社交网络设计

，当 固定时，系数 的改变便可以看出该影响因子下各因子的影响；当 变化时则可以看出不同增长强度对网络生成的影响； 变化成比例变化时可以仿真时间的影响。由此式便可以对不同的变量的对网络的影响加以分析。具体考虑因素详见下表，该表对于问题三中模型比对同样适用。
表1 影响因素即其中的影响因子
因素
影响因子
性别
评委一评分，签名及备注
队号：1378
评委三评分，签名及备注
评委二评分，签名及备注
选题：B
评委四评分，签名及备注
题目：朋友关系网络形成、演化及其影响因子研究
摘要：在现实生活中，人类形成了多种多样的人际关系，无论是面对面的交流，还是在虚拟的社交平台中，这些网络都切实影响到了人们的生活。然而这些复杂的人际网络是怎样形成的，又是怎样随时间变化的，哪些因子对这些网络造成影响，影响程度又如何，对于这些问题，我们针对人们形成的朋友关系进行研究和分析，得出自己的结论。
结果表明，该模型满足无标度，小世界等特征，具有可延伸性和拓展性。
4.2问题二模型的建立
4.2.1多元回归模型构建与分析
根据实际情况，朋友关系网络中的个体关系受到各方面的影响。在我们的模型中主要分析其受到性别、年龄、爱好以及地域因素的影响，因此需要估计每一因素对朋友关系的影响程度。着这里用实际统计到的微博上个体的信息包含上述因素，用个体的关注度，粉丝数、发微博数量来描述个体之间的关系的强弱。通过与度之间的类比得到描述影响网络关系强度的因子。因此在这里，我们对数据进行回归分析，判断期间存在的关联，用到的是多元线性回归的方法。
1)网络初始形成时， 个节点被随机分成 个组，每个小组里有 个节点，所以 。为确保组与组之间的连通性，组之间至少有一条边连接。
2)演化过程节点增长，在每个时间步，每个群落增加一个节点及形同群落之间的连接。每个新加的节点都发出 条边到其他节点，并且每条新边分别以概率 和 进行择优连接和随机连接。即其中 条边以概率 择优连接到节点 ，其余 条边则随机地进行连接。
由于参数估计的工作是基于数据的，由此得到的参数只是参数真值 的估计值，记为 ，于是有：
（7）
式（7）称为多元线性经验回归方程。从几何意义上讲，多元线性回归经验方程是p维空间上的一个超平面，即回归平面。
4.2.2模型建立与求解
性别中有男女两个因素，学历中有小学、初中、高中、大学、硕士及以上因素的影响，我们分别为每个影响因子下各因子设置不同的权重，为了使其在不同的的时间形成不同的网络，设置整个网络有一个随时间的增长因子，从而使网络有不同的规模和大小，分别用不同的颜色来代表不成分的人群，得出具体的网络。 （7）
3)假设个体在某一时间刻能建立的连边数是一定量的，个体必然属于一个小团体。
4)在进行因子分析时认为某一单一变量进行变化，不受其他因素影响，即做逐一分析。
5)不考虑原始数据缺失值问题。
三、符号说明
整个网络中的节点数
代表每个网络中的节点数
代表网络中度的平均值
表示节点i的度
代表某一时间刻
分别表示相关概率
表示网络中节点的度分布
为了使人们更加清楚的了解的我们工作和主要结果，我们以海报的形式将研究的内容，结论等进行展示，让人们对人际关系网络有一个清晰、直观的了解
关键字：复杂网络；小世界；BA模型；因子分析；比对
朋友关系网络形成、演化及其影响因子研究
一、问题的重述与分析
1.1问题背景
朋友关系网络对人类和社会都非常重要，在信息的传播、谣言的扩散、疾病的流行等方面都有大的影响，为此很多领域的科学家都对此进行了研究，包括其形成、演化以及动力学过程等等，为政府政策的制定、流行病的预防控制、舆论的监督的等都可提供指导，是社会学一个很重要的研究领域。因此研究朋友关系网络有很强的应用价值和现实要求，到目前为止，仍然是一个新生而又非常火爆的研究领域。
针对上述表格中的各种因素，我们做出了各种因属相互作用的影响关系图如下：
图3社交关系因果
