，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ；所以()⎪⎩⎪⎨⎧=--=-1020001,2＜＜，，＜＜x x x x f x x(2)当0＜x ＜1时，1＜f (x )＜2；当－1＜x ＜0时，－2＜f (x )＜－1；当x ＝0时，f (x )＝0；所以f (x )＜2；因为f (x )≤2a 恒成立，所以2a ≥2即a ≥119．解：函数定义域为(0，＋∞)，……1分()xax x a x f 1222'++-= ………………3分因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0 解得121=-=a a 或经检验，121=-=a a 或时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，又因为a ＞0所以a ＝1……6分20．解：设AN 的长为x 米(82≤<x )∵||||||||DN DC AN AM =，∴|AM |＝32xx -所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；……8分若a ≠0，令()()()0112=---='xax ax x f ，解得ax a x1,2121=-=……9分当a ＞0时，()()x f x f ,'的变化情况如下表∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛a 10，，单调递减区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a ……11分 ∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x - 4分(1)由S AMPN ＞32得32232＞-x x ， ∴3x 2－32x ＋64＞0，即(3x －8)(x －8)＞0 ∴382＜＜x 或x ＞8 又2＜x ≤8，∴382＜＜x 即AN 长的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛382，……8分(2)令232-=x x y ，则()()()()2222432326--=---='x x x x x x x y ……10分∵当[)43，∈x ，y '＜0，∴函数232-=x x y 在[)43，上为单调递减函数， ∴当x ＝3时，232-=x x y 取得最大值，即(S AMPN )max ＝27(平方米)此时|AN |＝3米，|AM |＝92333=-⨯米……13分 21．(1)2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．……………………………3分 (2)∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，Δ＝b 2－4a (b －1)＝b 2－4ab ＋4a ＞0对b ∈R 恒成立，∴(4a )2－16a ＜0，得a 的取值范围为(0，1)．……7分 (3)由ax 2＋bx ＋(b －1)＝0得a bx x 2221-=+，由题知12112++-=-=a x y k ，，设A ，B 中点为E ，则E 的横坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-121222a a ba b ，，∴121222++=-a a b a b∴42121122-≥+-=+-=aa a ab ，当且仅当()1012＜＜a aa =，即22=a 时等号成立，∴b 的最小值为42-．……12分 22．解：(Ⅰ)当1,0a b ==时，32()3f x x x =- 所以(1)2f =- 即切点为(1,2)P -因为2()36f x x x '=-所以(1)363f '=-=-．所以切线方程为23(1)y x +=-- 即31y x =-+ (Ⅱ)22()363,f x x ax b '=-+由于0＜a ＜b ，所以()()036363622＜b a b a b a -+=-=∆所以函数f (x )在R 上递增所以不等式()k x x x x k x x x k f x x f ＞＞＞1ln 11ln 11ln 1-+⇔-+⇔⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-+ 对()+∞∈,1x 恒成立构造()()()()()()()()2212ln 1ln 1ln 21ln 1---=-+--+='-+=x x x x x x x x x x h x x x x h构造()2ln --=x x x g ()xx x x g 111-=-=' 对()+∞∈,1x ，()01'＞xx x g -=所以()2ln --=x x x g 在()+∞∈,1x 递增 ()()()()04ln 2403ln 13,2ln 2,11＞，＜-=-=-=-=g g g g所以0(3,4)x ∃∈，000()ln 20g x x x =--= 所以0(1,),()0,()0x x g x h x ∈<<，所以(1ln )()1x xh x x +=-在0(1,)x 递减0(,),()0,()0x x g x h x '∈+∞>>，所以(1ln )()1x xh x x +=-在0(,)x +∞递增所以，00min 00(1ln )()()1x x h x h x x +==-结合000()ln 20g x x x =--=得到()()()()4,31ln 100000min ∈=-+==x x x x x h x h所以()1ln 1-+x x x k ＜对()+∞∈,1x 恒成立()min x h k ＜⇔，所以3≤k ，整数k 的最大值为3。

衡水中学2019届高三上学期一调(数学文)

4 衡水中学 2018～2019 学年度高三年级上学期一调考试数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。

考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷（选择题共 60 分）注意事项： 1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ前，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合 A = {1, 2, 4} , B = {x x 2- 4x + m = 0}，若 A ⋂ B = {1} ,则 B =A.{1, -3}B. {1, 0}C.{1, 3}D.{1, 5}2. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A. y = 2- xB. y = x-3C.y =sin xxD. y = lg (2 - x ) - lg (2 + x )3.命题 p : ∃x 0 ∈ R , f (x 0 ) ≥ 2, 则⌝p 为A. ∀x ∈ R , f (x ) ≥ 2 C. ∃x 0 ∈ R , f (x 0 ) ≤ 2B. ∀x ∈ R , f (x ) < 2 D. ∃x 0 ∈ R , f (x 0 ) < 24. 下列函数中，其图象与函数 y = ln x 的图象关于直线 x = 1 对称的是A. y = ln (1- x )B. y = ln (2 - x )C. y = ln (1+ x )D. y = ln (2 + x )5. 函数 y = 2xsin 2x 的图象可能是右边的6. 已知实数 a > 1, 若函数 f( x ) = log a x + x - m 的零点所在区间为(0,1) ，则 m 的取值范围是 A. (-∞,1)B. (-∞, 2)C. (0,1)D. (1, 2)7. 已知 a = log 1 7 ,b = ⎛ 1 ⎫3, c = log1 ，则 a , b , c 的大小关系为32A. a > b > c⎪ ⎝ ⎭ B. b > a > c1 3C. c > b > aD. c > a > b8. 已知函数 f( x ) = ( x -1)(ax + b ) 为偶函数，且在(0, +∞) 上单调递减，则 f (3 - x ) < 0 的解集为A. (2, 4)B. (-∞, 2) ⋃ (4, +∞)C. (-1,1)D. (-∞, -1) ⋃ (1, +∞ )50 0 0 0 0 0 09. 已知 f (x ) 是定义域为 (-∞, +∞)的奇函数，满足 f (1- x ) = f (1+ x ) . 若 f (1) = 2 ，则f (1) + f (2) + f (3) + + f (2018 ) =A. -2018B. 0C. 2D. 5010. 如右图，可导函数 y = f ( x ) 在点 P (x 0 , f ( x 0 ))处的切线为l : y = g ( x ) ，设 h ( x ) = f (x ) - g (x ) ，则下列说法正确的是A. h '( x ) = 0, x = x 是 h ( x ) 的极大值点 B. h '( x ) = 0, x = x 是 h( x )的极小值点C. h ' ( x ) ≠ 0, x = x 不是h ( x ) 的极值点 D. h '( x ) ≠ 0, x = x 是h ( x ) 的极值点 11. 已知函数 f( x ) = ax 2 - 4ax - ln x , 则 f ( x ) 在(1, 3) 上不单调的一个充分不必要条件是A. a ∈⎛ -∞,1 ⎫B. a ∈⎛ - 1 , +∞ ⎫C. a ∈⎛ 1 , +∞ ⎫D. a ∈⎛ - 1 ,1 ⎫6 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 6 ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ ⎭⎝ ⎭12. 已知f '( x )是函数f ( x ) 的导函数，且对任意的实数 x 都有f ' ( x ) = e x (2x - 2) + f (x )(e 是自然对数的底数) ， f (0) = 1，则A. f ( x ) = ex(x +1)C. f ( x ) = e x (x +1)2B. f ( x ) = ex(x -1)D. f ( x ) = e x (x -1)2第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题（每题 5 分，共 20 分。

