福建省厦门双十中学2017-2018学年高二下学期第二次月考(文)数学试题及答案解析
2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第二次月考数学(理)试题(含答案解析)
2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数()()()212z a a i a R =-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】复数2(1)(2)z a a i =-+-为纯虚数， 则210a -=且20a -≠， 解得1a =±，所以“1a =”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件． 故选A ．2．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<=（ ） A ．12p B ．1p - C ．12p -D ．12p - 【答案】D【解析】分析：由题可知，正态曲线关于0ξ=对称，根据(1)P p ξ>=，即可求出(10)P ξ-<<详解：Q 随机变量ξ服从正态分布()0,1N ∴正态曲线关于0ξ=对称Q (1)P p ξ>=∴ 1(10)2P p ξ-<<=- 故选D.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是正态曲线的对称性.3．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则3456784.0 2.5 0.5- 0.5 2.0- 3.0-A ．0a >，B ．0a >，C ．0a <，D ．0a <，【答案】B【解析】【详解】试题分析：由表格数据,x y 的变化情况可知回归直线斜率为负数0b ∴<，中心点为()5.5,0.25，代入回归方程可知0a >【考点】回归方程4．在一次独立性检验中，得出列联表如图：且最后发现，两个分类变量A 和B 没有任何关系，则a 的可能值是（ ） A A合计 B200 800 1000 B180 a 180+a 合计 380800+a1180+aA ．200B ．720C ．100D ．180【答案】B【解析】把列联表中所给的数据代入求观测值的公式，建立不等式，代入验证可知a 的可能值. 【详解】解：因为两个分类变量A 和B 没有任何关系，所以()()()()221180200800180 2.7023808001000180a a K a a +-•=<•+••+ ， 代入验证可知720a = . 故选：B.【点睛】本题考查两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断.5．22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 1【答案】B【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<Q 选B.【考点】此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.6．小明，小光，小亮，小美，小青和小芳6人站成一排拍合影，要求小明必须排在从右边数第一位或第二位，小青不能排在从右边数第一位，小芳必须排在从右边数第六位，则不同的排列种数是（ ） A ．36 B ．42 C ．48 D ．54【答案】B【解析】由题意可分析小明在右边第一位时和小明在右边第二位时的排种数进行求和即可. 【详解】解：依题意，若小明排在右边第一位有44A 种排法； 若小明排在右边第二位，则有1333C A 种排法，所以不同的排列种数是41343342A C A +=.故选：B. 【点睛】本题考查排列、组合的运用及简单的计数问题，属于基础题.7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A =( )A ．18B ．14C ．25D ．12【答案】B【解析】先求得()P A 和()P AB 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意()22322542105C C P A C +===,()22251=10C P AB C =,故()|P B A =()()1110245P AB P A ==.故选B. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 8．函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为 ( )．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由于函数y =x cos x +sin x 为奇函数， 故它的图象关于原点对称，所以排除选项B ， 由当2x π=时，y =1>0，当x =π时，y =π×cos π+sin π=−π<0. 由此可排除选项A 和选项C. 故正确的选项为D. 故选D.9．若函数21()f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,0]-B ．(3,)+∞C ．(0,3]D ．[3,)+∞【答案】D【解析】由函数21()f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，可得21()20f x x a x '=+-≥在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，进而转化为212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，构造函数求出212x x -在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的最值，可得a 的取值范围. 【详解】解：因为函数21()f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数， 所以21()20f x x a x '=+-≥在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 令()212h x x x =-，则()322h x x'=--， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '<， 则()h x 为减函数. 所以()132h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 所以3a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档.10．已知抛物线21:2C x y =的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于A ，B 两点，交1C 的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的方程为（ ） A ．22(1)12x y +-=B ．22(1)16x y +-=C ．22132x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ．22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【答案】D【解析】依题意知，圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，且点F 为该矩形对角线的交点，利用点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等，可求得直线AB 的方程为：32y =，从而可求得A 点坐标，从而可求得圆2C 的半径，于是可得答案. 【详解】解：由题可得：抛物线21:2C x y =的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为四边形ABCD 是矩形，且为BD 直径，AC 为直径，10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为圆2C 的圆心, 所以点F 为该矩形对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等， 故点F 到直线CD 的距离1d = ， 所以直线AB 的方程为：32y = ， 所以33,2A ⎫⎪⎭， 故圆2C 的半径()223130222r AF ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭，所以圆2C 的方程为22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的标准方程的确定，分析得到点F 为该矩形ABCD 的两条对角线的交点是关键，考查作图、分析与运算能力，属于中档题. 11．()f x '是定义在R 上的函数()f x 的导函数，满足(0)0f =，x R ∀∈都有()1()f x f x '>-，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(,1)(0,)-∞-+∞UB ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】构造函数()()xxg x e f x e =-，()x R ∈，研究()g x 的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解. 【详解】 ，解：设()()xxg x e f x e =-，()x R ∈，则()[]()()()()1xxxxg x e f x e f x e ef x f x =+-'=+'-'，因为()1()f x f x '>-， 所以()()10f x f x '+->， 所以()0g x '>，所以()y g x =在定义域上单调递增， 因为()1xxe f x e >-， 所以()1g x >-， 又因为()()0g x g >， 所以0x > ，所以不等式的解集为(0,)+∞.故选：C.【点睛】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.12．如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用A．288种B．264种C．240种D．168种【答案】B【解析】先分步再排列先涂点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能：(1)B与E相同时，依次涂点F，C，D，A，涂法分别有3，2，2，2种；(2)B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能：（2.1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．（2.2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．二、填空题13．观察下列等式：据此规律，第个等式可写为 ________． 【答案】【解析】试题分析：由已知得，第个等式含有项，其中奇数项为，偶数项为，其等式右边为后项的绝对值之和，所以第个等式为．【考点】归纳推理．14．已知曲线:ln C y x =的切线l 经过原点，则切线l 的方程为________. 【答案】1y x e=【解析】设出切点的坐标，根据设出的切点坐标和原点求出切线的斜率，同时由()f x 求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值，进而得到切点坐标，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可. 【详解】解：设切点坐标为(),ln a a ，由切线过原点()0,0，得到切线的斜率ln ak a= ， 又因为()1f x x'=，把x a = 代入可得斜率()1k f a a '==，所以ln 1a a a=，得到ln 1a =，解得a e =， 则切点坐标为(),1e ， 所以切线方程为：1y x e=. 故答案为：1y x e=. 【点睛】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的方程，属于基础题.15．若22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中的常数项为________． 【答案】240【解析】根据题意有3729n =，求出n 的值，即可求出二项展开式的通项，进而可求常数项. 【详解】解：令1x =得232279nn x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，解得6n =，26222nx x x x =⎛⎫⎛⎫∴++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其二项展开式的通项为：()6212316622rrrr r rr T C x C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1230r -=，得4r =，444162240T C +=⋅=，所以展开式中的常数项为240， 故答案为：240. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，要注意正确利用二项展开式的通项.16．已知1F ，2F 分别是双曲线2221y x b-=的左，右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若22AF =且1245F AF ∠=︒.延长2AF 交双曲线右支于点B ，则1F AB ∆的面积等于________． 【答案】4【解析】结合双曲线性质，可以计算1AF ，进一步结合双曲线性质，得到∆AB 1F 为等腰三角形，结合三角形面积计算公式，即可得出答案。
2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第二次月考数学(文)试题含答案
