江苏省射阳县盘湾中学高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案苏教版必修4

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高中数学第1章三角函数1.3.1三角函数的周期性教案苏教版必修4(2021学年)

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江苏射阳县盘湾中学普通高中数学第章《三角函数》三角函数图象和性质()教学案苏教版

江苏省射阳县盘湾中学高中数学第1章《三角函数》三角函数图象和性质(1)教学案苏教版必修4教学目标：能借助正弦线画出正弦函数地图象，并能在此基础上由诱导公式画出余弦函数地图象.会用“五点法”画出正、余弦函数地图象.教学重点：正弦函数、余弦函数地图象教学难点：借助于正弦线画正弦函数图象教学过程：一、问题情境：一次函数图象是直线，二次函数图象是抛物线……正、余弦函数地图象又是怎样地呢？二、学生活动：探究：（1）作函数图象常用方法有哪些？（2）单位圆中，sin α=________；你能在单位圆中作出6π，3π，2π，23π地正弦线吗？（3）y=sinx 是以________为周期地周期函数，所以我们可以先研究正弦函数在[0，2π]上地图象.b5E2R 。

三、知识建构： 1、作出函数y=sinx ，x ∈[0，2π]上地图象：2、正弦函数y=sinx ，x ∈R 地图象：3、“五点法”作正弦函数地图象：4、余弦函数地图象：四、知识运用：例1、用“五点法”画出下列函数地图象（1）y=2sinx ，x ]2,0[π∈ （2）y=sin2x ，x ]2,0[π∈思考：（1）函数y=2sinx 与y=sinx 地图象之间有何联系？（2）函数y=sin2x 与y=sinx 地图象之间有何联系？例2、画出下列函数地简图(1)y = 1+sinx ， (2)y = - cosx p1Ean 。

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高中数学第一章第十一课时三角函数的周期性学案苏教版必修4

第十一课时三角函数的周期性教学目标：掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.教学重点：正、余弦函数的周期教学难点：函数的周期性教学过程：周期函数的定义：根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期正切函数是周期函数，且周期T ＝π课本P 25例1、例2一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)及y ＝A cos(ωx ＋ϕ)（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T ＝2πω ，函数y ＝A tan (ωx ＋ϕ)的周期T ＝πω周期函数应注意以下几点：1.式子f (x ＋T )＝f (x )对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x ，式子都成立.而不能是“一个x ”或 “某些个x ”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.例如：由于sin(π12 ＋5π6 )＝sin π12 ，即sin(x ＋5π6 )＝sin x .该式中x 取π12时等式成立，能否断定5π6 是sin x 的周期呢?不能，因对于其他一些x 值该式不一定成立.如x ＝π6时，sin(x ＋5π6)≠sin x . ［例］函数y ＝cos x (x ≠0)是周期函数吗?2.式子f (x ＋T )＝f (T )是对“x ”而言.例如，由cos( x 3 ＋2k π)＝cos x 3 (k ∈Z )，是否可以说cos x 3 的周期为2k π呢?3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)＝a(常数)，显然任何一个正数T都是f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f(x)＝a无最小正周期.4.设T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也一定是f(x)的周期，定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，不要误认为T一定是π的倍数.有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：［例1］函数y＝sinπx的周期是［例2］［例2］函数y＝tan2πx的周期是 .［例3］若对于函数y＝f(x)定义域内的任何x的值，都有f(x＋1)＝f(x)成立，则由周期函数的定义可知，函数y＝f(x)是周期函数，且T＝1是其周期.［例4］设f(x)定义在R上，并且对任意的x，有f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4).求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期.5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f(x)(如y＝log2x，y＝｜x｜，y＝2x，y＝x2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y＝x2(x∈R)在其定义域R内限制在(－1，1］，然后将y＝x2(－1＜x≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f(x)＝(x－2k)2(2k－1＜x≤2k＋1)，k∈Z，如图：［例］已知f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定义在R上的一个周期为2的函数g(x)，使x∈(－1，1］时，g(x)＝f(x).评述：(1)要判定f(x)是周期函数，自变量x必须取遍定义域内的每一个值.(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如.课堂练习：课本P27练习1～4课时小结：课后作业：课本P45 习题 1。

苏教版高中数学必修：三角函数的周期性

1.3.1 三角函数的周期性一、课题：三角函数的周期性二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。