【全国百强校】河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学(文)试题

河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底考试文科数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3,1,0,1,3A =--，{}2|30B x x x =+=，则AB =（）A.{}3,0,3-B.{}3,0-C.{}0,3D.{}3,1,0,1,3--2.在复平面内，复数32iz i-+=（i 为虚数单位）对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是（） A.一本达线人数减少 B.二本达线人数增加了0.5倍C.艺体达线人数相同D.不上线的人数有所增加4.如图，在等腰梯形ABCD 中，1,2DC AB BC CD DA ===，DE AC ⊥于点E ，则DE =（）A.1122AB AC - B.1122AB AC +C.1124AB AC - D.1124AB AC + 5.将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的体积的最小值为（）A.16πB.32πC.128πD.6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()3f x x x =-，则函数()f x 的图像在点()()1,1f --处的切线方程是（）A.20x y +-=B.0x y +=C.10x y ++=D.20x y ++=7.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线x =C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则椭圆的方程为（）A.2212x y +=B.22142x y +=C.22184x y += D.22163x y += 8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点E 为下底面半圆弧上一点（异于点,B C ），则关于该几何体的说法正确的是（）A.BE AC ⊥B.DE AE ⊥C.CE ⊥平面ABED.BD ⊥平面ACE9.若将函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位长度后的图像关于y 轴对称，则当ω取最小整数时，函数()f x 的图像的一个对称中心是（） A.4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭10.如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，4BC =，O 为底面ABCD 两条对角线的交点，1AO 与平面11CDD C 所成的角为30︒，则该长方体的表面积为（）A.16B.C.D.1611.已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A ，终边上有点()(),20B m m m ->，满足OA OB =，若OAB θ∠=，则2sin 22sin 1cos 2θθθ+=+（） A.12B.2C.4D.112.已知函数()2017,2019,312020,2019,2018x m x f x m x x -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩数列{}n a 满足：(),n a f n n N *=∈，且{}n a 是单调递增函数，则实数m 的取值范围是（） A.(]1,2B.()1,2C.()2,+∞D.()1,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.3415log log 9lg 2lg 222∙++=________. 14.已知实数,x y 满足约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为________.15.已知直线)1y x =-被圆2220x y x k +++=截得的弦长为2，则k =________.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.已知数列{}n a 满足11a =，123n n a a +-=，设1n n b a =+. （1）求123,,b b b ；（2）证明：数列{}n b 为等比数列；（3）求{}n a 的通项公式.18.在平行四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，过A 点作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E，AE =连结EB ，交AD 于点F ，如图1，将ADE ∆沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置，如图2.（1）证明：平面BFP ⊥平面BCP ；（2）若G 为PB 的中点，H 为CD 的中点，且平面ADP ⊥平面ABCD ，求三棱锥G BCD -的体积. 19.某高校数学学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数x 分布在[)100,150内.当())10,101,x n n n N *∈+∈⎡⎣时，其频率1020ny a =-.（1）求a 的值；（2）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）.（3）若高考数学分数不低于120分的为优秀，低于120分的为不优秀，则按高考成绩优秀与否从这40名新生中用分层抽样的方法抽取4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名，求这2名学生的高考成绩均为优秀的概率.20.已知直线l 交抛物线2:4C x y =于两点，过点,A B 分别作抛物线C 的切线，若两条切线互相垂直且交于点M .（1）证明：直线l 恒过定点；（2）若直线l 的斜率为1，求点M 的坐标. 21.已知函数()ln ,,f x x ax b a b R =++∈. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）当0a =,12,x x 为两个不相等的正数，证明：()()1212122f x f x x x x x -->+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2,π，PM PN +=a 的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()2f x x =-.（1）求不等式()1f x x x <++的解集；（2）若函数()()()2log 32f x f x f x a =++-⎡⎤⎣⎦的定义域为R ,求实数a 的取值范围.河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底考试文科数学试卷参考答案一、选择题1.B 【解析】{}3,0B =-，则{}3,0A B =-.2.C 【解析】复数3212iz i i-+==--，则z 对应的点为()1,2--，位于第三象限. 3.D 【解析】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.2015年一本达线人数为28,2018年一本达线人数为36，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；2015年二本达线人数为32，2018年二本达线人数为60，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；艺体达线比例没变，但是高考人数是不相同的，故选项C 错误；2015年不上线人数为32,2018年不上线人数为42，不上线人数有所增加，故选项D 正确. 4.A 【解析】由题意得，()11111112222222DE DA DC DC CA DC DC AC AB AC =+=++=-=-，故选A .5.B 【解析】由题意知，当正方体为圆柱的内接正方体，且正方体的两个面位于圆柱体上、下底面时，圆柱形钢锭体积最小，此时圆柱的底面半径是正方体面对角线的一半，即为4，故圆柱形钢锭的体积为(2432ππ⨯⨯=.6.C 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，0x ->，()()2f x f x x x =-=+，()21f x x '=+，则()11f '-=-.因为()10f -=，所以函数()f x 的图像在点()()1,1f --处的切线方程是10x y ++=. 7.D【解析】设直线x =)0Ay ，因为OA OB ⊥，所以0yA，由22222221,2a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩可得26a =，23b =，故所求椭圆的方程为22163x y +=. 8.C 【解析】若BE AC ⊥，因为BE AB ⊥，AB AC A =，所以BE ⊥平面ABC ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以BE AC ⊥，不成立，所以A 不正确；因为22222222212DE AE CE BE AD +=+++=≠，因此90AED ∠≠︒，即DE 与AE 不垂直，所以B 不正确；因为BC 为半圆的直径，所以BE CE ⊥，又因为CE AB ⊥，ABBE B =，所以CE ⊥平面ABE ，所以C 正确；假设BD ⊥平面ACE ，则B D C E ⊥，又C E D C ⊥，BDDC D =，所以CE ⊥平面ABCD ，所以CE BC ⊥，与90CEB ∠=︒矛盾，所以D 不正确. 9.B 【解析】因为()sin cos 6f x x x πωω⎛⎫=++⎪⎝⎭1sin sin 2x x x ωωω=+-1sin 2x x ωω=+ sin 3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度后的图像关于y 轴对称，所以函数()f x 的图像关于直线6x π=对称，则()632k k Z πππωπ+=+∈，即()61k k Z ω=+∈.因为0ω>，所以min 1ω=，此时()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()3x k k Z ππ+=∈，得()3x k k Z ππ=-∈，易知B 正确.10.A 【解析】因为平面11//CDD C 平面11ABB A ，所以1AO 与平面11CDD C 所成的角等于1AO 与平面11ABB A 所成的角，均为30︒.如图，过底面ABCD 的对角线交点O 作OE AB ⊥交AB 于点E ，则12OE BC =，又因为OE ⊂平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，所以OE ⊥平面11ABB A .连结1A E ，则130OA E ∠=︒.在1Rt A EO ∆中，2OE =，130OA E ∠=︒，所以1A E =在1Rt A AE ∆中，1AE =，所以1A A =故长方体的表面积为16.11.D 【解析】根据题意知()22k k Z αθππ+=+∈，所以()tan2tan 2tan 2k θππαα=+-=-=，即22tan 21tan θθ=-.整理得2tan tan 1θθ+=，所以2222sin 22sin 2cos 2sin tan tan 11cos 22cos θθθθθθθθ++==+=+. 12.C 【解析】因为{}n a 是单调递增数列，()2017,2019,312020,2019,2018n n m n a f n m n n -⎧≥⎪==⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以1m >，3102018m +>，且2019201731201820202018m m -⎛⎫+⨯-< ⎪⎝⎭，解得2m >. 二、填空题13.0【解析】3415lg 2lg95log log 9lg 2lg 2lg 411022lg3lg 42-⎛⎫∙++=∙+⨯=-+= ⎪⎝⎭. 14.5【解析】可行域如图所示，作出直线3y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C .解方程组10,10,x y y +-==⎧⎨+=⎩得()2,1C -，所以()min 3215z =⨯+-=.15.-3【解析】圆2220x y x k +++=化为标准方程为()2211x y k ++=-，圆心坐标为()1,0-，)1r k =<，圆心到直线)1y x =-的距离d ==所以221rd -=，即221-=，解得3k =-.16.4+4c =，又sin sin c a C A ==，所以sin 2C =，又C 为锐角，所以4C π=.因为(222222cos 2c a b ab C a b ab =+-=+≥，所以(82ab ≤=+，当且仅当a b ==即1sin 424ABC S ab C ∆==≤+即当a b ==ABC∆面积的最大值为4+ 三、解答题17.（1）解：由123n n a a +-=，得132n n a a +=+. 因为11a =，所以2132325,3217a a a a =+==+=. 所以12b =，26b =，318b =. （2）证明：因为11133311n n n n n n b a a b a a ++++===++，所以{}n b 是首项为2，公比为3的等比数列. （3）解：由（2）得1231n n b -=⨯-，而1n n b a =+，所以1231n n a -=⨯-.18.（1）证明：如题图1，在Rt BAE ∆中，3AB=，AE =60AEB ∠=︒. 在Rt AED ∆中，2AD =，所以30DAE ∠=︒. 所以BE AD ⊥.如题图2，PF AD ⊥，BF AD ⊥.又因为//AD BC ，所以PF BC ⊥，BF BC ⊥，PF BF F =，所以BC ⊥平面BFP ，又因为BC ⊂平面BCP ，所以平面BFP ⊥平面BCP . （2）解法一：因为平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ，PF AD ⊥，所以PF ⊥平面ABCD .取BF 的中点为O ，连结GO ，则//GO PF ，所以GO ⊥平面ABCD . 即GO 为三棱锥G BCH -的高.且11sin 3022GO PF PA ==⨯︒=因为，三棱锥G BCH -的体积为11113=332616BCH BCD G BCH V S GO S ∆∆-∙=⨯==三棱锥.解法二：因为平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP 平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ，，所以PF ⊥平面ABCD . 因为G 为PB 的中点. 所以三棱锥G BCH -的高等于12PF . 因为H 为CD 的中点，所以BCH ∆的面积是四边形ABCD 的面积的14，从而三棱锥G BCH -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的18.面113332P ABCD ABCDV S PF -=⨯∙=⨯=，所以三棱锥G BCH -的体积为316.19.解：（1）由题意知，n 的取值为10,11,12,13,14. 把n 的取值分别代入1020ny a =-，可得 ()()()()()0.5100.55100.6100.65100.7101a a a a a -+-+-+-+-=.解得0.04a =.（2）频率分布直方图如图，这40名新生的高考数学分数的平均数为1050.101150.151250.201350.251450.30130⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）这40名新生的高考数学分数在[)100,120的频率为0.10.150.25+=，所以高考数学成绩不优秀和优秀的频率比0.25:0.751:3=.按高考数学成绩优秀与否分层抽样的方法从40名学生中抽取的4名学生中有3名学生高考成绩优秀，记,,,A B C D 为4名学生，其中,,B C D 为3名高考数学成绩优秀的学生. 从4名学生中随机抽取2名学生的基本事件为,,,,,AB AC AD BC BD CD ，共个， 2名学生高考数学成绩均优秀的事件为,,BC BD CD ，共3个，故所求的概率为3162=. 20.（1）证明：易知直线l 的斜率存在，设直线:l y kx b =+，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭.由2,4y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=，所以124x x k +=，124x x b =-.由24x y =，得24x y =，所以2x y '=，所以直线AM 的斜率为12AM x k =，直线的斜率为22BM xk =.因为MA MB ⊥，所以12121224AM BM x x x x k k =∙==-，即124x x =-，所以44b -=-，得1b =，所以直线:1l y kx =+，故直线l 恒过定点()0,1.（2）解：由（1）得直线l 的斜率为1时，124x x +=，124x x =-.直线AM 的方程为()211242x x y x x -=-，即21124x x y x =-，同理直线BM 的方程为()222242x x y x x -=-，即22224x x y x =-，上面两式联立得122x x x +=，124x x y =，所以点M 的坐标为1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1M -.21.（1）解：函数)(x f 的定义域为()0,+∞，11()axf x a x x+'=+=. 若0a ≥，1()0axf x x+'=>，则)(x f 在区间()0,+∞内为增函数；若0a <，令1()0ax f x x +'==，得10x a =->.则当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，)(x f 在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数；当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，)(x f 在区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数. （2）证明：当0a =时，()ln f x x b =+.不妨设120x x >>，则原不等式等价于11212211ln 21x x x x x x ->+，令12x x x =，则原不等式也等价于()()21ln 11x x x x ->>+，即()4ln 2011x x x +->>+. 下面证明当()1x >时，4ln 201x x +->+恒成立. 设()4ln 21h x x x =+-+，则()()()()222114h 011x x x x x x -'=-=>++，故()h x 在区间()1,+∞内为增函数，()()10h x h >=，即4ln 201x x +->+，所以()()1212122f x f x x x x x -->+. 22.解：（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+.由直线l 的参数方程得直线l 的普通方程为2y x =+.（2）将直线l的参数方程22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+，化简并整理，得()2440t t a -++=.因为直线l 与曲线C 分别交于,M N两点，所以()()24440a ∆=-+>，解得1a ≠、由一元二次方程根与系数的关系，得12t t +=，1244t t a =+.又因为0a >，所以120t t >.因为点P 的直角坐标为()2,0-，且在直线l 上，所以12PM PN t t +=+== 解得2a =，此时满足0a >，且1a ≠，故2a =.23.解：（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++，当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >；当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <≤；当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解.综上可得所求不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）要使函数()()()2log 32f x f x f x a =++-⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，只要()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可.又()12232g x x x a a =++--≥-，当且仅当[]1,2x ∈-时取等号. 所以只需320a ->，即32a <. 所以实数a 的取值范围是3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.。