2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．函数x y e =（e 是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线方程是（ ） A ．1y x =- B ．1y x =+ C ．1y ex =+ D ．1y ex =-【答案】B【解析】对函数求导后代入切点的横坐标得斜率k ，然后根据直线方程的点斜式，即可得到本题答案. 【详解】由题，得e xy '=，则切线方程的斜率01k e ==，所以切线方程为11(0)y x -=-，即1y x =+.故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数求函数在某点的切线方程，属基础题.2．函数1(2y =的单调递增区间是（ ） A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(,1]-∞-C ．(2,]+∞D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】先算出函数的定义域，由12y ⎛= ⎪⎝⎭的增区间就是t =区间，可算得本题答案. 【详解】令220x x -++≥，得函数的定义域为[1,2]-，设t 12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以12y ⎛= ⎪⎝⎭的增区间就是tt ==t 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2212x x y -++⎛⎫= ⎪⎝⎭的增区间为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D 【点睛】本题主要考查复合函数的单调区间.3．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A 【解析】【详解】 椭圆的离心率3c e a ==， 即2222234c a b a a -==，12b a =， 所以双曲线22221x y a b-=的渐近线为12y x =±．故选A ．【考点】椭圆与双曲线的几何性质． 4．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】 由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．5．已知322()3f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，则a b -=（ ） A ．-2 B ．-7 C ．-2或-7 D ．2或7【答案】B【解析】由()f x 在1x =-处有极值0，得(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，解方程组即可得到本题答案，结果要检验. 【详解】由题，得2()36f x x ax b '=++，因为()f x 在1x =-处有极值0，所以(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，因为当13a b =⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥，()f x 在R 上单调递增，此时与题目矛盾，故13a b =⎧⎨=⎩舍去，所以297a b -=-=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查根据函数的极值求参数.6．若函数23,1()21,1x ax a x f x ax x ⎧-+-≥=⎨+<⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(,2]-∞D ．(,0)-∞【答案】B【解析】由题，得21220113121a a a a a ⎧≤⎪⎪<⎨⎪-+⨯-≤⨯+⎪⎩，解不等式组即可得到本题答案.【详解】由1x ≥时，2()3f x x ax a =-+-是减函数，得2a ≤，由1x <时，函数()21f x ax =+是减函数，得0a <，由1x =时的函数值应满足2113121a a a -+⨯-≤⨯+，解得12a ≥-，综上，得1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.故选：B 【点睛】本题主要考查根据分段函数的单调性确定参数的取值范围.7．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且())(f x f x '>，对于任意x ∈R 恒成立，则（ ）A ．20182019(2018)(2019)e f e f ⋅>⋅B ．20182019(2018)(2019)e f e f ⋅<⋅C ．20192018(2018)(2019)e f e f ⋅>⋅D ．20192018(2018)(2019)e f e f ⋅<⋅【答案】C 【解析】设()()x f x g x e=，证()0g x '<，得()g x 在R 上单调递减，即可得到本题答案. 【详解】 设()()xf xg x e =，因为()f x 是定义在R 上的可导函数，且()()f x f x >'， 所以2()()()()()0x x x xf x e f x e f x f xg x e e'-'-'==<， 所以()g x 在R 上单调递减，则有(2019)(2018)g g <，即20192018(2018)(2019)e f e f ⋅>⋅.故选：C 【点睛】本题主要考查构造函数，并且利用函数单调性比较大小.8．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表：()f x 的导函数()y f x ='的图象如图所示，则下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数；② 函数()f x 在[]02，是减函数； ③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点． 其中真命题的个数是 ( ) A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D 【解析】【详解】①显然错误；③容易造成错觉，t max ＝5；④错误，f(2)的不确定影响了正确性；②正确，可由f′(x)<0得到．9．已知抛物线22y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5:4，且1AF >，则A 点到原点的距离为（ ）A ．2B ．178C ．22178D ．5【答案】A【解析】设5,4,(0)AF t AM t t ==>，把点A 的坐标用t 表示出来，代入抛物线方程求t ，即可得到本题答案. 【详解】因为1,||1p AF =>，所以点A 的横坐标要大于点F 的横坐标，由题，作图如下.因为点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5:4，设5,4,(0)AF t AM t t ==>，则3MF t =，132OM OF MF t =+=+， 所以点13,42A t t ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入抛物线22y x =，得21(4)232t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 解得，12t =或18t =-（舍去）则点(2,2)A ，222222OA =+=.故选：A 【点睛】本题主要考查利用抛物线标准方程求其上面某点坐标的问题.10．若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5(2,)2B ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由函数()f x 在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数的等价条件为2()1f x x ax '=-+在1,32⎛⎫⎪⎝⎭有实数根，即可得到本题答案. 【详解】由题，得2()1f x x ax '=-+，函数()f x 在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数的等价条件为2()1f x x ax '=-+在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭有实数根.当2()1f x x ax '=-+在1,32⎛⎫⎪⎝⎭有1个实数根时，有1(3)02f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即111(103)042a a ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭，解得51023a <<； 当2()1f x x ax '=-+在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭有2个不等实数根时，有2()401322102(3)0a a ff ⎧∆=-->⎪⎪<<⎪⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎪>⎩，即2()4013221110421030a a a a ⎧-->⎪⎪<<⎪⎨⎪-+>⎪⎪->⎩，解得，522a <<； 当52a =时，251()1(2)(21)22f x x x x x '=-+=--也满足题意； 综上，102,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，其中涉及一元二次方程根的分布问题.11．若1F ，2F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF ⋅=，则12F PF △ 的面积为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B【解析】由题，可得2221212PF PF F F +=，所以12121162F PF S PF PF ∆=⋅=. 【详解】由题，有3,4,5a b c ===，1221326PF PF PF PF ⎧⋅=⎪⎨-=⎪⎩，解得2212100PF PF +=，又因为2212(2)100F F c ==，所以2221212PF PF F F +=，90P ︒∠=，则12121162F PF S PF PF ∆=⋅=. 故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的焦点三角形的面积问题.12．已知函数()2sin cos f x x x x x =--，若[]0,x π∈时，()0f x ax -≥，求a 的取值范围（ ） A ．(],1-∞- B ．(],0-∞C ．[]1,0-D ．[]0,1【答案】B【解析】因为当0a ≤，[0,]x π∈时，0ax ≤，通过证明当[0,]x π∈时，()0f x ≥，即可得到本题答案. 【详解】由题，得()2cos (cos sin )1cos sin 1f x x x x x x x x '=---=+-，设()()g x f x ='，则()cos sin 1g x x x x =+-，()cos g x x x '=.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，()g x 单调递增；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 单调递减.又(0)0,0,()22g g g ππ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，故()g x 在(0,)π存在唯一零点，即()f x '在(0,)π存在唯一零点.由题设知(),()0f a f πππ≥=，可得0a ≤.因为()f x '在(0,)π存在唯一零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,x x π∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,x π单调递减.又(0)0,()0f f π==，所以，当[0,]x π∈时，()0f x ≥. 又当0a ≤，[0,]x π∈时，0ax ≤，故()f x ax ≥. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数解决不等式的问题，较难.二、填空题13．已知函数f(x)＝ln x －f′(－1)x 2＋3x －4，则f′(1)＝________. 【答案】8 【解析】∵f′(x)＝1x－2f′(－1)x ＋3， f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.14．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，则|AB|= ． 【答案】8【解析】试题分析：抛物线 y 2="4x" 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点，故|AB|=x 1+x 2+2，由此易得弦长值． 解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线 y 2="4x" 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点 ∴|AB|=x 1+x 2+2， 又x 1+x 2=6∴∴|AB|=x 1+x 2+2=8 故答案为8．【考点】直线与圆锥曲线的关系．15．已知函数2020sin ,01()log ,1x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++ 的取值范围是_________． 【答案】()2,2021【解析】画出分段函数的图象，可知1a b +=，20200log 1c <<，求出c 的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】由题，可作图象如下，设a b c <<，由正弦函数的对称性可知1a b +=，又20200log 1c <<，得12020c <<，所以22021a b c <++<.故答案为：(2,2021) 【点睛】本题主要考查根据分段函数的图象确定范围的问题.16．