中考数学冲刺：观察、归纳型问题--知识讲解(提高)

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浙教版初中数学初三62中考冲刺：观察、归纳型问题(基础)

中考冲刺：观察、归纳型问题(基础)一、选择题1. 用边长为1的正方形覆盖3×3的正方形网格，最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( )A．2 B．4 C．5 D．62．求1＋2＋22＋23＋...＋22012的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋...＋22012，则2S＝2＋22＋23＋24＋...＋22013，因此，2S－S＝22013－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋ (52012)值为( )A．52012－1 B．52013－1 C. D.3.（2016•冷水江市三模）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是（）A．（2016，0） B．（2017，1） C．（2017，﹣1） D．（2018，0）二、填空题4．（2015•盘锦四模）已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2015C2015，则点C2015的坐标是______．5．（2016•天门）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1（3，0），A3（1，0），A5（4，0），A7（0，0），A9（5，0），依据图形所反映的规律，则A100的坐标为______．6. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n 的面积为S n，则S n=___________.（用含n的式子表示）三、解答题7．观察下列等式：……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝______＝______；(2)用含有n的代数式表示第n个等式：a n＝______＝______(n为正整数)；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．8. 如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n．（1）将方程组1的解填入表中．（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入表中；9. 如图所示，是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图①倒置后与原图拼成图②的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为…．＞2.【答案】C；【解析】设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52 012，则5S＝5＋52＋53＋54＋…＋52 013.因此，5S－S＝52 013－1，S＝.3.【答案】B；【解析】以时间为点P的下标．观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣1），P4（4，0），P5（5，1），…，∴P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）．∵2017=504×4+1，∴第2017秒时，点P的坐标为（2017，1）．二、填空题4.【答案】（22016，0）．【解析】∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，∴OC1=2OC=2×2=4=22，OC2=2OC1=2×4=8=23，OC3=2OC2=2×8=16=24，…，OC n=2n+1，∴OC2015=22016，∵2015÷6=335…5，∴点C2015与点C5在同一射线上，在x轴正半轴，坐标为（22016，0）．故答案为：（22016，0）．5.【答案】45．【解析】观察，发现规律：A2（2，），A4（，﹣），A6（2，2），A8（，﹣），…，∴A4n+2（2，n+），A4n+4（，﹣）（n为自然数），∵100=4×24+4，∴A100的坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．6.【答案】．【解析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n 分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．三、解答题7.【答案与解析】解：根据观察知，答案分别为：＝个数，（4）可以将它剪成六个小正方形，八个小正方形，如图。

中考数学复习技巧如何通过归纳总结提高解题能力

中考数学复习技巧如何通过归纳总结提高解题能力数学作为中考的一门重要科目，往往是许多学生头疼的问题。

不仅需要掌握基本概念和公式，还需要有高效解题的能力。

而归纳总结是提高解题能力的有效方法之一。

本文将介绍如何通过归纳总结来提高中考数学解题能力。

一、理解题目要求在解题之前，首先必须准确地理解题目要求。

这包括仔细阅读题目，理解题目中涉及的概念和条件，找出问题的关键点。

只有清楚地理解题目要求，才能有针对性地进行解决。

二、归纳整理常见问题类型在中考数学中，存在一些常见的问题类型，例如方程、函数、几何等。

通过归纳和整理这些常见问题类型，可以帮助我们更好地掌握解题方法。

我们可以按照不同的类型，总结出相应的解题技巧和思考路径。

例如，对于方程问题，可以总结出常见的解方程方法，如代入法、消元法、配方法等。

三、总结解题思路在解题过程中，总结出有效的解题思路是提高解题能力的关键。

我们可以通过归纳总结，找出解决问题的通用思路和方法。

例如，在解决几何问题时，我们可以总结出构造图形、利用相似性、利用等角变换等一系列解题思路。

这样，在遇到类似问题时，我们就可以借鉴相应的思路，快速解决问题。

四、整理题目难点在归纳总结的过程中，我们还要注意整理题目中的难点。

有些问题可能涉及一些特殊的概念、定理或公式，我们可以将这些难点整理出来，并进行深入学习和巩固。

同时，我们还可以将这些难点与其他类型的问题联系起来，找出它们之间的联系和共性。

通过对难点的整理和解决，我们可以提高解题的能力和水平。

五、刻意练习归纳总结后，我们需要进行刻意练习来巩固所学知识和技巧。

通过大量的习题训练，我们可以将归纳总结的技巧应用到实际解题中，逐渐提高解题的效率和准确性。

在做题过程中，我们还可以将解题步骤和思路进行记录和总结，以便在以后的学习中回顾和巩固。

六、寻求帮助和交流在归纳总结和解题过程中，我们可能会遇到一些难以解决的问题。

这时，我们可以主动寻求同学、老师或家长的帮助和指导。

沪教版初中总复习专题训练中考冲刺：数形结合问题--知识讲解(提高)

沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考冲刺：数形结合问题—知识讲解（提高）【中考展望】1.用数形结合的思想解题可分两类:(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1.如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A.39SB. 36SC.37SD.43S【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A n B n面积公式，把n=3代入即可求出三角形A3B3C3的面积．【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n不重合的部分为三个小三角形；而三角形A n B n面积=边长为2n+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积=2S（2n+1）2-,=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3n+1），把n=3分别代入上式得：S3=S（3×32+3×3+1）=37S．故选C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．举一反三:【变式】（2016•潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是．【答案】（2n﹣1，2n﹣1）【解析】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1，∴A1点坐标（1，0），∵四边形A1B1C1O是正方形，∴B1坐标（1，1），∵C1A2∥x轴，∴A2坐标（2，1），∵四边形A2B2C2C1是正方形，∴B2坐标（2，3），∵C2A3∥x轴，∴A3坐标（4，3），∵四边形A3B3C3C2是正方形，∴B3（4，7），∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，∴B n坐标（2n﹣1，2n﹣1）．类型二、利用数形结合解决数与式的问题2. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+的结果为__________.【思路点拨】由数轴可知，0＜a＜2，由此去绝对值，对二次根式化简．【答案与解析】解：∵0＜a＜2，∴|2-a|+=2-a+a=2.故答案为：2．【总结升华】本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴上的点的位置来判断数a的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式．类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3.(1)在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。

九年级数学专题复习观察、归纳型问题

中考冲刺：观察、归纳型问题【中考展望】主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在规律，考查学生的逻辑推理能力，一般以解答题为主．归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重.这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，以此体现出猜想的实际意义.【方法点拨】观察、归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到.考查知识分为两类：①是数字或字母规律探索型问题；②是几何图形中规律探索型问题．1．数式归纳题型特点：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳出用某一字母表示的能揭示其规律的代数式或按某些规律写出后面某一项的数或式子．解题策略：一般是先写出数或式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．2．图形变化归纳题型特点：观察给定图形的摆放特点或变化规律，归纳出下一个图形的摆放特点或变化规律，或者能用某一字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等规律特点．解题策略：多方面、多角度进行观察比较得出图形个数、面积、周长等的通项，再分别取n＝1，2，3…代入验证，都符合时即为正确结论．由于猜想归纳本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点.【典型例题】类型一、数式归纳例1．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令S=1+2+3+…+98+99+100 ①S=100+99+98+…+3+2+1 ②①+②：有2S=（1+100）×100 解得：S=5050请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n= ．举一反三：【变式】如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数；（3）求第n行各数之和．类型二、图形变化归纳例2．课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕着某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证设旋转角∠A 1A 0B 1＝α(α＜∠A 1A 0A 2)，3θ，4θ，5θ，6θ所表示的角如图所示．(1)用含α的式子表示角的度数：3θ=________，4θ=________，5θ=________；(2)如上图①～图④中，连结A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n 边形A 0A 1A 2...1n A -与正n 边形A 0B 1B 2...1n B -重合(其中，A 1与B 1重合)，现将正n 边形A 0B 1B 2 (1)n B -绕顶点A 0逆时针旋转1800n αα⎛⎫<<⎪⎝⎭°． (3)设n θ与上述“3θ，4θ，…”的意义—样，请直接写出n θ的度数；(4)试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由．举一反三：【变式】长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为．【答案】解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20-a，所以第二次操作时正方形的边长为20-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a，2a-20．此时，分两种情况：①如果20-a＞2a-20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a-20．则2a-20=（20-a）-（2a-20），解得a=12；②如果20-a＜2a-20，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为20-a．则20-a=（2a-20）-（20-a），解得a=15．∴当n=3时，a的值为12或15．故答案为：12或15．例3．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为．举一反三：【变式】观察下列砌钢管的横截面图：则第n个图的钢管数是 .类型三、数值、数量结果归纳例4．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0），B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2015到x轴的距离是．类型四、数形归纳例5．如图，从原点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第6个半圆的面积为（结果保留π）．【巩固练习】一、选择题1．如图，数轴上有一个质点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，质点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种2. 在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）A．B．C．D．3. 边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A．B．C．D．二、填空题4．如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为S n．当n≥2时，S n-S n-1= ．5．如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点．6.如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2．第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．．（1）观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律再将三角形将△OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是，B4的坐标是．（2）若按第（1）题找到的规律将三角形OAB进行n次变换，得到三角形OA n B n，推测A n的坐标是，B n的坐标是.三、解答题7．在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：n=1n=2n=3n=4n=5n=6（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）蓝色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）蓝色小正方形个数…（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设蓝色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．8. 定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）……依次规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S n.⑴若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S n＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）⑵当n＞1时，请写出一个反映S n－1，S n，S n＋1之间关系的等式（不必证明）.9. 定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．10. 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.⑴观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾．都是奇数，且从3起就没有间断过.计算12（9－1）、12（9＋1）与12（25－1）、12（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股．和弦．的算式；⑵根据⑴的规律，用n（n为奇数且．．．n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾．、股．、弦．，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；⑶继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且．．．m＞4）的代数式来表示他们的股．和弦．.。