河北省衡水中学2019届高三上学期期末数学(文)试题解析版

2018—2019学年度高三教学质量检测数学（文史类）试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}240A x x x =-<，{}1,3,7B =-，则AB =（）A. {}1-B. {}3C. {}3,7D. {}1,7-2. 已知4sin 5α=-，且α第三象限角，则tan α的值为（） A.34B. 34-C. 43D. 43-3. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆标准方程为A. 2216448x y +=B. 2216416x y +=C. 221164x y +=D. 2211612x y +=4. 下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增函数为A. 22y x x =+B. x y e =C. 22x x y -=-D. 11y g x =- 5. “1a >”是“直线10ax y --=的倾斜角大于4π”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设m ，n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 A 若//,,////m n m n αβαβ⊥，则 B. 若//,,//m n m n αβαβ⊥⊥，则 C. 若//,,//m n m n αβαβ⊥⊥，则 D. 若//,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥，则7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24121112=a a a S ++=，则 A. 22B. 33C. 44D. 55的的.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 43π+B. 42π+C. 46π+D. 4π+9. 已知圆()()22239C x y -+-=：，过点M(1，1)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，弦长AB 最短时直线l 的方程为 A. 210x y --= B. 280x y +-= C. 210x y -+=D. 230x y +-=10. 已知函数()()211,1log 1,1a a x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩，若函数()f x 在定义域R 上单调递增，则实数a 的取值范围为A. 312a <<B. 312a <≤C. 32a >D. 32a ≥11. 已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（） A.23B. 43C. 2D. 412. 如图，已知1F 、2F 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π∠=，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13. 已知向量()2,1a =-，(),1b m =，若()2//a b a +，则m =_______.14. 已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．15. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于____．16. 定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()2.01f x f x f x f x x -=-=-<≤且当时，()2 log f x x =，则方程()[]166f x =-在，上的实数根之和为_______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()21sin sin 222x f x x =-+． (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)将函数()y f x =的图象向右平移2π个单位，在纵坐标不变的前提下，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数()y g x =的图象，求函数()42g x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，的最值． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+-． (1)求证：数列{}2n a -是等比数列；(2)记()21log 2n n b a +=-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 19. 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 对边，且()3cos cos 0b c A a C ++=．(1)求cosA 的值； (2)若b c D ==是BC 边上一点，且满足BD=3DC ，求ABD ∆的面积．20. 如图1，菱形ABCD 中，AB=2，60A ∠=，以对角线BD 为折痕把△ABD 折起，使点A 到达如图2所示点E的位置，使EC =.(1)求证：BD EC ⊥； (2)求三棱锥E —BCD 的体积．21. 已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=-，直线AO ，BO 分别交直线1y =-于点M ，N.(1)求抛物线C 的方程； (2)求OMN S △的最小值．22. 已知函数()21xf x e x ax =---．的(1)当2a =-时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若()()3xg x xf x e x x =-++，讨论函数()g x 的极值点的个数．2018—2019学年度高三教学质量检测数学（文史类）试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}240A x x x =-<，{}1,3,7B =-，则AB =（）A. {}1-B. {}3C. {}3,7D. {}1,7-【答案】B 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【详解】因为{}240{|04}A x x x x x =-<=<<，{}1,3,7B =-；{3}A B ⋂=∴=．故选：B ．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，同时考查了一元二次不等式的求解，属于基础题． 2. 已知4sin 5α=-，且α第三象限角，则tan α的值为（） A.34B. 34-C. 43D. 43-【答案】C【解析】【分析】由平方关系求出cos α，再由商数关系求得tan α．详解】∵4sin 5α=-，且α第三象限角，∴3cos 5α==-，∴sin 4tan cos 3ααα==．故选：C ．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，在应用平方关系求值时需确定角的范围．3. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为A. 2216448x y +=B. 2216416x y +=C. 221164x y +=D. 2211612x y +=【答案】D 【解析】【分析】根据长轴长求出a ，由离心率为12求出c ，从而求出b ，问题得解．【详解】因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴长为8，所以28a =，即4a =，又离心率为12，所以12c a =，解得：2c =，则222b a c =-=12，所以椭圆的标准方程为：2211612x y +=．故选D【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，属于基础题．4. 下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的函数为 A. 22y x x =+ B. xy e =C. 22x xy -=-D. 11y g x =-【答案】D 【解析】【分析】【利用偶函数定义排除，再利用单调性排除，从而得到答案．【详解】22y x x =+及22x xy -=-不满足()()11f f -=，所以它们不为偶函数，从而排除A.C ．又当(),0x ∈-∞时，xy e ==1xe ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此函数在(),0-∞内递减，排除B ．故选D【点睛】本题考查了偶函数定义及函数单调性判断，属于基础题． 5. “1a >”是“直线10ax y --=的倾斜角大于4π”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由直线10ax y --=的倾斜角大于4π得到不等式，求出a 的范围，从而利用充分条件，必要条件的定义得解．【详解】设直线的倾斜角为θ，直线10ax y --=可化为1y ax =-，所以tan a θ= 由直线的倾斜角大于4π可得：tan 1θ>或tan 0θ<，即：1a >或0a <，所以1a > ⇒ 1a >或0a <，但1a >或0a < ⇒ 1a > 故选A【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的概念，还考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题 6. 设m ，n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若//,,////m n m n αβαβ⊥，则 B. 若//,,//m n m n αβαβ⊥⊥，则 C. 若//,,//m n m n αβαβ⊥⊥，则 D. 若//,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥，则【答案】B 【解析】【分析】在正方体中举例来一一排除．【详解】如下图正方体中，对于A ，令直线AB m =，直线CD n =，平面1111A B C D α=,平面11ADD A β=, 但平面1111D C B A 与平面11ADD A 不平行，所以A 错误．对于C ，令直线AB m =，直线BC n =，平面1111A B C D α=,平面11CDD C β=, 但平面1111D C B A 与平面11CDD C 不平行，所以C 错误．对于D ，令直线AB m =，直线1BC n =，平面1111A B C D α=,平面11A B CD β=, 但平面1111D C B A 与平面11A B CD 不垂直，所以D 错误．故选B【点睛】本题主要考查了面面垂直，平行的判定，可在正方体中举例一一排除，或者直接证明某个选项正确．7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24121112=a a a S ++=，则 A. 22 B. 33C. 44D. 55【答案】C 【解析】【分析】由等差数列{}n a 的通项公式表示出2412,,a a a ，得到154a d +=，再表示出11S ，整理得解．【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则241212a a a ++=可化为：11131112a d a d a d +++++=，整理得：154a d +=，()1111111011115442S a d a d ⨯=+=+= 故选C【点睛】本题考查了等差数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式，属于基础题． 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 43π+B. 42π+C. 46π+D. 4π+【答案】A 【解析】【分析】由三视图还原，可知该几何体是半圆柱,利用公式求其表面积即可．【详解】由三视图还原，可知该几何体是半圆柱,半圆柱的底面半径为1，高为2，2=12212S 表面积ππ⨯+⨯+⨯⨯=43π+故选：A【点睛】本题主要考查了三视图--长对正、宽平齐、高相等得到实物图中的数据，由三视图还原实物图处理问题．还考查了表面积计算，属于基础题．9. 已知圆()()22239C x y -+-=：，过点M(1，1)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，弦长AB 最短时直线l 的方程为 A. 210x y --= B. 280x y +-= C. 210x y -+= D. 230x y +-=【答案】D 【解析】【分析】列出弦长：AB =l 的距离为d ），当d 最大时，AB 最短，此时直线l 与MC 连线垂直，求出直线l 的斜率，再由点斜式求出直线方程即可．【详解】由题可知圆()()22239C x y -+-=：，所以圆心为()2,3C ，半径为3，设圆心到直线l 的距离为d ，直线l 得斜率为k则AB =d MC ≤，当直线l 与MC 连线垂直时，d 最大为MC ，此时AB 最短，且1MC k k ⋅=-．所以直线l 得斜率为：1MCk k -=，又31221MC k -==-，所以12k =-，所以直线l 的方程为：()1112y x -=--，即： 230x y +-= 故选D【点睛】本题考查了圆的弦长计算，直线垂直关系及直线方程求法，还考查了转化思想及函数思想，属于中档题．10. 已知函数()()211,1log 1,1a a x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩，若函数()f x 在定义域R 上单调递增，则实数a 的取值范围为A. 312a <<B. 312a <≤C. 32a >D. 32a ≥【答案】B 【解析】【分析】由函数()f x 在定义域R 上单调递增列不等式组求解．【详解】因为函数()()211,1log 1,1a a x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩，若函数()f x 在定义域R 上单调递增，则()2101211log 11a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--≤+⎩，解得：312a <≤故选B【点睛】本题考查了分段函数的单调性，要保证各分段内是单调递增，还要使得分界处满足递增特点． 11. 已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（） A.23B. 43C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值．【详解】令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=， ∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>，∴12112141(2)442444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4n mm n=，即1,2m n ==时等号成立．故选：C ．【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．12. 如图，已知1F 、2F 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π∠=，则双曲线的离心率为（）【答案】A 【解析】【分析】连接22,AF BF ，得矩形12AF BF ，在直角12BF F △中用c 表示出1BF ，2BF ，然后由双曲线的定义列式后求得离心率e ．【详解】连接22,AF BF ，由11AF BF ⊥及双曲线的对称性知12AF BF 是矩形，由12AF BF =，1112BFO ABF π∠=∠=，122F F c =，则22sin12BF c π=，12cos12BF c π=，∴122cos2sin21212BF BF c c a ππ-=-=，∴离心率为11cos sin 12123c e a πππ=====- 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列出关于,a b 关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形12AF BF ，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13. 已知向量()2,1a =-，(),1b m =，若()2//a b a +，则m =_______. 【答案】-2 【解析】【分析】可先求出2(4,1)a b m +=+-，根据(2)//a b a +即可得出(4)20m -++=，解出m 即可．【详解】因为向量()2,1a =-，(),1b m =，所以2(4,1)a b m +=+-；(2)//a b a +； (4)20m ∴-++=；2m ∴=-．故答案为：2-．【点睛】考查向量坐标的加法和数乘运算，考查平行向量的坐标关系，属于基础题．14. 已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．【答案】1 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x-2y 得1122y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线1122y x z =-，，1122y x z =-，的截距最小，此时z 最大，由2222x y x y -⎧⎨+⎩＝＝，得A （1，0）．代入目标函数z=x-2y ，得z=1-2×0=1，故答案为1．【点睛】本题主要考查线性规划基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．15. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于____．