已知函数243,1()ln ,1x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，若()()g x f x ax a =-+恰有一个零点，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】[][)2,01,-⋃+∞【解析】画出图象，求得2()43f x x x =-+和()ln f x x =在(1,0)处的切线斜率，即可得到本题答案. 【详解】由题，可作图如下，方程()f x ax a =-恰有一个解，也就是函数()y f x =的图象与函数y ax a =-的图象恰有一个交点(1,0).函数2()43f x x x =-+的导函数为()24f x x =-'，因此曲线()y f x =在点(1,0)处的切线的斜率1(1)2k f ='=-.对函数()ln f x x =求导得1()f x x'=，因此曲线()y f x =在点(1,0)处的切线的斜率2(1)1k f ='=.所以要使直线y ax a =-与曲线()y f x =恰有一个交点，则实数[2,0][1,)a ∈-⋃+∞.故答案为：[2,0][1,)-⋃+∞ 【点睛】本题主要考查分段函数、函数的零点、导数的几何意义.三、解答题17．已知函数()422xxf x a =-⋅+（1）当3a =时，求不等式()0f x >的解集：（2）若函数()f x 在()0,∞+上存在两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|10}x x x ><或 （2）3a <<【解析】（1）设2(0)xt t =>，由2()32g t t t =-+，得t 的取值范围，再求x 的取值范围即可；（2）由函数()f x 在(0,)+∞上存在两个零点等价于函数()g t 在(1,)+∞存在两个不同解，可得28012(1)120a ag a ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪=-+>⎪⎩，解不等式组即可得到本题答案.【详解】设2(0)xt t =>，()22g t t at =-+（1）当3a =时，2()32g t t t =-+，令()0g t >，解得2t >或1t <即22x >或21x <，解得：1x >或0x <， 所以原不等式的解集为{|10}x x x ><或； （2）∵函数2x t =在R 上单调递增∴函数()f x 在()0,∞+上存在两个零点等价于函数()g t 在(1,)+∞存在两个不同解，此时，只需满足28012(1)120a ag a ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪=-+>⎪⎩，解得3a <<，所以，实数a的取值范围为3a <<． 【点睛】本题主要考查与指数相关的不等式和方程的求解问题，其中涉及到一元二次方程的根的分布问题.18．已知函数()()ln f x x mx m R =-∈．（1）若函数()y f x =的图象过点()1,1P -，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程： （2）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值． 【答案】（1）1y =-（2）当1m e ≤时，()()max 1f x f e me ==-；当11m e<<时，max 1()()ln 1f x f m m==--,当m 1≥时，max ()(1)f x f m ==-【解析】（1）对()y f x =求导，代入切点横坐标得切线斜率，再根据直线方程的点斜式，即可得到本题答案； （2）分1m e ≤，11m e<<和m 1≥三种情况，考虑()y f x =的最大值，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）因为点()1,1P -在曲线()y f x =上， 所以1m -=-，解得1m =． 因为1()1f x x'=-，所以()10f '=， 所以切线的方程为1y =-； （2）11()mx f x m x x-'=-=． ①当1m e≤时，由[]1,x e ∈，得()0f x '>， 所以函数()f x 在[]1,e 上单调递增， 所以()()1max f x f e me ==-； ②11m e<<时，令()0f x '=，解得1x m =．所以max 1()()ln 1f x f m m==-- ③当m 1≥时，()0f x '≤，所以函数()f x 在[]1,e 上单调递减， 所以()()max 1f x f m ==-． 综上所述，当1m e≤时，()()max 1f x f e me ==-； 当11m e <<时，max 1()()ln 1f x f m m==--； 当m 1≥时，max ()(1)f x f m ==-． 【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程以及求含参函数在闭区间的最值问题.19．某商场从2018年1月份起的前这个月，顾客对某商品的需求总量，()p x （单位：件）与x 的关系近似地满足1()(1)(392)2p x x x x =⋅+⋅-（其中x N *∈，且12x ≤），该商品第x 月的进货单价()q x （单位：元）与x 的近似关系是**1502,16()160185,712x x N x q x x N x x ⎧+∈≤≤⎪=⎨-∈≤≤⎪⎩且且． （1）写出2018年第x 月的需求量()f x （单位：件）与x 的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2018年第几个月销售该商品的月利润()g x 最大，最大月利润为多少元？ 【答案】（1）2*()340(112)f x x x x N x =-+∈≤≤且（2）第5个月的月利润最大，最大月利润为3125元【解析】（1）当1x =时，由(1)(1)f p =，得(1)f ；当212x ≤≤且*x ∈N ，由()()(1)f x p x p x =--，得()f x ，最后要检验1x =时是否满足解析式；（2）分别算出当x N *∈且16x ≤≤时和当x N *∈且712x ≤≤时的最大值，比较大小，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）当1x =时，()()1137f p ==， 当212x ≤≤且*x ∈N ，211()()(1)(1)(392)(1)(412)34022f x p x p x x x x x x x x x =--=+----=-+ 验证1x =时也符合上式，故2*()340(112)f x x x x N x =-+∈≤≤且． （2）预计该商场第x 个月销售该商品的月利润为()()2*2*340(352),16()160340,712x x x x N x g x x x x N x x ⎧-+⋅-∈≤≤⎪=⎨-+⋅∈≤≤⎪⎩且且 即32**61851400,16()4806400,712x x x x N x g x x x N x ⎧-+∈≤≤=⎨-+∈≤≤⎩且且 当x N *∈且16x ≤≤时，()2183701400g x x x '=-+，令()0g x '=，解得5x =或1409x =（舍去）． ∴当x N *∈且16x ≤≤时，max ()(5)3125g x g ==． 当x N *∈且712x ≤≤时，()4806400g x x =-+是减函数， 故()()max 730403125g x g ==<．答：该商场2018年第5个月的月利润最大，最大月利润为3125元． 【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及利用导数求函数的最值问题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为2，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为4+ （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线()1y k x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，若点Q 的坐标为7(,0)4，则QA QB⋅u u u r u u u r 是否为定值？若是，求该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=（2）1516-，理由见解析 【解析】（1）由题意，得2c e a ==①，224a c +=+②，解方程组即可得到本题答案；（2）联立椭圆和直线方程22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得()2222124240k x k x k +-+-=， 2122412k x x k +=+，21222412k x x k-=+，QA QB ⋅u u u r u u u r 先用1212,x x x x +表示出来，代入韦达定理，逐步化简，即可得到本题答案. 【详解】（1）由题意，得2c e a ==①，224a c +=+②， 联立①②解得2a =，c =∴b =∴椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆和直线方程22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 消去y ，得()2222124240kxk x k +-+-=，2122412k x x k +=+，21222412k x x k-=+， ()()4222164122424160k k k k ∆=-+-=+>，117,4QA x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，227,4QB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，112212127777,,4444QA QB x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r()()()()2222121212127774911144416x x k x x k x x k x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=++--+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222222224744984491511241216121616k k k k k k k kk ---⎛⎫=++--++=+=- ⎪+++⎝⎭ 故QA QB ⋅u u u r u u u r 定值，且定值为1516-．【点睛】本题主要考查求椭圆标准方程及圆锥曲线的定值问题，联立直线方程与圆锥曲线方程和运用韦达定理，是解决此类题目的关键. 21．已知函数()()–ln xf x e x m =+．（1）设0x =是()f x 的极值点求m ，并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()0.f x >【答案】（1）1m =,()f x 在()–1,0上单调递减，在()0,∞+上单调递增 （2）证明见解析【解析】（1）1()x f x e x m'=-+，由(0)0f '=，可得m ；因为(1)1()(1)1x e x f x x x +-'=>-+，通过考虑()()()111xg x e x x =+->-的性质，即可得到本题答案；（2）当2m ≤时，ln()ln(2)x xe x m e x -+≥-+，所以要证()0f x >，只需证明()ln 20x e x -+>，求出()ln(2)x h x e x =-+的最小值，即可证明不等式.【详解】 （1）1()xf x e x m'=-+ 0x =Q 是()f x 的极值点∴1(0)10f m'=-=，解得1m = 所以函数()ln(1)xf x e x =-+，1(1)1()(1)11x xe xf x e x x x +-'=-=>-++，令()()()111xg x ex x =+->-，则()()'20xg x ex =+>恒成立．所以()g x 在()1,-+∞上是增函数．又∵()00g =，当10x -<<时，()0g x <，此时()0f x '<， 当0x >时，()0g x >，此时()0f x '>，∴()f x 在()–1,0上单调递减，在()0,∞+上单调递增；（2）当2m ≤时，ln()ln(2)x xe x m e x -+≥-+，所以要证()0f x >，只需证明()ln 20xe x -+>，令()ln(2)xh x e x =-+，1(2)1()(2)22x xe x h x e x x x +-'=-=>-++令()()()212xp x ex x =+->-，则()()30x p x e x '=+>恒成立．所以()p x 在()2,-+∞上是增函数. 又1(1)10p e-=-<Q ，()010p => ∴存在唯一0(1,0)x ∈-，使得()00p x =，即0012x e x =+，()()()02min0000011()ln 2022x x h x h x e x x x x +∴==-+=+=>++ 综上所述，当2m ≤时，有()0f x >． 【点睛】本题主要考查根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间以及利用导数证明不等式.22．如图，已知圆22:(2)4C x y +-=，抛物线D 的顶点为(0,0)O ，准线的方程为1y =-，00(,)M x y 为抛物线D 上的动点，过点M 作圆C 的两条切线与x 轴交于,A B .（Ⅰ）求抛物线D 的方程；（Ⅱ）若04y >，求△MAB 面积S 的最小值. 【答案】(1)24x y =. (2)32.【解析】分析：（Ⅰ）根据抛物线的准线方程可得p ，故抛物线的方程可求出.（Ⅱ）求出过()00,M x y 的圆的切线,MA MB 的方程后可得,A B 两点的横坐标，它们可用00,x y 及其相应的斜率表示，因此MAB S ∆也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和2004x y =消元后可用关于0y 的函数表示MAB S ∆，求出该函数的最小值即可. 详解：（Ⅰ）设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，则12p=，∴2p =，所以抛物线C 的方程是24x y =. （Ⅱ）设切线00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=， 切线与x 轴交点为00,0y x k ⎛⎫-⎪⎝⎭，圆心到切线的距离为2d ==，化简得22200000(4)2(2)40x k x y k y y -+-+-=设两切线斜率分别为12,k k ，则200001212022002(2)4,,444x y y y k k k k y x x --+=-=>--21220000000121200211224k k y y y S x x y y k k k k y -⎛⎫⎛⎫=---⋅=⋅== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ =00162(4)8324y y ⎡⎤+-+≥⎢⎥-⎣⎦，当且仅当08y =时取等号.所以切线与x 轴围成的三角形面积S 的最小值为32.点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.。
