【2019-2020】高中数学第三章三角恒等变换3-1同角三角函数的基本关系自我小测北师大版必修4
高中数学第3章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系课件北师大版必修4
B [∵sin A＋cos A＝23， ∴1＋2sin Acos A＝49， ∴sin Acos A＝－158<0， 又∵A∈(0，π)，sin A>0， ∴cos A<0，A 为钝角．故选 B.]
4．已知43ssiinn
θ－2cos θ＋5cos
θθ＝161，求下列各式的值．
5cos2θ (1)sin2θ＋2sin θcos
【例 3】 (1)化简 tan α· sin12α－1，其中 α 是第二象限角；
(2)求证：1s＋in22αsi－n αcocos2sαα＝ttaann
α＋1 α－1.
[思路探究] (1)先确定 sin α，cos α 的符号，结合平方关系和商
数关系化简．
(2)逆用平方关系结合 tan α＝csoins αα化简．
(3)变形形式 ①1＝sin2α＋cos2α； ②sin2α＝_1_－__co__s2_α_；cos2α＝_1_－__si_n_2_α_； ③sin α＝_±___1_－__c_o_s_2_α___；cos α＝_±___1_－__s_i_n_2α__； ④sin α＝cos αtan α； ⑤(sin α±cos α)2＝_1_±_2_s_i_n_α_c_o_s_α___.
2．已知角 α 的一个三角函数值，求 α 的其他两个三角函数值时， 要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．
3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧： (1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将 1 用“sin2α＋cos2α” 代替． (2)切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数． (3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件 适当变形找出与算式之间的关系.
第三章 三角恒等变形
高中数学第3章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系第2课时同角三角函数的基本关系二课件北师大版必修
高中数学第3章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系第2课时同角三角 函数的基本关系二课件北师大版学第3章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系第2 课时同角三角函数的基本关系二课件北师大版必修4
第三章 三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系 第一课时 同角三角函数的基本关
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
系(二)
基础知识点对点 课后拔高提能练
基础知识点对点
知识点一 三角函数式的化简
1.sin11－0°－2sin110－°csoins12100°°＝( A．1 C．2
)
B．－1 D．－2
解析：选 B 原式＝csions1100°°－－csoins1100°°＝－1.
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1 的值为( )
∴sinαcosα＝18.
4．已知 sinα＝ 55，则 sin4α－cos4α 的值为(
)
A．－15
B．－35
C．15
D．35
解析：选 B ∵sinα＝ 55，∴cos2α＝1－sin2α＝1－15＝45.
∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝ 552－45＝15－45＝－35.
A．1
B．2sin2α
C．0
D．2
解析：选 D 原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
知识点二 三角函数式的求值
3．若 α∈0，π2，且 sinα－cosα＝ 23，则 sinαcosα 的值为(
)
A．18
B．－18
C．14
D．－14
解析：选 A 由 sinα－cosα＝ 23，得 1－2sinαcosα＝34，
高中数学第3章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系课件北师大版必修4
A.13
B.-13
C.
5 3
D.-
5 3
解析:∵α 是第二象限角,∴cos α<0.
∴cos α=- 1-sin2������=- 1- 49=- 35.
答案:D
【做一做2】 若tan α=3,则sin αcos α=
.
解析:原式=sin
αcos
α=sinsi2n���������+���ccooss������2������
探究一
探究二
探究三
探究四
关于sin α和cos α的齐次式的求值
【例2】 已知tan α=3,求下列各式的值:
(1)34csoins������������+-54csoisn������������;(2)3ccooss22������������--s2isni2n���2���������.
又 θ∈(0,π),且 2sin θcos θ=-2245,
所以 sin θ>0,cos θ<0.从而 sin θ-cos θ=75.
又 sin θ+cos θ=15,
解得 sin θ=45,cos θ=-35,
故 tan θ=csoins������������=-43.
比如:asin2α+bsin αcos α+ccos2α
������sin2������+������sin������cos������+������cos2������
=
sin2������+cos2������
=
������tan2������+������tan������+������
tan2������+1 .