【答案】6π 【解析】【分析】【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，连接11A C 交11B D 于点M ，连接MB ，由题可得：11A C ⊥11B D ，11A C ⊥1BB , 所以直线11A C ⊥平面11BB D D ,所以直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于MBC 1∠, 设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，所以1MC =1BC ，所以1111sin 2MC MBC BC ∠==,所以16MBC π∠=【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可．16. 定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()2.01f x f x f x f x x -=-=-<≤且当时，()2 log f x x =，则方程()[]166f x =-在，上的实数根之和为_______．【答案】6- 【解析】【分析】由()()()()2f x f x f x f x 且-=-=-可判断函数()f x 是奇函数且函数图像关于直线1x =对称，还可得函数()f x 是周期为4的函数，求方程在一个周期内的根，再利用周期性求得所有满足要求的实数根，问题得解．【详解】因为()()()()2f x f x f x f x 且-=-=-，所以()()()22f x f x f x =-=--=()()()224f x f x ---=--=()4f x -，即：()()4f x f x =- 所以函数()f x 的周期为4．0x 1<≤当时，()2log f x x =，所以当[)1,0x ∈-时，()()()2log f x f x x =--=-- 因为函数在[)1,0-上单调递增，所以在[)1,0-上()()2log 1f x x =--=有且只有一解112x =-， 0x 1<≤当时，()2log 1f x x ==无解．即()1f x =在[)(]1,00,1-⋃内只有一解：112x =- 因为函数()f x 满足：()()2f x f x =-所以函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，可得：1522f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1f x =在[)()(]1,00,22,3-⋃⋃内的解有两个112x =-，252x =，即在一个周期内满足()1f x =的解有两个112x =-，252x =，由函数()f x 的周期为4可得：1971222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53111222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以方程()[]166f x =-在，上的实数根分别为1193157,,,,,222222----，其和为：11931576222222----++=-. 【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，函数的轴对称性及单调性，周期性，考查了转化思想．只需要求出一个周期内的满足()1f x =的解即可利用周期性求出所有的解，从而解决问题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()21sin sin 222x f x x =-+． (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)将函数()y f x =的图象向右平移2π个单位，在纵坐标不变的前提下，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数()y g x =的图象，求函数()42g x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，的最值．【答案】（1）2[2,2],33ππππ-++∈k k k Z ；（2）()()max min 11,2==g x g x . 【解析】【分析】（1）化简函数为()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出使得()f x 最大的一个自变量()023x k k z ππ=+∈，利用正弦型函数图像的特点写出单调增区间即可．（2）求出将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位，横坐标缩短为原来的12倍后得到的函数()g x 的表达式，再利用正弦函数性质求出函数()42g x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，的最值即可．【详解】（1）因为()21sin sin 222x f x x =-+，所以()21sin 2sin 1222⎛⎫=-- ⎪⎝⎭x f x x=1cos sin 226x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,令sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得： ()262πππ+=+∈x k k z ，即()23ππ=+∈x k k z ，所以函数()f x 的单调递增区间为：()22,233ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦k k k z ．（2）函数()y f x =的图象向右平移2π个单位，横坐标缩短为原来的12倍后得到：sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为()max sin12π==g x ，最小值为()min 1sin62π==g x 【点睛】（1）本题考查了()sin()f x A x B ωϕ=++(0)A >（或()cos()f x A x B ωϕ=++(0)A >）类型函数的单调区间问题，先利用条件确定好,,,A B ωϕ，再求出使()f x A =的0x 的值，从0x 往前半个周期即00(,)x x πω-是函数()f x 的一个增区间，从0x 往后半个周期即00(,)x x πω+是函数()f x 的一个减区间，即可求得函数()f x 的增区间为0022(,)()k k x x k Z πππωωω-++∈，函数()f x 的减区间为0022(,)()k k x x k Z πππωωω+++∈（2）考查了平移，伸缩变换知识，还考查了三角函数的性质，转化思想．属于中档题，计算要认真． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+-． (1)求证：数列{}2n a -是等比数列； (2)记()21log 2n n b a +=-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）见解析；（2）1n n +. 【解析】【分析】（1）利用赋值法列方程，作差，变形即可证明．（2）利用条件（1）求出122nn a +-=，从而求出n b n =，根据()1111111n n b b n n n n +==-⋅++形式，利用列项相消法求和．【详解】（1）因为225n n S a n =+-，所以112215n n S a n --=+--（），两方程作差得：()112252215n n n n S S a n a n --⎡⎤-=+--+--⎣⎦，整理得：()1222n n a a n -=-≥，从而()()12222n n a a n --=-≥，所以数列{}2n a -是等比数列，公比为2．（2）令1n =，则225n n S a n =+-可化为：11225S a =+-，解得：13a =，因为数列{}2n a -是等比数列，所以()11222n n a a --=-⋅，所以122nn a +-=，所以()21log 2n n b a +=-=n ，所以11n n b b +⋅=()11111n n n n =-++，所以12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++ =111111111112233411n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1n n + 【点睛】（1）主要考查了赋值法，n S 法及等比数列概念，注意计算不要错误．（2）考查了等比数列的通项公式及对数运算，裂项相消法求和法，注意常见的裂项方式． 19. 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且()3cos cos 0b cA a C ++=． (1)求cosA 的值； (2)若b c D ==是BC 边上一点，且满足BD=3DC ，求ABD ∆的面积．【答案】（1）13- ；（2 . 【解析】分析】（1）将()3cos cos 0b c A a C ++=化简可得：3sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，再化简可得3sin cos sin 0B A B +=，从而求得cos A ．（2）求得ABC S ∆BD=3DC ，求得,ABC ABD S S ∆∆的比例关系，从而求解．【详解】（1）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===可得： 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，代入()3cos cos 0b c A a C ++=可得：()32sin 2sin cos 2sin cos 0R B R C A R A C ⨯++=，整理得：3sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，所以()3sin cos sin 0B A C A ++=，即3sin cos sin 0B A B +=，整理得：1cos 3A =-.（2）因为1cos 3A =-，所以sin A ==，所以1sin 2ABC S bc A ∆=== 因为BD=3DC ，所以34BD a =，所以133sin 244ABD ABC S a c B S ∆∆=⨯⨯==．【点睛】（1）主要考查了正弦定理及两角和的正弦公式，计算比较简单．（2）主要考查了同角三角函数基本关系，三角形面积公式及转化思想20. 如图1，菱形ABCD 中，AB=2，60A ∠=，以对角线BD 为折痕把△ABD 折起，使点A 到达如图2所示点E 的位置，使EC =.(1)求证：BD EC ⊥； (2)求三棱锥E —BCD 的体积．【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）先证明,BD OE BD OC ⊥⊥,再证明BD ⊥平面OEC ,从而证明BD EC ⊥（2）把三棱锥E —BCD 拆分成两个三棱锥，求体积和即可．【详解】（1）菱形ABCD 中可得：BD AC ⊥，以对角线BD 为折痕把△ABD 折起，使点A 到达如图2所示点E 的位置，则BD OC ⊥，BD OE ⊥,又,OE OC 交于点O ，所以BD ⊥平面OEC ，又EC ⊂平面OEC ，所以BD EC ⊥．（2）由（1）得BD ⊥平面OEC ，所以E BCD B OEC D OEC V V V ---=+,菱形ABCD 中，AB=2，60A ∠=，求得：OA OC OE ===,1OB OD ==,所以E BCD B OEC D OEC V V V ---=+=1111360133sin 60132322⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．【点睛】（1）主要考查了线面垂直的判定及线面垂直的性质，考查了转化思想．（2）主要考查了分割求和方法及体积计算，转化思想，属于基础题，计算一定要细心．21. 已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=-，直线AO ，BO 分别交直线1y =-于点M ，N.(1)求抛物线C 的方程；(2)求OMN S △的最小值．【答案】（1）24x y = ；（2）2 .【解析】【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y 及直线AB 的方程为：2p y kx =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，利用韦达定理表示出12x x ⋅，12x x +，从而表示出12y y ，代入12123x x y y ⋅+=-即可求得p ，问题得解．（2）表示出直线,OA OB 的方程11y y x x =，22y y x x =，从而表示出,M N 点的坐标11,1x M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，22,1x N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，从而表示出OMN S ，消元即可得到OMN S的函数表达式OMN S ∆=，从而转化成求函数的最小值即可．【详解】（1）抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y 设直线AB 的方程为：2p y kx =+，联立直线AB 与抛物线C 方程可得：222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得：2220x pkx p --=，所以122x x pk +=，212x x p ⋅=-，()22121212122224p p p p y y kx kx k x x k x x ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=24p ，因为3OA OB ⋅=-，且()11,OA x y =，()22,OB x y =所以12123x x y y ⋅+=-，即2234p p -+=-，解得：2p =．所以抛物线C 的方程为：24x y =．（2）直线OA 的方程为：11y y x x =，直线OB 的方程为：22y y x x =，联立111y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得：11x x y =- ，所以11,1x M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，联立221y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得：22x x y =-，所以22,1x N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，的所以2121122121x x x y x y MN y y y y -=-==2112121222p p x kx x kx x x y y ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-所以12112OMN S x x ∆=⨯⨯-=2≥，当0k =时，等号成立．所以OMN S 的最小值为2.【点睛】（1）主要考查了设而不求方法，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出12x x ⋅，12x x +，还考查了数量积的坐标运算，方程思想，转化思想，计算量较大，需要小心谨慎．（2）主要考查了转化思想，直线交点求法，利用（1）中的结论表示出三角形面积，把问题转化成函数的最值问题处理，计算量较大，属于较难题22. 已知函数()21x f x e x ax =---． (1)当2a =-时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()()3x g x xf x e x x =-++，讨论函数()g x 的极值点的个数．【答案】（1）0ex y -= ；（2）当102a <<或12a >，存在两个极值点；当0a ≤时，存在一个极值点；当12a =时，没有极值点. 【解析】【分析】（1）求出()'f x 及()1f ，求得切线的斜率()'1f 即可求得切线方程．（2）求出()()'2x g x x e a =-，对2a 的情况分4类讨论，即20,021,21,21a a a a ≤<=四种情况分别求得()'g x 在各个区间的正负，由此判断()g x 单调性，从而可判断极值点的个数．【详解】（1）因为()221x f x e x x =-+-，所以()'22xf x e x =-+，()1121f e e =-+-=，所以()'122f e e =-+=，所以函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为：()1y e e x -=-，即0ex y -=．（2）()()3x g x xf x e x x =-++可化为：()2x x g e ax x e x =--，所以()'2x x x g x e xe e ax =+--=()2x x e a -，当0a ≤时，(),0x ∈-∞时，()'0g x <，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，此时()y g x =存一个极值点0x =；当102a <<时，则ln20a <， (),ln 2x a ∈-∞时，()'0g x >，()ln 2,0x a ∈时，()'0g x <，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，此时()y g x =存在两个极值点0x =，ln2x a =, 当12a =时，ln 20a = (),0x ∈-∞时，()'0g x >，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，此时()y g x =没有极值点．当12a >时，ln 20a >， (),0x ∈-∞时，()'0g x >，()0,ln 2x a ∈时，()'0g x <，()ln 2,x a ∈+∞时，()'0g x >，此时()y g x =存在两个极值点0x =及ln2x a =, 综上所述：当102a <<或12a >，存在两个极值点；当0a ≤时，存在一个极值点；当12a =时，没有极值点. 【点睛】（1）主要考查了导数的几何意义及求导运算，直线方程知识．（2）主要考查了导数的应用，极值点定义，还考查了分类讨论思想，利用导数的正负来判断原函数的增减'f x=0的根的个数情况及根的大小来讨论．性，从而判断极值点的个数，注意分类是以方程()。