三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。

四、教学过程：（一）引入：1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2正弦函数()sin f x x =性质如下：文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

（二）新课讲解：1．周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

【思考】（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+ ） 2．最小正周期的定义对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。

高中数学第一章三角函数1.4三角函数的周期性学案1无答案苏教版必修4word版本

三角函数的周期性使用时间【学习目标】1.从实例感知周期现象，理解周期函数的概念；2.理解最小正周期的概念，能熟练求出简单三角函数的周期；3.能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用。

【数学建构】1、周期的概念：一般地，对于函数f(x)，如果_____________________，使得定义域内的__________，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，_____________叫做这个函数的周期。

练习:（1），则函数的周期是___________；（2）若函数的周期为，请写出一个等式_______________。

2、最小正周期的概念：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有的周期中____________________，那么这个_____________就叫做f(x)的最小正周期。

3、三角函数的周期：函数的最小正周期为________; 函数的最小正周期为________;函数的最小正周期为________;4、一般地，函数及（其中、、为常数，且）的周期是_______________。

【典型例题】例1、若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示。

（1）求该函数的周期；（2）求t=10s时钟摆的高度。

例2、求函数f(x)=cos2x的周期。

【巩固练习】（1）函数的最小正周期是___________；（2）函数的最小正周期是___________；（3）函数的最小正周期是___________；（4）若函数的最小正周期是，求正数的值。

【课堂检测】1、写出下列函数的周期：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）2、已知，求证：是周期函数，并求出它的最小正周期。

【小结与反思】本节课你学会了哪些？（在你已经懂的知识点后面打“√”）1、周期和最小正周期的概念------------------------------------------------------（）2、会求单三角函数的周期---------------------------------------------------------（）。