高中数学第三章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系教案北师大版
3.1 同角三角函数的基本关系整体设计教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵.同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin 24π+cos 24π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tan α中的α是使得tan α有意义的值,即α≠k π+2,k ∈Z . 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根.三维目标1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明.2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明.3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法.重点难点教学重点:课本的三个公式的推导及应用.教学难点:课本的三个公式的推导及应用.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值: (1)sin 290°+cos 290°;(2)sin 230°+cos 230°;(3) 60cos 60sin ;(4)135cos 135sin . 思路 2.(直接引入)同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一,它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中经常用到,那么怎样把初中学到的那两个关系推广到任意角呢?可引导学生利用三角函数定义,借助单位圆将锐角推广到任意角,由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受什么影响?图1如图1,以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM 2+MP 2=1.因此x 2+y 2=1,即sin 2α+cos 2α=1(等式1).显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当α≠k π+2π,k ∈Z 时,有ααcos sin =tan α(等式2). 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切,我们分别称它们为平方关系和商数关系.②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.讨论结果:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠k π+2π,k ∈Z. ②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用等式2求出正切.同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系,利用它可以使解题更方便,但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义;同时必须注意同角这一前提.应用示例例1 已知sin α=54,并且α是第二象限的角,求cos α,tan α的值. 活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α+cos 2α=1,故cos α的值最容易求得,在求cos α时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cos α的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=1-sin 2α=1-(54)2=259. 又因为α是第二象限角,所以cos α＜0.于是cos α=259-=-53,从而tan α=34)35(54cos sin -=-⨯=αα. 点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.应使学生清楚tan α=-34中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果.变式训练(2006上海,6)如果cos α=51,且α是第四象限角,那么cos(α+2π)=__________________. 解析:∵cos α=51,且α是第四象限的角, ∴sin α=22)51(1cos 1--=--α=-562. ∴cos(α+2π)=-sin α=562. 答案:562 例2 已知cos α=-178,求sin α,tan α的值. 活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.启发学生思考仅有cos α＜0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x 轴的负半轴上(这时cos α=-1).解:因为cos α＜0,且cos α≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么sin α= α2cos 1-=2)178(1--=1715,tan α=815)817(1715cos sin -=-⨯=αα, 如果α是第三象限角,那么sin α=-175,tan α=-34. 点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解.变式训练已知cos α=1312,求sin α和tan α. 解:因为cos α=1312＞0,且cos α≠1,所以α是第一或第四象限的角. 当α是第一象限角时,sin α＞0.sin α=135)1312(1cos 122=-=-α.tana=1251213135cos sin =⨯=αα. 当α是第四象限角时,sin α＜0.sin α=125cos sin tan ,135cos 12-==-=--αααα例3 已知tan α为非零实数,用tan α表示sin α、cos α.活动:这是本节课本上的例3,目的是让学生考虑全面.教师引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sin α或cos α的值.由tan α≠0,只能确定α的终边不在坐标轴上.关于sin α、cos α、tan α的关系式只有tan α=ααcos sin ,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cos α,进而求出sin α.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以sin 2α=1-cos 2α.又因为tan α=1cos 1cos cos 1cos sin tan ,cos sin 222222-=-==αααααααα所以 于是αααα2222tan 11cos ,tan 1cos 1+=+= 由tan α为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而cos α=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+，、，，、第三象限角为第二当第四象限角为第一当αααα22tan 11,tan 11 sin α=cos αtan α=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.tan 1tan tan 1tan 22第三象限角为第二当第四象限角为第一当、，，、，αααααα 点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次.