由上可得一个人的社交能力的大小受到地址、性别、年龄和教育因素的影响，其实其还受的科技发展水平的限制，比如交通、通讯等，在以信息技术为主的新的科技革命的作用下,人类生活的方方面面,包括生活方式的结构要素如生活主体、生活资料、生活时空和生活方式的具体内容──劳动生活方式、消费生活方式、交往生活方式、闲暇生活方式等,都发生了深刻的变化，再者，由于科技的进步,工农业生产逐渐机械化、自动化、电脑化,极大地提高了劳动生产率,减少了职工的劳动时间,从而使闲暇时间的增多。而随着闲暇时间的日益增多,人们就要逐步进入娱乐专业化时代,这个专业化很大程度上是以高度发达的技术为基础的。现代科技成果广泛应用,使人们的闲暇生活变得丰富多彩，例如上网游戏，听音乐，看电影等，同时大大增加了人的社交范围，随着时间的变化，人的社交能力逐渐变大。
网络再生成果中会形成一系列的结构，可以用一些具体的量来描述。
1)度：在网络中，节点的度是指与该节点相邻的节点的数目，即连接该节点的边的数目。
2)小世界效应：复杂网络的小世界效应是指尽管网络的规模很大（网络节点数目N很大），但是两个节点之间的距离比我们想象的要小得多。
3)无标度特性：wk.baidu.com于随机网络和规则网络，度分布区间非常狭窄，大多数节点都集中在节点度均值<k>的附近，说明节点具有同质性，因此<k>可以被看作是节点度的一个特征标度。而在节点度服从幂律分布的网络中，大多数节点的度都很小，而少数节点的度很大，说明节点具有异质性，这时特征标度消失。这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性。
针对问题二：不同的年代人们形成的朋友关系网络肯定是不同的，并且受多因素影响。首先根据相关数据分析，我们设计一个人们社交网络的关系模型，既体现时间特征，又体现各因素对其的影响，分别将性别、地区、爱好等对网络度的影响。接着将不同影响因子得出的分布进行展示，观察其差别，得出自己的结论。
针对问题三：为了研究我们设计的模型是否放映真实情况，我们采集到了微博上人们的直观信息，包括性别、爱好等因素，将采集到的结果和模型数据进行比对。首先分析所有个体的度分布与模型中度分布的吻合情况，接着采用因子分析法分析几种不同因素对现实网络形成的影响程度，将几种因子的权重进行分析，跟我们模型的假设进行对比，得出自己的结论。
最后另外，请准备一份1-2页的海报来展示你们的结果和数学模型，面向社会大众发表，使普通大众可以懂得你的研究结果并产生兴趣。
二、模型基本假设
1)假设朋友关系形成的过程中连边的形成是没有方向的，即人际关系的程度对双方是等效的，也不存在权重问题。
2)个体和周围人建立关系的时候对网络信息并不是完全了解，有一定的盲目性又有一定的目的性。
（3）
在 比较大时， ， 。节点 是在 时刻被加入的， 。可得：
其中， ， ，一个节点的度 的概率可表示为：
（4）
则可得： （5）
显然 服从幂律分布，该幂函数室友 经过平移和拉伸得到的。该式中，度服从幂律分布，且幂指数为： 。
4.1.3模型求解及分析
下图分别为我们模拟的BA小世界模型，当网络中的个体数分别为50,100,300,500时，网络所表现出来的形式。
图1 不同规模下网络的形状
为了研究随着网络规模的增长，节点的度分布呈现什么分布，同样采用BA模型，让网络中的节点分别有5000个和20000个，使用双对数坐标，得出度分布情况，发现随着网络规模的增长，节点的度分布趋向于一条直线，说明其服从幂律分布，与我们采用的模型正好吻合。
图2 不同规模下网络节点的度分布
为了进一步比较计算，我们得出当网络中的节点数分别为5000和20000个时，节点的平均度，网络平均路径长度，网络直径分别如下所示。
当 时：
平均度= 3.9984
网络直径= 9
网络平均路径长度= 4.79339835967
当 时：
平均度= 3.9996
网络直径= 9
网络平均路径长度= 5.26630772539
问题二不同时期人们形成的关系网络是不同的，并受着多种因素的影响，分析每种因素的影响程度。时间对网络形成的影响的什么样的，人们的性别、年龄、地区、职业爱好等都会对它产生怎样的影响，需根据具体的实例来设置参数影响人类网络的形成，判断网络在不同因子影响下形成的差异。
问题三即验证我们理论上建立的模型和现实生活中形成的模型差距有多大。为此需要将现实数据和模型仿真进行比对，包括针对问题一和问题二设计的两个模型是否实际，具体的参数是否具有代表性。