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性教案苏教版

1．3.1 三角函数的周期性整体设计教学分析三角函数的周期性是在学习了三角函数的概念之后研究的，教材中，为学习三角函数的图象和性质提供了问题背景，因此，教学时要充分运用这些问题背景以突出本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题．周期函数的定义是教学中的一个难点．在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“自变量每增加或减少一个值，函数值就重复出现”等，逐步抽象出函数周期性的定义．教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期以及周期函数．因为在本节中，我们讨论的主题是三角函数的周期性，这一点更重要，在教学中不要对一般的周期函数作过多的讨论．三角函数的最小正周期是指三角函数所有周期中的最小正数．对于正弦函数、余弦函数的最小正周期是2π的结论，可以组织学生通过观察三角函数线的变化进行验证，进而通过本节“链接”中的内容了解其证明过程．不论是周期，还是最小正周期，都是对自变量x 而言的，是自变量x 的改变量．这一点正是解决例2的根据．教学时根据学生的实际，可以组织学生仿照例2推导出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的周期为2πω这一结论．三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物，并通过本节的学习，使学生进一步了解从特殊到一般的认识世界的科学方法，提高认识世界的能力和思维层次，为今后认识世界和探索世界打下坚实的基础．重点难点教学重点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法．教学难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生在理解周期性的基础上，进而理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．推进新课新知探究周期函数的定义由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π时，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx，cos(2π＋x)＝cosx.正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)．这又启发我们思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？教师在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f(x)，自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，k∈Z.这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2k π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：f(－x)＝－f(x)，那么f(x)叫做奇函数；f(－x)＝f(x)，那么f(x)叫做偶函数；f(x ＋T)＝f(x)，其中T 是非零常数，那么函数f(x)叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．正弦函数是周期函数，2k π(k∈Z 且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.由诱导公式易知，2π是正弦函数的一个周期，下面用反证法证明2π是它的最小正周期．假设0<T<2π，且T 是正弦函数的周期，则对任意实数x ，都有sin(x ＋T)＝sinx 成立．令x ＝0，得sinT ＝0，又0<T<2π，故T ＝π，从而对任意实数x ，都有sin(x ＋π)＝sinx 成立，与sin(π2＋π)≠sin π2矛盾，故正弦函数没有比2π小的正周期．由此可知，2π是正弦函数的最小正周期．学生一时可能难于理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举一些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f(x)＝c(c 为常数，x∈R )是周期函数，所有非零实数T 都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x 有f(x＋T)＝f(x)，那么T 就不是f(x)的周期．例如，分别取x 1＝2k π＋π4(k∈Z )，x 2＝π6，则由sin(2k π＋π4＋π2)＝sin(2k π＋π4)，sin(π6＋π2)≠sin π6，可知π2不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x 都有f(x ＋120°)＝f(x)，所以120°不是f(x)的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不惟一，例如2π，4π，6π，8π，…都是它的周期，有无穷多个，即2k π(k∈Z ，k≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T 是函数f(x)的周期，那么对于任意的k∈Z，k≠0，kT也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．示例应用例1见课本本节例1.例2判断函数f(x)＝2sin2x＋|cosx|，x∈R的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f(x＋T)＝f(x)成立的T的值．学生可能会很容易找出4π、2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，充分让学生自己讨论解决．解：因为f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cosx|＝f(x)，所以原函数是周期函数，最小正周期是π.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x 以x ＋π代替后看看函数值变不变．为此需将π，π2等都代入试一试．实际上，f(x)＝2sin 2x ＋|cosx|，x∈R 中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期．知能训练课本本节练习1～4.作业1．课本习题1.3 1.2．预习正弦函数、余弦函数的图象．设计感想1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题不管怎么做都难受．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．2．本节设计的特点是从形(单位圆)到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．备课资料一、关于周期函数与函数的周期周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论．下面对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，进行一些简单的扩展说明，以吸引有兴趣的学生对周期函数作进一步的探讨．1．性质：(1)若T(T≠0)是函数f(x)的周期，则－T 也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T －T)]＝f[x ＋(－T)]＝f(x)〕因而周期函数必定有正周期．(2)若T(T≠0)是f(x)的周期，则nT(n 为任意非零整数)也是f(x)的周期．(3)若T 1与T 2都是f(x)的周期，则T 1±T 2也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T 1±T 2)]＝f(x ＋T 1)＝f(x)〕(4)如果f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T 一定是T*的正整数倍．(5)周期函数f(x)的定义域M 必定是双方无界的集合，但M 并非必定是(－∞，＋∞)．2．周期函数的判定(1)若f(x)是在数集M 上以T*为最小正周期的周期函数，则kf(x)＋c(k≠0)和1分别是数集M 和数集{x|f(x)≠0}上的以T*为最小正周期的周期函数．(2)设f(u)是定义在数集M 上的函数，u ＝g(x)是数集M 1上的周期函数，且当x∈M 1时，g(x)∈M，则复合函数f[g(x)]是M 1上的周期函数．(3)设f 1(x)、f 2(x)都是集合M 上的周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，若T 1T 2∈Q ，则它们的和、差与积也是M 上的周期函数，T 1与T 2的公倍数为它们的周期．例如：f(x)＝sinx －2cos2x ＋sin4x 是以2π、π、π2的最小公倍数2π为周期的周期函数．3．非周期函数的判定(1)若f(x)的定义域有界，则f(x)不是周期函数．例如：f(x)＝cosx(x≤10)不是周期函数．(2)一般用反证法证明．例如：可证f(x)＝sinx 2是非周期函数；f(x)＝ax ＋b(a≠0)是非周期函数．(3)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T 在关系式f(x ＋T)＝f(x)中是与x 无关的，故讨论时可通过解关于T 的方程f(x ＋T)－f(x)＝0，若能解出与x 无关的非零常数T ，便可断定函数f(x)是周期函数，若这样的T 不存在，则f(x)为非周期函数．4．求周期函数的周期关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手．本节涉及的求周期的方法可概括为定义法、公式法，其他还有转化法、最小公倍数法、图象法等．二、备用习题1．求下列函数的周期：①y＝cos2x ；②y＝sin 23x ；③y＝12sin(14x －π3)；④y＝|sin 12x|. 2．已知函数y ＝2cos(π3－ωx)的周期是4π，求ω. 3．已知函数f(x)＝3sin(kx 5＋3)(k≠0)的最小正周期不大于1，则最小正整数k 的值为( )A ．33B ．32C ．31D ．304．下列函数中不是周期函数的是( )A ．y ＝－8πB ．y ＝|cosx|C ．y ＝1|sinx|D ．y ＝sin|x| 5．求证：y ＝cos2x ＋sin2x 的周期为π.6．求函数y ＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．参考答案：1.①π；②3π；③8π；④2π.2．ω＝±12. 3.B 4.D 5．证明：f(x ＋π)＝cos2(x ＋π)＋sin2(x ＋π)＝cos(2π＋2x)＋sin(2π＋2x)＝cos2x ＋sin2x ＝f(x)，∴y＝cos2x ＋sin2x 的周期是π.(一般不要求证明是最小正周期)6．解：函数y ＝|sinx|＋|cosx|的图象如图1所示，由图可知：函数的最小正周期为T ＝π2.图1。