河北省衡水中学2018--2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学(文科)试卷

河北省衡水中学2018--2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学(文科)试卷河北省衡水中学2018--2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学(文科)试卷高三文科数学试题第5页(共6页) 高三文科数学试题第6页(共6页)河北省衡水中学2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学试卷（文）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．集合A={x }2221≤≤∈x Z ，B=},cos {A x x y y ∈=，则B A =( )A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{-1，0，1}2．已知复数z 满足2(3)(1i z ii+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 函数2()2ln f x x xbx a=+-+ (0,)b a R >∈在点(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（）A.22B.2C.3D.14.若抛物线22(0)ypx p =>上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为（）A.24y x= B.236yx= C.24yx=或236yx=D.28yx=或232y x=5. 已知数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，+++∈==-N n b b a a nn n n ,211, 则数列{}na b 的前10项的和为（）A ．)14(349- B.)14(3410-． C ．)14(319- D ．)14(3110-6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是（）A ． M N 与CC 1B ． M N 与AC C ． M N 与BD D ． M N 与A 1B 1高三文科数学试题第7页(共6页) 高三文科数学试题第8页(共6页)垂直垂直平行平行7.已知函数f (x )＝|x |＋1x，则函数y ＝f (x )的大致图像为 ( )8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A.3160 B. 160 C. 23264+ D.2888+ 9.函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的部分图像如图，其中)0,(),2,(),0,(πP n N m M ,且0<mn ，则f(x)在下列哪个区间中是单调的（）A. )4,0(πB. )32,4(ππ C ．)43,2(ππ D ． ),32(ππ10．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>左支上的一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为8c，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(]1,8B ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．45(,)33D ．(]2,311．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线22212:20,:210:240l x y a l x y a x y x -+=-++=++-=和圆相切，则a 的取值范围是（） A ．73a a ><-或B ．66a a ><或PN MC．-3≤a≤a≤7 D．a≥7或a ≤—312．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y=-+-为两点11(,)P x y,22(,)Q x y之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N-两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0=x；④到(1,0),(1,0)M N-两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有（）A．1个 B．2 个 C．3 个D．4个第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。

河北省衡水中学2018届高三下学期第一次调考(文数)