变式训练已知cos α≠0,用cos α表示sin α、tan α.解:本题仿照上题可以比较顺利完成.sin α=⎪⎩⎪⎨⎧---，、第四象限角为第三当第二象限角为第一当αααα,cos 1,,,cos 122tan α=.cos cos 1cos cos 122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---第四象限角为第三当第二象限角为第一当、，，、，αααααα知能训练课本本节练习1 1、2、3、4.课堂小结1.由学生总结本节课对同角三角函数关系式的推广及应用.通过例题变式训练,我们知道可用它来求三角函数值或已知α的三角函数值中的一个,表示它的其他三角函数值.2.教师集中强调,同角三角函数关系式作为三角函数的基本关系,在高考中占有很重要的位置,应熟练掌握.要注意在应用平方关系时,其结果不唯一,注意根据角所在的象限来取舍或分类进行讨论.还必须注意“同角”这一前提，只有在这一前提下才能使用公式.3.注意公式的变形式的应用,如sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α,sin α=cos α·tan α,cos α=ααtan sin 等. 作业课本习题1—8 1-4.设计感想1.本教案设计思路很清晰,分为两步:第一步将初中的同角关系式推广到任意角,第二步是公式的应用.使学生初步了解同角三角函数关系式的作用及用法.2.本教案设计突出了同角关系式的地位,本节看似简单却作为全章的最后一节,其重要性不言而喻,这点应引起学生的注意,不是会背公式,会用公式就说明掌握了本节内容.3.本教案设计加强了解题步骤规范的要求,化简结果的简洁,分类讨论的取舍,象限角的判断等都对学生的综合能力有较高的要求,特别是象限角的判定等逻辑思维能力,需要有较高思维层次.第2课时导入新课思路1.(直接引入)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数间的必然联系.基本用途是可根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值;化简同角的三角函数式;证明同角的三角恒等式.本节课我们继续探究它的其他作用,由此展开新课.思路2.上节课我们知道应用同角三角函数的基本关系式需要注意角的象限,需要注意同角,那么对于复杂的三角恒等式的证明,以及复杂的三角函数式的化简应怎么办呢?下面我们一起先来探究三角恒等式的证明问题.推进新课应用示例例1 求证:x x x x cos sin 1sin 1cos +=-. 活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从等式一边到另一边的证法,等式右边的非零因式1+sin α,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos 2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos 2x=1-sin 2x,也就是sin 2x+cos 2x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程.这个过程往往从化简开始,因此在证明三角恒等式时,我们可以从最复杂处开始. 证法一:由cosx≠0,知sinx≠±1,所以1+sinx≠0,于是左边=x x xx x x x x x x x cos sin 1cos )sin 1cos(sin 1)sin 1(cos )sin 1)(sin 1()sin 1(cos 22+=+=-+=+-+=右边. 所以原式成立.证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin 2x=cos 2x=cosxcosx,且1-sinx≠0,cosx≠0,所以xx x x cos sin 1sin 1cos +=-. 教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你是否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a -b=0⇔a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.证法三:因为xx x x x x x x x x x x x x cos )sin 1()sin 1(cos cos )sin 1()sin 1)(sin 1(cos cos cos sin 1sin 1cos 22---=--+-=+-- =x x x x cos )sin 1(cos cos 22--=0,所以xx x x cos sin 1sin 1cos +=-. 点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.要证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立.变式训练求证:xx x x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 2122-+=-∙+. 分析一:从右端向左端变形,将切化为弦,以减少函数的种类.证明:右边=)sin )(cos sin (cos )sin (cos sin cos sin cos cos sin 1cos sin 12x x x x x x x x x x x x x x+-+=-+=-+=x x x x 22sin cos cos sin 21-∙+=左边. 分析二:由1+2sinx·cosx 立即联想到(sinx+cosx)2,这是公式的逆用.证明:左边=x x x x x x x x x x x x x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin sin cos cos sin 2cos sin 22222-+=-++=-∙++ =xx tan 1tan 1-+=右边. 例2 化简 440sin 12-.活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于︒80cos ＞0,因此︒80cos 2=｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.解:原式=︒-=︒+︒-80sin 1)80360(sin 122=︒80cos 2=cos80°.点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值.变式训练化简: 40cos 40sin 21-.答案:cos40°-sin40°.点评:提醒学生注意:1±2sin αcos α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2,这是一个很重要的结论. 3.化简:θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+-. 活动:在研究三角函数的性质时往往先将已知函数化简成一类最简形式,再作下一步讨论.化简的原则是灵活运用公式,保持等价转化.解:因为cos θ≠0,所以,原式=θθθθcos sin cos sin + =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≤<++<<+-+≤<++<<.22232,0,2322,tan 2,222,0,222,tan 2ππθππππθππθππθππππθπθk k k k k k k k 当当当当(k ∈Z ). 点评:三角函数式的化简结果应满足①函数种类尽可能地少;②次数尽可能地低;③尽可能地不含分母;④尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.总思路是:尽可能地化为同类函数再化简.