江苏省射阳县盘湾中学高中数学第1章《三角函数》三角函数的诱导公式(2)教学案苏教版必修4

江苏省射阳县盘湾中学高中数学第1章《三角函数》三角函数的
诱导公式(2)教学案苏教版必修4
教学目标：理解正弦、余弦的诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并能正确利用诱导公式解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。

培养学生化归、转化的能力。

教学重点：理解并掌握诱导公式
教学难点：诱导公式的灵活应用
教学过程：
一、问题情境：
若α是Rt ABC 的一个锐角，则sin(
2πα-)=______,cos(2πα-)=_______. 问题：若α是任意角，结论还成立吗？
二、学生活动：
探究：对于任意给定的角α
1、若α与β的终边关于直线y=x 对称，
则sin α=________,cos α=_________.
2、角α与
2πα-终边关于___________对称。

所以，sin(
2πα-)=_____,cos(2πα-)=_____. 思考：sin(
2πα+)，cos(2πα+)与角α的正、余弦又有何关系？
三、知识建构：
1、公式5：
y x y=x P P ’ O M ’ M
2、公式6：
说明：
四、知识运用：
例1、求证：sin(3
2
πα
+)=-cosα, cos(
3
2
πα
+)=sinα
小结：
例2、已知cos(75°+α)=1
3
，且-180°<α<-90°，求cos(15°-α)的值。

高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案苏教版必修4

高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案苏教版必修4教学目标：了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。

教学重点：周期函数的定义，正弦、余弦、正切函数的周期性教学难点：周期函数的概念教学过程：一、问题情境：日出日落，寒来暑往……自然界中有许多按一定规律周而复始的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。

三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么这种周而复始的基本特征又体现在哪里呢？问题：单位圆中的三角函数线如何变化？二、学生活动：探究：1、sin(x+2π)=________, cos(x+2π)=_________.2、记f(x)=sinx，则有f(x+2π)=______________,如何用数学语言刻画？三、知识建构：1、正、余弦函数的周期性：2、周期函数：思考：（1）正、余弦函数的周期有多少个？（2）周期函数的图像具有什么特征？3、最小正周期：思考：正切函数是否为周期函数？若是，周期为多少？四、知识运用：例1、若钟摆的高度h( mm )与时间t( s )之间的函数关系如图所示：（1）求该函数的周期；（2）求t=10 s时钟摆的高度。

小结：例2、求下列函数的周期：（1）f( x )=cos2x （2）g( x )=2sin(1x 26π-)结论：一般地，函数y=Asin(x ωϕ+)及y=Acos(x ωϕ+)(其中A ，ω，ϕ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T=__________.练习：书P25 1-4五、回顾反思：知识：思想方法：六、作业布置：书P44 习题1.3 1。