河北省衡水中学2018届高三下学期第一次调考数学（文科）本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x y x M 2lg，}1|{<=x x N ，则=N M ( )A ．)2,0(B ．)1,0(C ．)2,1(D ．)1,(-∞2．若复数z 的共轭复数1)1(12++=i z ，则在复平面内z 对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．2021B ．2019C ．5052D ．15052- 4．已知R y x ∈,，那么“y x >”的充要条件是( )A ．yx22>B ．gy x 1lg >C ．yx 11>D ．22y x >5．已知在ABC ∆中，DC BD 2=．若AC AB AD 21λλ+=，则21λλ的值为 ( )A ．91 B ．92 C ．21 D ．910 6．将函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像向左平移8π个单位长度后得到的函数图像关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为( )A ．4π B ．43πC ．0D ．4π-7．在等差数列}{n a 中，0106=+a a ，且公差0>d ，则其前n 项和取最小值时n 的值为 ( ) A ．6 B ．7或 8 C ．8 D ．98．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方，得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．” 意思是把一个长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一个堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2∶1，这个比率是不变的．如图是一个阳马的三视图，则其表面积为 ()A ．2B ．22+C ．33+D ．23+9．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 与直线03:=++m y x l 交于),(11y x M ，),(22y x N 两点，其中01>x ，01>y ，02>x ，02<y ．若0=+OQ OM ，且︒=∠30MNQ ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．x y 21±=B ．x y ±=C ．x y 2±=D ．x y 2±= 10．下面四个推理中，属于演绎推理的是( )A ．观察下列各式：4972=，34373=，240174=，…，则20157的末两位数字为43B ．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，可得偶函数的导函数为奇函数 C ．在平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8D ．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生还原反应 11．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当)0,2[-∈x 时，122)(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=xx f ，若关于x 的方程0)2(log )(=+-x x f a （0>a ，且1=/a ）在区间)6,2(-内恰有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41B ．)4,1(C ．)8,1(D ．),8(+∞12．若函数)(x f y =，M x ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x 都有)()(T x f x af +=，则T 为)(x f 的类周期，函数)(x f y =是M 上的a 级类周期函数．若函数)(x f y =是定义在区间),0[+∞内的2级类周期函数，且2=T ，当)2,0[∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-=,21),2(,10,221)(2x x f x x x f 函数m x x x x g +++-=221ln 2)(．若]8,6[1∈∃x ，),0(2+∞∈∃x ，使0)()(12≤-x f x g ，则实数m 的取值范围是( )A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-25,B ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-213,C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-23,D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,213二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．抛物线2x y =的准线方程为． 14．已知实数y x ,满足约束条件⎩⎨⎧≤--≥+-,01||,012y x y x 则y x z +=2的最大值为．15．某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，随机抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示．其中支出的金额在)40,30[的同学比支出的金额在)20,10[的同学多26人，则n 的值为．16．已知等比数列}{n a 的公比为)10(<<q q ，且第11项的平方等于第6项，若存在正整数k 使得kk a a a a a a 1112121+++>+++ ，则k 的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）设函数.23cos 3sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x f π(1)求函数)(x f 的单调递增区间；(2)已知ABC ∆的内角分别为C B A ,,，若232=⎪⎭⎫⎝⎛A f ，且A B C ∆能够覆盖住的最大圆的面积为π，求AC AB ⋅的最小值．18．（12分）在如图所示的五面体ABCDEF 中，CD AB //，22==AD AB ，︒=∠=∠120BCD ADC ，四边形EDCF 为正方形，平面⊥EDCF 平面.ABCD (1)证明：在线段AB 上存在一点G ，使得//EG 平面.BDF (2)求EB 的长．19．（12分）某中学参加数学选修课的同学，对某公司一种产品的年销量y （单位：kg ）与定价x （单位：元/kg ）进行了统计，得到如下数据和散点图．(1)根据散点图判断，y 与x ，z 与x 哪一对具有较强的线性相关性？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据(1)的判断结果及数据，建立y 关于x 的回归方程（精确到0.01）． (3)当该产品定价为70.50元/kg 时，年销售额的预报值是多少？参考公式：对于一组数据),(,),,(),,(2211n n v u v u v u ，其回归直线αβ+=u v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为26161)())((ˆu u v v u u ii iii ---=∑∑==β，.ˆˆu v βα-= 参考数据：34580))((61-=--∑=y y x x iii ，5.175))((61-=--∑=z z x x iii ，776840)(261=-∑=y y ii ，2.3465))((61=--∑=z z y y i i i ，.60.544≈e20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆16)1(:22=++y x C ，点)0,1(A ，)3|)(|0,(>a a B ，以B 为圆心，||BA 为半径作圆，交圆C 于点P ，且PBA ∠的平分线交线段CP 于点.Q(1)当a 变化时，点Q 始终在某圆锥曲线τ上运动，求曲线τ的方程；(2)已知过点C 的直线l 与曲线τ交于N M ,两点，记OCM ∆的面积为1S ，OCN ∆的面积为2S ，求21S S 的取值范围．21．（12分）已知函数.)1(2ln )(22x a x a x a x f +-+= (1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)当1>a 时，记函数)(x f 的极小值为)(a g ，若)522(41)(23a a a b a g +--<恒成立，求满足条件的最小整数.b（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x （t 为参数，其中2πα=/）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为.04cos 62=+-θρρ(1)写出直线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)已知直线1C 与曲线2C 交于B A ,两点，记B A ,对应的参数分别为21,t t ，当021=+t t 时，求||AB 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数.2|12|)(-+-=ax x x f (1)若1-=a ，解不等式xx x f ||)(>； (2)若对任意R x ∈，恒有a x f -≥)(，求实数a 的取值范围．数学（文科）参考答案一、选择题 1．B 2．A 3．C4．A5．B6．A7．B8．B9．B10．D11．D 12．B二、填空题 13．41-=y 14．8 15．100 16. 30三、解答题17．解：(1)x x x x x x x f 2sin 2123cos sin 21cos 23223cos 3sin 2)(=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π.32sin 2cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+πx x （3分）则πππππk x k 223222+≤+≤+-，解得).(12125Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ所以函数)(x f 的单调递增区间为).(12,125Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ（6分）(2)233sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛πA A f ，又),0(π∈A ，所以.3π=A（7分）由题意知ABC ∆的内切圆半径为1．设角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，如图所示．可得32=-+a c b ，①由余弦定理得bc c b a -+=222，②联立①②式，得bc c b c b -+=-+222)32(，则bc c b bc 8)(4334≥+=+，解得12≥bc 或34≤bc （舍）．（10分）[)+∞∈=⋅,621bc AC AB ，当且仅当c b =时，AC AB ⋅的最小值为6．（12分）18．(1)证明：如图，取AB 的中点G ，连接.EG因为CD AB //，︒=∠=∠120BCD ADC ，22==AD AB ，所以1=CD ，所以BG CD =，.//BG CD又四边形EDCF 是正方形，所以CD EF //，.CD EF = 所以BG EF //，BG EF =，故四边形EFBG 为平行四边形，所以.//BF EG （4分）又⊂/EG 平面BDF ，⊂BF 平面BDF ，所以//EG 平面.BDF （6分） (2)解：因为平面⊥EDCF 平面ABCD ，平面 FDCF 平面CD ABCD =，又CD ED ⊥，⊂ED 平面EDCF ，所以⊥ED 平面ABCD ，又⊂DB 平面ABCD ，所以.BD ED ⊥（8分）因为︒=∠120ADC ，且CD AB //，所以︒=∠60DAB ，又22==AD AB ，所以.3=BD（10分）又由(1)知1==DC ED ，所以.222=+=BD ED EB（12分） 19．解：(1)由散点图可以判断，z 与x 具有较强的线性相关性．（2分）(2)由题得356605040302010=+++++=x ，.55.1169.82.101.111.129.121.14=+++++=z10.017505.175)())((61261-≈-=---=∑∑==i ii i ix x z z x xb ，.05.15ˆˆ=-=x b z a（7分）所以z 关于x 的线性回归方程为.10.005.15ˆx z-= 所以y 关于x 的回归方程为.ˆ210.005.152xe e y-== （9分）(3)设年销售额关于x 的函数为)(x g ，则.ˆ)(210.005.15xyx x g -==当50.70=x 时，30.384950.7050.70)50.70(4250.7010.005.15≈=⨯=⨯-e eg （元）．所以定价为70.50元/kg 时，年销售额的预报值为3849.30元．（12分）20．解：(1)因为||||BP BA =，||||BQ BQ =，ABQ PBQ ∠=∠，所以QAB ∆≌QPB ∆，所以.||||QP QA = 又.||||||||||QA QC QP QC CP +=+= 所以.4||||=+QA QC由椭圆的定义可知，曲线τ是以A C ,为焦点，长轴长为4的椭圆，所以曲线τ的方程为.13422=+y x （5分）(2)由题设直线1:-=my x l ，),(11y x M ，).,(22y x N 则||||2111y OC S ⋅=，||||2122y OC S ⋅=，所以.||||212121y y y y S S -==（7分）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134,122y x my x 得096)43(22=--+my y m ，01441442>+=∆m ，436221+=+m my y ，.439221+-=m y y（9分）则⎥⎦⎤⎝⎛-∈+-=+0,34434)(2221221m m y y y y ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈++0,3421221y y y y ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈31,321y y ，所以.3,312121⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=y y S S（12分）21．解：(1))(x f 的定义域为),0(+∞，xa x ax x a x a ax a ax x a x f ))(1()1()1()(222--=++-=+-+='．①若0≤a ，当),0(+∞∈x 时，0)(≤'x f ，所以函数)(x f 在区间),0(+∞内单调递减．②若0>a ，由0)(='x f ，得ax 11=，a x =2，(ⅰ)若10<<a ，当⎪⎭⎫⎝⎛∈a a x 1,时，0)(<'x f ；当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,1),0(a a x 时，.0)(>'x f所以函数)(x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 1,内单调递减，在区间),0(a ，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 内单调递增．(ⅱ)若1=a ，0)(≥'x f ，函数)(x f 在区间),0(+∞内单调递增．(ⅲ)若1>a ，当⎪⎭⎫⎝⎛∈a a x ,1时，0)(<'x f ；当),(1,0+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a a x 时，.0)(>'x f所以函数)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛a a ,1内单调递减，在区间⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0，),(+∞a 内单调递增．（5分） (2)由(1)知当1>a 时，函数)(x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛a a ,1内单调递减，在区间⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0，),(+∞a 内单调递增．所以当a x =时，)(x f 的极小值为.2ln )()(3a a a a a f a g --==)522(41)(2+--<a a a b a g 恒成立，即42ln 2a a a a b +->恒成立．（7分）设)1(42ln )(2>+-=x xx x x x h ，则.45ln )(+-='x x x h 令45ln )()(+-='=x x x h x ϕ，当),1(+∞∈x 时，011)(<-='xx ϕ，所以)(x h '在区间),1(+∞内单调递减，且041)1(>='h ，.0)ln 16(ln 41432ln )2(3<-=-='e h 所以)2,1(0∈∃x ，使045ln )(000=+-='x x x h ，所以当),1(0x x ∈时，0)(0>'x h ，函数)(x h 单调递增；当),(0+∞∈x x 时，0)(0<'x h ，函数)(x h 单调递减．（10分）所以42ln )()(020000max x x x x x h x h +-==，又45ln 00-=x x ，则020max 21)(x x x h -=，其中).2,1(0∈x因为x x y -=221在区间)2,1(内单调递增，所以.0,21)(max ⎪⎭⎫⎝⎛-∈x h因为max )(x h b >，Z b ∈，所以.0min =b（12分）22．解：(1)直线1C 的普通方程为1tan )2(+-=αx y （其中2πα=/）．曲线2C 的直角坐标方程为.5)3(22=+-y x（4分）(2)由题知直线1C 恒过定点)1,2(P ，又021=+t t ，由参数方程的几何意义可知，P 是线段AB 的中点．曲线2C 是以)0,3(2C 为圆心，半径5=r 的圆，且.2||22=PC（8分）所以.32252||2||222=-=-=PC r AB（10分）23．解：(1)当1-=a 时，原不等式为xx x x ||2|12|>---，①当0>x 时，不等式化为03|12|>---x x ，等价于⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<023,210x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>->,04,21x x 解得.4>x ②当0<x 时，不等式化为12)12(->----x x ，解得.0<x所以原不等式的解集为0|{<x x 或}.4>x（5分）(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--≥-+=-+-=.21,1)2(,21,3)2(2|12|)(x x a x x a ax x x f对任意R x ∈，恒有a x f -≥)(，则.)(min a x f -≥又当⎩⎨⎧≤-≥+,02,02a a 即22≤≤-a 时，)(x f 有最小值.22121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛a f（8分）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤≤-,221,22a a a 解得.234≤≤a所以实数a 的取值范围是.2,34⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （10分）。