中考冲刺数学重点复习知识点(看例题学总结学习法)

中考冲刺数学重点复习知识点（看例题学总结学习法）
观臆断，那样会犯经验主义错误，走进死胡同的。

2。

要把想和看结合起来。

我们看例题，在读了题目以后，可以自己先大概想一下如何做，再对照解答，看自己的思路有哪点比解答更好，促使自己有所提高，或者自己的思路和解答不同，也要找出原因，总结经验。

3。

各难度层次的例题都照顾到。

看例题要循序渐进，这同后面的“做练习”一样，但看比做有一个显著的好处：例题有现成的解答，思路清晰，只需我们循着它的思路走，就会得出结论，所以我们可以看一些技巧性较强、难度较大，自己很难解决，而又不超出所学内容的例题，例如中等难度的竞赛试题。

小编为大家提供的中考冲刺数学重点复习知识点，就到这里了，愿大家都能在新学期努力，丰富自己，锻炼自己。

华东师大初中数学中考冲刺：观察、归纳型问题--知识讲解(基础)

中考第二轮复习——观察归纳问题

2.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，……，即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，请你推测第n组种子数（）
A．2n＋1B．2n－1C．2nD．n＋2
**3.对于每个非零自然数n，抛物线y=x2－x＋与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1＋A2B2＋…＋A2009B2009的值是（）
解：（1）④1＋3＋5＋7=42；⑤1＋3＋5＋7＋9=52．
（2）1＋3＋5＋…＋（2n－1）=n2．
题型三猜想数值结果
当在一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化呈现出某种特征时，可以猜想在新条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值．
例4.完成下列两题：
（1）如图所示，直线y=x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y=x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y=x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…；依此类推，则第n个正方形的边长为__________．
（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．
分析：猜想的东西未必完全正确，鉴于此，本题按照“猜想——证明——应用”的思路来设计题目，体现了知识的产生过程、科学论证和应用价值．
分析：对于（1）直接解方程组即可；（2）中既要观察归纳方程组的规律，又要观察归纳方程组的解的规律．

中考冲刺复习方法

中考冲刺复习方法中考冲刺复习方法一、把握动向，研究中考试题1.对题目的审查要认真、仔细：审题的正确是正确解题的开始和基础，对题目的阅读，除了需较好的阅读能力外，还应结合数学学科的特点，做到读懂题，弄清题意。

2.对题目的解答要准确，要合乎题目的要求。

(1)选择题的解答：中考数学题的选择题均为单项选择题。

试题的特点是概念性强、针对性强，具有一定的迷惑性，主要考查学生对基础知识和基本数学能力掌握的程度。

解答的主要方法有以下几种：①直接判断法：利用所学知识和技能直接解出正确答案。

②排除法：如果计算或推导不是一步进行，而是逐步进行，即从题干中条件或选项入手，经过推理、判断，把不符合条件的选项逐个排除，直到找出正确答案。

③验证法：有些选择题可以找出合适的验证条件，再通过验证找出正确的答案，亦可把供选择的答案代入题中，进而找出正确答案。

④特殊值法：有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解题时可考虑在取值范围内选取满足条件的特殊值或特殊图形。

通过推理验算，否定错误选项，找出正确答案。

(2)填空题的解答：中考试题中，填空题失分率较高，因此探求填空题的解法就显得十分必要。

解填空题的基本要求是“正确、合理、迅速”。

正确是解题之本，合理是迅速的前提，迅速的基础是概念清楚、推理清晰、运算熟练、合理跳步、方法恰当。

常用的方法有：①间接法：就是从题设条件出发，通过计算、分析推理得到正确答案的解法。

它是普遍使用的常规方法。

但值得一提的是，解填空题首先考虑间接解法，不要一味的按常规题处理而单纯使用直接法。

②图像法：数形结合是重要的数学思想。

以直观的图示显示抽象的数量关系，把思想对象变成可观察的东西，有助于解决问题。

③特例法：根据题设条件的特征，选取恰当的特例，从而通过简单的运算，而获取正确答案的方法。

(3)综合题的解答：综合题是泛指题目本身或在解题过程中，涉及数学中多个知识点，问题的解决往往需要灵活运用分析、综合、变换、转化、联想、类比、探索、归纳等多种数学思想方法，具有较高能力要求的数学题。