高中数学第一章三角函数 1.3.1 三角函数的周期性学

1．3 三角函数的图象和性质 1．3.1 三角函数的周期性[学习目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx＋φ)的周期．[知识链接]1．观察单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔2π个单位重复出现其理论依据是什么？答诱导公式sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现．2．设f (x )＝sin x ，则sin(x ＋2k π)＝sin x 可以怎样表示？答 f (x ＋2k π)＝f (x )，这就是说：当自变量x 的值增加到x ＋2k π时，函数值重复出现． [预习导引] 1．函数的周期性(1)一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x 知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 3．y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.要点一求三角函数的周期例1 求下列函数的周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin 2x |(x ∈R )．解 (1)方法一令z ＝2x ＋π3， ∵x ∈R ，∴z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π.方法二 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为2π2＝π.(2)作出y ＝|sin 2x |的图象．由图象可知，y ＝|sin 2x |的周期为π2.规律方法 (1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x ”增加到“x ＋T ”时函数值重复出现，则可得T 是函数的一个周期．(2)常见三角函数周期的求法：①对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω≠0)的周期求法通常用公式T ＝2π|ω|来求解．②对于形如y ＝|A sin ωx |(或y ＝|A cos ωx |)的周期情况常结合图象法来解决．跟踪演练1 求下列函数的最小正周期．(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝sin 12x ；(3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 解 (1)定义法：令u ＝2x ，则cos 2x ＝cos u 是周期函数，且最小正周期为2π. ∴cos(u ＋2π)＝cos u ，则cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，即cos[2(x ＋π)]＝cos 2x . ∴cos 2x 的最小正周期为π. 公式法：∵ω＝2，∴T ＝2π|ω|＝π，故y ＝cos 2x 的最小正周期为π.(2)如果令u ＝12x ，则sin 12x ＝sin u 是周期函数，且最小正周期为2π.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π＝sin x 2，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＝sin 12x . ∴y ＝sin 12x 的最小正周期是4π.(3)∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6，即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.要点二三角函数周期性的应用例2 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．解 ∵f (x )的最小正周期是π， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝32.规律方法解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内．跟踪演练2 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值．解因f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的最小正周期是________．答案 π2．已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________. 答案 10解析 T ＝2πω＝π5⇒ω＝10.3．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝________. 答案－2解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期函数， 3就是它的一个周期，且f (－x )＝－f (x )． ∴f (8)＝f (2＋2×3)＝f (2)＝f (－1＋3) ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.4．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 答案－15解析由已知f (x ＋4)＝1fx ＋2＝f (x )， ∴f (x )是周期为4的函数．∵f (5)＝f (1)＝－5，于是f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f－1＋2＝1f 1＝－15.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.一、基础达标1．函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是________．答案 π解析最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝____________________________________ ____________________________________. 答案 ±3 解析2π|ω|＝2π3，∴|ω|＝3，∴ω＝±3. 3．函数f (x )＝cos π6x ，则f (2 016)＝________.答案 1解析 f (x )＝cos π6x 的周期T ＝2ππ6＝12.∴f (2 016)＝f (167×12＋12)＝f (12)＝cos 126π＝cos 2π＝1.4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．答案 π解析 T ＝2π2＝π.5．已知函数f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________．答案 7 解析由已知2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 3≤3，∴|k |≥2π，而k >0，∴k ≥2π，正整数k 的最小值是7.6．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．答案 6解析由已知T ＝2π|ω|，∴1<2π|ω|<3，而ω>0，∴2π3<ω<2π.又ω∈N *，∴ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.7．若函数f (x )＝sin n π6(n ∈Z )，求f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (102)的值．解 ∵sinn π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫n π6＋2π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋12π6(n ∈Z )，∴f (n )＝f (n ＋12)，即函数f (x )的周期T ＝12. ∵97＝12×8＋1,102＝12×8＋6， ∴f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＋sin 5π6＋sin 6π6＝12＋32＋1＋32＋12＋0＝2＋ 3. 二、能力提升8．已知奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，且f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案－2解析 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在x ＝0有定义，∴f (0)＝0，f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.∵f (2)＝f (－2)＝－f (2)，∴f (2)＝0. ∴f (2)＋f (3)＋f (4)＝0＋(－2)＋0＝－2. 9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝1f x，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则f (7.5)＝________. 答案22解析 ∵f (x ＋1)＝1f x，∴f (x ＋2)＝f (x )，f (7.5)＝f (8－0.5)＝f (－0.5)＝1f 0.5，又x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则f (－0.5)＝2－0.5＝22. 10．已知函数f (x )对于任意x ∈R 满足条件f (x ＋3)＝1fx ，且f (1)＝12，则f (2 014)＝________. 答案 2解析因为f (x ＋6)＝1fx ＋3＝f (x )，所以函数f (x )的周期为6，故f (2 014)＝f (4)＝1f 1＝2. 11．设f (x )是定义在R 上且最小正周期为32π的函数，在某一周期上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x <0，sin x 0≤x <π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值．解 ∵f (x )的周期为3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3×3π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π. ∵0<34π<π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝sin 34π＝sin π4＝22，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝22. 12．已知函数f (x )＝log 12|sin x |.(1)求其定义域和值域；(2)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期．解 (1)∵|sin x |>0， ∴sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z . ∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }． ∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0，∴函数的值域为{y |y ≥0}． (2)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)|＝log 12|sin x |＝f (x )，∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π. 三、探究与创新13．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f x(f (x )≠0)．(1)求证：函数f (x )是周期函数． (2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f(x＋4)＝－1f x＋2＝－1－1f x＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)解∵4是f(x)的一个周期．∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝－1f－1＋2＝－1f1＝15.。