河北省衡水市衡水中学2019届高三上学期一调数学试卷含答案解析

B. 4�� ‒ 1
C. 2�� ‒ 1
D. 2�� ‒ 1
【答案】D
【解析】
{ { 试题分析：设等比数列{��}的公比为��，则
��1(1
+
��2)
=
5 2
��1��(1
+
��2)
=
5 4
，解得
�� = 2 1
考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前��项和公式．
7.已知函数��(��) = 2|��|，且��(��2��) > ��(2)，则实数��的取值范围为（）
A. (4, + ∞)
B. (0,14)
(1)不要混淆处理框和输入框； (2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构； (3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4)处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数； (5)要注意各个框的顺序； (6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
又
3 3
<
2 2
<
1
<
��,∴��
<
��
<
��,故选
A.
4.已知函数��(��) = �� + ��2(��2 ‒ 2�� + ��)的最小值为 8，则

河北省衡水市衡水中学2019届高三上学期一调数学试卷(含解析)

，
，
，则，，的大小关系为
（） A. C. 【答案】 A 【解析】
∵点
在幂函数
∴
,且在
又
,∴
B. D.
的图象上，∴ 上单调递增 , ,故选 A.
,解得
,
4.已知函数
的最小值为 8，则
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
【分析】
由题意可得
时的最小值不为 8；，由复合函数的单调性可得
取得最小值，再由函数零点存
底面是边长为 4 的正方形，高为 2），故该几何体的体积为
，故选 D.
11.已知定义在上的奇函数
满足 :当
则实数的取值范围是（）
A.
B.
C.
D. 【答案】 A
时，
，若不等式
对任意实数恒成立，
【解析】试题分析：当
时，对任意实数恒成立
在上是增函数对任意实数恒成立
，故选 A ．考点： 1、函数的奇偶性； 2、函数的单调性； 3、函数与不等式．
(4)处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数； (5)要注意各个框的顺序；
(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可 .
9.若函数
存在唯一的极值，且此极值不小于 1，则的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B 【解析】
对函数求导得到
2.设复数 z 满足 (1 ＋ i)z ＝2i ，则 |z| ＝ ( )
等于
，是解题的关键．
A.
B.
C.
D. 2

2018-2019学年河北省衡水中学高三(上)第一次摸底数学试卷(文科)(9月份)(解析版)