北师大初中数学中考冲刺：观察、归纳型问题--知识讲解(提高)-精编

中考冲刺：观察、归纳型问题—知识讲解（提高）【中考展望】主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在规律，考查学生的逻辑推理能力，一般以解答题为主．归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重.这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，以此体现出猜想的实际意义.【方法点拨】观察、归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到.考查知识分为两类：①是数字或字母规律探索型问题；②是几何图形中规律探索型问题．1．数式归纳题型特点：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳出用某一字母表示的能揭示其规律的代数式或按某些规律写出后面某一项的数或式子．解题策略：一般是先写出数或式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．2．图形变化归纳题型特点：观察给定图形的摆放特点或变化规律，归纳出下一个图形的摆放特点或变化规律，或者能用某一字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等规律特点．解题策略：多方面、多角度进行观察比较得出图形个数、面积、周长等的通项，再分别取n＝1，2，3…代入验证，都符合时即为正确结论．由于猜想归纳本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点.【典型例题】类型一、数式归纳1．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令S=1+2+3+…+98+99+100 ①S=100+99+98+…+3+2+1 ②①+②：有2S=（1+100）×100 解得：S=5050请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n= ．【思路点拨】根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．【答案与解析】解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，①+②得，2S=n （2n+1+3）=2×168，整理得，n 2+2n-168=0，解得n 1=12，n 2=-14（舍去）．故答案为：12．【总结升华】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目提供的信息，表示出这列数据的和并列出方程是解题的关键．举一反三：【变式】如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是，最后一个数是，第n 行共有个数；（3）求第n 行各数之和．【答案】（1）64， 8， 15；（2）n 2-2n+2， n 2， 2n-1；（3）322331n n n -+-．类型二、图形变化归纳2．课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕着某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证设旋转角∠A 1A 0B 1＝α(α＜∠A 1A 0A 2)，3θ，4θ，5θ，6θ所表示的角如图所示．(1)用含α的式子表示角的度数：3θ=________，4θ=________，5θ=________；(2)如上图①～图④中，连结A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n 边形A 0A 1A 2…1n A -与正n 边形A 0B 1B 2…1n B -重合(其中，A 1与B 1重合)，现将正n 边形A 0B 1B 2…1n B -绕顶点A 0逆时针旋转1800n αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭°． (3)设n θ与上述“3θ，4θ，…”的意义—样，请直接写出n θ的度数；(4)试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）要求θ的度数，应从旋转中有关角度的变与不变上突破；（2）结合图形比较容易得到被A 0H 垂直平分的线段，在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度；（3）要探究n θ的度数，要注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与求解度数的表达式；（4）要探究正n 边形中被A 0H 垂直平分的线段，也应注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与突破.【答案与解析】解：(1)60α-°，α，36α-°．(2)存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：选图①．图①中有直线A 0H 垂直平分A 2B 1(如图所示)，证明如下：证法一：证明：∵△A 0A 1A 2与△A 0B 1B 2是全等的等边三角形，∴A 0A 2＝A 0B 1，∴∠A 0A 2B l ＝∠A 0B 1A 2．又∠A 0A 2H ＝∠A 0B 1H ＝60°，∴∠HA 2B l ＝∠HB 1A 2，∴A 2H ＝B 1H ，∴点H 在线段A 2B 1的垂直平分线上．又∵A 0A 2＝A 0B 1，∴点A 0在线段A 2B 1的垂直平分线上．∴直线A 0H 垂直平分A 2B 1．证法二：证明：∵△A 0A 1A 2与△A 0B 1B 2是全等的等边三角形，∴A 0A 2＝A 0B 1，∴∠A 0A 2B 1＝∠A 0B l A 2．又∠A 0A 2H ＝∠A 0B 1H ，∴∠HA 2B l ＝∠HB 1A 2．∴HA 2＝HB 1．在△A 0A 2H 与△A 0B 1H 中，∵A 0A 2＝A 0B ，HA 2＝HB 1，∠A 0A 2B ＝∠A 0B 1H ，∴△A 0A 2H ≌△A 0B 1H ，∴∠A 2A 0H ＝∠B 1A 0H ，∴A 0H 平分等腰三角形A 0A 2B 1的顶角∠A 2A 0B 1，∴直线A 0H 垂直平分A 2B 1．选图②．图②中有直线A 0H 垂直平分A 2B 2(如图所示)，证明如下：∵A 0B 2＝A 0A 2，∴∠A 0B 2A 2＝∠A 0A 2B 2．又∵∠A 0B 2B 1＝∠A 0A 2A 3＝45°，∴∠HB 2A 2＝∠HA 2B 2，∴HB 2＝HA 2，∴点H 在线段A 2B 的垂直平分线上．又∵A 0B 2＝A 0A 2，∴点A 0在线段A 2B 2的垂直平分线上．∴直线A 0H 垂直平分A 2B 2．(3)当n 为奇数时，当n 为偶数时，n θα=．(4)存在．当n 为奇数时，直线A 0H 垂直平分1122n n A B +-；当n 为偶数时，直线A 0H 垂直平分22n n A B ．【总结升华】本题考查由特殊到一般推理论证的能力，属较难题．具有较强的逻辑推理能力及演绎推理意识是解决问题的关键．举一反三：【变式】长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为．【答案】解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20-a，所以第二次操作时正方形的边长为20-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a，2a-20．此时，分两种情况：①如果20-a＞2a-20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a-20．则2a-20=（20-a）-（2a-20），解得a=12；②如果20-a＜2a-20，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为20-a．则20-a=（2a-20）-（20-a），解得a=15．∴当n=3时，a的值为12或15．故答案为：12或15．3．用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为．【思路点拨】根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．【答案与解析】解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，而正六边形的内角为120°，故答案为：6．【总结升华】此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．举一反三：【变式】（2016•安顺）观察下列砌钢管的横截面图：则第n个图的钢管数是 .【答案】第一个图中钢管数为1+2=3；第二个图中钢管数为2+3+4=9；第三个图中钢管数为3+4+5+6=18；第四个图中钢管数为4+5+6+7+8=30，依此类推，第n个图中钢管数为n+（n+1）+（n+2）+…+2n=+=n2+n，故答案为：n2+n．类型三、数值、数量结果归纳4．（2015•长清区模拟）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0），B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2015到x轴的距离是．【思路点拨】根据勾股定理可得正方形A1B1C1D1的边长为，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第2015个正方形和第2015个正方形的边长，进一步得到点A2015到x轴的距离．【答案与解析】如图，∵点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…，∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…，∴B2015E4017=，作A1E⊥x轴，延长A1D1交x轴于F，则△C1D1F∽△C1D1E1，∴，在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1，正方形A1B1C1D1的边长为，∴D1F=，∴A1F=，∵A1E∥D1E1，∴，∴A1E=3，∴，∴点A2015到x轴的距离是，故答案为【总结升华】此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键．类型四、数形归纳5．（秀屿区校级模拟）如图，从原点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第6个半圆的面积为（结果保留π）．【思路点拨】根据已知图形得出第5个半圆的半径，进而得出第5个半圆的面积，得出第n个半圆的半径，进而得出答案．【答案与解析】∵以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，∴第5个半圆的直径为16，根据已知可得出第n个半圆的直径为：2n﹣1，则第n个半圆的半径为：=2n﹣2，第n个半圆的面积为：=22n﹣5π．所以第6个半圆的面积为：128π．故答案为：128π．【总结升华】此题主要考查了图形的变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第n个半圆的直径为：2n﹣1是解题关键．。

中考数学冲刺复习专题训练4观察、归纳型问题试题

观察、归纳型问题
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日自主学习
观察、归纳型问题是用代数式把一列变化着的数、式或者图
形的规律表示出来的问题.
解决这类问题主要是通过分析与研究提供的“变化片断〞
——一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所表达
的规律，并用代数式将其表示出来.
考虑操作要点：
1．认真观察、分析所提供的一系列特殊对象，从每个特殊对
象与其位次的对应关系上找一共同的规律.
2．研究相邻两项之间的相关性.
例2如图，用火柴棍拼成一排正方形图形，假如图形中含有1、2、3或者4 个正方形，分别需要多少根火柴棍？假如图形中含有n个正方形，需要多
少根火柴棍？
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

初三重点冲刺阶段学习中的数学题型与解题思路

初三重点冲刺阶段学习中的数学题型与解题思路数学在初三阶段是一个非常重要的学科，也是决定学生升入高中的重要因素之一。

在学习数学时，我们经常遇到各种各样的题型，而如何正确地解决这些题目则是我们需要掌握的关键技巧。

本文将分析初三重点冲刺阶段中常见的数学题型，并提供解题思路。

一、整式与因式分解整式与因式分解是初三数学中常见的题型之一。

在解题时，首先需要对给定的整式进行合并同类项，然后根据因式分解的规律进行处理。

对于以字母表示的整式，可以利用因式分解的方法进行因式分解，再根据题目要求进行进一步计算。

二、代数方程与方程组代数方程和方程组是初三数学中的重点内容。

在解题时，可以先利用变量的代入法对方程进行化简，然后通过解方程的方法求得变量的值。

对于方程组，可以通过联立方程的方法逐步求解，最后得到所有变量的值。

三、几何图形与空间几何几何题型在初三数学中也占据重要地位。

几何图形的题型多种多样，包括直角三角形、相似三角形、圆的性质等。

在解题时，需要掌握几何图形的基本性质，运用相应的定理进行推理，通过画图或者建立几何方程的方法求解。

四、统计与概率统计与概率是初三数学中的一块重点内容。

在解决统计问题时，需要根据给定的数据，确定所需统计的范围，然后进行数据筛选、分类和整理。

对于概率问题，可以通过列出随机事件的样本空间和事件的可能性进行计算。

五、解答题解答题是每个数学考试中必不可少的一部分。

在解答题中，我们需要注意题目中的要求，明确解题思路。

可以通过列方程、画图、建立模型等不同的方法来解答问题，并给出合理的解释。

总结起来，初三数学的学习需要掌握各种题型的解题思路。

在解题时，我们要善于归纳总结，掌握基本的解题方法，灵活运用所学知识来解决问题。

此外，我们还要注重练习，通过大量的题目训练提高解题能力，增强数学思维能力和逻辑推理能力。

希望大家能够在初三重点冲刺阶段中，努力学习数学，攻克各种数学题型，取得优异的成绩。

北师大版中考总复习资料,补习复习资料：54观察、归纳型问题(基础)