高中数学第一章三角函数1.6三角函数的周期性学案苏教版必修4(2021年整理)

高中数学第一章三角函数1.6 三角函数的周期性学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.6 三角函数的周期性学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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三角函数的周期性知识点课标要求题型说明三角函数的周期性1。

理解周期函数的定义；2. 知道正弦函数、余弦函数的最小正周期；3。

会求函数y＝sin（ωx＋φ)和y＝cos（ωx＋φ）的周期。

填空解答高考必考周期性是三角型函数的重要性质,也是我们在所学的基本初等函数中唯一具备这一特性的函数。

在解答题中往往出现在第1步，较为简单.客观题往往与图象等结合考查.二、重难点提示重点：求函数的周期、利用周期求函数值。

难点:对定义的理解及定义的简单应用。

一、周期函数的定义一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.【要点诠释】函数周期性的理解：①定义应对定义域中的每一个x值来说,只有个别的x值满足f（x＋T）＝f(x）或不满足，都不能说T是f(x）的周期。

②从f(x＋T）＝f（x)来看，应强调是自变量x本身加的常数才是周期，如f（2x＋T）＝f（2x)中，T不是周期，而应写成(2)2()(2)2Tf x T f x f x⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦,则2T是f（x）的周期。

③对于一个周期函数()f x,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x的最小正周期。

高中数学第1章(三角函数)三角函数的应用教学案苏教版必修4 教学案

某某省射阳县盘湾中学高中数学第1章《三角函数》三角函数的应用教学案苏教版必修4教学目标：会用三角函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。

注重渗透化归与转化的数学思想。

教学重点：三角函数模型的建立教学难点：三角函数模型的建立教学过程：一、问题情境：现实生活中有许多周期运动的现象，你能举一些例子吗？三角函数能够模拟许多周期现象，下面我们就研究三角函数在实际生活问题中的应用问题：如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.（1）求物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）之间的函数关系；（2）求物体在t=5s时的位置.二、学生活动：合作解决上述问题：三、知识建构：应用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：四、知识运用：例2、一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.（1）将点P距离水面的高度z (m) 表示为时间t（s）的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？例3、（P43案例）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，考近船坞；卸货后落潮时返回海洋. 下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值.练习：书P44 1、2、3、4五、回顾反思：知识：思想方法：六、作业布置：书P46 10、11。

江苏省射阳县高中数学第1章三角函数 1.4 三角函数应用活动单苏教版必修4

三角函数应用
【学习目标】1．会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期现象的重要模型.
2．培养学生分析问题的能力和解决问题的能力.
【重难点】建立三角函数模型
1、弹簧挂着的小球作上、下振动, 它在时间t(s)内离开平衡位置(就是静止平衡位置)的距离h(cm)由下列函数关系式决定: h=3sin(2t+4
π) . (1)以t 为横坐标, h 为纵坐标作出函数的图象 (0≤t≤π)
(2)求小球开始振动的位置;
(3)求小球上升到最高点和下降到最低点的位置;
(4)经过多少时间, 小球往返振动一次?
(5)每秒钟内小球能否往返振动一次?
2、一半径为3m 的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1.5m ，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现（图中点0P ）开始计算时间。

（1）将点P 距离水面的高度z （m ）表示为时间t(s)的函数；
（2）点P 第一次到达最高点大约要多长时间？
3、如图（教材P45.12）摩天轮的半径为40m,点O距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处。

（1）试确定在时刻t(min)时点P距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？
P。

2019-2020年高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案苏教版必修4

2019-2020年高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案苏教版必修4教学目标：了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。

三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么这种周而复始的基本特征又体现在哪里呢？问题：单位圆中的三角函数线如何变化？二、学生活动：探究：1、sin(x+2)=________, cos(x+2)=_________.2、记f(x)=sinx，则有f(x+2)=______________,如何用数学语言刻画？三、知识建构：1、正、余弦函数的周期性：2、周期函数：思考：（1）正、余弦函数的周期有多少个？（2）周期函数的图像具有什么特征？3、最小正周期：思考：正切函数是否为周期函数？若是，周期为多少？四、知识运用：例1、若钟摆的高度h( mm )与时间t( s )之间的函数关系如图所示：（1）求该函数的周期；（2）求t=10 s时钟摆的高度。