知能训练课本本节练习2 1、2课堂小结由学生回顾本节所学的知识方法:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值. 教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法.作业1.化简(1+tan 2α)cos 2α.2.已知tan α=2,求ααααcos sin cos sin -+的值. 答案:1.1 2.3设计感想本教案注重了公式的正用、逆用及变形用,加强了一题多解.对可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,可按下列情形分别处理:(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果;(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨论得到结果.本教案设计注重了学生思维能力的训练.三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识的复习.证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法一般有以下三种:(1)依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁到简的原则.(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.(3)依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.教材上在运用这一方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以使证明的思路更清晰一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可),证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性质.使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通过“切化弦”使两边的三角函数相同.备课资料备用习题1.已知sin α=54,且2π＜α＜π,则tan α的值等于( ) A.-34 B.-43 C.43 D.43 2.若sin θ-cos θ=2,则sin θ·cos θ=_______,tan θ+θtan 1=______________,sin 3θ-cos 3θ=_______________,sin 4θ+cos 4θ=_____________.3.若a≠0,且sinx+siny=a,cosx+cosy=a,则sinx+cosx=_______________.4.已知tan α=21-,求下列各式的值: (1)ααααcos sin sin cos 2+-;(2)2sin 2α+sin α·cos α-3cos 2α.5.已知tan 2α=2tan 2β+1,求证:sin 2β+1=2sin 2α.参考答案: 1.A 2.-21 -2 22 213.a4.解:(1)原式=51)21()21(21tan tan 2=+---=+-αα.(2)原式=1tan 3tan tan 2cos sin cos 3cos sin sin 2222222+-+=+-∙+ααααααααα5121)21(321)21(222-=+----=5.证明:由已知有1+tan 2α=2tan 2β+2=2(1+tan 2β), ∴1+ββαα2222cos sin 1(2cos sin +=).∴2cos 2α=cos 2β.∴2(1-sin 2α)=1-sin 2β.∴sin 2β+1=2sin 2α.。
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。
在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。
本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。
一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。
通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。
2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。
3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。
二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。
1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系学案(含解析)北师大版必修4-北师大版
第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二 关于sin α，cos α齐次式的求值 【例2】 已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】 可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α， 故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三 含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】 欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】 将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四 化简三角函数式【例4】 化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法 化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五 证明三角函数式【例5】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】 法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立． 规律方法 证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边． 等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】 在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值． 【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】 由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1， 化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0， 解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125， 当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：因为sin α＋cos α＝－13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19， 所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式． 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)． 解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。