中考冲刺：观察、归纳型问题—知识讲解（基础）【中考展望】主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在规律，考查学生的逻辑推理能力，一般以解答题为主．归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重.这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，以此体现出猜想的实际意义.【方法点拨】观察、归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到. 考查知识分为两类：①是数字或字母规律探索型问题；②是几何图形中规律探索型问题．1．数式归纳题型特点：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳出用某一字母表示的能揭示其规律的代数式或按某些规律写出后面某一项的数或式子．解题策略：一般是先写出数或式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．2．图形变化归纳题型特点：观察给定图形的摆放特点或变化规律，归纳出下一个图形的摆放特点或变化规律，或者能用某一字母的代数式揭示出图形变化的个数、面积、周长等规律特点．解题策略：多方面、多角度进行观察比较得出图形个数、面积、周长等的通项，再分别取n ＝1，2，3…代入验证，都符合时即为正确结论．【典型例题】类型一、数式归纳1．试观察下列各式的规律，然后填空：；；；…；则…________．【思路点拨】根据前几个等式的规律，不难得出…．2(1)(1)1x x x -+=-23(1)(1)1x x x x -++=-324(1)(1)1x x x x x -+++=-109(1)(x x x -++1)x ++=1(1)(nn x x x--++11)1n x x +++=-答案：.【总结升华】此题归纳方法很多，注意每行数字的变化规律和符号规律．举一反三：【变式1】观察下列各式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1； … … …(1)根据规律填空 (x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝__ __________．(2)根据规律计算 2100＋299＋298+297+…+22+2 +1＝ .【答案】(1) x n ＋1－1 ； (2) 2101－1. 【观察、归纳型问题例1】【变式2】按一定规律排列的一列数依次为：按此规律排列下去，这列数中的第5个数是，第n 个数是．【答案】类型二、图形变化归纳2．如图所示，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )A B C D【思路点拨】题目中装饰物品旋转闪烁所成的三个图形的规律是，阴影部分从左到右是顺时针每隔一个格闪烁一次.【答案与解析】解：根据本题图形圆中两个阴影的位置不断变化的规律(每闪烁一次都向顺时针方向转动2个格)可111x 14916,,,,,3579225n ;.112n+1【总结升华】找到图形的变化规律是解题的关键.举一反三：【变式1】如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）A． B． C． D．【答案】A.3．若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为（）A.2B.C.D.【思路点拨】当n=2时，折线的长度为：1+=；当n=3时，折线的长度为：+×=；当n=4时，折线的长度为：+×=，从而可求出折线的总长度．【答案与解析】解：由题意得：当n=2时，折线的长度为：1+=；当n=3时，折线的长度为：+×=；当n=4时，折线的长度为：+×=．故选D．【总结升华】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，同时考查学生分析归纳问题的能力，其关键是读懂题意，找出规律．类型三、数值、数量结果归纳4．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B 是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）．【思路点拨】根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案．【答案与解析】解：如图：当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）（1，2）（2，1），共三个点，所以当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；因为△AOB内部（不包括边界）的整点个数=[（点B的横坐标-1）×（点A的纵坐标-1）-3]÷2，所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=[（4n-1）×（4-1）-3]÷2=6n-3；故答案为：3或4，6n-3．【总结升华】此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．【观察、归纳型问题例2】【变式】如图，用火柴棍拼成一排正方形图形，如果图形中含有1、2、3或4个正方形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有n个正方形，需要多少根火柴棍？【答案】1个正方形：4根； 2个正方形：7根； 3个正方形：10根； 4个正方形：13根； n 个正方形：（3n+1）根.类型四、数形归纳5．在一平直河岸同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到的距离分别是3 km 和2 km ，AB ＝a km(a ＞1)．现计划在河岸上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：如图①所示是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d 1 (km)，且(km)(其中BP ⊥l 于点P)；如图②所示是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2，且(km)(其中点A ′与点A 关于对称，A ′B 与交于点P)．观察计算(1)在方案一中，d 1＝________km(用含a 的式子表示)；(2)在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d 2＝________km(用含a 的式子表示)．探索归纳(1)①当a ＝4时，比较大小：d 1________d 2(填“＞”、“＝”或“＜”)；②当a ＝6时，比较大小：d 1________d 2(填“＞”、“＝”或“＜”)；(2)请你参考方框中的方法指导，就a(当a ＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二?l l l 1d PB BA =+2d PA PB =+ll【思路点拨】观察计算：（1）由题意可以得知管道长度为d 1=PB+BA （km ），根据BP ⊥于点P 得出PB=2，故可以得出d 1的值为a+2．（2）由条件根据勾股定理可以求出KB 的值，由轴对称可以求出′K 的值，在Rt △KBA ′由勾股定理可探索归纳：就可以比较其大小；就可以比较其大小；（2）分类进行讨论当d 1＞d 2，d 1=d 2，d 1＜d 2时就可以分别求出a 的范围，从而确定选择方案．【答案与解析】解：观察计算 (1)a+2；．探索归纳(1)①＜；②＞．(2)．①当4a-20＞0，即a ＞5时，，∴．∴；②当4a-20＝0，即a ＝5时，，∴．∴d 1＝d 2；③当，即a ＜5时，，∴．∴．综上可知：当a ＞5时，选方案二；当a ＝5时，选方案一或方案二；l 222212(2)420d d a a -=+-=-22120d d ->120d d ->12d d >22120d d -=120d d -=4200a -<22120d d -<120d d -<12d d <当l＜a＜5时，选方案一．【总结升华】本题根据课本中所熟知的背景，打破原有的条条框框，开展探究性学习，最后通过科学的计算，推导出新的结论，即当1＜a＜5时选方案一，体现了平时教学中，学生开展课题学习，培养质疑精神的可贵．中考冲刺：观察、归纳型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 用边长为1的正方形覆盖3×3的正方形网格，最多覆盖边长为1的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是( )A．2 B．4 C．5 D．62．求1＋2＋22＋23＋…＋22 012的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 012，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22 013，因此，2S－S＝22 013－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52 012的值为( )A．52 012－1 B．52 013－1 C.2013514-D.2012514-3. 如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D 重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n ﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．B．C．D．二、填空题4．已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，将△OBC 绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则m= ．点C2012的坐标是．5．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2019个点的横坐标为．6. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=___________.（用含n的式子表示）三、解答题7．观察下列等式：……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝______＝______；(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝______＝______(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．8. 如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n ．（1）将方程组1的解填入表中．（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n 和它的解直接填入表中；9. 如图所示，是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图①倒置后与原图拼成图②的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为…．如果图①中的圆圈共有12层，(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边的这个圆圈中的数是________；(2)我们自上往下，在每个圆圈123+++(1)2n n n ++=中都按图④的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图④中所有圆圈中各数的绝对值之和．10. 将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？⑵如果剪n次共有A n个正方形，试用含n、A n的等式表示这个规律；⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示a n；⑹试猜想a1＋a2＋a3＋…＋a n与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】6个，把边长为1的小正方形的对角线与3乘3网格中的中间正方形任意边重合（其中小正方形的对角线中点与3乘3网格中的中间正方形边上的中点重合）＞1，所以这时有6个正方形网格被覆盖.2.【答案】C ；【解析】设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52 012，则5S＝5＋52＋53＋54＋…＋52 013.因此，5S－S＝52 013－1，S＝20135-1 4.3.【答案】A；【解析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…，AD n=，又AP n=AD n，故AP1=，AP2=，AP3=…APn=，故可得AP6=．故选A．二、填空题4.【答案】2，（﹣22013，0）．【解析】∵∠OBC=90°，OB=1，，∴tan∠BOC==3，∴∠BOC=60°，∴OC=2OB=2×1=2，∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，∴m=2，∴OC1=2OC=2×2=4=22，OC2=2OC1=2×4=8=23，OC3=2OC2=2×8=16=24，…，OC n=2n+1，∴OC2012=22013，∵2012÷6=335…2，∴点C2012与点C2x在同一射线上，在x轴负半轴，坐标为（﹣22013，0）．故答案为：2，（﹣22013，0）．5.【答案】45．【解析】根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2019个点是（45，13），所以，第2019个点的横坐标为45．故答案为：45．6.【答案】．【解析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．三、解答题7．【答案与解析】解：根据观察知，答案分别为：8．【答案与解析】显然该方程组不符合（2）中的规律．9．【答案与解析】解：(1)67．(2)图④中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝个数，其中23个负数，1个0，54个正数，∴图④中所有圆圈中各数的绝对值之和＝|-23|+|-22|+…+|-1|+0+1+2+…+54＝(1+2+3+...+23)+(1+2+3+ (54)＝276+1485＝1761．10．【答案与解析】解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需要剪7次；⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解，∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12； ⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到： a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示.12(21)782+=。