2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）第一次摸底数学试卷（文科）（9月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣3，﹣1，0，1，3}，B＝{x|x2+3x＝0}，则A∩B＝（）A．{﹣3，0，3}B．{﹣3，0}C．{0，3}D．{﹣3，﹣1，0，1，3}2．（5分）在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍．为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是（）A．一本达线人数减少B．二本达线人数增加了0.5倍C．艺体达线人数相同D．不上线的人数有所增加4．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，，DE⊥AC于点E，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的体积的最小值为（）A．16πB．32πC．128πD．6．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣x，则函数f（x）的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是（）A．x+y﹣2＝0B．x+y＝0C．x+y+1＝0D．x+y+2＝0 7．（5分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点E为下底面半圆弧上一点（异于点B，C），则关于该几何体的说法正确的是（）A．BE⊥AC B．DE⊥AE C．CE⊥平面ABE D．BD⊥平面ACE 9．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度后的图象关于y轴对称，则当ω取最小整数时，函数f（x）的图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．10．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，O为底面ABCD两条对角线的交点，A1O与平面CDD1C1所成的角为30°，则该长方体的表面积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A，终边上有点B（﹣m，2m）（m＞0），满足|OA|＝|OB|，若∠OAB＝θ，则＝（）A．B．2C．4D．112．（5分）已知函数数列{a n}满足：，且{a n}是单调递增函数，则实数m的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．（2，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）＝．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为．15．（5分）已知直线被圆x2+y2+2x+k＝0截得的弦长为2，则k＝．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝4，，且C 为锐角，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1﹣2＝3a n，设b n＝a n+1．（1）求b1，b2，b3；（2）证明：数列{b n}为等比数列；（3）求{a n}的通项公式．18．（12分）在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，过A点作CD的垂线，交CD的延长线于点E，．连结EB，交AD于点F，如图1，将△ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2．（1）证明：平面BFP⊥平面BCP；（2）若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP⊥平面ABCD，求三棱锥G﹣BCD 的体积．19．（12分）某高校数学学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学．从大一新生中随机抽取40名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数x分布在[100，150）内．当x∈[10n，10（n+1）），n∈N*时，其频率．（1）求a的值；（2）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．（3）若高考数学分数不低于120分的为优秀，低于120分的为不优秀，则按高考成绩优秀与否从这40名新生中用分层抽样的方法抽取4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名，求这2名学生的高考成绩均为优秀的概率．20．（12分）已知直线l交抛物线C：x2＝4y于两点，过点A，B分别作抛物线C的切线，若两条切线互相垂直且交于点M．（1）证明：直线l恒过定点；（2）若直线l的斜率为1，求点M的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax+b，a，b∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝0，x1，x2为两个不相等的正数，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2a cosθ（a＞0）；直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的极坐标为（2，π），，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|．（1）求不等式f（x+1）＜xf（x+3）的解集；（2）若函数g（x）＝log2[f（x+3）+f（x）﹣2a]的值域为R，求实数a的取值范围．2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）第一次摸底数学试卷（文科）（9月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合A＝{﹣3，﹣1，0，1，3}，B＝{x|x2+3x＝0}＝{﹣3，0}，∴A∩B＝{﹣3，0}．故选：B．2．【解答】解：复数，则z对应的点为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．3．【解答】解：不妨设2015年的高考人数为n，则2018年的高考人数为1.5n，①2015年一本达线人数为0.28n，2018年一本达线人数为0.36n，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；②2015年二本达线人数为0.32n，2018年二本达线人数为0.6n，显然2018年二本达线人数增加量超过了0.5倍，故选项B错误；③2015年艺体达线比例没变，但是2018年高考人数增加了，故2018年高考艺体达线人数多些．故选项C错误；④2015年不上线人数为0.32n，2018年不上线人数为0.42n，故不上线人数有所增加，故选项D正确．故选：D．4．【解答】解：由题意及图得，，故选：A．5．【解答】解：由题意知，当正方体为圆柱的内接正方体，且正方体的两个面位于圆柱体上、下底面时，圆柱形钢锭体积最小，此时圆柱的底面半径是正方体面对角线的一半，即，圆柱的高为正方体的高，即为4，故圆柱形钢锭的体积为．故选：B．6．【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝x2+x，f'（x）＝2x+1，则f'（﹣1）＝﹣1．因为f（﹣1）＝0，所以函数f（x）的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是x+y+1＝0．故选：C．7．【解答】解：设直线与椭圆在第一象限的交点为，因为OA⊥OB，所以，即，由可得a2＝6，b2＝3，故所求椭圆的方程为．故选：D．8．【解答】解：若BE⊥AC，因为BE⊥AB，AB∩AC＝A，所以BE⊥平面ABC，又因为BC⊂平面ABC，所以BE⊥AC，不成立，所以A不正确；因为DE2+AE2＝22+CE2+22+BE2＝12≠AD2，因此∠AED≠90°，即DE与AE不垂直，所以B不正确；因为BC为半圆的直径，所以BE⊥CE，又因为CE⊥AB，AB∩BE＝B，所以CE⊥平面ABE，所以C正确；假设BD⊥平面ACE，则BD⊥CE，又CE⊥DC，BD∩DC＝D，所以CE⊥平面ABCD，所以CE⊥BC，与∠CEB＝90°矛盾，所以D不正确．故选：C．9．【解答】解：因为＝＝＝，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的图象关于直线对称，则，即ω＝6k+1（k∈Z）．因为ω＞0，所以ωmin＝1，此时，令，得，结合选项易知B正确．故选：B．10．【解答】解：因为平面CDD1C1∥平面ABB1A1，所以A1O与平面CDD1C1所成的角等于A1O与平面ABB1A1所成的角，均为30°．如图，过底面ABCD的对角线交点O作OE⊥AB交AB于点E，则，又因为OE⊂平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，所以OE⊥平面ABB1A1．连结A1E，则∠OA1E＝30°．在Rt△A1EO中，OE＝2，∠OA1E＝30°，所以．在Rt△A 1AE中，AE＝1，所以，故长方体的表面积为．故选：A．11．【解答】解：根据题意知α+2θ＝2kπ+π（k∈Z），∴tan2θ＝tan（2kπ+π﹣α）＝﹣tanα＝2，即．整理得tanθ+tan2θ＝1，∴＝．故选：D．12．【解答】解：因为{a n}是单调递增数列，所以m＞1，，且，解得m＞2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：．故答案为：0．14．【解答】解：可行域如图所示，作出直线y＝﹣3x+z，可知z要取最大值，即直线经过点C．解方程组得C（2，﹣1），所以z min＝3×2+（﹣1）＝5．故答案为：5．15．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+2x+k＝0化为标准方程为（x+1）2+y2＝1﹣k，圆心坐标为（﹣1，0），，圆心到直线的距离；若直线被圆截得的弦长为2，则有r2﹣d2＝1，即，解得k＝﹣3；故答案为：﹣3．16．【解答】解：因为c＝4，又，所以，又C为锐角，所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，即，即当时，△ABC面积的最大值为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17．【解答】（1）解：由a n+1﹣2＝3a n，得a n+1＝3a n+2．因为a1＝1，所以a2＝3a1+2＝5，a3＝3a2+2＝17．所以b1＝2，b2＝6，b3＝18．（2）证明：因为，所以{b n}是首项为2，公比为3的等比数列．（3）解：由（2）得，而b n＝a n+1，所以．18．【解答】（1）证明：如题图1，在Rt△BAE中，AB＝3，，所以∠AEB＝60°．在Rt△AED中，AD＝2，所以∠DAE＝30°．所以BE⊥AD．如题图2，PF⊥AD，BF⊥AD．又因为AD∥BC，所以PF⊥BC，BF⊥BC，PF∩BF＝F，所以BC⊥平面BFP，又因为BC⊂平面BCP，所以平面BFP⊥平面BCP．（2）解法一：因为平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD，PF⊂平面ADP，PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，则GO∥PF，所以GO⊥平面ABCD．即GO为三棱锥G﹣BCH的高．且．因为，三棱锥G﹣BCH的体积为．解法二：因为平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD，PF⊂平面ADP，，所以PF⊥平面ABCD．因为G为PB的中点．所以三棱锥G﹣BCH的高等于．因为H为CD的中点，所以△BCH的面积是四边形ABCD的面积的，从而三棱锥G﹣BCH的体积是四棱锥P﹣ABCD的体积的．面，所以三棱锥G﹣BCH的体积为．19．【解答】解：（1）由题意知，n的取值为10，11，12，13，14．把n的取值分别代入，可得（0.5﹣10a）+（0.55﹣10a）+（0.6﹣10a）+（0.65﹣10a）+（0.7﹣10a）＝1．解得a＝0.04．（2）频率分布直方图如图：这40名新生的高考数学分数的平均数为105×0.10+115×0.15+125×0.20+135×0.25+145×0.30＝130．（3）这40名新生的高考数学分数在[100，120）的频率为0.1+0.15＝0.25，所以高考数学成绩不优秀和优秀的频率比0.25：0.75＝1：3．按高考数学成绩优秀与否分层抽样的方法从40名学生中抽取的4名学生中有3名学生高考成绩优秀，记A，B，C，D为4名学生，其中B，C，D为3名高考数学成绩优秀的学生．从4名学生中随机抽取2名学生的基本事件为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个，2名学生高考数学成绩均优秀的事件为BC，BD，CD，共3个，故所求的概率为．20．【解答】（1）证明：易知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+b，，．由得x2﹣4kx﹣4b＝0，所以x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b．由x2＝4y，得，所以，所以直线AM的斜率为，直线的斜率为．因为MA⊥MB，所以，即x1x2＝﹣4，所以﹣4b＝﹣4，得b＝1，所以直线l：y＝kx+1，故直线l恒过定点（0，1）．（2）解：由（1）得直线l的斜率为1时，x1+x2＝4，x1x2＝﹣4．直线AM的方程为，即，同理直线BM的方程为，即，上面两式联立得，，所以点M的坐标为，即M （2，﹣1）．21．【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．若a≥0，，则f（x）在区间（0，+∞）内为增函数；若a＜0，令，得．则当时，f'（x）＞0，f（x）在区间内为增函数；当时，f'（x）＜0，f（x）在区间内为减函数．（2）证明：当a＝0时，f（x）＝lnx+b．不妨设x1＞x2＞0，则原不等式等价于，令，则原不等式也等价于，即．下面证明当（x＞1）时，恒成立．设，则，故h（x）在区间（1，+∞）内为增函数，h（x）＞h（1）＝0，即，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由ρ＝2sinθ+2a cosθ，（α＞0），得ρ2＝2ρsinθ+2aρcosθ，（a＞0），所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝2y+2ax，即（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，…………………………………………………………（3分）直线l的参数方程为（t为参数），所以直线l的普通方程为y＝x+2．…………………………………………………………（5分）（2）将直线l的参数方程代入x2+y2＝2y+2ax，并化简、整理，得：+4a+4＝0．……………………………………………………（5分）因为直线l与曲线C交于M，N两点．所以﹣4（4a+4）＞0，解得a≠1．…………………………………（6分）由根与系数的关系，得t1+t2＝3，t1t2＝4a+4．………………………（7分）因为点P的直角坐标为（﹣2，0）在直线l上．所以|PM|+|PN|＝|t1+t2|＝3＝5，……………………………………（9分）解得a＝2，此时满足a＞0．且a≠1，故a＝2．………………………………………………………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）由已知不等式，得|x﹣1|＜x|x+1|………………………………………（1分）考虑到x＞0，不等式又可化为或………………………（3分）解得：﹣1＜x≤1或x＞1．所以不等式f（x+1）＜xf（x+3）的解集为（﹣1，+∞）．………………………………（5分）（2）设h（x）＝f（x+3）+f（x）﹣2a，则h（x）＝|x﹣2|+|x+1|﹣2a，因为|x﹣2|+（x+1）﹣2a≥3﹣2a当且仅当x∈[﹣1，2]时取等号，所以h（x）min＝3﹣2a．…………………………………………………………………（7分）因为函数g（x）＝log2[f（x+3）+f（x）﹣2a]的值域为R，所以f（x+3）+f（x）﹣2a≤0有解，即|x﹣2|+|x+1|≤2a，因为|x﹣2|+|x+1|≥3，所以2a≥3，即a≥，所以实数a的取值范围是[，+∞）．…………………………………………………（10分）。