2019-2020年高中数学 第三章《三角恒等变换》教学设计 新人教A版必修4
2019-2020年高中数学第三章《三角恒等变换》教学设计新人教A版必修4【教学目标】进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：新授课阶段1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等.5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，==tan （450+300）等.例1 知),2(,61)4sin()4sin(ππ∈α=α-πα+π，求sin4α的值． 解：∵61)4sin()4sin(=α-πα+π ∴31)4cos()4sin(2=α+πα+π∴ ∴cos2α = 又∵ ∴2α∈ (π, 2π)∴sin2α = 322)31(12cos 122-=--=α-- ∴sin4α = 2sin2αcos2α =例2 已知θ是三角形中的一个最小的内角，且12sin 2cos 2sin 2cos 2222+=θ-θ-θ+θa a a ，求a 的取值范围． 解：原式变形：1)2sin 2(cos )2sin 2(cos 2222+=θ-θ-θ-θa a即，显然 （若，则 0 = 2） ∴ 又∵，∴ 即： 解之得：例3 求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值． 证：)3cos(cos )]23cos(1[21)2cos 1(21α+πα+α-π--α-=原式)sin 3sin cos 3(cos cos ]2cos )23[cos(21απ-απα+α-α-π=211(cos cos 2sin sin 2cos 2)cos sin 23322ππαααααα=+-+-1111cos 22cos 2(1cos 2)24244ααααα=+-++-= ∴)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值与α无关 例4 已知331cos 2sin 2cos(), , 45221tan πππααααα-++=≤<-求的值．解：由得解方程组223sin 225sin cos 1αααα-=⎪⎨⎪+=⎩得sin 10cos 10αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 310cos 0 22cos 10αππααα⎧=-⎪⎪≤<∴≤∴⎨⎪=-⎪⎩ 21cos 2sin22sin 2sin cos 1tan 1tan ααααααα-++∴=--22(2(281010101775⨯+⨯==--例5 求值：02210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-．解：原式=0020*******sin 21140cos 140sin 140sin 140cos 3⋅- 16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 41200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(0000002000200000=-=-=⋅⋅-=⋅-+-=例6 ．已知函数1)4()cos x f x xπ-=. （Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值． 解：（Ⅰ）由 得，故在定义域为（Ⅱ）因为，且是第四象限的角, 所以故1)4()cos f πααα-=12(sin 22)22cos ααα--=.例7 已知sin （－x ）=，0＜x ＜，求的值.分析：角之间的关系：（－x ）+（+x ）=及－2x =2（－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（－x ）+（+x ）=，∴cos（+x ）=sin （－x ）.又cos2x =sin （－2x ）=sin2（－x ）=2sin （－x ）cos （－x ）， ∴=2cos（－x ）=2×=.例8 求证:(sin cos 1)(sin cos 1)tan sin 22x x x x x x +--+=解：原式=22(sin 12sin 1)(sin 12sin 1)22sin 2x xx x x+---++ =22(2sin cos 2sin )(2sin cos 2sin )2222224sin cos cos 22x x x x x x x xx-+ =(cos sin )(cos sin )sin 22222cos cos 2x x x x x x x-+⋅ =x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（=x x x x cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan.例9 已知，，都是锐角，求 的值. 解：由得3sin 2α=1－2sin 2β=cos2β.由得sin2β=sin2α.∴cos（α+2β）=cos αcos2β－sin αsin2β =3cos αsin 2α－sin α·sin2α=0.∵α、β∈（0，），∴α+2β∈（0，）. ∴α+2β=. 课堂小结三角恒等式的证明方法有：从等式一边推导变形到另一边，一般是化繁为简. 等式两边同时变形成同一个式子.将式子变形后再证明. 作业 见同步练习 拓展提升 1．若，则等于 （A ） （B ） （C ） （D ）2．函数y=sin2x+sinx,x 的值域是( ) (A)［-,］ (B) ［］ (C) ［-,］ (D)［］3．已知x ∈（－，0），cos x =，则tan2x 等于 （ ） A.B.－C.D.－4．已知tan=,则的值为（ ） A ．B ．-C ．D ．-5．．，则 ． 6．已知，若，则． 若 , 则．7．若,则的值为_______．8．已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A 求 的值．9． ()41,cos ,tan , cos .53αβααββ=-=-已知、为锐角求的值10．设函数()cos 2cos ()f x x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ． （1） 求M ，T ；（2） 若有10个互不相等的正数满足M ，且（i=1,2,…10）， 求…的值.参考答案 1．C2．B 提示：用二倍角公式及两角和与差的正弦或余弦公式3．D 4．A 提示：222sin 2sin cos1cos sin 222tan 1cos sin 22cos 2sin cos 222θθθθθθθθθθθ+-+==+++ 5．． 提示：由已知得，22sin 2cos 22sin cos cos sin αααααα+=+-2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 7sin cos tan 15ααααααααα+-+-===-++ 6． 提示：2(sin cos )12sin cos θθθθ-=-= 当0,sin cos 4πθθθ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭时，当,sin cos 42ππθθθ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭时, 7． 提示：去分母后两边平方可得 8 解：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 9 解：43,cos , sin .55ααα=∴=是锐角.,22 π<β-α<π-∴βα为锐角、又 ()可求出,31tan -=-βα ()(),1010sin ,10103cos -=-=-βαβα()cos cos βααβ∴=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-10 解：（1）()cos 222sin(2)6f x x x x π=+=+（2）：，22,62i x k k Z πππ+=+∈故即 ，又是互不相等的正数且（i=1,2,…10）， 故 0，1，…9．所以…。