中考冲刺：观察、归纳型问题--巩固练习(提高)

中考冲刺：观察、归纳型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（）A．B． C .D．2. 在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）A．B．C．D．3. 边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A．B．C．D．二、填空题4．如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为S n．当n≥2时，S n-S n-1= ．5．如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点．6. 如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°，线段A1A2=1，A2A1⊥OA1，垂足为A1；线段A2A3=1，A3A2⊥A1A2，垂足为A2；线段A3A4=1，A4A3⊥A2A3，垂足为A3；…按此规律，点A2012的坐标为．三、解答题7．在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：n=1n=2n=3n=4n=5（1正方形边长 1 3 5 7 … n （奇数）蓝色小正方形个数 … 正方形边长2 4 6 8 … n （偶数）蓝色小正方形个数…（2）在边长为n （n ≥1）的正方形中，设蓝色小正方形的个数为P 1，白色小正方形的个数为P 2，问是否存在偶数n ，使P 2=5P 1？若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由．8. 定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形. 探究：一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF （图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）……依次规则操作下去.n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n 为正整数），设此时小三角形的面积为S n .⑴若△DEF 的面积为10000，当n 为何值时，2＜S n ＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）⑵当n ＞1时，请写出一个反映S n －1，S n ，S n ＋1之间关系的等式（不必证明）.9. 如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形．操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去．⑴请你设计出两种符合题意的分割方案图；⑵设正方形的边长为a ，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S 填入下表：分割次数n 12 3 … 最小直角三角形的面积S41a 2…⑶在条件⑵下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S 与分割次数n 有什么关系？用数学表达式表示出来．10. 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.⑴观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾．都是奇数，且从3起就没有间断过.计算12（9－1）、12（9＋1）与12（25－1）、12（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股．和弦．的算式；⑵根据⑴的规律，用n（n为奇数且．．．n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾．、股．、弦．，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；⑶继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且．．．m＞4）的代数式来表示他们的股．和弦．.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】由于OM=1，所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的处，故选D．2.【答案】D；【解析】∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA=1，OD=2，设正方形的面积分别为S1，S2 (2012)根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x，∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°，∴△BAA1∽△B1A1A2，在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD==，∴AB=AD=BC=，∴S1=5，∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，∴∠ADO=∠BAA1，∴tan∠BAA1===，∴A1B=，∴A1B=A1C=BC+A1B=，∴S2=×5=5×（）2，∴==，∴A2B1=×=，∴A2C1=B1C1+A2B1=+==×（）2，∴S3=×5=5×（）4，由此可得：S n=5×（）2n-2，∴S2012=5×（）2×2012-2=5×（）4022．故选D．3.【答案】A；【解析】连接AD、DF、DB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC=∠BAF=∠∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，∵∠AFE=∠ABC=120°，∴∠AFD=∠ABD=90°，在Rt△ABD和RtAFD中∴Rt△△ABD≌Rt△AFD，∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°，∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，∴AD∥EF，∵G、I分别为AF、DE中点，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI=∠FAD=60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，∴∠EDM=60°=∠M，同理AF=QF，即AF=QF=EF=EM，∵等边三角形QKM的边长是a，∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，则FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四边形FZNE是平行四边形，∴EF=ZN=a，∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证），∴∠GFZ=30°，∴GZ=GF=a，同理IN=a，∴GI=a+a+a=a，即第一个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；同理第二个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；同理第三个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；第四个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；第五个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，即第六个正六边形的边长是×512⎛⎫⎪⎝⎭a，故选A．4.【答案】.【解析】连接BE，∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM，∴△AME与△AMB同底等高，∴△AME的面积=△AMB的面积，∴当AB=n时，△AME的面积记为S n=n2，S n-1=（n-1）2=n2-n+，∴当n≥2时，S n-S n-1=，故答案为：.5.【答案】B；【解析】如图所示：当滚动一个单位长度时E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，∵六边形ABCD是正六边形，∴∠A′F′G=30°，∴A′G=A′F′=，同理可得HD=，∴A′D=2，∵D（2，0）∴A′（2，2），OD=2，∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点（2，2）开始到点（45，2）正好滚动43个单位长度，∵=7…1，∴恰好滚动7周多一个，∴会过点（45，2）的是点B．故答案为：B．6.【答案】（5033-503，5033+503）．【解析】如图，过点A1作A1B⊥x轴，作A1C∥x轴A2C∥y轴，相交于点C，∵OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°，∴OB=OA1•cos=1×=，A1B=OA1•sin30°=1×=，∴点A1的坐标为（，），∵A2A1⊥OA1，OA1与x轴的夹角为30°，∴∠OA1C=30°，∠A2A1C=90°-30°=60°，∴∠A1A2C=90°-60°=30°，同理可求：A2C=OB=，A1C=A1B=，所以，点A2的坐标为（-，+），点A3的坐标为（-+，++），即（-，+1），点A4的坐标为（--，+1+），即（-1，+1），点A5的坐标为（-1+，+1+），即（-1，+），点A6的坐标为（-1-，++），即（-，+），…，当n为奇数时，点A n的坐标为（-，+），当n为偶数时，点A n的坐标为（-，+），所以，当n=2012时，-=503-503，+=503+503，点A 2012的坐标为（503-503，503+503）．故答案为：（503-503，503+503）．三、解答题 7．【答案与解析】（1）1，5，9，13，奇数2n －1；4，8，12，16，偶数2n ．（2）由（1）可知，当n 为偶数时P 1=2n ，∴P 2=n 2－2n （用总个数n 2减去蓝色小正方形的个数2n ），根据题意得n 2－2n =5×2n ，即n 2－12n =0，解得n =0（不合题意，舍去），n =12．∴存在偶数n =12，使得P 2=5P 1. 8．【答案与解析】解：⑴△DEF 经n 阶分割所得的小三角形的个数为n41，∴S n ＝n 410000当n ＝5时，S 5＝510000S ≈9.77；当n ＝6时，S 6＝610000S ≈2.44；当n ＝7时，S 7＝710000S ≈0.61； ∴当n ＝6时，2＜S 6＜3； ⑵S n2＝S 1-n ×S 1+n ；9．【答案与解析】解：⑴现提供如下三种分割方案：⑵每次分割后得到的最小直角三角形的面积都是上一次最小直角三角形面积的41，所以当n ＝2时，S 2＝41×41a 2＝161a 2；当n ＝3时，S 3＝41S 2＝641a 2；⑶当分割次数为n 时，S n ＝n 41a 2（n ≥1，且n 为正整数）．10．【答案与解析】解：⑴∵12（9－1）＝4，12（9＋1）＝5；12（25－1）＝12，12（25＋1）＝13； ∴7，24，25的股的算式为：12（49－1）＝12（72－1）弦的算式为：12（49＋1）＝12（72＋1）；⑵当n 为奇数且n ≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n ，12（n 2－1），12（n 2＋1）.例如关系式①：弦－股＝1；关系式②：勾2＋股2＝弦2；证明关系式①：弦－股＝12（n 2＋1）－12（n 2－1）＝12［（n 2＋1）－（n 2－1）］＝1；或证明关系式②：勾2＋股2＝n 2＋［12（n 2－1）］2＝14n 4＋12n 2＋14＝14（n 2＋1）2＝弦2；∴猜想得证.⑶例如探索得，当m 为偶数且m ＞4时，股、弦的代数式分别为：（2m ）2－1，（2m ）2＋1.希望我的资料对您有帮助，非常感谢您的下载。