2017-2018学年福建省厦门第一中学高二下学期第二次月考数学(文)试题-解析版
绝密★启用前福建省厦门第一中学2018学年高二下学期第二次月考数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A.B. C. D.【答案】A【解析】分析：化简复数，再根据它为纯虚数，即可得到答案.解析：复数为纯虚数，，.故选：A.点睛：复数相关概念与运算的技巧(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．2．下列命题中的假命题是（）A. ，B. ，C. ，D. ，1【答案】B【解析】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B错误，故选B。
考点：特称命题与存在命题的真假判断。
视频3．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内位（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案.解析：程序在运行过程中各变量变化如下：循环前，k=1，S=1，第一圈，k=2，S=4，继续循环，第二圈，k=3，S=11，继续循环，第三圈，k=4，S=26，继续循环，第四圈，k=5，S=57，结束循环.故退出循环的条件为.故选：A.点睛：程序框图的补全及逆向求解问题的解决方法(1)先假设参数的判断条件不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．24．集合，集合，则是的（）A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：分别求出关于P，Q的范围，从而得到P，Q的关系.解析：P ：，即，Q ：，P是Q的必要不充分条件.故选：C.点睛：在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．5．函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于对称C. 关于对称D. 关于点对称【答案】D【解析】分析：设函数，则函数为奇函数，它的图象关于原点对称，而函数的图象可以由函数向上平移1个单位得到，由此得到结论.解析：设函数，则函数为奇函数，它的图象关于原点对称，而函数的图象可以由函数向上平移1个单位得到，故函数的图象关于点对称.故选：D.点睛：①对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．②所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．6．对某高三学生在连续次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到散点图，下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）34①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高②该同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过分 ③该同学的数学成绩与考试次号具有线性相关性，且为正相关A. 个B. 个C. 个D. 个 【答案】D【解析】试题分析：根据散点图可知该同学的成绩随着考试次数成正相关关系，所以①③均正确；第一次的成绩在分一下，第九次的成绩在分以上，所以②正确，故选C.考点：散点图与相关性分析. 7．已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】,又8．函数在的图像大致为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：，排除A；当时，，，，，，排除B，C．故选D．考点：函数图像与性质9．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以三角形为等腰三角形，因此到直线的距离等于底边上的高线长，从而因此又所以该双曲线的渐近线方程为.考点：双曲线的渐近线10．已知函数，，若与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：设，则，推导出，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围.解析：函数，，与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，56设，则，，，，由得.，时，，是减函数；时，，是增函数；时，；时，；时，；，，实数k 的取值范围是.故选：D.点睛：(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．11．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线于相交于、两点，若，则（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】视频12．若在曲线（或）上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线（或）的自公切线，下列方程的曲线：①②③④存在自公切线的是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】分析：通过画出函数图象，观察其图象是否满足在其图象上是否存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，从而得到结论.解析：为等轴双曲线，不存在自公切线，故①不存在；函数的一条自公切线为y=5，故②存在；函数的图象如下左图显然满足要求，故③存在；对于方程，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故④不存在.故选：C.点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及新定义自公切线，题目比较新颖，解题的关键是理解新的定义，同时考查了数形结合得思想.7第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．据下面的列联表计算出__________．（用分数表示）【答案】 .【解析】分析：直接代入公式即可.解析：.故答案为：.点睛：解决独立性检验应用问题的方法解决一般的独立性检验问题，首先由所给2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后根据统计量K2的计算公式确定K2的值，最后根据所求值确定有多大的把握判定两个变量有关联．14．、是椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点使得则离心率范围__________．【答案】.【解析】分析：由椭圆定义可得，解得，由题意可得，解不等式求得离心率e的取值范围.解析：设点P的横坐标为x，89，则由椭圆定义可得，，由题意可得，.故答案为：.点睛：椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0<e <1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．15．若函数在单调递增，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】在上恒成立，即：，，令只需 ，则，则a 的取值范围是.16．下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为，则__________．【答案】.【解析】分析：根据的几个数值，归纳出的表达式.解析：由题意有；；；；……，即：.；；；…….将上面个式子相加，得：，又，10..故答案为：300.点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．三、解答题17．（1）已知，求证：（2）设是公比为的等比数列且，证明数列不是等比数列.【答案】(1)提示：移项，然后分析法.(2)提示：反证法.【解析】分析：（1）要证，只需证明：，两边平方，化简可得.（2）使用反证法即可证明.解析：（1）要证，只需证明：，只需证明：，只需证明：，只需证明：，只需证明：，显然成立.时，.（2）用反证法：设是公比为的等比数列，数列是等比数列.①当存在，使得成立时，列不是等比数列.②当，使得成立时，则，化为.，，，故矛盾.综上两种情况，假设不成立，故原结论成立.点睛：1.综合法与分析法应用的注意点(1)综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写，这一点在立体几何中应用最为明显．同时，在数列、三角函数、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题．(2)对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证．2. 用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾．(3)否定反设，得出原命题结论成立．18．有对样本数据呈现线性关系，且知，，，，但经过再检验发现第个数据是异常数据，所以需要删除.（1）试用线性回归方法，求删除第个数据后拟合曲线的表达式；（2）根据（1）的表达式，求的最小值.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）计算回归系数，写出；（2）表示出，令，所以，求导即可.所以，解析：（1），，∴，.（2），令，所以，，，，，所以点睛：本题考查了统计知识与数据处理能力的应用问题.19．已知抛物线，直线截抛物线所得弦长为.（1）求抛物线的方程；（2）在直线上任取点作抛物线切线，切点为，，求证：直线过定点.【答案】(1) .(2)见解析.【解析】分析：（1）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式即可；（2）设,，联立直线与双曲线方程，再利用导数的几何意义即可求出答案.解析：（1）联立. ∴（2）过点，理由如下：设,，直线联立得到得到，即为则在处切线为令得到在处切线为令得到依题得到化简得到所以所以所以直线恒过点睛：定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．20．甲方是一农场，乙方是一工厂。
2017-2018学年福建省厦门市高二(下)期末数学试卷及答案(文科)
2017-2018学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i是虚数单位，复数＝（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i2．（5分）某同学做了如下推理：“对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）在定义域内单调递增，y＝log0.5x是对数函数，因此y＝log0.5x在定义域内单调递增．”（）A．该结论错误，因为大前提错误B．该结论错误，因为小前提错误C．该结论错误，因为推理形式错误D．该结论正确3．（5分）已知函数f（x）＝x+e x，则f'（0）＝（）A．0B．1C．2D．e4．（5分）设p：x＞0，q：2x＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为8，则a为（）A．B．2C．D．46．（5分）函数f（x）＝x2sin x的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）观察下列等式：，，，，……计算：的值为（）A．37B．45C．55D．668．（5分）已知函数f（x）＝x（x﹣m）2在x＝﹣1处有极小值，则实数m的值为（）A．3B．1C．﹣1D．﹣39．（5分）已知命题p：，sin x＜x；命题q：∃x0∈（0，+∞），．则下列命题正确的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∨￢q 10．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣a）e x在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，8]C．[3，+∞）D．[8，+∞）11．（5分）抛物线C1：y2＝4x的焦点，圆C2：，过C1焦点的直线l与C1，C2有四个交点，按纵坐标从大到小依次记为A，C，D，B，则|AC|+|BD|的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．[4，+∞）12．（5分）当x∈（0，+∞）时，（ax﹣lnx）（ax﹣e x）≤0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．C．[1，e]D．[e，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）写出命题“∀x∈R，2x+1＞0”的否定：．