小结：例2、求下列函数的周期：（1）f( x )=cos2x （2）g( x )=2sin()结论：一般地，函数y=Asin()及y=Acos()(其中A，，为常数，且A≠0，>0)的周期T=__________.练习：书P25 1-4五、回顾反思：知识：思想方法：六、作业布置：书P44 习题1.3 12019-2020年高中数学第1章《三角函数》三角函数的应用教学案苏教版必修4教学目标：会用三角函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。

注重渗透化归与转化的数学思想。

教学重点：三角函数模型的建立教学难点：三角函数模型的建立教学过程：一、问题情境：现实生活中有许多周期运动的现象，你能举一些例子吗？三角函数能够模拟许多周期现象，下面我们就研究三角函数在实际生活问题中的应用问题：如图，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.（1）求物体对平衡位置的位移x （cm ）和时间t （s ）之间的函数关系；（2）求物体在t=5s时的位置.二、学生活动：合作解决上述问题：三、知识建构：应用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：四、知识运用：例2、一半径为3m 的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点P 0）开始计算时间.（1）将点P 距离水面的高度z (m) 表示为时间t （s ）的函数；（2）点P 第一次到达最高点大约要多长时间？例3、（P43案例）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，考近船坞；卸货后落潮时返回海洋. 下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值.练习：书P44 1、2、3、4五、回顾反思：知识：思想方法：六、作业布置：书P46 10、11。