中考数学复习技巧如何通过归纳总结提高解题思维

中考数学复习技巧如何通过归纳总结提高解题思维数学作为一门理科学科，对于学生来说，往往是个令人头疼的科目。

其中，解题思维的培养显得尤为重要。

归纳总结是提高解题思维的一种有效方法。

本文将介绍中考数学复习过程中如何运用归纳总结技巧来提高解题思维。

一、建立知识框架在复习数学时，学生应首先建立一个完整的知识框架。

将所学知识按照章节、部分等分门别类，形成一个系统而完备的知识结构。

建立知识框架可以帮助学生更好地理解和记忆知识点，同时也能够为后期的归纳总结提供更好的基础。

二、总结常用解题方法在数学复习过程中，学生应将经常用到的解题方法进行总结，并制定一套适合自己的解题策略。

例如，可以将二次方程的解法、几何图形的性质归纳总结成解题模板，并熟练掌握其应用。

这样，当遇到相关问题时，可以快速找到解题思路，提高解题效率。

三、分类归纳题目类型中考数学题目呈现形式多种多样，不同类型的题目需要采用不同的解题方法。

因此，学生应将题目进行分类归纳。

以二次函数的应用题为例，可以分为最值问题、图像特性问题等，然后针对不同类型的问题，分别总结归纳相应的解题思路和方法。

通过分类归纳题目类型，不仅可以加深对知识点的理解，还可以提高解题的准确性和速度。

四、总结常见错误在学习数学的过程中，常常会出现一些容易犯的错误。

学生应反复查找和总结自己在练习和考试中犯的错误，并对这些错误进行归纳总结。

例如，常见的错误包括计算错误、概念混淆等。

通过总结常见错误，可以帮助学生更好地理解和消化所学知识，避免犯类似错误。

五、加强练习和应用归纳总结只有在实际应用中才能够真正发挥作用。

学生在掌握了一定的解题技巧之后，应加强练习和应用。

通过反复练习和解答各类题目，巩固所学知识，并提高解题的熟练度。

同时，还可以通过解决实际问题，将数学知识应用到生活中，培养解决实际问题的能力。

综上所述，中考数学复习过程中，归纳总结技巧对于提高解题思维至关重要。

通过建立知识框架、总结常用解题方法、分类归纳题目类型、总结常见错误以及加强练习和应用，学生能够更好地理解知识，提高解题效率和准确性。

2024年中考数学冲刺复习知识点题型解题法

2024年中考数学冲刺复习阶段，同学们需要巩固知识点，熟悉题型，提高解题能力。

以下是一些重要的数学知识点和相应的题型解题法。

一、整数运算题型：计算题、应用题1.完成整数间的加减法计算解题法：根据题目要求，进行整数间的加减法计算，注意正负数的加减法规则。

2.解决应用题解题法：将应用问题转化为数学模型，根据题目中的条件，进行运算并得出答案。

二、小数和分数运算题型：计算题、应用题、比较大小1.小数的四则运算解题法：根据小数的特点，进行小数的加减乘除计算，并按要求保留正确的小数位数。

2.分数的四则运算解题法：根据分数的特点，进行分数的加减乘除计算，并化简结果。

3.比较大小解题法：将小数或分数转化为相同的分母，再进行比较大小。

三、代数式和方程题型：计算题、应用题、方程的解1.代数式的运算解题法：根据代数式的运算法则，进行代数式的加减乘除运算。

2.解决应用题解题法：根据应用问题中的条件，建立代数方程式，解方程并求解。

3.方程的解解题法：根据方程的性质和解题方法，解方程并求解。

四、几何运算题型：计算题、几何问题1.三角形周长和面积的计算解题法：根据三角形的性质，计算三角形的周长和面积。

2.矩形和正方形的周长和面积的计算解题法：根据矩形和正方形的性质，计算矩形和正方形的周长和面积。

3.圆的周长和面积的计算解题法：根据圆的性质，计算圆的周长和面积。

4.解决几何问题解题法：根据几何问题的条件，运用几何知识解决问题。

五、统计与概率题型：统计题、概率题1.统计数据的分析与运算解题法：根据给定的统计数据，进行数据的分析和计算。

2.概率计算解题法：根据问题中的条件，使用概率公式计算概率。

六、函数与图像题型：计算题、函数图像题1.函数的计算解题法：根据函数的定义和性质，进行函数的计算和简化。

2.图像的绘制和分析解题法：根据函数的表达式和图像的特点，绘制函数图像，并分析其特征。

七、解决实际问题题型：应用题、解决实际问题1.实际问题的分析与解决解题法：根据实际问题的条件，进行数学建模并解决问题。

中考数学解题思路分享

中考数学解题思路分享在中考数学中，解题思路是非常重要的，它直接影响到我们在短时间内解决问题的能力。

下面将分享几种常用的数学解题思路，希望对大家备战中考有所帮助。

一、归纳法归纳法是数学问题中常用的解题思路之一。

它通过观察并总结问题中的规律，找出其中的共性，从而得出解题的方法。

归纳法适用于一些具有规律性的题目，如数列题、几何题等。

以数列题为例，当我们遇到一个数列问题时，可以通过观察前几项数之间的关系，推测出数列的通项公式或递推公式，从而求解出后续项或某一特定项。

二、逆向思维逆向思维是指从问题的给定条件或答案出发，反向思考如何得到这个答案或条件。

逆向思维需要我们对问题进行分析和推理，寻找隐藏的规律或特点。

逆向思维在一些复杂的数学题目中特别有效。

比如，解方程题中常会遇到需要求解未知数的值，而逆向思维可以帮助我们反推出符合条件的未知数的可能取值范围，从而缩小解题范围。

三、拆分思想拆分思想是将复杂的问题拆解成若干个简单的小问题，再逐个解决的思维方式。

它在解决一些多步骤、多变量问题时非常有用。

比如，在解决几何题时，我们可以将复杂的图形拆分成多个简单的几何形状，然后依次解决每个小问题，最后将结果合并起来得到最终的答案。

拆分思想在解决数值计算问题时也很有用。

当我们遇到一道涉及多个运算步骤的计算题时，可以将其拆分成多个简单的小计算，逐步进行，最终得到题目要求的结果。

四、反证法反证法是通过否定问题中的某个条件或假设，推导出矛盾的结论，从而证明原命题的真实性的一种数学推理方法。

它适用于解决一些逻辑性的问题。

在解决一些必要条件和充分条件的问题时，反证法常常能帮助我们快速找到答案。

通过假设某个条件不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而得出原条件的真实性。

总结：数学解题思路非常重要，它直接决定了我们在中考数学中的表现。

归纳法、逆向思维、拆分思想和反证法是四种常用的解题思路，它们在不同类型的数学问题中都能发挥重要作用。

在备战中考时，我们可以灵活运用这些解题思路，提高解题效率，取得好成绩。

中考数学冲刺复习专题训练4观察归纳型问题

观察、归纳型问题自主学习观察、归纳型问题是用代数式把一列变化着的数、式或图形的规律表示出来的问题.解决这类问题主要是通过分析与研究提供的“变化片断”——一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来.思考操作要点：1．认真观察、分析所提供的一系列特殊对象，从每个特殊对象与其位次的对应关系上找共同的规律.2．研究相邻两项之间的相关性.例2如图，用火柴棍拼成一排正方形图形，如果图形中含有1、2、3或4 个正方形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有n个正方形，需要多少根火柴棍？中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90，得到A B C ''，连接'A A ，若120︒∠=，则B 的度数是（）A ．70︒B ．65︒C ．60︒D ．55︒【答案】B 【解析】根据旋转的性质可得AC ＝A′C ，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CA A′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C ，最后根据旋转的性质可得∠B ＝∠A′B′C ．【详解】解：∵Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ，∴AC ＝A′C ，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C ＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°，∴∠B ＝∠A′B′C ＝65°．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．2．若一个圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则这个圆锥的全面积为（）A ．15πcm 2B ．24πcm 2C ．39πcm 2D ．48πcm 2 【答案】B【解析】试题分析:底面积是:9πcm 1,底面周长是6πcm,则侧面积是:12×6π×5=15πcm 1．则这个圆锥的全面积为:9π+15π=14πcm 1．故选B ．考点:圆锥的计算．3．如图，BD为⊙O的直径，点A为弧BDC的中点，∠ABD＝35°，则∠DBC＝（）A．20°B．35°C．15°D．45°【答案】A【解析】根据∠ABD＝35°就可以求出AD的度数，再根据180=，可以求出AB,因此就可以求得BD︒∠的度数，从而求得∠DBCABC【详解】解：∵∠ABD＝35°，∴的度数都是70°，∵BD为直径，∴的度数是180°﹣70°＝110°，∵点A为弧BDC的中点，∴的度数也是110°，∴的度数是110°+110°﹣180°＝40°，∴∠DBC＝＝20°，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形性质、圆周角定理，主要考查学生的推理能力．4．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为()A．4 B．.5 C．6 D．8【答案】C【解析】解:∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得AB DE BC EF=,即123EF =，解得EF=6，故选C.5．已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析: 根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=bx的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.详解: ∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=bx的图象在第一象限有一个公共点，∴b＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c=b，∴a+c=0，∴ac＜0，∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．故选B.点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b＞0，ac＜0. 6．下列叙述，错误的是( )A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形【答案】D【解析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理对选项逐一进行分析，即可判断出答案．【详解】A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意；B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意；C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；D. 对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项错误，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定等，熟练掌握相关判定定理是解答此类问题的关键．7．小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可．【详解】小刚从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增长，故选B．【点睛】本题考查了函数的图象，认真分析，理解题意，确定出函数图象是解题的关键.8．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是()A．70°B．60°C．55°D．50°【答案】A【解析】试题分析：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE的外角，∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A．考点：平行线的性质．9．某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（）A．12B．14C．16D．