14．（5分）如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2+i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则|z1+z2|＝．15．（5分）已知函数，则函数g（x）＝f（x）﹣2的零点个数为．16．（5分）已知双曲线E：的右焦点为F，过点F的直线交E 的右支于A，B两点，点C与点A关于原点对称．CF⊥AB，|CF|＝|BF|，则E的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数在x＝1处的切线方程为．（1）求实数a和b的值；（2）求函数f（x）在[0，3]上的最大值和最小值．18．（12分）为推动更多人阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”．近年来，随着新媒体的迅猛发展，知识传播的途径增多，人们的阅读方式从传统阅读向数字阅读转变．为了解不同年龄段成年居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了100名成年居民，结果显示有75人的主要阅读方式是数字阅读，25人的主要阅读方式是传统阅读．该小组将调查结果绘制成如图所示的等高条形图．（1）根据已知条件与等高条形图，完成2×2列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为成年居民的主要阅读方式与年龄段有关系？参考公式：（其中n＝a+b+c+d）．临界值表：19．（12分）已知抛物线C：y2＝4x的顶点为O，焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B 两点．（1）当l与x轴垂直时，求△AOB的面积；（2）若线段AB的垂直平分线过点P（5，0），求直线l的方程．20．（12分）随着时代的发展，移动支付给人们的生活带来了极大的变化和便捷．据统计，如图是某市2013年至2017年各年移动支付普及率y（移动支付使用人数占总人口数的比重）与年份x的折线图．例如，2013年，该市移动支付普及率为0.415．（1）记年份代码t＝x﹣2010，由折线图可知，可用线性回归模型模拟y与t的关系，求y与t的相关系数（精确到0.001）；（2）建立y关于年份代码t的线性回归方程，并预测2018年该市移动支付普及率．参考公式：线性回归方程中，，．相关系数．参考数据：，，，．21．（12分）已知椭圆E：的焦距为2，点在E上．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知圆O：，直线l：y＝kx+m与圆O相切，交E于A，B两点，求|AB|的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：＝．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．【考点】F5：演绎推理．【解答】解：根据题意，由对数函数的性质：当a＞1时，对数函数y＝log a x在（0，+∞）上是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y＝log a x在（0，+∞）上是减函数，故推理的大前提是错误的；而小前提正确，故选：A．【点评】本题考查演绎推理的应用，关键是掌握演绎推理的形式．3．【考点】63：导数的运算．【解答】解：函数f（x）＝x+e x，则f'（x）＝1+e x，则f'（0）＝1+1＝2，故选：C．【点评】本题考查了导数的运算，属于基础题．4．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：∵p：x＞0，q：2x＞2，即x＞1，∴q⇒p，但p不能推导出q，∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：由椭圆C：的焦点在x轴上，则椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a．∴△ABF2的周长＝|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝8＝4a．解得a＝2．故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：由于函数f（x）＝x2sin x是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B和D；又函数过点（π，0），可以排除A，所以只有C符合．故选：C．【点评】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x轴的交点，属于基础题．7．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：由已知中等式：，，，，……归纳可得：等式左边都是从1开始，连续n个正整数的立方和的算术平方根，右边都是从1开始，连续n个正整数的和的形式．故＝1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45故选：B．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．8．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：函数f（x）＝x（x﹣m）2，∴f′（x）＝3x2﹣4mx+m2，又f（x）＝x（x﹣m）2在x＝﹣1处有极值，∴f′（﹣1）＝3+4m+m2＝0，解得m＝﹣1或m＝﹣3，又函数f（x）在x＝﹣1处有极小值，∴m＝﹣3，如图所示；当m＝﹣1时，函数f（x）＝x（x﹣m）2在x＝﹣1处有极大值．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，是基础题．9．【考点】2E：复合命题及其真假．【解答】解：命题p：，sin x＜x为真命题，当x＝时，x2﹣x＜0，∴命题q：∃x0∈（0，+∞），为真命题．∴p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢p∨￢q为假命题．故选：A．【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．10．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：f（x）＝（x2﹣a）e x，则f′（x）＝2xe x+（x2﹣a）e x＝e x（x2+2x﹣a），由函数f（x）＝（x2﹣a）e x在区间[1，2]上单调递增，可得e x（x2+2x﹣a）≥0在[1，2]上恒成立，即x2+2x﹣a≥0在[1，2]上恒成立，也就是a≤x2+2x在[1，2]上恒成立，函数y＝x2+2x在[1，2]上为增函数，最小值为3．∴a≤3．则a的取值范围是（﹣∞，3]．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．11．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【解答】解：抛物线C1：y2＝4x的焦点F为（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆C2：的圆心为F（1，0），半径为r＝，则|AC|+|BD|＝|AF|﹣|CF|+|BF|﹣|DF|＝|AF|+|BF|﹣2r＝|AB|﹣1，由AB经过抛物线的焦点，可得当AB垂直于x轴时，弦长AB取得最小值为2p＝4，则|AC|+|BD|＝|AB|﹣1≥4﹣1＝3，故选：C．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用圆方程和抛物线的焦点弦的性质，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．12．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：当x∈（0，+∞）时，（ax﹣lnx）（ax﹣e x）≤0，∴，或，化为：，或≤a≤．令f（x）＝，g（x）＝，x∈（0，+∞）时，则f′（x）＝，可得函数f（x）在（0，e）内单调递增，在（e，+∞）内单调递减，因此x＝e时，函数f（x）取得极大值，f（e）＝．g′（x）＝，可得函数g（x）在x＝1时，函数g（x）取得极小值，即最小值，g（1）＝e．则实数a的取值范围是：≤a≤e，或∅．综上可得：实数a的取值范围是：．故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【考点】2J：命题的否定．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，2x+1≤0，故答案为：∃x∈R，2x+1≤0【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．14．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数的模．【解答】解：由题意可设z2＝a+bi（a＜0，b＞0），则，解得a＝﹣1，b＝2．∴z2＝﹣1+2i，∴z1+z2＝（2+i）+（﹣1+2i）＝1+3i．∴|z1+z2|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．15．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：根据题意，函数，g（x）＝f（x）﹣2＝0，即f（x）＝2，当x≤0时，f（x）＝x2+2x＝2，解可得x＝﹣1+，x＝﹣1﹣，﹣1﹣是函数g（x）的1个零点；当x＞0时，f（x）＝x﹣lnx＝2，令y＝x﹣lnx﹣2，可得y′＝1﹣，x∈（0，1）时y′＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞）时，y′＞0，函数是增函数，x＝1时，y＝﹣1是函数的最小值，此时函数有2个零点．故答案为：3．【点评】本题考查函数的零点，函数与方程的应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．16．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形F AF′C为平行四边形，CF⊥AB，|CF|＝|BF|，可得四边形F AF'C为矩形，设|AF|＝m，|BF|＝n，|BF|'＝2a+n，|CF|＝n，|AF′|＝|CF|＝2a+m，且AF′⊥AB，由|AF'|＝|CF|，可得2a+m＝n，①，在直角三角形ABF'中，可得（2a+n）2＝（2a+m）2+（m+n）2，②联立①②可得m＝a，n＝3a，在直角三角形AFF'中，可得m2+n2＝4c2，即4c2＝10a2，则e＝＝，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）由函数，得f′（x）＝x2+2ax﹣b，∵f′（1）＝﹣3，f（1）＝+a﹣b+4＝﹣3+，∴，解得：；（2）由（1）可知，f（x）＝﹣4x+4得f'（x）＝x2﹣4，令f'（x）＝0，得x＝﹣2，或x＝2．当x＜﹣2或x＞2时，f'（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上是增函数，在（﹣2，2）上是减函数，∴f（x）在x＝﹣2处取得极大值，并且极大值为f（﹣2）＝，在x＝2处取得极小值，并且极小值为f（2）＝﹣．f（x）在[0，3]上，当x＝2时，f（x）有极小值﹣，又∵f（0）＝4，f（3）＝1，∴函数f（x）在[0，3]上的最大值是4，最小值是﹣【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，确定函数的单调性是关键．18．【考点】BL：独立性检验．【解答】解：（1）根据已知条件与等高条形图，完成2×2列联表；（2）由表中数据，计算K2＝＝4＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为成年居民的主要阅读方式与年龄段有关系．【点评】本题考查2×2列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：（1）抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为F（1，0），当过点F的直线l与x轴垂直时，AB为抛物线的通径，|AB|＝4，∴；（2）如图，由题意可知，AB所在直线的斜率存在且不为0，设AB：y＝k（x﹣1），联立，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴AB的中点坐标为（，），则AB的垂直平分线方程为y﹣，取y＝0，可得，即k＝±1．∴直线l的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．【点评】本题是直线与抛物线的综合题，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．20．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵＝≈≈0.948，∵0.948＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）＝＝0.032，＝0.5﹣5×0.032＝0.34∴y关于t的回归方程，2018年对应的t值为8，故＝0.032×8+0.34＝0.596预测2018年该市移动支付普及率为59.6%【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心21．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（1）∵椭圆E：的焦距为2，点在E上．∴，解得b＝1，a＝，∴椭圆E的标准方程为＝1；（2）圆O：，直线l：y＝kx+m与圆O相切，交E于A，B两点，∴圆心（0，0）到直线的距离d＝＝，∴k2+1＝2m2，联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．∵直线l：y＝kx+m与圆O相切，交E于A，B两点，∴△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝＝•＝2•，可令1+2k2＝t（t≥1），则k2＝，可得|AB|＝＝＝，由t≥1，可得0＜≤1，可得|AB|∈（，2]．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d＝r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（1）a＝2时，f（x）＝x2﹣x﹣lnx，（x＞0）．f′（x）＝2x﹣1﹣＝．可得x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）f′（x）＝ax﹣（a﹣1）﹣＝（x＞0）．①a≥0时，令f′（x）＝0，可得x＝1．∴x＝1时，函数f（x）取得极小值，令f（1）＝﹣a+1＜0，解得a＞2．又x→0+，f（x）→+∞．x→+∞时，f（x）→+∞．∴f（x）恰有两个零点，满足题意．②a＜0时，f′（x）＝．a＝﹣1时，f′（x）＝≤0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，最多有一个零点，不符合题意，舍去．a＜0且a≠﹣1时，可得函数f（x）有三个零点，舍去．综上可得：a≥0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