男；女
年龄（岁）
<24; 25～30; 31～35; 36～40; >40
教育信息
小学；初中；高中；大学；研究生；博士；其他
兴趣
阅读写作，教育就业；运动；美食；旅游；音乐电影；影视明星；美容健康，时尚潮流；报刊杂志,新闻传媒；汽车、购物、股票、经济
地址
北京；上海；河北；山西；辽宁；吉林；黑龙江；江苏；浙江；安徽；福建；江西；山东；河南；湖北；湖南；广东；海南；四川；贵州；云南；陕西；甘肃；青海；台湾；内蒙古；广西；西藏；宁夏；新疆；香港；澳门；澳门；海外
多元线性回归模型是指多个解释变量的线性回归模型，用于揭示被解释变量与其他多个解释变量之间的线性关系。多元线性回归的数学模型是：
（6）
式（6）是一个p元线性回归方程，其中有p个解释变量。它表明：被解释变量y的变化可有两个部分解释。第一，由p个解释变量x的变化引起的y的线性变化的部分，即 ；第二：有其他因素引起的y的变化部分，即 。 都是模型中的未知参数，分别称为回归常数和片回归常数， 也成为随机误差，也是一个为随机变量。
在这篇文章中我们不仅要研究它是怎样形成的，更需要研究它的演化，以及不同因子对于网络形成的影响程度，在这里我们主要以网络度的形式进行刻画，从而研究网络形成演化，及其影响因子。
1.2要解决的问题
问题一要求建立模型来演示朋友关系网络是怎样形成和演化的。朋友关系网络形成又称内在机制的规律，必然具有一定的结构，我们通过复杂网络的方法构造出这样的结构，使其具有现实社会朋友关系的小世界、无标度、高聚集等特征，并看这个网络随时间怎样变化。
代表网络中节点之间的最短路径长度
代表整个网络的聚类系数
网络中团体的数目
代表不同的影响因子
代表不同因子对网络生成影响的权重
四、模型建立与求解
4.1问题一模型的建立
4.1.1复杂网络相关理论
复杂网络理论假设社会上的每个人都是网络的节点，人与人之间的互动关系是网络的边。这个关系可能是多种多样的，比如朋友关系、同事之间的合作关系、家庭关系等。人际关系网络是典型的复杂网络，具有“小世界”［18］、“无标度”特性。目前学术界通常用NW小世界网络［18］或者BA无标度网络［19］作为人际关系网络的模型。但社会科学界对人际关系网络的研究［20］表明，除了具有较小的平均节点间距离和幂率分布的节点度外，人际关系网络还具有较高的聚类系数。
3）每个时间步，每个群落之中随机选择一个节点 与网络中的其他节点进行连接，连接的概率与节点的度成正比。
4)规模的增长。不断重复上述过程，直到网络达到预期的规模。
步骤2中节点 的度的演化方程为：
（1）
在步骤3中假设除了节点 以外的其余节点的度为 。则节点 的演化方程为：
，（2）
令 ，则 。
在一个完整的演化时步，该模型的平均场方程即：
4)平均路径长度L：在网络中，两点之间的距离为连接两点的最短路径上所包含的边的数目。网络的平均路径长度指网络中所有节点对的平均距离，它表明网络中节点间的分离程度，反映了网络的全局特性。
5)网络直径：代表网络最短路径中最长的一条路径，表明网络信息的流通性。
4.1.2模型的建立
考虑到人类关系网络的特殊性质，1)增长性，即新用户不断加入，用户总数不断增加。2)择优连接与随机连接并存，即新用户加入网络后，首先与同自己关系密切的人建立连接，同时可随机连接一些用户，与其建立好友关系。3)聚合性，即具有相同属性的用户通常会联系更为密切，并形成一个小集群。整个网络就是由许多这样的小集群组成，各个小集群之间又相互关联。4)关系传递，即用户与好友的好友建立直接的好友关系。用户A和B、C分别有好友关系，则B、C直接相连。我们提出以下模型：
针对问题一：根据相关理论，人际关系网络既符合小世界特征，又满足无标度分布，并且具有高聚合即关系传递性。为了体现这些观点，首先我们设计出了朋友关系形成及演化模型，让它既具有增长特性又具有优先连接特性，同时保证一定的聚合性。接着分析网络的相关特征，如度分布，聚类系数，并看其图像是否符合幂律分布等。最后观察在不同的时间戳窗口下，观察网络形成的不同样式，研究其演化。