116【答案】B【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为41= 164，故选B．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．10．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b【答案】A【解析】根据这块矩形较长的边长＝边长为3a的正方形的边长－边长为2b的小正方形的边长＋边长为2b的小正方形的边长的2倍代入数据即可.【详解】依题意有：3a﹣2b+2b×2=3a﹣2b+4b=3a+2b．故这块矩形较长的边长为3a+2b．故选A．【点睛】本题主要考查矩形、正方形和整式的运算，熟读题目，理解题意，清楚题中的等量关系是解答本题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O 方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；A4A0间的距离是_____；…按此规律运动到点A2019处，则点A2019与点A0间的距离是_____．【答案】231．【解析】据题意求得A0A1＝4，A0A1＝23，A0A3＝1，A0A4＝23，A0A5＝1，A0A6＝0，A0A7＝4，…于是得到A1019与A3重合，即可得到结论．【详解】解：如图，∵⊙O的半径＝1，由题意得，A0A1＝4，A0A1＝23A0A3＝1，A0A4＝23A0A5＝1，A0A6＝0，A0A7＝4，…∵1019÷6＝336…3，∴按此规律A1019与A3重合，∴A0A1019＝A0A3＝1，故答案为23，1.【点睛】本题考查了图形的变化类，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．12．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．【答案】（2，﹣3）【解析】根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).【详解】抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.故答案为（2，﹣3）【点睛】本题考核知识点：抛物线的顶点. 解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____．【答案】四丈五尺【解析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴x15＝1.50.5，解得x=45（尺）．故答案为：四丈五尺．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．14．计算1x x +﹣11x +的结果为_____．【答案】11x x -+．【解析】根据同分母分式加减运算法则化简即可．【详解】原式＝11x x -+，故答案为11x x -+．【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟记运算法则是解题的关键．15．使分式的值为0，这时x=_____．【答案】1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法16．在矩形ABCD 中，AB=4， BC=3，点P 在AB 上．若将△DAP 沿DP 折叠，使点A 落在矩形对角线上的处，则AP 的长为__________．【答案】32或94【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P ，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x ，则BP=4﹣x ，∵BP 2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x ）2=x 2+22，解得：x=32，∴AP=32； ②点A 落在矩形对角线AC 上，如图2，根据折叠的性质可知DP ⊥AC ，∴△DAP ∽△ABC ，∴AD AB AP BC=，∴AP=AD BC AB =334⨯=94．故答案为32或94．17．如图，在Rt AOB ∆中，42OA OB ==．O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作O 的一条切线PQ (点Q 为切点)，则线段PQ 长的最小值为______．【答案】23【解析】连接OQ ，根据勾股定理知222PQ OP OQ =-，可得当OP AB ⊥时，即线段PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案．【详解】连接OQ ．∵PQ 是O 的切线，∴OQ PQ ⊥；∴222PQ OP OQ =-，∴当PO AB ⊥时，线段OP 最短，∴PQ 的长最短，∵在Rt AOB ∆中，42OA OB ==∴28AB OA ==， ∴4OA OB OP AB ⋅==， ∴2223PQ OP OQ =-=故答案为：23．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到PO AB时，线段PQ最短是关键．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD⊥AB于点D，点P在线段DB上，若AP2-PB2=48，则△PCD的面积为____.【答案】6【解析】根据等角对等边，可得AC=BC，由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=12AB，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=12AB，由AP2-PB2=48 ，利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD·PD=12,利用△PCD的面积=12CD·PD可得.【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠B=45°，∴AC=BC，∵CD⊥AB ，∴AD=BD=CD=12 AB，∵AP2-PB2=48 ，∴(AP+PB)(AP-PB)=48，∴AB(AD+PD-BD+DP)=48, ∴AB·2PD=48，∴2CD·2PD=48，∴CD·PD=12，∴△PCD的面积=12CD·PD=6.故答案为6.【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一三、解答题（本题包括8个小题）19．如图有A、B两个大小均匀的转盘，其中A转盘被分成3等份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k，将B转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b．请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；求一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的概率．【答案】（1）答案见解析；（2）13．【解析】（1）k可能的取值为-1、-2、-3，b可能的取值为-1、-2、3、4，所以将所有等可能出现的情况用列表方式表示出来即可．（2）判断出一次函数y=kx+b经过一、二、四象限时k、b的正负，在列表中找出满足条件的情况，利用概率的基本概念即可求出一次函数y=kx+b经过一、二、四象限的概率．【详解】解：（1）列表如下：所有等可能的情况有12种；（2）一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限时，k＜0，b＞0，情况有4种，则P=412=13．20．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形.【解析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．【详解】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=12 BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=12 BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=12AC，FG=12BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．考点：平行四边形的判定与性质；中点四边形．21．如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．求证：∠BAC＝∠AED；在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：AD AF BC AC．【答案】见解析【解析】（1）欲证明∠BAC＝∠AED，只要证明△CBA∽△DAE即可；（2）由△DAE∽△CBA，可得AD DEBC AC＝，再证明四边形ADEF是平行四边形，推出DE＝AF，即可解决问题；【详解】证明（1）∵AD∥BC，∴∠B＝∠DAE，∵AB·AD＝BC·AE，∴AB BC AE AD＝，∴△CBA∽△DAE，∴∠BAC＝∠AED．（2）由（1）得△DAE∽△CBA∴∠D＝∠C，AD DE BC AC＝，∵∠AFE＝∠D，∴∠AFE＝∠C，∴EF∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥AD，∵∠BAC＝∠AED，∴DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE＝AF，∴AD AF BC AC＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件元,出厂价为每件元,每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数:．李明在开始创业的第一个月将销售单价定为元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?设李明获得的利润为（元）,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于元．如果李明想要每月获得的利润不低于元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?【答案】（1）政府这个月为他承担的总差价为644元;（2）当销售单价定为34元时,每月可获得最大利润144元;（3）销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为544元．【解析】试题分析：（1）把x=24代入y=﹣14x+544求出销售的件数,然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价;（2）由利润=销售价﹣成本价,得w=（x﹣14）（﹣14x+544）,把函数转化成顶点坐标式,根据二次函数的性质求出最大利润;（3）令﹣14x2+644x﹣5444=2,求出x的值,结合图象求出利润的范围,然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元,根据一次函数的性质求出总差价的最小值．试题解析：（1）当x=24时,y=﹣14x+544=﹣14×24+544=344,344×（12﹣14）=344×2=644元,即政府这个月为他承担的总差价为644元;（2）依题意得,w=（x﹣14）（﹣14x+544）=﹣14x2+644x﹣5444=﹣14（x﹣34）2+144∵a=﹣14＜4,∴当x=34时,w有最大值144元．即当销售单价定为34元时,每月可获得最大利润144元;（3）由题意得：﹣14x2+644x﹣5444=2,解得：x1=24,x2=1．∵a=﹣14＜4,抛物线开口向下,∴结合图象可知：当24≤x≤1时,w≥2．又∵x≤25,∴当24≤x≤25时,w≥2．设政府每个月为他承担的总差价为p 元,∴p=（12﹣14）×（﹣14x+544）=﹣24x+3．∵k=﹣24＜4．∴p 随x 的增大而减小,∴当x=25时,p 有最小值544元．即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为544元．考点：二次函数的应用．23．如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角30α=︒，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角60β=︒，求树高AB(结果保留根号).