【全国市级联考Word】福建省厦门市2017-2018学年高二下学期期末质量检测数学(文)试题(无答案)
厦门市2017-2018学年度第二学期高二年级质量检测文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，复数52i=+（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -2.某同学做了如下推理：“对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）在定义域内单调递增，0.5log y x =是对数函数，因此0.5log y x =在定义域内单调递增.”（ ）A ．该结论错误，因为大前提错误B ．该结论错误，因为小前提错误C ．该结论错误，因为推理形式错误D ．该结论正确 3.已知函数()xf x x e =+，则'(0)f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．e 4.设p ：0x >，q ：22x >，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.椭圆C ：2221(1)x y a a+=>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为8，则a 为（ ）A B ．2 C ． D ．4 6.函数2sin y x x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 7.观察下列等式：1=3=6=10=，……的值为（ ）A ．37B ．45C ．55D ．668.已知函数2()()f x x x m =-在1x =-处有极小值，则实数m 的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．-1 D ．-3 9.已知命题p ：(0,)2x π∀∈，sin x x <；命题q ：0(0,)x ∃∈+∞，2000x x -<.则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∨⌝10.已知函数2()()xf x x a e =-在区间[1,2]上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．(,8]-∞ C ．[3,)+∞ D ．[8,)+∞ 11.抛物线1C ：24y x =的焦点，圆2C ：221(1)4x y -+=，过1C 焦点的直线l 与1C ，2C 有四个交点，按纵坐标从大到小依次记为A ，C ，D ，B ，则AC BD +的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．[3,)+∞ D ．[4,)+∞ 12.当(0,)x ∈+∞时，(ln )()0xax x ax e --≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．1[,]e eC ．[1,]eD ．[,)e +∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.写出命题“x R ∀∈，210x+>”的否定： ．14.如图，在复平面内，向量OA 对应的复数12z i =+，OA 绕点O 逆时针旋转90︒后对应的复数为2z ，则1z +15.已知函数2ln ,0()2,0x x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为 ．16.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线交E 的右支于A ，B 两点，点C 与点A 关于原点对称.CF AB ⊥，CF BF =，则E 的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数321()43f x x ax bx =+-+在1x =处的切线方程为1033y x =-+. （1）求实数a 和b 的值；（2）求函数()f x 在[0,3]上的最大值和最小值.18.为推动更多人阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”.近年来，随着新媒体的迅猛发展，知识传播的途径增多，人们的阅读方式从传统阅读向数字阅读转变.为了解不同年龄段成年居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了100名成年居民，结果显示有75人的主要阅读方式是数字阅读，25人的主要阅读方式是传统阅读.该小组将调查结果绘制成如图所示的等高条形图.（1）根据已知条件与等高条形图，完成22⨯列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为成年居民的主要阅读方式与年龄段有关系？参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.临界值表：19.已知抛物线C ：24y x =的顶点为O ，焦点为F ，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点. （1）当l 与x 轴垂直时，求AOB ∆的面积；（2）若线段AB 的垂直平分线过点(5,0)P ，求直线l 的方程.20.随着时代的发展，移动支付给人们的生活带来了极大的变化和便捷.据统计，如图是某市2013年至2017年各年移动支付普及率y （移动支付使用人数占总人口数的比重）与年份x 的折线图.例如，2013年，该市移动支付普及率为0.415.（1）记年份代码2010t x =-，由折线图可知，可用线性回归模型模拟y 与t 的关系，求y 与t 的相关系数（精确到0.001）；（2）建立y 关于年份代码t 的线性回归方程，并预测2018年该市移动支付普及率.参考公式：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.相关系数r =.参考数据：512.5ii y==∑，5112.82i i it y ==∑，521()0.0114i i y y =-=∑0.3376≈.21.已知椭圆E：22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，点M ⎛ ⎝在E 上. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）已知圆O ：2212x y +=，直线l ：y kx m =+与圆O 相切，交E 于A ，B 两点，求AB 的取值范围.22.已知函数2()(1)ln 2a f x x a x x =---. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 恰有两个零点，求实数a 的取值范围.。
2017_2018学年高二数学6月月考试题文
厦门外国语学校2017-2018学年第二学期第二次月考考试高二文科数学试题注意事项：1. 本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前请在答题卷内填写学校、班级、 学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．3.可能用到的公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑， 12221()(ˆ1)nniii ii y yy R y ===---∑∑22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++ 独立性检验概率表第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）1. 已知复数1232,2z i z i =+=-，则12z z ⋅的虚部为 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2．用反证法证明命题：“若，则函数至少有一个零点”时，要做的假设是（ ） A. 函数没有零点B. 函数至多有一个零点 C. 函数至多有两个零点D. 函数恰好有一个零点 3. 下列求导数运算正确的是（ ） A.211()1x x x'+=+ B.2(cos )2sin x x x x '=- C.3(3)3log x x e '=D.21(log )ln 2x x '=4.中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为.纵式： 横式：1 2 3 4 5 6 7 8 91-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则数列1,3,9,27…的第七项可用算筹表示为（ ） A.B.C.D.5. 条件甲：“00>>b a 且”，条件乙：“方程122=-by a x 表示双曲线”，那么甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.设命题：，，命题：，，则下列命题中是真命题的是() A. B. C. D.7. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表,则下列结论正确的是 （ ）(A)在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” (B)在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” (C)有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” (D)有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”8.已知抛物线2:8C y x P =上一点，1:2l x =-直线，2:35300l x y -+=，则P 到这两条直线的距离之和的最小值为（ ）A. 2B. 9.定义在R 上的函数()f x 满足：，则不等式的解集为 A.()0,+∞ B.()(),03,-∞⋃+∞C.()(),00,-∞⋃+∞D.()3,+∞（ ） 10.已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A. B. C. D.11.设椭圆 的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若△PEF 2的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D.12. 已知函数2()ln xf x e x x =++与函数2()2xg x e x ax -=+-的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A ．(,]e -∞-B ．1(,]e-∞-C ．(,1]-∞-D ．1(,]2-∞-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 命题1sin ,:≤∈∀x R x p 的否定是.14. 已知复数对应复平面上的点(1,1)-，复数满足122z z =-，则22z i +=15．函数()bx ax x x f --=233，其中b a ,为实数.()x f 在区间[]2,1-上为减函数，且a b 9=，则的取值范围16. 若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点满足以OP 为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c π（其中为坐标原点，为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．）。
福建省厦门市2017-2018学年高二下学期期末质量检测理科数学试题含解析
【解析】分析：将 化为 含 由 展开式中的 ， 常数项与 中展开式中的常数项， 分别对应相乘得到.分别求出相应的系数，对应相乘再相加即可.
详解：将 化为 含 由 展开式中的 ， 常数项与 中展开式中的常数项， 分别对应相乘得到. 展开式的通项为 ， 常数项的系数分别为
展开式的通项为 常数项， 的系数分别为
故选C.
点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
7. 已知 ， ， ，则 （ ）
A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9
【答案】D
【解析】分析：根据随机变量 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得 ．
详解：由题意 ，
第二阶梯电量
第三阶梯电量
月用电量范围（单位： ）
从本市随机抽取了100户，统计了今年6月份的用电量，这100户中用电量为第一阶梯的有20户，第二阶梯的有60户，第三阶梯的有20户.