三角恒等变换
三角恒等变换三角恒等变换是指一系列等效的三角函数表达式之间的变换关系。
这些变换关系对于解决三角函数的各种问题非常有用。
本文将介绍三角恒等变换的基本概念、常见的恒等变换公式以及应用案例。
一、三角恒等变换的基本概念三角恒等变换是指将一个三角函数的表达式通过等效变换转化为另一个等价的表达式的过程。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
恒等变换意味着两个表达式在任何实数取值范围内都成立，即两个表达式所代表的函数图像完全一致。
二、常见的三角恒等变换公式1. 余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的平方与正弦函数平方的关系：cos^2θ + sin^2θ = 1。
- 余弦函数的两倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ。
- 余弦函数的和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
2. 正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的平方与余弦函数平方的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。
- 正弦函数的两倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ。
- 正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ。
3. 正切函数的恒等变换：- 正切函数的平方与余切函数平方的关系：tan^2θ + 1 = sec^2θ。
- 正切函数的两倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)。
- 正切函数的和差公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)。
4. 余切函数的恒等变换：- 余切函数的平方与正切函数平方的关系：cot^2θ + 1 = cosec^2θ。
- 余切函数的两倍角公式：c ot(2θ) = (cot^2θ - 1) / 2cotθ。
- 余切函数的和差公式：cot(α ± β) = (cotαcotβ ± 1) / (cotβ ± cotα)。
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【2019-2020】高中数学第三章三角恒等变换3-1同角三角函数的基本关系自我小测北师大版必修4
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3.1 同角三角函数的基本关系
1．若sin α＝m ，cos α＝3m ，则( )
A．m ∈[－1,1] B．m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33
，33 C．m ＝14 D．m ＝±12
2．已知cos θ＝35，且3π2
＜θ＜2π，那么tan θ的值是( ) A．43 B．－43 C．35 D．－34
3．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin2α－cos2α
的值是( ) A．13 B．3 C．－13
D．－3 4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α
的值为( ) A．－4 B．4 C．－8 D．8
5．1－sin210°＝( )
A．－sin 10° B．－cos 10°
C．sin 10° D．cos 10°
6．若sin x ＋sin 2x ＝1，则cos 2x ＋cos 4x ＝______.
7．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝__________.
8．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α的值． 9．已知A 是△ABC 的一个内角，且tan A ＝－54
，求sin A ，cos A 的值． 10．已知sin θ＋cos θ＝－105
， (1)求1sin θ＋1cos θ
的值； (2)求tan θ的值．
1．解析：由sin 2α＋cos 2α＝1，得m 2＋(3m )2＝1，
解得m ＝±12
. 答案：D
2．解析：由3π2
＜θ＜2π知sin θ＜0，且sin θ＝－1－cos2θ＝－45，故tan θ＝sin θcos θ＝－45
35
＝－43
. 答案：B
3．解析：原式＝sin2α＋2sin αcos α＋cos2αsin2α－cos2α
＝tan2α＋2tan α＋1tan2α－1＝－13. 答案：C
4．解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α
. ∵sin αcos α＝
1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋
1tan α
＝－8. 答案：C
5．解析：原式＝cos210°＝cos 10°.
答案：D
6．解析：∵sin x ＋sin 2x ＝1，
∴sin x ＝1－sin 2x ＝cos 2x ，
∴cos 2x ＋cos 4x ＝sin x ＋sin 2x ＝1.
答案：1
7．解析：∵a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，
∴3cos α－4sin α＝0.∴tan α＝34
.
答案：34
8．分析：由已知求cos α的值→讨论α所在的象限
→根据诱导公式求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α的值 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12
， ∴α为第一或第四象限角．
若α为第一象限角，
则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos2α ＝－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝－32. 若α为第四象限角，
则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos2α ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝32. 9．解：由tan A ＝－54，得A ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， 则sin A cos A ＝－54，即sin A ＝－54
cos A . 又∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝－44141
， ∴si n A ＝1－cos2A＝54141
. 10．解：(1)因为sin θ＋cos θ＝－
105， 所以1＋2sin θcos θ＝25
， 即sin θcos θ＝－310
，
所以
1
sin θ
＋
1
cos θ
＝
sin θ＋cos θ
sin θcos θ
＝
210
3
.
(2)由(1)得sin2θ＋cos2θ
sin θcos θ
＝－
10
3
，
所以tan2θ＋1
tan θ
＝－
10
3
，即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－1 3 .。