【答案】6+332【解析】如下图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，设AB 长为x ，则易得AF=x-4，在Rt △ACF 中利用∠α的正切函数可由AF 把CF 表达出来，在Rt △ABE 中，利用∠β的正切函数可由AB 把BE 表达出来，这样结合BD=CF ，DE=BD-BE 即可列出关于x 的方程，解方程求得x 的值即可得到AB 的长.【详解】解：如图，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，设AB=x ，则AF=x-4，∵在Rt △ACF 中，tan ∠α=AF CF ， ∴CF=4tan30x -︒=BD ，同理，Rt △ABE 中，BE=tan60x ︒， ∵BD-BE=DE ，∴4tan30x -︒-tan60x ︒=3，解得x=6+332. 答：树高AB 为（6+332）米 . 【点睛】作出如图所示的辅助线，利用三角函数把CF 和BE 分别用含x 的式子表达出来是解答本题的关键. 24．如图，平面直角坐标系中，直线AB ：13y x b =-+交y 轴于点A(0，1)，交x 轴于点B ．直线x=1交AB 于点D ，交x 轴于点E ，P 是直线x=1上一动点，且在点D 的上方，设P(1，n)．求直线AB 的解析式和点B 的坐标；求△ABP 的面积(用含n 的代数式表示)；当S △ABP =2时，以PB 为边在第一象限作等腰直角三角形BPC ，求出点C 的坐标．【答案】 (1) AB 的解析式是y=-13x+1．点B （3，0）．(2)32n-1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2）．【解析】试题分析：（1）把A 的坐标代入直线AB 的解析式，即可求得b 的值，然后在解析式中，令y=0，求得x 的值，即可求得B 的坐标；（2）过点A 作AM ⊥PD ，垂足为M ，求得AM 的长，即可求得△BPD 和△PAB 的面积，二者的和即可求得；（3）当S △ABP=2时，32n-1=2，解得n=2，则∠OBP=45°，然后分A 、B 、P 分别是直角顶点求解．试题解析：（1）∵y=-13x+b 经过A （0，1）， ∴b=1，∴直线AB 的解析式是y=-13x+1．当y=0时，0=-13x+1，解得x=3，∴点B（3，0）．（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，∵x=1时，y=-13x+1=23，P在点D的上方，∴PD=n-23，S△APD=12PD•AM=12×1×(n-23)=12n-13由点B（3，0），可知点B到直线x=1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，∴S△BPD=12PD×2=n-23，∴S△PAB=S△APD+S△BPD=12n-13+n-23=32n-1；（3）当S△ABP=2时，32n-1=2，解得n=2，∴点P（1，2）．∵E（1，0），∴PE=BE=2，∴∠EPB=∠EBP=45°．第1种情况，如图1，∠CPB=90°，BP=PC，过点C作CN⊥直线x=1于点N．∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，∴∠NPC=∠EPB=45°．又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC ，∴△CNP ≌△BEP ，∴PN=NC=EB=PE=2，∴NE=NP+PE=2+2=4，∴C （3，4）．第2种情况，如图2∠PBC=90°，BP=BC ，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ．∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，∴∠CBF=∠PBE=45°．又∵∠CFB=∠PEB=90°，BC=BP ，∴△CBF ≌△PBE ．∴BF=CF=PE=EB=2，∴OF=OB+BF=3+2=5，∴C （5，2）．第3种情况，如图3，∠PCB=90°，CP=EB ，∴∠CPB=∠EBP=45°，在△PCB 和△PEB 中，{CP EBCPB EBP BP BP=∠=∠=∴△PCB ≌△PEB （SAS ），∴PC=CB=PE=EB=2，∴C （3，2）．∴以PB 为边在第一象限作等腰直角三角形BPC ，点C 的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．考点：一次函数综合题．25．已知关于x 的方程()22210x k x k --+=有两个实数根12,x x .求k 的取值范围；若12121x x x x +=-，求k 的值；【答案】（1）12k ≤；（2）k ＝－3 【解析】（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0；（2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1；②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)；【详解】解：（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0 解得12k ≤ （2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1解得k 1＝k 2＝1 ∵12k ≤ ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)解得k 1＝1，k 2＝－3 ∵12k ≤ ∴k ＝－3综合①、②可知k ＝－3【点睛】一元二次方程根与系数关系，根判别式.26．某品牌牛奶供应商提供A ，B ，C ，D 四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．根据统计图的信息解决下列问题：本次调查的学生有多少人？补全上面的条形统计图；扇形统计图中C对应的中心角度数是；若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约多少盒？【答案】（1）150人；（2）补图见解析；（3）144°；（4）300盒．【解析】(1)根据喜好A口味的牛奶的学生人数和所占百分比，即可求出本次调查的学生数.（2）用调查总人数减去A、B、D三种喜好不同口味牛奶的人数，求出喜好C口味牛奶的人数，补全统计图.再用360°乘以喜好C口味的牛奶人数所占百分比求出对应中心角度数.(3)用总人数乘以A、B口味牛奶喜欢人数所占的百分比得出答案.【详解】解：（1）本次调查的学生有30÷20%＝150人；（2）C类别人数为150﹣（30+45+15）＝60人，补全条形图如下：（3）扇形统计图中C对应的中心角度数是360°×＝144°故答案为144°（4）600×（）＝300（人），答：该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约300盒．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得出必要的信息是解题的关键.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．2x x y +-B ．22y xC ．3223y xD ．222()y x y - 【答案】D 【解析】根据分式的基本性质，x ，y 的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．【详解】根据分式的基本性质，可知若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，A 、23233x x x y x y++≠--，错误； B 、22629y y x x ≠，错误； C 、3322542273y y x x ≠，错误； D 、()()22221829y y x y x y --＝，正确；故选D ．【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．2．如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（）A ．5B ．2C ．52D ．5【答案】C【解析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=5，应用两次勾股定理分别求BE和a．【详解】过点D作DE⊥BC于点E.由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm1．.∴AD=a.∴12DE•AD＝a.∴DE=1.当点F从D到B5∴5Rt△DBE中，()2222=521 BD DE--=，∵四边形ABCD是菱形，∴EC=a-1，DC=a，Rt△DEC中，a1=11+（a-1）1.解得a=5 2 .故选C．【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．3．某商品价格为a元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（）A．0.96a元B．0.972a元C．1.08a元D．a元【答案】B【解析】提价后这种商品的价格=原价×（1-降低的百分比）（1-百分比）×（1+增长的百分比），把相关数值代入求值即可．【详解】第一次降价后的价格为a×（1-10%）=0.9a 元，第二次降价后的价格为0.9a×（1-10%）=0.81a 元，∴提价20%的价格为0.81a×（1+20%）=0.972a 元，故选B ．【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，考查列代数式，得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点；得到提价后这种商品的价格的等量关系是解决本题的关键．4．如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒【答案】C 【解析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC 、CD=CB ，根据等腰三角形的性质求出∠CBD ，计算即可．【详解】∵五边形ABCDE 为正五边形 ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒ ∵CD CB = ∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒ ∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．5．不等式组12342x x +>⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意先解出12342xx+>⎧⎨-≤⎩的解集是，把此解集表示在数轴上要注意表示时要注意起始标记为空心圆圈，方向向右；表示时要注意方向向左，起始的标记为实心圆点，综上所述C的表示符合这些条件.故应选C.6．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN 交AB 于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（）A．90°B．95°C．105°D．110°【答案】C【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题.【详解】∵CD=AC，∠A=50°∴∠CDA=∠A=50°∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°∴∠DCA=80°根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC∴BD=CD∴∠B=∠BCD∵∠B+∠BCD=∠CDA∴2∠BCD=50°∴∠BCD=25°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键.7．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；B．是轴对称图形，故本选项正确；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．不是轴对称图形，故本选项错误．故选B．8．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是()A．小丽从家到达公园共用时间20分钟B．公园离小丽家的距离为2000米C．小丽在便利店时间为15分钟D．便利店离小丽家的距离为1000米【答案】C【解析】解：A．小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；。