（1）现从这100户中任意选取2户，求至少1户用电量为第二阶梯的概率；
（2）以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户， 表示用电量为第二阶梯的户数，求 的概率分布列和数学期望.
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参照附表，所得结论正确的是（ ）
A. 有 以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”
B. 有 以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”
福建省厦门双十中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷【含答案】
厦门双十中学2025届高二（下）第二次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（）A ．2±B ．±C ．±D ．8±2．若随机变量()2~3,2X N ，随机变量1(3)2Y X =-，则()1()1E Y D Y +=+（）A ．0B ．12C ．45D ．23．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A ．6种B ．3种C ．20种D ．12种4．已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m α⊥、//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥C ．若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则()|P B A =（）A ．14B ．13C ．16D ．1126．已知n S 等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0.91ln1.1,,e a b c ===）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．c a b<<8．如图，在ABC 中，120BAC ∠= ，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =.延长BA 至点E .使得BC BE =，连接CE .设以,C E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,C E两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是（）A．∞⎫+⎪⎪⎣⎭B．∞⎫+⎪⎪⎝⎭C ．[)1,+∞D ．()1,∞+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C的短轴长为C ．C 的离心率为32D ．2ABF △的周长为810．已知321()2313f x x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．若方程()f x a =有三个实数根，则71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 的通项公式为143n na =-，其前n 项和为n S ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与数列{}14nn n a a +的前n 项和分别为n R ，n T ，则（）A ．114n n a a +<B ．存在n ，使得13n T >C ．4339n S <D ．265n R n n≥-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项的系数为．13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，若341a a +=，6247S S =，则12S =.14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表面积之和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，高为4，点M ，N 分别在线段PC ，AB 上，且2AN NB =，4PC PM =，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMN ；(2)求直线AC 与平面DMN 所成角的正弦值．16．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为20202318-年全球新能源汽车的销售量情况统计.年份201820192020202120222023年份编号x 123456销售量y /百万辆2.022.213.136.7010.8014.14若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)求变量y 与x 的样本相关系数r (结果精确到0.01)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb ay bx x x xnx ====--- ===---∑∑∑∑，样本相关系数()()nnii ii xx y y x ynx yr--- =∑∑参考数据：66211181.30,11.2i i i i i x y y ====≈≈∑∑.17．设函数()()24ln 42f x x ax a x =-+-，a ∈R(1)讨论()f x 的单调性．(2)若函数()f x 存在极值，对任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得()()()()21021f x f x f x x x '-=-（ⅰ）证明不等式212121ln ln 2x x x x x x ->-+．（ⅱ）判断并证明122x x +与0x 的大小．18．已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，A ，B ，C 为E 上不重合的三点.(1)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++ 的值；(2)过A ，B 两点分别作E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，过A ，B 两点分别作1l ，2l 的垂线3l ，4l ，3l 与4l 相交于点M .（i ）若AB 4=，求ABD △面积的最大值；（ii ）若直线AB 过点()1,0，求点M 的轨迹方程.19．设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n niM a a a a a i n i =∈≤≤∈N L ，从集合nM中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．(1)求3M 中(),2d A B =的点对的个数；(2)从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）1．B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆22:10C x y mx +++=，即222124m m x y ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以22π(1)ππ4m S r ==-=，解得m =±故选：B.2．B【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=，就可以求出结果.【详解】由()2~3,2X N 可知：()3,()4E X D X ==，又因为1(3)2Y X =-，所以()131333()()0222222E Y E X E X =-=-=-=，()131()(1224D Y D X D X =-==，则()1011()1112E Y D Y ++==++，故选：B.3．A【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有23A 326=⨯=种坐法.故选：A.4．D【分析】对于A ，可过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，即可判断；对于B ，由线面垂直的性质即可判断；对于C ，由条件，可得m β⊥，又m α⊥，则//αβ，即可判断；对于D ，要考虑n 可能在平面α内，即可判断．【详解】对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，当m α⊥，//m n ，由线面垂直的性质可得n α⊥，故B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n ⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误．故选：D ．5．B【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.6．B【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.【详解】当等差数列{}n a 为常数列时，此时n n S na =，满足前者，但是此时“{}n a 不是递减数列”，故充分性不成立；当{}n a 是递减数列，则对n *∀∈N ，1n n a a +<，()()1122n n n n n n a a n a a S na na +--=-=，当1n =时，0n n S na -=，当2n ≥时，1n a a >，0n n S na ->，所以对n *∀∈N ，n n S na ≥，则反推成立，故必要性成立，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的必要而不充分条件.故选：B.7．C【分析】初步判断三个数值都在0到1之间，常规方法不好处理，可考虑结合导数放缩来比较,a b 大小，设()()ln 1f x x x =--，()()e 1xg x x =-+，求出()f x '在()1,2的单调性，()g x '在()1,0-的单调性，可判断,a b 与0.1的大小；0.91,b c e ==断0.9e 大小，判断,b c ，进而得解.【详解】设()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-，当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单减，故()()()1.1ln1.1 1.1110f f =--<=，即ln1.10.1<；设()()e 1x g x x =-+，()e 1xg x '=-，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，所以()()0.90g g ->，即()()0.900e0.9101e ---+>-+=，即0.90.1e ->；1120.10.10.1c =>=，故a最小，0.91,b c e ==()100.99319683e <=，10510100000==，因为19683100000<，所以()10100.993e <<，所以0.9e<，0.91e >，所以b c a >>故选：C【点睛】本题考查由指对幂比大小，常规比大小步骤为：①结合指对幂函数单调性初步判断每个数值所在区间；②当两数值所在区间相同时，一般考虑引入中间量进一步比大小；③若常规方法不好处理时，常考虑构造函数法，结合导数放缩来进一步求解，此法难度较大，对学生基础能力要求较高，平常可积累一部分常见放缩公式，如1e 1ln x x x x x ≥+≥≥-≥等.8．D【分析】设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，设CF CD EG x ===，可得223CE x =+，结合椭圆和双曲线的定义可得12134e e x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦定理求得3x >，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，由切线长定理和BCE 的对称性，可设CF CD EG x ===.由1AD =，可得1,1AC x AE EG AG x =+=-=-.在ACE △中，由余弦定理，()()2222(1)(1)211cos603CE x x x x x =++--+-=+ .于是根据椭圆和双曲线的定义，221222313224CE CE CE x e e x AC AE AC AE AC AE x x +⎛⎫=⋅===+ ⎪+--⋅⎝⎭.接下来确定x 的取值范围.设BF BG y ==，在ABC 中， 1.1,AC x AB y BC x y --=+=+，于是由余弦定理，()()222()(1)(1)211cos120x y x y x y +=+++-++，整理得()330xy x y -+-=，于是()3103x y x +=>-，故3x >，又因为3y x x =+在()3,∞+内单调递增，可知33341y x x =+>+=，可得121314e e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以12e e 的取值范围是()1,∞+.故选：D.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．9．ABD【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b ma m==+⎝⎭，进而可求解2,1a b c===，即可根据选项逐一求解.【详解】由于12π3F AF∠=，所以12π6F AO OAF∠=∠=,故11πcos cos62AO bF AOAF a∠=====，因此222221b ma m==+⎝⎭，故23m=，所以椭圆22:143x yC+=，2,1a b c===对于A，焦距为22c=，故A正确，对于B，短轴长为2b=B正确，对于C，离心率为12cea==，C错误，对于D，2ABF△的周长为48a=，D正确，故选：ABD10．BC【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D.【详解】2()43f x x x'=-+，令()0f x'<解得13x<<，令()0f x'>解得1x<或3x>，所以()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，因为13(1)03f -=-<，极大值7(1)03f =>，且极小值1(3)0f =>，所以()f x 在(1,1)-有一个零点，共1个零点，A 错误；由A 知，函数有1,3两个极值点，故B 正确；由A 知，函数()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，且x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以方程()f x a =有三个实数根，需(3)(1)f a f <<，即71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为(3)1f =，所以点(3,1)在函数图象上，又点(3,1)关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，而13(1)3f -=-，即111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()f x 图象上的点，故函数()f x 不关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据1191144434n n n a a ++-<-=即可求解A ，根据裂项求和即可求解B ，根据放缩法即可求解C ，根据作差求解数列单调性即可求解D.