高中数学第1章三角函数 1.3.1 三角函数的周期性教学

1．3.1 三角函数的周期性整体设计教学分析三角函数的周期性是在学习了三角函数的概念之后研究的，教材中，为学习三角函数的图象和性质提供了问题背景，因此，教学时要充分运用这些问题背景以突出本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题．周期函数的定义是教学中的一个难点．在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“自变量每增加或减少一个值，函数值就重复出现”等，逐步抽象出函数周期性的定义．教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期以及周期函数．因为在本节中，我们讨论的主题是三角函数的周期性，这一点更重要，在教学中不要对一般的周期函数作过多的讨论．三角函数的最小正周期是指三角函数所有周期中的最小正数．对于正弦函数、余弦函数的最小正周期是2π的结论，可以组织学生通过观察三角函数线的变化进行验证，进而通过本节“链接”中的内容了解其证明过程．不论是周期，还是最小正周期，都是对自变量x 而言的，是自变量x 的改变量．这一点正是解决例2的根据．教学时根据学生的实际，可以组织学生仿照例2推导出函数y ＝Asin(ωx＋φ)的周期为2πω这一结论．三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物，并通过本节的学习，使学生进一步了解从特殊到一般的认识世界的科学方法，提高认识世界的能力和思维层次，为今后认识世界和探索世界打下坚实的基础．重点难点教学重点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法．教学难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生在理解周期性的基础上，进而理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．推进新课新知探究周期函数的定义由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π时，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx，cos(2π＋x)＝cosx.正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)．这又启发我们思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？教师在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f(x)，自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，k∈Z.这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：f(－x)＝－f(x)，那么f(x)叫做奇函数；f(－x)＝f(x)，那么f(x)叫做偶函数；f(x ＋T)＝f(x)，其中T 是非零常数，那么函数f(x)叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.由诱导公式易知，2π是正弦函数的一个周期，下面用反证法证明2π是它的最小正周期．假设0<T<2π，且T 是正弦函数的周期，则对任意实数x ，都有sin(x ＋T)＝sinx 成立．令x ＝0，得sinT ＝0，又0<T<2π，故T ＝π，从而对任意实数x ，都有sin(x ＋π)＝sinx 成立，与sin(π2＋π)≠sin π2矛盾，故正弦函数没有比2π小的正周期．由此可知，2π是正弦函数的最小正周期．学生一时可能难于理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举一些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f(x)＝c(c 为常数，x∈R )是周期函数，所有非零实数T 都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x 有f(x＋T)＝f(x)，那么T 就不是f(x)的周期．例如，分别取x 1＝2kπ＋π4(k∈Z )，x 2＝π6，则由sin(2kπ＋π4＋π2)＝sin(2kπ＋π4)，sin(π6＋π2)≠sin π6，可知π2不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x 都有f(x ＋120°)＝f(x)，所以120°不是f(x)的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不惟一，例如2π，4π，6π，8π，…都是它的周期，有无穷多个，即2kπ(k∈Z ，k≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T 是函数f(x)的周期，那么对于任意的k∈Z ，k≠0，kT 也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．示例应用例1见课本本节例1.例2判断函数f(x)＝2sin2x＋|cosx|，x∈R的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f(x＋T)＝f(x)成立的T的值．学生可能会很容易找出4π、2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，充分让学生自己讨论解决．解：因为f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cosx|＝f(x)，所以原函数是周期函数，最小正周期是π.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x以x＋π代替后看看函数值变不变．为此需将π，π2等都代入试一试．实际上，f(x)＝2sin 2x ＋|cosx|，x∈R 中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期．知能训练课本本节练习1～4.作业1．课本习题1.3 1.2．预习正弦函数、余弦函数的图象．设计感想1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题不管怎么做都难受．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．2．本节设计的特点是从形(单位圆)到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．备课资料一、关于周期函数与函数的周期周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论．下面对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，进行一些简单的扩展说明，以吸引有兴趣的学生对周期函数作进一步的探讨．1．性质：(1)若T(T≠0)是函数f(x)的周期，则－T 也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T －T)]＝f[x ＋(－T)]＝f(x)〕因而周期函数必定有正周期．(2)若T(T≠0)是f(x)的周期，则nT(n 为任意非零整数)也是f(x)的周期．(3)若T 1与T 2都是f(x)的周期，则T 1±T 2也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T 1±T 2)]＝f(x ＋T 1)＝f(x)〕(4)如果f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T 一定是T*的正整数倍．(5)周期函数f(x)的定义域M 必定是双方无界的集合，但M 并非必定是(－∞，＋∞)．2．周期函数的判定(1)若f(x)是在数集M 上以T*为最小正周期的周期函数，则kf(x)＋c(k≠0)和1f x分别是数集M 和数集{x|f(x)≠0}上的以T*为最小正周期的周期函数．(2)设f(u)是定义在数集M 上的函数，u ＝g(x)是数集M 1上的周期函数，且当x∈M 1时，g(x)∈M，则复合函数f[g(x)]是M 1上的周期函数．(3)设f 1(x)、f 2(x)都是集合M 上的周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，若T 1T 2∈Q ，则它们的和、差与积也是M 上的周期函数，T 1与T 2的公倍数为它们的周期．例如：f(x)＝sinx －2cos2x ＋sin4x 是以2π、π、π2的最小公倍数2π为周期的周期函数．3．非周期函数的判定(1)若f(x)的定义域有界，则f(x)不是周期函数．例如：f(x)＝cosx(x≤10)不是周期函数．(2)一般用反证法证明．例如：可证f(x)＝sinx 2是非周期函数；f(x)＝ax ＋b(a≠0)是非周期函数．(3)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T 在关系式f(x ＋T)＝f(x)中是与x 无关的，故讨论时可通过解关于T 的方程f(x ＋T)－f(x)＝0，若能解出与x 无关的非零常数T ，便可断定函数f(x)是周期函数，若这样的T 不存在，则f(x)为非周期函数．4．求周期函数的周期关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手．本节涉及的求周期的方法可概括为定义法、公式法，其他还有转化法、最小公倍数法、图象法等．二、备用习题1．求下列函数的周期：①y＝cos2x ；②y＝sin 23x ；③y＝12sin(14x －π3)；④y＝|sin 12x|. 2．已知函数y ＝2cos(π3－ωx)的周期是4π，求ω. 3．已知函数f(x)＝3sin(kx 5＋3)(k≠0)的最小正周期不大于1，则最小正整数k 的值为( )A ．33B ．32C ．31D ．304．下列函数中不是周期函数的是( )A ．y ＝－8π B．y ＝|cosx|C ．y ＝1|sinx|D ．y ＝sin|x| 5．求证：y ＝cos2x ＋sin2x 的周期为π.6．求函数y ＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．参考答案：1.①π；②3π；③8π；④2π.2．ω＝±12. 3.B 4.D 5．证明：f(x ＋π)＝cos2(x ＋π)＋sin2(x ＋π)＝cos(2π＋2x)＋sin(2π＋2x)＝cos2x ＋sin2x ＝f(x)，∴y＝cos2x ＋sin2x 的周期是π.(一般不要求证明是最小正周期)6．解：函数y ＝|sinx|＋|cosx|的图象如图1所示，由图可知：函数的最小正周期为T ＝π2.图1。

江苏省射阳县盘湾中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案 苏教版必修4