【详解】对A ，由143n n a =-可得11143n n a ++=-，所以()11111111994343114344414343443443n nn n n n n nn a a ++++++----====-<----，故A 正确，对B ，()()414441143,33143n n nn n R n n a --=-∴=-=--，()()11141114343434343n nn n n n n n a a +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以12231111111111111113434334343343433433n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,故B 错误，对C ，由于3n ≥时，1111449433n n n -->>⇒-，故111131114311443n n n n a --=<=-，所以221221111314111414214344111131113444134439393914n n n n S a a a --⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=+++<++⨯=+-<+<+= ⎪⎝⎭-()()()222441441653656233n n n R n n n nn nn ----=--+=-+,对D ，记()()()()()1222144144144162,61216233n n n n n n P nn P P n n n n ++----=-+-=-++++-，故114124n n n P P n ++-=--，根据指数幂的性质可知14124n n +≥+，当且仅当1n =取等号，故11141240n n n n n P P n P P +++-=--≥⇒≥，只有1n =取等号，故143210n n P P P P P P ->>>>≥=,故D 正确，故选：ACD 12．118-【分析】由()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出()512x +展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()5525221121212x x x x x +⋅-++=+，其中()512x +展开式的通项为()155C 22C rrr r r r T x x +==⋅（{}0,1,2,3,4,5r Î），所以251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 的项为()215533355521C 2C (2)2C (2)118x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅-⋅=-，所以含3x 的项的系数为118-．故答案为：118-13．6316【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得1q ≠，由6247S S =，可得()()6211417111a q a q qq--=--，解得212q =，又341a a +=，即22121a q a q +=，所以122a a +=，同理5612a a +=，7814a a +=，91018a a +=，1112116a a +=，因为12123456789101112S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以12111163212481616S =+++++=.故答案为：631614．43π##43π9π【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】设正四面体的棱长为x ，高为h ，底面圆半径为r ，则2sin 60xr ︒=，得r =，又h x ，所以正四面体的体积为2111···sin 60332A BCD BCD V S h x ︒-=== ，解得x =如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE =，AE DE ===过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==，解得1R =，所以最大球的体积为344ππ33R =，且1OM OF ==，则413AO =-=，1sin 3OM EAF AO ∠==，设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故答案为：4π3；9π【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.15．(1)证明见解析【分析】(1)构造面面平行，再证线面平行.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角的正弦.【详解】（1）在线段CD 上取点F ，使得2CF DF =，连接EF 、BF ，如图：因为4PC PM =，E 为PC 的中点，所以2CE ME =，所以//EF DM ，又EF ⊄平面DMN ，DM ⊂平面DMN ，所以//EF 平面DMN ，在平行四边形ABCD 中，因为2AN NB =，2CF DF =，所以DF NB =，且//DF NB ，所以四边形DFBN 是平行四边形，所以//DN FB ，又BF ⊄平面DMN ，DN ⊂平面DMN ，所以//BF 平面DMN ，又BF ，EF ⊂平面EFB ，且BF EF F ⋂=，所以平面//EFB 平面DMN ，又BF ⊂平面EFB ，所以//BE 平面DMN ．（2）连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，因为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，所以PO ⊥平面ABCD ，且OA OB ⊥，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线依次为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得：()A，()B，()C -，()0,D -，324M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，)N所以()AC =-，)DN =，324DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则·0·0DN n DM n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒323040x z ⎧-++=⎪+=，取5,1,4n ⎛=- ⎝⎭设直线AC 与平面DMN 的夹角为θ，则：·102cos ,17·AC n sin AC n AC nθ===16．(1)0.95.r ≈(2)ˆ 2.56 2.46yx =-，15.46百万辆【分析】（1）利用相关系数r 公式即可求解；（2）根据已知数据，利用公式先求出ˆb，进而求出ˆa ，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可.【详解】（1）因为1234563.56x +++++==，2.02 2.213.13 6.710.814.146.56y +++++==，所以6221496149162536617.54i i x x =-=+++++-⨯=∑，622216380.2316 6.5126.731ii yy =-=-⨯=∑，所以6644.80.95.4.211.2iix yxyr -==≈≈⨯∑（2）由题意得61621644.8ˆ 2.5617.56iii ii x yxybxx ==-===-∑∑，所以ˆˆ 6.5 3.5 2.56 2.46ay bx =-=-⨯=-，得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.56 2.46yx =-，所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为2.567 2.4615.46⨯-=百万辆.17．(1)()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1202x xx +>，证明见解析【分析】（1）求导得()()()1241f x ax x x'-=-+，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即只需证明()()21ln 11t t t t ->>+，从而构造函数即可得证；（ⅱ）同构作差法并结合（ⅰ）中结论即可得解.【详解】（1）()()()41242241f x ax a ax x x x'-=-+-=-+，0x >，若0a ≤，则()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，若0a >，由()0f x '=得2x a=，当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ¢>；当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >，()()()()()()22212121214ln ln 42f x f x x x a x x a x x -=---+--()()()()()212121214ln ln 42x x a x x x x a x x =--+-+--，由题设得()()()()()212102121214ln ln 42f x f x x x f x a x x a x x x x --==-+'+---，∵120x x <<，设21(1)x t t x =>，（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即证明()()21ln 11t t t t ->>+，设()()21ln 1t g t t t -=-+，（1t >），则()()()22221211(1)0(1)(1)t t t g t t t t t +---=-=+'>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+得证，（ⅱ）()1221128422x x f a x x a x x '+⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，()()2112210211221124ln ln ln ln 82402x x x x x x f x f x x x x x x x x '-⎛⎫+-⎛⎫-=-=-> ⎪ ⎪-+⎝'+-⎝⎭⎭，∴()1202x x f x f +⎛⎫> ⎪⎝'⎭'，∵()()424f x ax a x=-+-'在()0,∞+上是减函数，∴1202x x x +>.【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及到函数的单调性以及不等式证明问题，难点在于不等式的证明，解答时要注意根据所要证明的不等式的结构特征，构造恰当的函数，利用导数的单调性进行证明.18．(1)3(2)（i ）8；（ii ）224y x =-【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据向量的坐标运算即可得12332x x x ++=，再根据抛物线的定义即可得结论；（2）（i ）设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii ）利用直线相交、直线过定点即可得点M 的轨迹方程.【详解】（1）依题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由0FA FB FC ++= 得，1231110222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12332x x x ++=，由抛物线定义得，1231113222FA FB FC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .（2）（i ）显然，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y，由22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得：2220y my n --=，2480m n ∆=+>，122y y m ∴+=，122y y n =-.22y x =Q，则y =1y y=='∴，∴切线1l 的方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，同理，切线2l 的方程为2212y y x y =+，联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x n y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(),D n m -，则点D 到直线AB的距离为d =由4AB ===，化简得：22421m n m +=+，114822ABDS AB d ∴==⨯=≤ ，当且仅当0m =时取等号，ABD ∴ 面积的最大值为8.（ii ）若直线AB 过点()1,0，由（i ），可以设直线AB 的方程为1x my =+，122y y m ∴+=，122y y =-.∴直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得222,2,x m y m ⎧=+⎨=⎩消去m 得：224y x =-，∴点M 的轨迹方程为224y x =-.【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率.19．(1)12对(2)①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【详解】（1）当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.（2）①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n n n n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且10C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n nn n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
福建省厦门市第十中学高二数学下学期期中试题文(扫描版,无答案)(2021年整理)
福建省厦门市第十中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题文（扫描版，无答案）
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2023-2024学年福建省厦门市双十中学高二(下)第二次月考数学试卷(含答案)
2023-2024学年福建省厦门市双十中学高二（下）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆C ：x 2+y 2+mx +1=0的面积为π，则m =( )A. ±2B. ±22C. ±42D. ±82.若随机变量X ～N(3,22)，随机变量Y =12(X−3)，则E(Y)+1D(Y)+1=( )A. 0B. 12C. 45D. 23.甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有( )A. 6种B. 3种C. 20种D. 12种4.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )A. 若m ⊥α、n//α，则m ⊥n B. 若m ⊥α，m//n ，则n ⊥αC. 若m//n ，n ⊥β，m ⊥α，则α//βD. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α5.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=14，P(B)=13，P(A∪B)=12，则P(B|−A )=( )A. 14B. 13C. 16D. 1126.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则“S n ≥na n ”是“{a n }是递减数列”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.若a =ln1.1，b =1e 0.9，c =0.1，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. a <c <bD. c <a <b8.如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，其内切圆与AC 边相切于点D ，且AD =1.延长BA 至点E.使得BC =BE ，连接CE.设以C ，E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为e 1，以C ，E 两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A. [32,+∞) B. (32,+∞) C. [1,+∞) D. (1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。